SUCESSÕES E SÉRIES. Definição: Chama-se sucessão de números reais a qualquer f. r. v. r., cujo domínio é o conjunto dos números naturais IN, isto é,

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1 SUCESSÕES E SÉRIES Defiição: Chama-se sucessão de úmeros reais a qualquer f. r. v. r., cujo domíio é o cojuto dos úmeros aturais IN, isto é, u : IN IR u( ) = u Defiição: i) ( u ) IN é crescete IN, u u ii) ( u ) IN é estritamete crescete IN, u > u iii) ( u ) IN é decrescete IN, u u u é estritamete decrescete IN, u < u iv) ( ) IN Defiição: Chama-se série umérica ou série de úmeros reais a uma expressão que se pode escrever a forma u = u u u3 u = em que u,u, u3 são desigados por termos da série e u termo geral. Capítulo I Séries

2 Defiição: Desiga-se por sucessão das somas parciais ou sucessão associada à série u, a sucessão de termo geral = S = u u u3 u = u k= k Defiição: Uma série umérica u, diz-se covergete se e somete se ( ) IN S é covergete. = Defiição: Uma série umérica do tipo a r = = a ar ar desiga-se por Série Geométrica. ar 3, a,r IR \ {} Teorema: Uma série geométrica coverge se r < e diverge se r. Defiição: Uma série umérica do tipo =, α, α α α α = 3 4 desiga-se por Série de Dirichelet (ou de Riema). ] [ Capítulo I Séries

3 Teorema: Uma série de Dirichelet coverge se α > e diverge se < α. Teorema: i) Se u e v são duas séries covergetes e etão: = = a IR, a) a série a é covergete e tem-se a u = a = u v = b) a série ( ± ) = ( u ± v ) = u ± = u = u é covergete e tem-se = v = ii) Se u é covergete e v é divergete etão a série = ( ) = u é divergete. v = Teorema: Se u é covergete etão lim u =. = Teorema: Se divergete. lim u ão existe ou lim u, etão u é = Capítulo I Séries 3

4 SÉRIES NUMÉRICAS DE TERMOS NÃO NEGATIVOS Teorema: (º Critério de Comparação) Seja u, v e u v, IN, etão: i) Se a série v é covergete etão a série u é covergete. = = ii) Se a série u é divergete etão a série v é divergete. = = Teorema: (º Critério de Comparação) u Seja u, v > e lim = L, v IN, etão: i) Se L, etão as séries u e v são da mesma atureza. = = ii) Se L = etão Se Se = v u = coverge etão diverge etão = = u coverge. v diverge iii) Se L = etão Se Se v = u = diverge etão coverge etão u diverge. v coverge = = Capítulo I Séries 4

5 Teorema: (Critério de Cauchy ou da Raiz) Seja u e lim u = L, IN, etão: i) Se L < etão a série = = u é covergete. ii) Se L > etão a série u é divergete. iii) Se L = etão ada se pode cocluir, excepto se u por valores superiores, e, este caso, a série u é divergete. = Teorema: (Critério de D Alembert ou da Razão) u Seja u > e lim = L, IN, etão: u i) Se L < etão a série u é covergete. = ii) Se L > etão a série u é divergete. = u iii) Se L = etão ada se pode cocluir, excepto se u valores superiores, e, este caso, a série u é divergete. = por Capítulo I Séries 5

6 Teorema: (Critério de Raabe) u Seja u > e lim = L u, IN, etão: i) Se L < etão a série u é divergete; = ii) Se L > etão a série u é covergete; = u iii) Se L = etão ada se pode cocluir, excepto se u por valores iferiores, e, este caso, a série u é divergete. = Exemplo: Determie a atureza das seguites séries uméricas: a) = d) = se ( π) π se b) = 5 e) 3 5 = 3 5 c) = f) 3 = 3 g) = 4 h) 3 = l( ) i) =3! j) = e k).3.5. ( ) =.4.6. Capítulo I Séries 6

7 SÉRIES ABSOLUTAMENTE E SIMPLESMENTE CONVERGENTES Defiição: Diz-se que a série u é absolutamete covergete se e só se = a série dos valores absolutos (módulos) dos seus termos u é covergete. = Teorema: Se a série covergete. Além disso = u é absolutamete covergete etão é = u. u = Defiição: A série u é simplesmete covergete se e só se a série = = u é covergete e u é divergete. = Defiição: Uma série diz-se alterada se e só se é da forma ou ( ) = u com u. ( ) u = Capítulo I Séries 7

8 Teorema: Uma série alterada é absolutamete covergete se e só se a série u é covergete. = Teorema: (Critério de Leibiz) Seja ( ) = u uma série de termos alterados, com u, se: i) ( ) IN u é decrescete ii) lim u =, etão a série ( ) = Caso cotrário é divergete. u é covergete e diz-se simplesmete covergete. Exemplo: Determie a atureza das seguites séries uméricas: a) cos( ) = 3 b) ( ) = 3 5 c) = ( ) Capítulo I Séries 8

9 SUCESSÕES E SÉRIES DE FUNÇÕES Defiição: Chama-se série de fuções a uma expressão que se pode escrever a forma f (x), com (x), fuções reais de variável real, todas = f defiidas o mesmo itervalo [ b] a,. Teorema: (Critério de Weierstrass) Cosideremos a série de fuções = f (x), defiida o itervalo [ a, b]. Se: i) existem costates M tais que f ( x) M ii) a série umérica = M é covergete, etão a série = f (x) é absolutamete covergete em [ a, b]. Defiição: Uma série de potêcias é uma série da forma = a ( x b) com b, IR, IN. a Capítulo I Séries 9

10 Defiição: Uma série de potêcias de x é uma série da forma = x a com a IR, IN. Teorema: (Teorema de Abel) i) Se a série de potêcias = x é absolutamete covergete x : x < x ; a é covergete em x, etão ii) Se a série de potêcias divergete x : x > x. = x a é divergete em x, etão é Cosideremos o seguite cojuto de úmeros reais = A x : a x é covergete para = x = x Defiição: Chama-se raio de covergêcia da série por r à quatidade = x a e represeta-se r = supa, se sup A ão existe Capítulo I Séries

11 Teorema: A série = x a é absolutamete covergete se e só se lim a x < ax. Teorema: A série = x a é absolutamete covergete se e só se lim a x <. Exemplo: Determie o itervalo de covergêcia das seguites séries de fuções: a) x =! b) = x c) = l( ) ( x ) d) ( )! x =! e) = ( x ) b, b > Capítulo I Séries

12 DESENVOLVIMENTO DE FUNÇÕES EM SÉRIES DE POTÊNCIAS Cosideremos a série de potêcias = a ( x b) e seja I (r) o seu itervalo de covergêcia. Defiição: Dada a fução f : I( r) IR x f ( x) = = a ( x b) Para cada x I( r), f (x) é a soma da série a ( x b) que se diz = desevolvimeto de f(x) segudo as potêcias de (x b). Capítulo I Séries

13 Fórmula de Taylor e Mac-Lauri Defiição: Seja b it (D) e como em que R de Ordem. f : D IR IR, vezes difereciável o poto x x,b ), etão a fórmula de Taylor pode ser escrita t ] b, [ (ou ] [ f ( x) = f ( b) f ( b)( x b) ( ) f ( t) ( x) = ( x b) ( )! f ( b) ( x b)! f ( ) ( b) ( x b)! R ( x), se desiga por Resto de Lagrage Defiição: Seja f : D IR IR, vezes difereciável o poto b = e x x,b ), etão a fórmula de Mac-Lauri pode escrever-se como t ] b, [ (ou ] [ f ( ) f ( R f () x) = f () f () x x! () x! ( x) Capítulo I Séries 3

14 Séries de Taylor e Mac-Lauri Defiição: Seja f : D IR IR, ifiitamete difereciável uma vizihaça do poto b it (D), tal que lim ( x) = com R ( ) o R resto obtido a partir da fórmula de Taylor. Desiga-se por Série de Taylor de f(x) o poto b, à série x = f ( ) ( b) ( x b)! e tem se = ( ) f ( b) f ( x) = ( x b).! Nota: Para b= tem-se a Série de Mac-Lauri. Teorema: Seja f : I( r) IR x f ( x) = a = ( x b) etão i) f (x) é cotíua em I(r ); ii) f (x) é fiitamete difereciável o iterior de I( r ) e x b r, b r ] [ = d f ( x) = ( a ( x b) ) dx ; Capítulo I Séries 4

15 iii) f (x) é primitivável o iterior de ( ) = I r e x ] b r, b r[ [ a ( x b) dx] f ( x) dx =. Exemplo: Obteha o desevolvimeto em série de potêcias de x, e respectivo itervalo de covergêcia, das seguites fuções: a) x f ( x) = e b) f ( x) = se( x) c) f ( x) = cos( x) Capítulo I Séries 5