Novo Espaço Matemática A 12.º ano Proposta de Teste [maio 2017]

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1 Novo Espaço Matemática.º ao Proposta de Teste [maio 07] Nome: o / Trma: N.º: Data: / / Não é permitido o so de corretor. Deves riscar aqilo qe pretedes qe ão seja classificado. Para cada resposta, idetifica o grpo e o item. preseta as tas respostas de forma legível. preseta apeas ma resposta para cada item. prova icli m formlário. s cotações dos ites ecotram-se o fial do eciado da prova. GRUPO I Na resposta aos ites deste grpo, selecioa a opção correta. Escreve, a folha de respostas, o úmero do item e a letra qe idetifica a opção escolhida.. Na figra, o plao compleo, estão represetados cico potos:, B, C, D e P. O afio de m úmero compleo z é represetado por P. Qal dos otros potos pode represetar o afio do úmero compleo represetado por i z? () D (B) (C) C (D) B. Para m certo úmero real k, ão lo, a fção f é cotía em R, sedo defiida por: Esse valor de k é: 8 si k se 0 f = k cos( k) se = 0 k () (B) 8 (C) (D). Sejam a e b úmeros reais maiores qe. Sabe-se qe a = b. Qal dos segites valores é igal a log b a?

2 Novo Espaço Matemática.º ao Proposta de Teste [maio 07] () (B) 5 6 (C) (D) 6. Na figra está represetada parte do gráfico de ma fção f de domíio R. Sabe-se qe a reta t defiida pela eqação y = é tagete ao gráfico da fção f o poto ( 0, ). Pode coclir-se qe lim f h 0 hh + é igal a: () (B) (C) (D) 0 5. Cosidera em C, cojto dos úmeros compleos, a codição iz + i = r, sedo r m úmero real positivo. Para cada valor de r esta codição defie ma circferêcia o plao compleo. O cetro dessa circferêcia é o afio do úmero compleo: () + i (B) i (C) + i (D) i 6. Cosidera, em C, cojto dos úmeros compleos, a codição: π arg( z i) z Cosidera como arg( z ) a determiação qe pertece ao itervalo [ π π [,. Qal das segites represetações o plao compleo pode correspoder à codição dada? () (B) (C) (D)

3 Novo Espaço Matemática.º ao Proposta de Teste [maio 07] GRUPO II Na resposta aos ites deste grpo apreseta todos os cálclos qe tiveres de efetar e todas as jstificações ecessárias. Qado, para m resltado, ão é pedida a aproimação, apreseta sempre o valor eato.. Um casal, a Rita e o Pedro, fazem parte de m grpo de trabalho costitído por dez elemetos: seis homes e qatro mlheres. Do grpo de dez elemetos escolhe-se, ao acaso, ma eqipa de três elemetos. Sejam, B, C e D os acotecimetos: : Do casal, Rita e Pedro, m e m só faz parte da eqipa escolhida B: O Pedro faz parte da eqipa escolhida C: eqipa escolhida é costitída só por homes D: Do casal, Rita e Pedro, ehm faz parte da eqipa escolhida.. Mostra qe os acotecimetos e D são eqiprováveis... Determia a probabilidade codicioada P( C B ). l.. Cosidera a fção f defiida por f ( ) = Seja P, N, ma seqêcia de potos do gráfico de f em qe as abcissas estão em progressão e geométrica, cjo termo geral é =... Determia o domíio de f e estda a fção qato à eistêcia de assítotas do se gráfico... Mostra qe a abcissa de P é zero da fção f... Sabe-se qe f ( ) l =. a) Determia ma eqação, a forma redzida, da reta tagete ao gráfico de f o poto P. b) Estda a fção f qato ao setido das cocavidades do se gráfico e mostra qe P é poto de ifleão.

4 Novo Espaço Matemática.º ao Proposta de Teste [maio 07]. Seja f a fção de domíio [ 0, π] defiida por: = si f cos Na figra estão represetadas das retas r e s e o gráfico da fção f. Sabe-se qe: as retas r e s são paralelas à bissetriz dos qadrates ímpares; as retas r e s são tagetes ao gráfico de f os potos e B, respetivamete... Seja f a fção derivada de f. Mostra qe =si( ) Nota: sicos = si( ).. Recorre ao resltado obtido em.. e determia: a) as abcissas dos potos e B ; f. b) as coordeadas dos potos de ifleão do gráfico de f.. Na figra está represetado, o plao compleo, o qadrado [BCD] com cetro em O. Sabe-se qe, B, C e D são images geométricas dos úmeros compleos z, z B, zc e z D, sedo z = + i. B.. Represeta z a forma algébrica e zd a forma trigoométrica... Seja =cisθ z, com θ [ 0, π [. Determia todos os valores de θ [ π [ imagiário pro, sedo w = z z C. 0, de modo qe w seja m

5 Novo Espaço Matemática.º ao Proposta de Teste [maio 07] 5. Cosidera em C, cojto dos úmeros compleos, os úmeros compleos: z = i 6, z B π = cis Resolve a eqação z = z i. preseta as solções a forma trigoométrica com argmetos míimos positivos. 5.. Para cada úmero real θ ] π [ 0, há m úmero compleo z = cosθ + isiθ. No plao compleo, sejam, B e C os afios dos úmeros compleos z, z B e z C, respetivamete. Para determiados valores de θ, o triâglo [BC] é isósceles com C pertecete à mediatriz de [B]. Recorre às capacidades gráficas da calcladora e determia esses valores de θ, apresetado os resltados arredodados às cetésimas. Na ta resposta deves apresetar: ma eqação da mediatriz de [B] ; a reprodção do gráfico da fção o gráficos das fções qe tiveres ecessidade de visalizar a calcladora, devidamete idetificado(s), iclido o referecial; as abcissas arredodadas às cetésimas dos potos qe fazem parte da resposta à qestão colocada. C Cotações Grpo I Grpo II FIM a)..b)....a)..b) Totais 00 5

6 Novo Espaço Matemática.º ao Proposta de Teste [maio 07] FORMULÁRIO GEOMETRI Comprimeto de m arco de circferêcia αr (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Áreas de figras plaas Polígoo reglar: Semiperímetro pótema Setor circlar: α âglo ao cetro; r raio) Áreas de sperfícies Área lateral de m coe: πr g (r raio da base; g geratriz) r (α amplitde, em radiaos, do Área de ma sperfície esférica: πr (r raio) Volmes Pirâmide: Área da base ltra Coe: Área da base ltra Esfera: πr (r raio) PROGRESSÕES Soma dos primeiros termos de ma progressão (): + Progressão aritmética: Progressão geométrica: TRIGONOMETRI r r si a + b = si a cos b + si b cos a cos a + b = cos a cos b si a si b ta ta a + ta b + = ta a ta b ( a b) COMPLEXOS ( ρ cis θ ) = ρ cis( θ ) θ + π ρ cis θ = ρ cis k ( k { 0,..., } e N) PROBBILIDDES µ = p + + p σ = p ( µ ) + + p ( µ ) Se X é N ( µ, σ ), etão: P ( µ σ < X < µ + σ ) 0, 687 P ( µ σ < X < µ + σ ) 0, 955 P ( µ σ < X < µ + σ ) 0, 997 REGRS DE DERIVÇÃO ( + v )' = ' + v' ( v )' = ' v + v' ' v v' = v v ( )' = ' ( R) ( si ) = ( cos ) = ' ' cos ' ' si ' cos ( ta )' = ( e )' = ' e ( a )' = ' a I a + ( a R \{ } ) ( I )' = ' ' I a + ( log )' = a R \{ } a LIMITES NOTÁVEIS lim + = e si lim = 0 e lim = 0 ( + ) I lim = 0 I lim = 0 + e lim = + R p + ( p ) ( N) 6