FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 3

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão Nome: N.º Turma: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para um resultado, ão é pedida uma aproimação, pretede-se sempre o valor eato. (). No referecial da figura do lado está represetada parte do gráfico da fução g'', seguda derivada de uma fução g. Sabe-se que g'' g'' Em qual das opções seguites pode estar represetada parte do gráfico da fução g? Só há mudaça de sial de g'' em, pelo g'' que a fução g tem apeas um P.I. para g P.I. Op. B V. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia /7 Versão

2 (). Seja i a uidade imagiária, que valores pode tomar a epressão i i i? (A) e i i i i i i i i i (B) i e i (C) i e (D) e i i i i i i i Op. B V. (). Sejam a e b úmeros reais positivos, com a. b Se log b c, etão loga é igual a... a a c c c (A) (B) c (C) (D) c De loga b c resulta loga b c loga b b c Assim, loga logab logaa Op. C V. a l f (). Acerca de uma fução f, de domíio, sabe-se que lim. Qual das equações abaio pode defiir uma assítota do gráfico de f? (A) y (B) y (C) y (D) y l f l f l f lim lim lim lim lim m m m f f Op. D V. f (). Acerca de uma fução f, de domíio, sabe-se que f'. f f lim Qual é o valor de lim lim (A) (B) (C) f f f f lim lim f f? () 6. No referecial da figura do lado está represetada parte do Temos: gráfico de uma fução f e uma reta t, tagete ao gráfico de f o poto de abcissa. Sejam f' e f '' as primeira e seguda derivadas de f. Qual das afirmações é verdadeira? (A) f f ' (B) f f ' f '' (C) f ' f '' (D) f f '' f, f ' m t Assim, f f ' f '' e f '' (cocavidade voltada para baio) (D) f' Op. A V. Op. B V. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia /7 Versão

3 () 7. No cojuto dos úmeros compleos, cosidere o úmero Qual das seguites afirmações é falsa? arg w arg wi Temos w cis w e w cis 6 Assim, w cis cis cis 6 w cis cis cis wi cis cis cis cis (A) arg w (B) w cis w (C) w cis. (D) arg w (A) é Verdadeira (B) é Verdadeira (C) é Verdadeira (D) é Falsa V. () 8. No cojuto dos úmeros compleos, seja um úmero imagiário puro. No plao compleo, a qual das codições seguites pertece a imagem de? (A) i (B) i i (C) i (D) Sedo um imagiário puro, sabemos que w bi rcis. Assim, r cis r cis r i imagiário puro. Op. D V. i represeta a mediatri do segmeto de etremos e i, isto é, a reta y. i i represeta a mediatri do segmeto de etremos i e i, isto é, o eio real. i represeta a mediatri do segmeto de etremos e i, isto é, a reta y. represeta a mediatri do segmeto de etremos e, isto é, o eio imagiário. 9. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por f se. () 9.. Sem recorrer à calculadora, prove que a fução f tem pelo meos um ero o itervalo,. Pretedemos mostrar que, : f, isto é, a equação se tem pelo meos uma solução o itervalo, Como ão temos cohecimetos que os permitem resolver aaliticamete esta equação vamos recorrer ao Teorema de Bolao. Sedo f se uma fução cotíua em, pois é defiida pela soma de duas fuções cotíuas em (trigoométrica e afim), também é cotíua o itervalo,. f se Assim, f se Portato, como f é cotíua em, e muda de sial este itervalo, pelo corolário do Teorema de Bolao, tem pelo meos um ero o itervalo,. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia /7 Versão

4 () 9.. Sedo f' a fução derivada de f, mostre que f ',, e justifique que f tem apeas um úico ero em todo o seu domíio. Temos f ' se ' ' ' se se ' se cos se Ora, como se,, temos se Assim, se, ou seja f ' Portato, f ', Dier que f ',, sigifica que a fução f é estritamete crescete em todo o domíio Assim, sedo estritamete crescete é ijetiva, isto é, há apeas um objeto que tem imagem ero, ou seja, f tem um úico ero, que, pela alíea aterior, se ecotra o itervalo,. () 9.. Eiste uma ifiidade de potos ode a tagete ao gráfico de f é paralela à reta y. Determie, aaliticamete, a epressão geral de todos os objetos ode isso se verifica. Retas paralelas têm o mesmo declive e a reta y tem declive + Como o declive da reta tagete é dado pela derivada o poto de tagêcia, temos de descobrir a epressão geral das soluções da equação f ' Assim, f ' se se k, k k, k Epressão geral dos eros de f' () 9.. Determie f', usado a defiição de derivada de uma fução um poto. f f Temos f ' lim c.a. f se + se se Assim, f ' lim lim Id. se se se lim lim lim lim se se lim lim. Cosidere os úmeros compleos i e cis. ().. Escreva a forma trigoométrica e a forma algébrica. i cis, com ºQ Módulo de : Argumeto de : ºQ e ta, logo Portato, cis cis cos i se i Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia /7 Versão

5 ().. Calcule a forma trigoométrica e a forma algébrica. A partir dos resultados obtidos dedua os valores eatos de cos e se. cis cis cis cis i i i i i 6 6 i i 6 6 i i 6 6 i Dos resultados obtidos a forma trigoométrica e a forma algébrica, podemos cocluir que cis 6 6 i cos se 6 6 i i Assim, 6 cos 6 Portato, cos e e 6 se 6 se ().. Determie, a forma trigoométrica, os valores ão ulos de w para os quais w w. Seja w cis um compleo ão ulo, com Temos w cis cis e w cis + Portato, w w cis cis cis cis cis + k, k Nota: k, k k, k Se k etão, temos a solução w cis 9 Se k etão, temos a solução w cis 7 7 Se k etão, temos a solução w cis Se k etão, temos a solução w Logo, as soluções da equação são w cis, w cis e 7 w cis ().. Determie o meor úmero atural para o qual é um úmero real positivo. Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia /7 Versão

6 represeta um úmero real positivo se o seu argumeto for múltiplo de ou arg k, k Temos cis cis 8k Assim, k 8k... Portato, quado k temos 8 e represeta um úmero real positivo. No plao compleo da figura seguite está represetado um petágoo regular, com cetro a origem do referecial. Um dos vértices do petágoo é a imagem geométrica do úmero compleo cis. ().. Os vértices do petágoo são as images geométricas das raíes de ídice de um úmero compleo w. Idique, justificado, o valor de e determie w, a forma algébrica. No plao compleo, as images geométricas das raíes de ídice de um compleo w (ão ulo) são os vértices de um polígoo regular de lados e cetro a origem do referecial. Portato, este caso (petágoo), temos e Assim w w + cis cis cis i ().. Escreva os úmeros compleos e cujos afios são os vértices do petágoo, usado o argumeto pricipal. A partir da imagem geométrica de uma das raíes de ídice de w podemos obter as images geométricas das restates raíes através de rotações de cetro a origem e amplitude (âgulo ao cetro). Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia 6/7 Versão

7 Assim, como e, os argumetos de estão em progressão aritmética de raão Ora, cis cis 9 cis cis cis 7 cis ().. Defia, através de uma codição em, a região sombreada da figura aterior. Mediatri do segmeto ZZ : 9 7 cis cis Semiplao fechado abaio da mediatri de ZZ : cis cis represeta a circuferêcia de cetro a origem e raio r Assim a região sombreada é defiida pela codição 9 7 cis cis Outro processo: Os potos da semirreta OZ têm argumeto, a reta OZ é defiida por arg arg 9 Assim, a região abaio de OZ é defiida por arg 9 E a região sombreada é defiida por arg ().. Idique, justificado adequadamete, o valor lógico da proposição seguite: i Como os afios de,, são os vértices de um petágoo regular cetrado a origem do referecial, sabemos que os seus argumetos estão em progressão aritmética de raão No produto de compleos a forma trigoométrica multiplicam-se os médulos e somam-se os argumetos, assim, 6 8 cis cis cis cis cis 6 8 cis cis cis cis i 7 Logo a afirmação é VERDADEIRA BOM TRABALHO! Prof. José Tioco Ficha de avaliação da Matemática A.º Ao Págia 7/7 Versão