Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema III Sucessões Reais. TPC nº11 (entregar no dia 20 de Maio de 2011) 1ª Parte

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1 Escola Secudária com 3º ciclo D. Diis º Ao de Matemática A Tema III Sucessões Reais TPC º (etregar o dia 0 de Maio de 0) ª Parte As cico questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são idicadas quatro alterativas, das quais só uma está correcta. Escreva a sua folha de respostas a letra correspodete à alterativa que seleccioar para cada questão.. O gráfico de uma fução f é uma parábola com a cocavidade voltada para baixo cujo vértice é poto de coordeadas ( 3, ). Seja f a fução derivada de f. Qual dos valores seguites é egativo? (A) f (B) f (C) f ( 3) (D) f ( 4). Idique o cojuto dos úmeros reais que são soluções da iequação + < x x 0 (A) ], [ (B) ], [ (C) ],[ (D) ],+ [ 3. Cosidere as seguites fuções: f : {,,3 } {,,3 } defiida pela tabela g : R R defiida por g( x) = x + h : [ 0,4] {,,3 } cujo gráfico é Idique o valor de f + ( g h) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 Professora: Rosa Caelas Ao Lectivo 00/0

2 4. A recta de equação y = x + 5 é tagete, o poto de abcissa, ao gráfico de uma certa fução poliomial f. Qual dos seguites valores é f? (A) (B) (C) (D) 5 5. Cosidere, um referecial o.. Oxyz, a recta r defiida por ( x, y, z) = (,,3 ) + k ( 0,0, ),k R Qual das equações seguites defie uma recta paralela a r? (A) ( x, y, z) = (,,3 ) + k ( 0,,0 ),k R (B) x,y,z = 0,0, + k,,3,k R (C) x = y = (D) x = z = ª Parte Nas questões deste grupo apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações ecessárias. Ateção: quado ão é idicada a aproximação que se pede para um resultado, pretede-se sempre o valor exacto.. Na figura está represetada, em referecial o.. Oxyz, uma pirâmide quadragular regular. Admita que o vértice E se desloca o semieixo positivo Oz, etre a origem e o poto de cota 6, uca coicidido com qualquer um destes dois potos. Com o movimeto do vértice E, os outros quatro vértices da pirâmide deslocam-se o plao xoy, de tal forma que: A pirâmide permaece sempre regular O vértice A tem sempre abcissa igual à ordeada Sedo x a abcissa de A e sedo c a cota de E, tem-se sempre x + c = 6.. Seja V ( x ) o volume da pirâmide, em fução de x x ] 0,6[ 4 =. 3 3 Mostre que V ( x) 8x x... Admita que x =. Idique, para este caso, as coordeadas dos potos A, B e E e determie uma equação cartesiaa do plao ABE. Professora: Rosa Caelas Ao Lectivo 00/0

3 . Cosidere, um referecial o.. Oxyz, a superfície esférica E, de equação x + y + z = 4 π Para um certo valor de α pertecete ao itervalo 0,, o poto P, de coordeadas ( tg,se, cos ) α α + α, pertece à superfície esférica E. Determie os valores uméricos das coordeadas do poto P. 3. Na figura está represetada, em referecial o.. xoy, parte do gráfico de uma fução f, bem como as duas assítotas deste gráfico. Tal como a figura sugere: a origem do referecial pertece ao gráfico de f. uma das assítotas é paralela a Ox a outra assítota é paralela ao eixo Oy e itersecta o eixo Ox o poto de abcissa. 3.. Seja g a fução, de domíio R, defiida por g( x) = 3x + 9. Tedo em cota o gráfico de f e a expressão aalítica de g resolva a iequação f ( x) g( x) Admita agora que: a assítota do gráfico de f paralela ao eixo das abcissas tem equação y = 3 f é defiida por uma expressão do tipo úmeros reais. Idique os valores de a e de c e determie o valor de b. b f x = a + ode a,b e c e desigam x c 4. Durate os esaios de um motor, a velocidade de rotação do seu eixo variou, ao logo dos 3 primeiros oito miutos da experiêcia, de acordo com a fução v ( t) = t 5t + 63t, ode t desiga o tempo (medido em miutos), cotado a partir do iício da experiêcia, e v ( t ) desiga a velocidade de rotação do eixo do motor (medida em ceteas de rotações por miuto). 4.. Por processos exclusivamete aalíticos, determie qual foi a velocidade máxima atigida, os primeiros oito miutos da experiêcia. Apresete o resultado em ceteas de rotações por miuto. Professora: Rosa Caelas 3 Ao Lectivo 00/0

4 4.. Recorredo às capacidades gráficas da calculadora, determie durate quato tempo é que, os primeiros oito miutos da experiêcia, a velocidade de rotação do eixo do motor foi superior a 6000 rotações por miuto. Escreva o resultado fial em miutos e segudos (com o úmero de segudos arredodado às uidades). Apresete todos os elemetos recolhidos a utilização da calculadora, omeadamete o gráfico, ou gráficos, obtidos, bem como as coordeadas dos potos relevates para a resolução do problema (apresete as abcissas com duas casas decimais). 5. Cosidere a seguite sequêcia de figuras em que o quadrado tem cm de lado. Em cada quadrado, os círculos são geometricamete iguais. 5.. Sejam ( c ) a sucessão do úmero de círculos existetes em cada figura, ( ) r a sucessão das medidas dos raios, ( a ) a sucessão das medidas das áreas coloridas e ( ) sucessão das medidas das áreas ão coloridas as diversas figuras 5... Defia, cada sucessão, por recorrêcia Defia, cada sucessão, pelo seu termo geral. 5.. Estude quato à mootoia ( c ) e ( ) r Estude, cada sucessão, quato à limitação Prove que ( a ) é uma progressão geométrica de razão. FIM b a ª Parte ª Parte Questão Cotação Professora: Rosa Caelas 4 Ao Lectivo 00/0

5 Escola Secudária com 3º ciclo D. Diis º Ao de Matemática A Tema III Sucessões Reais TPC º Proposta de resolução ª Parte. (D) O gráfico de uma fução f é uma parábola com a cocavidade voltada para baixo cujo vértice é poto de coordeadas ( 3, ). Seja f a fução derivada de f. f ( 4) é egativa porque a fução é crescete em ],3[ e decrescete em ] 3,+ [ e só quado é decrescete a derivada é egativa. Em e a derivada é positiva, em 3 a derivada é ula e só em 4 a derivada é egativa.. (D) o cojuto dos úmeros reais que são soluções da iequação + < x x 0 é ],+ [ porque como o umerador é sempre positivo a fracção só será egativa se o mesmo acotecer com o deomiador x + < 0 x < 0 x < x > x 3. (C) Cosidere as seguites fuções: f : {,,3 } {,,3 } defiida pela tabela g : R R defiida por g( x) = x + h : [ 0,4] {,,3 } cujo gráfico é O valor de f ( g h) + é 6 porque: ( ) f + g h = 3 + g h = 3 + g = = 6 4. (A) A recta de equação y = x + 5 é tagete, o poto de abcissa, ao gráfico de uma certa fução poliomial f. f = porque f é igual ao declive da recta tagete ao gráfico de f o poto de abcissa ou seja é o declive da recta de equação y = x + 5 Professora: Rosa Caelas 5 Ao Lectivo 00/0

6 5. (C) Cosidere, um referecial o.. Oxyz, a recta r defiida por ( x, y, z) = (,,3 ) + k ( 0,0, ),k R Uma recta paralela a r é uma recta com a direcção do eixo Oz o que só acotece com a recta de equações x = y = ª Parte. Na figura está represetada, em referecial o.. Oxyz, uma pirâmide quadragular regular. Admita que o vértice E se desloca o semieixo positivo Oz, etre a origem e o poto de cota 6, uca coicidido com qualquer um destes dois potos. Com o movimeto do vértice E, os outros quatro vértices da pirâmide deslocam-se o plao xoy, de tal forma que: A pirâmide permaece sempre regular O vértice A tem sempre abcissa igual à ordeada Sedo x a abcissa de A e sedo c a cota de E, tem-se sempre x + c = 6 c = 6 x.. Seja V ( x ) o volume da pirâmide, em fução de x x ] 0,6[ Mostremos que 3. 4 V x = 8x x : ora a pirâmide tem uma base quadrada com aresta x 3 e tem altura c = 6 x, o seu volume é 4 V ( x) = 4x ( 6 x) V ( x) = ( 4x 4x ) = 8x x Admitamos que x =. Idiquemos, para este caso, as coordeadas dos potos A (,,0 ), B(,,0 ) e E( 0,0,5 ) porque c = 6 = 5 e determiemos uma equação cartesiaa do plao ABE. AB =,,0,,0 =,0,0 AE = 0,0,5,,0 =,,5 é um vector ormal ao plao etão: Seja ( x, y,z) e AB = 0 ( x, y,z) (,0,0 ) = 0 x = 0 x = 0 AE = 0 ( x, y,z) (,,5 ) = 0 x y + 5z = 0 y = 5z Fazedo z x, y,z = as coordeadas de são ( 0,5,) Professora: Rosa Caelas 6 Ao Lectivo 00/0

7 A equação de ABE é da forma 5y z D = D D = 5 A equação de ABE é 5y + z = 5 + = e fazedo ( x, y,z) (,,0 ) = teremos. Cosideremos, um referecial o.. Oxyz, a superfície esférica E, de equação x + y + z = 4 Para um certo valor de α pertecete ao itervalo ( tg,se, cos ) π 0,, o poto P, de coordeadas α α + α, pertece à superfície esférica E, o que sigifica que tgα + seα + + cos α = 4 tg α + se α + cos α = 4 tg α = 4 porque π se α + cos α = e porque α 0, será tg 3 tg 3 α = α = α = Determiemos os valores uméricos das coordeadas do poto π π π P tg,se, + cos P 3,, + P 3,, π 3 3. Na figura está represetada, em referecial o.. xoy, parte do gráfico de uma fução f, bem como as duas assítotas deste gráfico. Tal como a figura sugere: a origem do referecial pertece ao gráfico de f. uma das assítotas é paralela a Ox a outra assítota é paralela ao eixo Oy e itersecta o eixo Ox o poto de abcissa. 3.. Seja g a fução, de domíio R, defiida por g( x) = 3x + 9. Tedo em cota o gráfico de f e a expressão aalítica de g resolvamos a iequação f ( x) g( x) 0. x f x ND + g( x ) g( x) ND + f x f ( x) g( x) 0 x ], 3] [ 0,[ 3.. Admitamos agora que: a assítota do gráfico de f paralela ao eixo das abcissas tem equação y = 3 Professora: Rosa Caelas 7 Ao Lectivo 00/0

8 f é defiida por uma expressão do tipo úmeros reais. Cocluímos que b b 0 = b 6 0 = = Os valores são a = 3, b = 6 e c =. b f x = a + ode a,b e c e desigam x c b f x = 3 + e como o gráfico de f passa a origem. x 4. Durate os esaios de um motor, a velocidade de rotação do seu eixo variou, ao logo dos 3 primeiros oito miutos da experiêcia, de acordo com a fução v ( t) = t 5t + 63t, ode t desiga o tempo (medido em miutos), cotado a partir do iício da experiêcia, e v ( t ) desiga a velocidade de rotação do eixo do motor (medida em ceteas de rotações por miuto). 4.. Por processos exclusivamete aalíticos, determiemos qual foi a velocidade máxima atigida, os primeiros oito miutos da experiêcia. Calculemos a derivada de v: v ( t) = 3t 30t + 63 Calculemos os seus zeros: 0 ± v ( t) = 0 3t 30t + 63 = 0 t 0t + = 0 t = t = 3 t = 7 Estudemos o sial da derivada para cocluirmos a mootoia de v x v x v ( x ) ր M ց m ր 3 A velocidade máxima é v ( 3) = = 8 ceteas de rotações por miuto. 4.. Recorredo às capacidades gráficas da calculadora, determiemos durate quato tempo é que, os primeiros oito miutos da experiêcia, a velocidade de rotação do eixo do motor foi superior a 6000 rotações por miuto. A resolução desta questão traduz-se pela iequação v ( t) > 60 Professora: Rosa Caelas 8 Ao Lectivo 00/0

9 Nos primeiros oito miutos da experiêcia, a velocidade de rotação do eixo do motor foi superior a 6000 rotações por miuto durate 4 miutos e 5 segudos. 5. Cosideremos a seguite sequêcia de figuras em que o quadrado tem cm de lado. Em cada quadrado, os círculos são geometricamete iguais. 5.. Sejam ( c ) a sucessão do úmero de círculos existetes em cada figura, ( ) r a sucessão das medidas dos raios, ( a ) a sucessão das medidas das áreas coloridas e ( ) sucessão das medidas das áreas ão coloridas as diversas figuras 5... Defia, cada sucessão, por recorrêcia. b a ( c ) :,,4,8,... c = c : c+ = c, IN r :,,,, r = r = r, IN r : + a : π, π,4 π,8 π, a : π, π, π, π, b : 4 π,4 π,4 π,4 π, a = π a = a, IN a : + b = 4 π b = b 4 + 4, IN b : + ( ) 5... Defiamos, cada sucessão, pelo seu termo geral. c =, r =, a = π e b = 4 π 5.. Estudemos quato à mootoia ( c ) e ( ) r. Professora: Rosa Caelas 9 Ao Lectivo 00/0

10 c c = = =. Dado que moótoa crescete. c+ c é uma sucessão de termos positivos c > c > c, IN, ( c ) é + + r + + = = = r Dado que moótoa decrescete. r + r é uma sucessão de termos positivos r 5.3. Estude, cada sucessão, quato à limitação. < r < r, IN, ( r ) é ( c ) ão é limitada por ser uma progressão geométrica de razão maior que. ( r ) é limitada por ser uma progressão geométrica de razão etre - e. Os seus termos estão o itervalo [ 0, ]. Porque os seus termos são todos positivos 0 é miorate do cojuto dos seus termos e porque é decrescete o primeiro termo que é é majorate do cojuto dos termos da sucessão. ( a ) é limitada por ser uma progressão geométrica de razão etre - e. Os seus termos estão o itervalo [ 0,π ]. Porque os seus termos são todos positivos 0 é miorate do cojuto dos seus termos e porque é decrescete (por ser progressão geométrica com razão etre 0 e ) o primeiro termo que é π é majorate do cojuto dos termos da sucessão. ( b ) é limitada porque sedo π sempre positivo, b = 4 π + será sempre meor que 4 e 4 é majorate do cojuto dos termos e porque a área ão pitada é sempre positiva 0 é miorate do cojuto dos termos Provemos que ( a ) é uma progressão geométrica de razão. + π a + + = = = a π Professora: Rosa Caelas 0 Ao Lectivo 00/0

11 Escola Secudária com 3º ciclo D. Diis º Ao de Matemática A Tema III Sucessões Reais TPC º Critérios de classificação ª Parte 50 Questão Resposta D D C A C ª Parte Escrever c = 6 x Calcular o volume em fução de x Calcular AB e AE Calcular 7 Calcular D 3 Cocluir a expressão do plao 3. 0 Substituir as coordeadas a equação 5 Ecotrar a equação tgα = 3 5 Resolver a equação 5 Ecotrar os valores exactos das coordeadas Tabela de sial 5 Resposta Cocluir que b f x = x Cálculo de b 5 Resposta Professora: Rosa Caelas Ao Lectivo 00/0

12 4.. 5 Calcular a derivada 6 Calcular os zeros da derivada 6 Tabela de estudo da mootoia 9 Dar a resposta calculado o máximo Escrever a iequação v ( t) > 60 5 Gráfico com os potos especiais assialados 0 Calcular o itervalo de tempo 6 Dar a resposta a forma pedida Total 00 Professora: Rosa Caelas Ao Lectivo 00/0