ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 12º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO 12º A1. Grupo I

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO º A Grupo I As três questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são idicadas quatro alterativas, das quais só uma está correcta. Escreva a sua folha de respostas a letra correspodete à alterativa que seleccioar para cada questão. Se apresetar mais do que uma resposta, a questão será aulada, o mesmo acotecedo se a letra trascrita for ilegível. Não apresete cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 9 potos, cada perguta errada, ão respodida, ou aulada, vale 0 (zero) potos.. De uma progressão geométrica ( a ), sabe-se que a razão é. Qual das seguites afirmações é verdadeira? (A) ( a ) é estritamete decrescete (B) ( a ) (C) ( a ) é estritamete crescete (D) ( a ) é um ifiitamete grade é limitada. Na figura, está represetada parte do gráfico de uma sucessão ( u ). A sucessão está defiida por uma das codições seguites. Qual? (A) u = (B) u (C) u = (D) u u = = u u+ = u = = u+ = u. Laça-se um dado tetraédrico com as faces umeradas de a e obtém-se o valor de k a sucessão de termo geral v = k. Qual é a probabilidade de obter uma sucessão covergete? (A) 0 (B) (C) (D) PROFESSORA: Rosa Caelas º A 00/006

2 Grupo II Neste grupo são-lhe apresetadas quatro afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas.. Par cada uma delas deve idicar: o O valor lógico da afirmação. o Um exemplo, ou cotra-exemplo. o A justificação da razão pela qual o exemplo aterior justifica a verdade ou falsidade da afirmação. a. Toda a sucessão que tede para + é crescete. b. O iverso de um ifiitésimo de termos positivos é uma sucessão covergete. c. Uma sucessão ifiitamete grade positiva ão é majorada. d. Todo o ifiitamete grade egativo é uma sucessão decrescete. Grupo III Nas questões deste grupo apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações ecessárias. Ateção: quado ão é idicada a aproximação que se pede para um resultado, pretede-se sempre o valor exacto.. Com os algarismos,, e, uma máquia gera úmeros aleatórios com três algarismos diferetes. Se o algarismo faz parte do úmero apresetado pela máquia o jogador obtém potos positivos; caso cotrário obtém potos egativos (- )... Quatos úmeros de três algarismos diferetes pode a máquia apresetar?.. Numa jogada cosidere o acotecimeto A: «obter potuação positiva». Determie a probabilidade do acotecimeto A. Apresete o resultado sob a forma irredutível... Demostre a propriedade p( A) = p( A ), sedo A um acotecimeto qualquer de um espaço de resultados E e A o acotecimeto cotrário de A... Dê exemplos, em liguagem correte e em extesão, de:... um acotecimeto elemetar.... dois acotecimetos cotrários.... dois acotecimetos icompatíveis mas ão cotrários. PROFESSORA: Rosa Caelas º A 00/006

3 . Numa gaiola de um jardim zoológico estão 0 ratos, us pretos e outros bracos, descohecedo-se quatos são de cada cor. Admita que se retira um rato da gaiola, regista-se a cor e devolve-se de ovo o rato à gaiola. Esta experiêcia foi realizada várias vezes, tedo-se obtido os seguites resultados: Nº de experiêcias Nº de ratos bracos Nº de ratos pretos Com base os dados da tabela, qual a previsão que faz para o úmero de ratos bracos e para o úmero de ratos pretos? Fudamete a sua resposta.. As figuras a seguir foram costruídas com círculos bracos e círculos cizetos. Para costruir esta sequêcia de figuras, os círculos cizetos foram colocados apeas as bordas e os bracos apeas o iterior. Cotiuado este procedimeto, calcule a probabilidade de, escolhedo ao acaso um círculo da 00ª figura, ele ser cizeto..... O AUTO-HEXÁGONO é um stad de veda de automóveis. Efectuou-se um estudo sobre as vedas de automóveis este stad, o qual revelou que: % dos clietes compram automóvel com alarme e com rádio; 0% dos clietes compram automóvel sem alarme e sem rádio: % dos clietes compram automóvel com alarme (com e sem rádio). Um cliete acaba de comprar um automóvel... A Maria, empregada do stad, que ada sabia das preferêcias desse cliete e ão tomou cohecimeto do equipameto do automóvel que ele tiha comprado, apostou que esse automóvel estava equipado com rádio, mas ão tiha alarme. Qual a probabilidade de a Maria acertar? Apresete o resultado a forma de percetagem... Alguém iformou depois a Maria de que o referido automóvel viha equipado com alarme. Ela apostou, etão, que o automóvel também tiha rádio. Qual é a probabilidade de a Maria gahar esta aposta? Apresete o resultado a forma de fracção irredutível. PROFESSORA: Rosa Caelas º A 00/006

4 COTAÇÕES Grupo I... 7 Cada resposta certa... 9 Cada questão ão respodida ou aulada... 0 Grupo II a.... b.... c d Grupo III TOTAL PROFESSORA: Rosa Caelas º A 00/006

5 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS COIMBRA º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO º A proposta de resolução Grupo I. (D) De uma progressão geométrica ( a ), sabe-se que a razão é. Etão ela é ão moótoa por a razão ser egativa e covergete para zero por a razão estar etre - e logo só pode ser limitada.. (B) Na figura, está represetada parte do gráfico de uma sucessão ( u ). A sucessão está defiida pela codição u u = = u u+ = (A) Não pode ser porque o º termo da sucessão ão é zero. (C) Não pode ser porque os º e º termos ão são egativos (D) Não pode ser porque os º e º termos ão são egativos. (D)Laça-se um dado tetraédrico com as faces umeradas de a e obtém-se o valor de k a sucessão de termo geral v = v = v =, v v k. As sucessões obtidas têm termos gerais = =, v = v = e v = v = A probabilidade de obter uma sucessão covergete é por todas serem covergetes a primeira tede para 0, e as restates para zero. PROFESSORA: Rosa Caelas º A 00/006

6 Grupo II Afirmações Valor lógico Exemplos Justificação a. Toda a sucessão que tede para + é crescete. b. O iverso de um ifiitésimo de termos positivos é uma sucessão covergete. c. Uma sucessão ifiitamete grade positiva ão é majorada. d. Todo o ifiitamete grade egativo é uma sucessão decrescete. Falsa ( ) Falsa Verdadeira a = 0 A sucessão tede para + e ão é crescete por ão ser moótoa A sucessão b = ( b ) é um ifiitésimo de termos positivos e o seu iverso c = é ifiitamete grade positivo, logo ão é covergete. u = A sucessão é ifiitamete grade positiva e ão tem majorate por os seus termos serem maiores do que qualquer úmero tão grade quato quisermos v = 0 A sucessão tede para e ão é decrescete por ão ser moótoa. Falsa ( ) Grupo III. Com os algarismos,, e, uma máquia gera úmeros aleatórios com três algarismos diferetes. Se o algarismo faz parte do úmero apresetado pela máquia o jogador obtém potos positivos; caso cotrário obtém potos egativos (- )... A máquia pode apresetar úmeros de três algarismos diferetes, como se vê a árvore ao lado... Numa jogada cosidere o acotecimeto A: «obter potuação positiva». O acotecimeto A é «obter potuação egativa» e pode represetar-se por A = {,,,,,}. A probabilidade é 6 ( ) = e sob a forma irredutível é p( A) p A =... Da figura e da defiição de acotecimetos cotrários resulta que A A= e A A = E. Aplicado o º Axioma da Axiomática de Kolmogorov vem: P( A A) = P( E) P( A) + P( A) = P( E) e pelo º PROFESSORA: Rosa Caelas 6 º A 00/006

7 Axioma da Axiomática de Kolmogorov resulta que P( A) + P( A) = P( E) P( A) + P( A) =. Resolvedo a última igualdade em ordem a P( A ) resulta o que pretedíamos provar: p( A) = p( A ), A P(E).. Exemplos, em liguagem correte e em extesão, de:... um acotecimeto elemetar é «sair o úmero», em extesão será { }... dois acotecimetos cotrários são: «obter potuação egativa» em extesão {,,,,, } e «obter potuação positiva» em extesão {,,,,,,,,,,,,,,,,, }... dois acotecimetos icompatíveis mas ão cotrários são «sair o úmero» e «sair o úmero», em extesão { } e { }.. Numa gaiola de um jardim zoológico estão 0 ratos, us pretos e outros bracos, descohecedo-se quatos são de cada cor. Admita que se retira um rato da gaiola, regista-se a cor e devolve-se de ovo o rato à gaiola. Esta experiêcia foi realizada várias vezes, tedo-se obtido os seguites resultados: Nº de experiêcias Nº de ratos bracos Freq. Relativa de ratos bracos 0,7 0,6 0,79 0,79 0,798 0,798 0,80 0,800 Nº de ratos pretos Com base os dados da tabela e aplicado a Lei dos Grades Números, cocluo que a probabilidade de se extrair um rato braco é 0,8 pelo que há 0 ( 0 0,8) ratos bracos e portato 0 ratos pretos.. As figuras a seguir foram costruídas com círculos bracos e círculos cizetos. Para costruir esta sequêcia de figuras, os círculos cizetos foram colocados apeas as bordas e os bracos apeas o iterior.... PROFESSORA: Rosa Caelas 7 º A 00/006

8 Cotiuado este procedimeto, a probabilidade de, escolhedo ao acaso um círculo da ª figura, ele ser cizeto será p = = porque a 00ª figura haverá círculos bracos e 00 + = 006 círculos cizetos. Na 00ª figura há etão 006 círculos cizetos em 6008 círculos.. O AUTO-HEXÁGONO é um stad de veda de automóveis. Efectuou-se um estudo sobre as vedas de automóveis este stad, o qual revelou que: % dos clietes compram automóvel com alarme e com rádio; p( A R) = 0, 0% dos clietes compram automóvel sem alarme e sem rádio: p( A R) = 0, % dos clietes compram automóvel com alarme (com e sem rádio): p( A) = 0, Daqui podemos tirar que p( A R) = 0, 0, = 0, e que pr ( A) = ( 0,+ 0,) = 0, Um cliete acaba de comprar um automóvel... A Maria, empregada do stad, que ada sabia das preferêcias desse cliete e ão tomou cohecimeto do equipameto do automóvel que ele tiha comprado, apostou que esse automóvel estava equipado com rádio, mas ão tiha alarme. A probabilidade de a Maria acertar é p( R A) = %.. Alguém iformou depois a Maria de que o referido automóvel viha equipado com alarme. Ela apostou, etão, que o automóvel também tiha rádio. pr ( A) 0, A probabilidade de a Maria gahar esta aposta é pr/a ( ) = = =. p A 0, A 0% ( ) 0% % % R PROFESSORA: Rosa Caelas 8 º A 00/006