Proposta de teste de avaliação

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1 Proposta de teste de avaliação Matemática. O NO DE ESOLRIDDE Duração: 90 miutos Data:

2 adero (é permitido o uso de calculadora) Na resposta aos ites de escolha múltipla, selecioe a opção correta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra que idetificam a opção escolhida.. Fixado um referecial ortoormado do espaço cosidere a pirâmide de vértice V cuja base é o quadrado [ BD ]. Sabe-se que: os potos V e têm coordeadas ( 5, 8, ) e (,, 4) respetivamete;, V o poto pertece à reta defiida pela codição x = y = 0 ; a base da pirâmide está cotida o plao α de equação x + y + z = 0. D B.. Mostre que o poto tem coordeadas (, 0, 4)... Determie a amplitude do âgulo V. presete o resultado em graus arredodado às uidades... Determie uma equação vetorial de uma reta r que passa o vértice V e é perpedicular à base..4. Mostre que a medida da altura da pirâmide é igual a 9 uidades de comprimeto..5. Determie a medida do volume da pirâmide..6. Sabe-se que o poto B tem coordeadas ( k, k, 0) abcissa do poto B é: e que V B =. () (B) () (D) Proposta de teste de avaliação Matemática,. o ao Págia

3 . s medidas de amplitude dos âgulos iteros de um hexágoo covexo estão em progressão aritmética. Sabedo que a medida da amplitude do meor âgulo é 90º, determie a medida da amplitude do maior âgulo. [Recorde que a soma das medidas das amplitudes dos âgulos iteros de um polígoo de lados, em graus, é igual a 80.]. No triâgulo [ B ] da figura, B =, B =, e B = 0º. 0º B, medida do comprimeto do lado [ ] é igual a: (),5 (B),8 () (D),8 Fim do cadero OTÇÕES (adero ) Item otação (em potos) adero (ão é permitido o uso de calculadora) Na resposta aos ites de escolha múltipla, selecioe a opção correta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra que idetificam a opção escolhida. 4. De uma sucessão O limite de ( u ) é igual a: () 0 (B) u sabe-se que N, u+ = u. () (D) + Proposta de teste de avaliação Matemática,. o ao Págia

4 5. osidere as sucessões ( u ) e ( ) v defiidas por: u = u u+ =, N e v = u 5.. Prove, por idução matemática, que N, u = Mostre que ( v ) é uma progressão geométrica. 5.. Seja S a soma dos primeiros termos de O valor de lim S é: v. () 0 (B) 9 () 9 4 (D) + 6. De uma sucessão u sabe-se que N, u+ = u O que pode afirmar quato à mootoia de ( u )? Justifique. 6.. Se u = a, etão u é igual a: () a (B) a + () a (D) a + 7. alcule o limite das sucessões cujo termo geral se idica, idetificado as idetermiações ecotradas. 7.. u = v + + cos = π Fim da prova OTÇÕES (adero ) Item otação (em potos) Total TOTL (adero + adero ) 00 Proposta de teste de avaliação Matemática,. o ao Págia 4

5 Proposta de resolução. V ( 5, 8, ) e (,, 4) adero.. Dado que o poto pertece à reta defiida pela codição x y 0 omo α : x y z =, vem Logo, (, 0, 4)... (, 0, 4), V ( 5, 8, ) e (,, 4) V = V = (, 0, 4) ( 5, 8, ) = ( 6, 8,) V = V =,, 4 5, 8, = 4, 6, 7 ( ) cos cos, V V V = V V = = V V = =, tem-se (, 0, c) c = 0 + c = 0 c = 4 6, 8, 4, 6, = = = 6, 8, 4, 6, = = Se 65 cos( V ) =, etão V 50º. 0 u,, é perpedicular ao plao da base defiido por x + y + z = 0... O vetor Logo, o vetor u é um vetor diretor da reta r. omo V ( 5, 8, ), uma equação vetorial da reta r é x, y, z = 5, 8, + k,,, k R..4. medida da altura da pirâmide é igual a VE, sedo E o poto de iterseção da reta r com o plao α. x, y, z = 5, 8, + k,,, k R x = 5 + k y = 8 + k z = + k, k R 5 + k, 8 + k, + k, k R Logo, qualquer poto da reta r é da forma: O poto E é o poto da reta r que pertece ao plao α. Etão, as suas coordeadas satisfazem a equação x + y + z = 0, ou seja: ( k ) ( k ) ( k ) = k k + + k = 0 9k = 7 k = Portato, o poto E tem coordeadas: ( 5 + ( ), 8 + ( ), ) = (,, 0) VE = E V = = (,, 0) ( 5, 8, ) ( 6, 6, ) VE = = = 8 = 9 altura da pirâmide é igual a 9 uidades de comprimeto. D V B Proposta de teste de avaliação Matemática,. o ao Págia 5

6 V = altura base da pirâmide é um quadrado de lado x e medida da diagoal igual a..5. pirâmide base (, 0, 4) e (,, 4) = = = = + + = x + x = (,, 4) (, 0, 4) (,, 8) 8 7 x = 7 x = 7 x = 6 Área da base = 6 u.a. V pirâmide = 6 9 = 08 u.v..6. (, 0, 4), B( k, k, 0) e V ( 5, 8, ) V = V = ( 6, 8, ) = ( 6, 8, ) B = B = k, k, 0, 0, 4 = k +, k, 4 V B = 6, 8,. k +, k, 4 = 6k k + 4 = k = 6 k = abcissa do poto B é k, ou seja, é igual a. Resposta: () x D x B. Sejam α, α,, α6 as amplitudes, em graus, dos âgulos iteros do hexágoo. α = 90º α = +, sedo r a razão da progressão aritmética. 6 α 5r α + α + α + α4 + α5 + α6 = 6 80, em graus α + α = ( α α r) = α + 5r = r = 40 5r = r = 5 r = α6 = α + 5r = = 50 medida da amplitude do maior âgulo é 50º. Proposta de teste de avaliação Matemática,. o ao Págia 6

7 . Pelo Teorema de arot, temos: b = a + c ac cos B b =, +, cos0º b, ,8 cos 80º 60º = + b = 5, ,8 cos 60º b = 5,44 + 4,8 c = B b 0º a =, b 5, 44,4 b 7,84 = + = Logo, b = 7,84 =,8 Resposta: (B) 4. Se, u+ = u N, adero u é uma progressão geométrica de razão. Portato, limu = lim u = lim u = u 0 = 0 Resposta: () 5. u = u u+ =, N e v = u 5.. Pretedemos provar que N, u = + Para =, temos u = + = + =, que é uma proposição verdadeira. dmitido, para dado N, que 4 + u u + = = = = (por hipótese) = = + = ( + ) = + = + u = +, temos de provar que u Fica, assim, provada a hereditariedade da propriedade. ( + ) = + +. Pelo pricípio de idução matemática, pode-se cocluir que N, u = N, v = u = + = v v + ( + ) = ( ) = + = = = = v+ omo, = v N, v é uma progressão geométrica de razão r =. Proposta de teste de avaliação Matemática,. o ao Págia 7

8 r 5.. S = v, v = = e r r = lim 0 9 lim S = lim = = = = Resposta: (B) N, u, + = u + N u u + = 6.. u N > 0 > 0 > Logo, a sucessão ( u ) ão é moótoa, pois: para =, u u = = < 0 para =, u u = = > 0 ou seja, u < u e u > u. = a u = u + = a + = a u = u + = a + = a Resposta: () limu lim = = lim = lim = = lim = lim = = = cos cos cos + lim v = lim = lim = lim = 4 + π π π 4 cos cos = lim = lim = = 4 4 π π dado que lim cos = 0 4 por ser o produto de uma sucessão limitada por uma π π sucessão de limite ulo e lim = 0 porque 0 < <. 4 4 Proposta de teste de avaliação Matemática,. o ao Págia 8