Novo Espaço Matemática A 12.º ano Preparação para o Teste Intermédio

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1 Novo Espaço Matemática A.º ao Preparação para o Teste Itermédio Nome: Ao / Trma: N.º: Data: / / GRUPO I Os cico ites deste grpo são de escolha múltipla. Em cada m deles, são idicadas qatro opções, das qais só ma está correta. Escreve a ta folha de respostas apeas o úmero de cada item e a letra correspodete à opção qe selecioares para respoder a esse item. Não apresetes cálclos em jstificações. Se apresetares mais do qe ma opção, a resposta será classificada com zero potos, o mesmo acotecedo se a letra trascrita for ilegível.. Escolhem-se, ao acaso, três vértices distitos de ma pirâmide octogoal reglar. Qal é a probabilidade de esses três vértices serem os vértices de ma face lateral da pirâmide?! (A) (B) () (D) Na figra, está represetada, em referecial o.. Oy, ma circferêcia defiida pela eqação y =. Sabe-se qe: os potos A, B, e D pertecem à circferêcia, sedo e D potos do eio das abcissas; OA ˆ = α ; AOB ˆ = θ ; BOD ˆ = β ; OA. OB = (prodto escalar do vetor OA pelo vetor OB ). si α β? Qal é o valor de D B β y O θ α A (A) (B) () 7 (D) 7 g =.. Sejam f e g das fções de domíio R, sedo Na figra, em referecial o.. Oy, está parte da represetação A, gráfica da fção f (fção derivada de f). O poto pertece ao gráfico de f. Qal é o valor de f g? (A) (B) () (D)

2 Novo Espaço Matemática A.º ao Preparação para o Teste Itermédio. Sabe-se qe e k ek lim =. 0 Qal é o valor de k? (A) l ( ) (B) e () l ( 6 ) (D) 5. Seja f ma fção de domíio R. Na figra, está represetada a fção f, derivada de f. Sabe-se qe: é m zero de f ; a reta = 0 é ma assítota do gráfico de f ; f é ma fção estritamete crescete em Qal das segites afirmações é verdadeira? R. ( f f ) f (A) > 0 (B) ( π) f ( π) f f f < 0 () f f > 0 (D) f f f < 0

3 Novo Espaço Matemática A.º ao Preparação para o Teste Itermédio GRUPO II Nas respostas aos ites deste grpo apreseta todos os cálclos qe tiveres de efetar e todas as jstificações ecessárias. Ateção: Qado, para m resltado, ão é pedida a aproimação, apreseta sempre o valor eato.. Na figra, está represetada ma pirâmide retaglar [OPQRV], em referecial o.. Oyz. z V P A O Q R B y Sabe-se qe:. a reta AB é defiida por y = 6 z = 0 ;, 0, 0 0, ;. o poto P tem de coordeadas ( ), com ] [. o vértice V tem de coordeadas ( 0, 0, ), com ] 0,[. o poto Q pertece à reta AB ;. o poto R pertece a Oy ;. PQ//Oy e QR//O. ;.. Seja g a fção qe a cada valor de, abcissa do poto P, faz correspoder o volme da pirâmide. g = 0, Mostra qe: ] [.. Determia as coordeadas dos vértices da pirâmide qe admite volme máimo.

4 Novo Espaço Matemática A.º ao Preparação para o Teste Itermédio. osidera todos os úmeros de três algarismos distitos qe se podem formar com os algarismos:,,,, 5, 6 e 7. Escolhe-se, ao acaso, m desses úmeros. Sejam os acotecimetos: A: o úmero é múltiplo de 5 B: a soma dos algarismos é m úmero ímpar Determia P ( B A ) (probabilidade codicioada). Apreseta o resltado a forma de fração irredtível.. osidera a fção f, de domíio =. Na figra, em referecial o.. Oy, está parte da represetação gráfica da fção f. A, pertece ao gráfico de f. O poto R, defiida por f l Resolve os ites segites recorredo a métodos aalíticos... Seja θ a amplitde, em radiaos, da icliação da reta tagete ao gráfico de f o poto A. 7π 5 Mostra qe si θ =. 5.. Seja P m poto de abcissa qe se desloca ao logo do gráfico de f e g a fção qe a cada, abcissa de P, faz correspoder a soma das distâcias de P aos eios coordeados.... Mostra qe = l ( e ) g.... Determia a abcissa do poto P, sabedo qe a soma das distâcias de P aos eios coordeados é míima. = e f.. Seja f ma fção de domíio R, sedo ( ) f l h f l 9l.. Mostra qe lim =. h 0 h.. Seja r a reta defiida pela eqação y = 5. Mostra qe eiste m poto do gráfico de f, de abcissa pertecete ao itervalo ], [, em qe a reta tagete ao gráfico esse poto é paralela à reta r.

5 Novo Espaço Matemática A.º ao Preparação para o Teste Itermédio 5. osidera a família de fções f, de domíio R, tais qe: e e se < 0 f = k se = 0, k R l se > Determia k de modo qe f seja cotía em ],0]. 5.. Estda a fção f qato à eistêcia de assítotas do se gráfico. 5.. Seja h a restrição de f a R e g a fção defiida por g =. Recorredo às capacidades gráficas da calcladora determia a área do triâglo [AOB], sabedo qe a abcissa de A é zero da fção h e B é o poto de iterseção dos gráficos de h e de g. Apreseta o resltado arredodado às décimas. Na resolção deste item deves: reprodzir, m referecial, os gráficos das fções h e g qe visalizas a calcladora, cosiderado a jaela em qe [ 0, ] e [, ] y ; idicar a abcissa do poto A, arredodada às milésimas; idicar as coordeadas do poto B, arredodadas às milésimas; idicar a área do triâglo [OAB] arredodada às décimas. FIM Grpo I Grpo II otações 5 Total

6 Novo Espaço Matemática A.º ao Preparação para o Teste Itermédio FORMULÁRIO GEOMETRIA omprimeto de m arco de circferêcia α r (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Áreas de figras plaas Losago: Trapézio: Diagoal maior Diagoal meor Base maior Base meor Altra Polígoo reglar: Semiperímetro Apótema αr Setor circlar: (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Áreas de sperfícies Área lateral de m coe: π r g (r raio da base; g geratriz) Área de ma sperfície esférica: (r raio) Volmes π r Pirâmide: Área da base Altra oe: Área da base Altra Esfera: r π (r raio) TRIGONOMETRIA si a b = si a cos b si b cos a cos a b = cos a cos b si a si b tg tg a tg b = tg a tg b ( a b) OMPLEXOS ( ρ cis θ ) = ρ cis ( θ ) θ ρ cis θ ρ cis k π = k 0,..., e N { } PROBABILIDADES µ = p p σ = p µ p µ Se X é N ( µ, σ ), etão: ( µ σ < < µ σ ) 0 67 P X, ( µ σ µ σ ) P < X < 0, 955 ( µ σ µ σ ) P < X < 0, 997 REGRAS DE DERIVAÇÃO ( v )'@ ' v ' ' v v' ' v v' v ( )'@ ' ( R) ( si ) ( cos ) '@ ' cos '@ ' si ' cos ( tg )'@ ( e )'@ ' e ( a )'@ ' a I a ( a R \{ } ) ( I ) ' '@ ' I a ( log )'@ a R \{ } a LIMITES NOTÁVEIS lim = e si lim = 0 e lim = 0 I ( ) lim = 0 I lim = 0 e lim = p R p ( N ) 6