ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II

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1 Tema II Itrodução ao Cálculo Diferecial II TPC º 7 Etregar em O João é coleccioador de cháveas de café. Recebeu como preda um cojuto de 0 cháveas, todas diferetes em que 4 são douradas e 6 prateadas. Vai colocar as dez cháveas um expositor, como é sugerido a figura, que tem a capacidade para doze cháveas, seis em cima e seis em baixo. De quatas maeiras diferetes é possível distribuir as 0 cháveas pelos lugares, de modo que em cada prateleira fiquem cico cháveas, sedo duas douradas.. Determie o valor de 4 lim lim lim 3. Cosidere a fução real de variável real f defiida por graficamete a figura. 3.. Determie os valores do domíio para os quais f(x) < Sabe-se que A, B e C são os potos de itersecção do gráfico de f com os eixos e D é um poto do gráfico da fução tal que CD//AB. Recorredo à calculadora e cosiderado que a uidade do referecial é o cetimetro, calcule a área do trapézio [ABCD]. Apresete o resultado arredodado às cetésimas. f(x) = 4e e x e represetada 4. Um idivíduo depositou uma cota a prazo um capital C, à taxa de juro omial t %, sedo os juros capitalizados aualmete. Para cohecer o capital modelo matemático: C, ao fim de aos, a istituição foreceu ao idivíduo o seguite = C ( + 0,0 t) Demostre, por idução matemática, a validade deste modelo. C Professora: Rosa Caelas

2 Tema II Itrodução ao Cálculo Diferecial II TPC º 7 proposta de resolução. Existem 6 C 6 C 4 C 5 A 5 A 6! = maeiras diferetes. 5 5 Comecemos por escolher de etre os 6 locais possíveis (em cada uma das prateleiras) 5 locais para colocar as cháveas, ou seja, existem 6 C5 maeiras possíveis, como são duas prateleiras temos 6 C 6 C. 5 5 Para cada escolha efectuada vamos ter de escolher as cháveas douradas para colocar uma das prateleiras. Existem 4 C maeiras de o fazer e automaticamete ficam escolhidas as cháveas douradas para a outra prateleira. Em seguida, para cada prateleira, dos cico lugares escolhidos vamos escolher dois para colocar as cháveas douradas, e como elas são diferetes existem 5 A 5 A modos diferetes. Fialmete vamos colocar as 6 cháveas prateadas os 6 lugares previamete escolhidos. Como as cháveas são diferetes temos 6! maeiras possíveis.. Determiemos o valor de lim lim e e 5 = + = = = e lim lim 3 lim lim lim lim + 6 = 6 = = = e e e e 6 = = = = e lim lim lim = = = lim lim = ( e ) = e = 6 e Professora: Rosa Caelas

3 3. Cosidere a fução real de variável real f defiida por graficamete a figura. 3.. Determie os valores do domíio para os quais f(x) < 0. Comecemos por determiar os zeros de f. f(x) = 4e e x e represetada x x f(x) = 0 4e e x = 0 e (4 x ) = 0 e = 0 4 x = 0 x = x =. Por aálise do gráfico da fução f(x) < 0 x < x >. Ou aaliticamete: x - + e x x f (x) Os valores do domíio que verificam a codição são todos os valores de x que pertecem ao itervalo ], [ ], + [. 3.. Sabe-se que A, B e C são os potos de itersecção do gráfico de f com os eixos e D é um poto do gráfico da fução tal que CD//AB. A área do trapézio é dada por Como é 4 e OC = 4 AB + CD A = OC 0 0 f(0) = 4e e 0 = 4 etão a ordeada de C A equação da recta CD é y = 4, para determiarmos a abcissa de D vamos resolver a equação f( x) = 4 4e e x = 4 Utilizemos a calculadora: Ao memorizarmos o valor da abcissa de D ficamos com a medida de CD. Professora: Rosa Caelas 3

4 Do exercício aterios ficámos com os valores dos zeros x = x = dode cocluímos que AB = 4 Feitos os cálculos cocluimos ser, 67 cm o valor arredodado às cetésimas da área do trapézio. 4. Um idivíduo depositou uma cota a prazo um capital C, à taxa de juro omial t %, sedo os juros capitalizados aualmete. Para cohecer o capital modelo matemático: C, ao fim de aos, a istituição foreceu ao idivíduo o seguite C = C ( + 0,0 t) Demostremos, por idução matemática, a validade deste modelo. Verifiquemos se o modelo é válido quado = 0 altura em que o diheiro é depositado. ( ) 0 C = C + 0,0t C = C como pretedíamos mostrar 0 0 Verifiquemos agora se sedo válida ao fim de aos a fórmula aida é válida ao fim de + aos ( ) ( ) + = + + = + C C 0,0t C C 0,0t Se ao fim de aos o capital é C ( + 0,0t) e vai reder uma taxa de t% o ao seguite (ao fim de + aos) o capital devia ser ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + C = C + 0,0t + 0,0t C + 0,0t = + C + 0,0t + 0,0t = C + 0,0t Verificada que está o modelo para = 0 e verificado-se aida que o modelo é hereditário fica provado pelo pricípio de Idução Matemática que a fórmula é válida para qualquer valor de. Professora: Rosa Caelas 4

5 Tema I Probabilidades e Combiatória CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DO TPC º 7. 5 Potos Resolver correctamete o problema 0 Potos Justificar a resolução 5 Potos. 5 Potos Resolver correctamete o limite 7 Potos Resolver correctamete o limite 0 Potos Resolver correctamete o limite 8 Potos 3. 5 Potos potos Determiar os zeros 5 Potos Resolver a iequação gráfica ou aaliticamete 5 Potos Potos Escrever as coordeadas de A e B ou cocluir a medida da base maior 4 Potos Calcular as coordeadas de C ou cocluir a medida da altura 4 Potos Determiar as coordeadas de D e cocluir a medida da base meor 5 potos Calcular a área Potos 4. 5 Potos Verificar para = 0 5 Potos Escrever a hipótese e a tese de Idução 5 Potos Demostrar a hereditariedade utilizado a Hipótese de Idução. 5 Potos Professora: Rosa Caelas 5