Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II. TPC nº 6 entregar em

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1 Escola Secudária com 3º ciclo D. Diis º Ao de Matemática A Tema II Itrodução ao Cálculo Diferecial II TPC º 6 etregar em Um saco cotém bolas azuis e bolas verdes, idistiguíveis ao tacto. Redija, o coteto desta situação, o euciado de um problema de cálculo de probabilidade, ivetado por si, que admita como resposta correcta C 3 + C C5 No euciado que apresetar, deve eplicitar claramete: o úmero total de bolas eistetes o saco; o úmero de bolas de cada cor eistetes o saco; a eperiêcia aleatória; o acotecimeto cuja probabilidade pretede que seja calculada (e cujo valor terá de ser dado pela epressão apresetada).. Determie o valor de.. 4 lim lim lim 3. No referecial da figura ecotram-se represetações gráficas de duas fuções f e g tais que f ( ) = 3 e g( ) 9 =. 3.. Idique o domíio, o cotradomíio e as assímptotas do gráfico da fução: 3... f; 3... g; 3.. Determie, aaliticamete, os valores de para os quais se verifica cada uma das seguites codições: 3... g( ) < 9 ; 3... ( f + g)( ) < ; g( ) f ( ) > Calcule a área do triâgulo [ABC], admitido que a uidade do referecial é o cetímetro Sabe-se que o poto B pertece ao gráfico de uma fução do tipo y k = 3. Determie o valor de k. 4. Um idivíduo depositou uma cota a prazo um capital C, à taa de juro omial t %, sedo os juros capitalizados aualmete. Para cohecer o capital modelo matemático: ( ) C, ao fim de aos, a istituição foreceu ao idivíduo o seguite C = C + 0,0 t Demostre, por idução matemática, a validade deste modelo. Professora: Rosa Caelas

2 Escola Secudária com 3º ciclo D. Diis º Ao de Matemática A Tema II Itrodução ao Cálculo Diferecial II TPC º 6 Proposta de resolução. Um saco cotém bolas azuis e bolas verdes, idistiguíveis ao tacto. Vamos redijir, o coteto desta situação, o euciado de um problema de cálculo de probabilidade, ivetado por ós, que admita como resposta correcta No euciado que vamos apresetar, devemos eplicitar claramete: C 3 + C C5 o úmero total de bolas eistetes o saco; No saco há 0 bolas o úmero de bolas de cada cor eistetes o saco; 7 bolas são azuis e 3 são verdes a eperiêcia aleatória; Retiram-se, simultaeamete, ao acaso, 5 bolas do saco o acotecimeto cuja probabilidade pretede que seja calculada (e cujo valor terá de ser dado pela epressão apresetada). Qual é a probabilidade de pelo meos 4 bolas serem azuis. Um euciado possível é o seguite: Um saco cotém dez bolas, sedo sete azuis e três verdes. Retiram-se, simultaeamete, ao acaso, cico bolas do saco e observa-se a cor de cada bola. Qual é a probabilidade de pelo meos quatro dessas bolas serem azuis?.. Determiemos o valor de lim lim e e 5 = + = = = e 3 + lim lim lim lim + 6 = 6 = = = lim lim 3 lim lim 6 lim e e e e 6 = = = = e Professora: Rosa Caelas

3 lim lim lim = = = lim lim = ( e ) = e = 6 e 3. No referecial da figura ecotram-se represetações gráficas de duas fuções f e g tais que f ( ) = 3 e g( ) 9 =. 3.. Idiquemos o domíio, o cotradomíio e as assímptotas do gráfico da fução: 3... f; Df 3... g; Dg = IR, D f = IR + assímptota é a recta de equação y = 0 = IR, D = ],[ assímptota é a recta de equação y = f 3.. Determie, aaliticamete, os valores de para os quais se verifica cada uma das seguites codições: 3... g( ) 9 < ; 9 < 9 9 < 3 3 > 3 > >. Os valores de para os quais se verifica g( ) < 9 são os úmeros reais do itervalo 3... ( f + g)( ) < ;, < < 0 3 < 3 < < 0 > 0. Os valores de para os quais se verifica ( f + g)( ) < são os úmeros reais do itervalo ] 0,+ [ g( ) f ( ) >. ficamos com 9 > > 0 fazedo y y + > 0. Calculemos os zeros ± + 48 y y + = 0 y = y = 4 y = 3 voltado à epoecial ficamos com y = etão y y + > 0 y ] 4,3[ > < <. Os valores de para os quais se verifica g( ) > f ( ) são os úmeros reais do itervalo ],[ 3.3. Calculemos a área do triâgulo [ABC], admitido que a uidade do referecial é o cetímetro, começado por calcular as coordeadas dos potos A, B e C. A pertece ao gráfico de f e tem abcissa 0, pelo que as suas coordeadas são A ( 0, ) ; B é o poto de iterseção das duas curvas e atededo à iequação que resolvemos em cocluímos que é o poto de abcissa, pelo que as suas coordeadas são B(,3 ) e C é o Professora: Rosa Caelas 3

4 poto do gráfico de g com abcissa 0, pelo que as suas coordeadas são C( 0, ). Etão a base [AB] mede 0 cm e a altura mede cm. A área é A 0 = = 5cm Sabe-se que o poto B(,3 ) pertece ao gráfico de uma fução do tipo y k = 3. Determiemos o valor de k: k k k 3 = 3 3 = 3 = = k k = 4. Um idivíduo depositou uma cota a prazo um capital C, à taa de juro omial t %, sedo os juros capitalizados aualmete. Para cohecer o capital modelo matemático: = ( + 0,0 t ) C, ao fim de aos, a istituição foreceu ao idivíduo o seguite C C Demostremos, por idução matemática, a validade deste modelo. Verifiquemos se o modelo é válido quado = 0 altura em que o diheiro é depositado. ( ) 0 C = C + 0,0t C = C como pretedíamos mostrar. 0 0 Verifiquemos agora se sedo válida ao fim de aos a fórmula aida é válida ao fim de + aos ( ) ( ) + + C = C + 0,0t C = C + 0,0t Se ao fim de aos o capital é C( + 0,0t ) e vai reder uma taa de t% o ao seguite (ao fim de + aos) o capital devia ser ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + C = C + 0,0t + 0,0t C + 0,0t = + C + 0,0t + 0,0t = C + 0,0t Verificada que está o modelo para = 0 e verificado-se aida que o modelo é hereditário fica provado pelo pricípio de Idução Matemática que a fórmula é válida para qualquer valor de em IN 0. Professora: Rosa Caelas 4

5 Escola Secudária com 3º ciclo D. Diis º Ao de Matemática A Tema I Probabilidades e Combiatória TPC º 6 Critérios de correção. 0 O critério que se apreseta tem por base a resposta que, de etre as respostas corretas, é a mais previsível. Na redação do euciado do problema, o aluo deve: Idicar o saco cotém 0 bolas, o total; Idicar que 7 bolas são de uma cor e 3 bolas são de outra cor; Eplicitar a eperiêcia aleatória (apeas se eige que o aluo refira que se retiram cico bolas do saco, ão se eigido que refira que se observa a cor de cada bola); Descreva um acotecimeto em que o úmero de casos favoráveis seja dado por 7 7 C 3 + C 4 5 Na tabela seguite idica-se como deverá ser classificada a redação. Os íveis, e 3 dizem respeito ao desempeho a comuicação em lígua portuguesa, que se apresetam a seguir à tabela: Nível Nível Nível 3 A composição cotempla os quatro potos A composição cotempla apeas 3 potos 3 4 A composição cotempla apeas potos A composição cotempla apeas poto A avaliação das competêcias de comuicação escrita em lígua portuguesa cotribui para valorizar a classificação atribuída ao desempeho o domíio das competêcias específicas da disciplia. Esta valorização é cerca de 0% da cotação do item e faz-se de acordo com os íveis de desempeho a seguir descritos: Nível Descritor 3 Composição bem estruturada, sem erros de sitae, de potuação e/ou de ortografia, ou com erros esporádicos, cuja gravidade ão implique perda de iteligibilidade e/ou de setido. Composição razoavelmete estruturada, com algus erros de sitae, de potuação e/ou ortografia, cuja gravidade ão implique perda de iteligibildade e/ou de setido. Composição sem estruturação aparete, com a preseça de erros graves de sitae, potuação e/ou de ortografia, cuja gravidade implique perda frequete de iteligibilidade e/ou de setido Domíio Cotradomíio Assítotas Professora: Rosa Caelas 5

6 Domíio Cotradomíio Assítotas < 9 9 < 3 3 > 3 > > < < 0 3 < 3 < < 0 > > 3 9 > > 0 fazer y = ] [ y y + > 0 y 4,3 > < < AC = g( 0) f ( 0) Calcular a abcissa de B Calcular a área do triâgulo 3.4. k 3 = 3 k k 3 = 3 = = k k = Verificar a propriedade para = 6 0 Verificar a hereditariedade 0 Cocluir que a propriedade é uiversal Total 7 00 Professora: Rosa Caelas 6