Exame Final Nacional de Matemática Aplicada às Ciências Sociais Época especial

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1 Exame Fial Nacioal de Matemática Aplicada às Ciêcias Sociais Época especial Proposta de resolução 1. Aplicado o primeiro método para o apurameto do vecedor, temos: N o. de votos Total de votos Vecedor Par V-A 1.a preferêcia A V V V V: = 885. a preferêcia V A A A A: 615 V Par V-P 1.a preferêcia P V V V V: = 885. a preferêcia V P P P P: 615 V Par V-R 1.a preferêcia V V R R V: = 915. a preferêcia R R V V R: = 585 V Como o ator V (Vasco Silva) veceu a comparação com todos os restates é o ator vecedor. Aplicado o primeiro método para o apurameto do vecedor, temos: Potuação do ator A: = 3465 Potuação do ator P: = 3495 Potuação do ator R: = 3855 Potuação do ator V: = 4185 Como o ator V (Vasco Silva) é o que tem maior úmero de potos, também é o vecedor decorrete da aplicação deste método. Págia 1 de 7

2 . Ordeado as distâcias etre os cico edifícios registadas a tabela, temos: 109 < 15 < 151 < 166 < 169 < 06 < 07 < 64 < 87 < 309 E3 E5 E1 E4 E E3 E1 E E E5 E1 E3 E3 E4 E E4 E1 E5 E4 E5 Aplicado o algoritmo idicado, obtemos a seguite seleção de arestas e o grafo da figura seguite: I- Aresta E3-E5 (109 m) II- Aresta E1-E4 (15 m) III- Aresta E-E3 (151 m) (ão se cosidera a aresta E1-E, porque se ecotrariam três arestas o vértice E1) (ão se cosidera a aresta E-E5, porque fecharia um percurso sem que todos os vértices estivessem icluídos) (ão se cosideram as arestas E1-E3 e E3-E4, porque se ecotrariam três arestas o vértice E3) IV- Aresta E-E4 (64 m) V- Aresta E1-E5 (87 m) Assim, um possível percurso fial defiido pelo estafeta, com iício e fim o edifício pricipal (E3), é: E5 E3 E5 E1 E4 E E3 E5 E1 E3 E4 E Págia de 7

3 3. Procededo à partilha dos prémios, aplicado o método descrito, temos: Prémios Elemetos da equipa Costaça Deodato Carro Estada Scooter Atribuição temporária Estada Carro + Scooter Total temporário = 65 Desigação B A Prémio usado o ajuste Scooter Total fial 60 + x x Igualado os dois totais fiais e revolvedo a equação que traduz o equilíbrio, vem: 60 + x x x = = 65 x ,1x = 65 0,15x 0,1x + 0,15x = ,5x = 5 x = 5 0,5 x = 0 Desta forma, o úmero total de potos do Deodato é a soma dos potos atribuídos ao carro e 0% dos potos atribuídos à scooter, ou seja: ,8 = = 6 De forma correspodete, a Costaça ficará com um total de potos correspodete à soma dos potos atribuídos à estada e 80% dos potos atribuídos à scooter, ou seja: , = 60 + = 6 Ou seja, os dois elemetos da equipa ficam ambos com o mesmo úmero de potos e a partilha fial dos prémios é: A Costaça recebe estada e 0% da scooter. O Deodato recebe carro e 80% da scooter. Págia 3 de 7

4 Como = 0 correspode ao dia 1 de jaeiro de 000, temos que: a(0) = 1, assim, resolvedo a equação, podemos determiar o valor de b, arredodado às cetésimas: a(0) = 1 = 1 = be 0, be0 1 = 1 + b 1 1 = b b, Iserimos a calculadora gráfica o modelo que dá a percetagem de horas de emissão diárias o dia 1 de jaeiro de cada ao, após o ao 000 (y = ), e visualizamos a tabela de valores 1 + 3,5e 0,5x da fução, procurado os valores compreedidos etre 65 e 74, como está reproduzida a figura ao lado. Assim, podemos verificar que a percetagem de horas de emissão se situou etre 65% e 74%, o dia 1 de jaeiro correspodem a 11, 1 e 13 aos após o ao 000, ou seja os aos: 011, 01 e 013 X Y1 9 60, , , , , , , Como se pode cosultar a tabela do item aterior, o dia 1 de jaeiro de 011, a percetagem de horas de emissão diárias foi de 67,8% (a(11) 67,8). Assim, podemos calcular o úmero de horas de emissão, esse dia: 4 67,8 16,8 horas Como a empresa comprou 1% das horas de emissão, o úmero de horas comprado é: 16,8 1 0,16 horas Traduzido o valor aterior em miutos, arredodado o valor às uidades, temos: 0, miutos Como o tempo adquirido para esta publicidade foi distribuído de igual forma pelos períodos da mahã e da tarde, a empresa terá pago 5 miutos a 0 e e 5 miutos a 100 e, ou seja o custo da publicidade, em euros, foi: = e Págia 4 de 7

5 Começamos por idetificar a marca de classe relativa a cada barra do histograma, calcular a frequêcia relativa simples (a partir da frequêcia relativa absoluta, por subtrações sucessiva), multiplicar a frequêcia relativa simples pela marca de classe (x i fr i ), como se apreseta a tabela seguite: Classes Marca de classe Frequêcia relativa acumulada (%) Frequêcia relativa simples (%) x i fr i [0,30[ 0+30 = = 50 [30,40[ = = = 700 [40,50[ = = = 50 [50,60[ = = = 1 Assim, somado todos os produtos e dividido por, obtemos uma aproximação à média de idades dos joralistas: x = = Começado por calcular o úmero total de joralistas, as frequêcias relativas simples, e depois as frequêcias relativas acumuladas obtemos a tabela seguite: Altura (em cetímetros) Número de joralistas Frequêcia relativa simples Frequêcia relativa acumulada 4 [160,170[ 4 0 = 0, 0, 8 [170,180[ 8 0 = 0,4 0, + 0,4 = 0,6 6 [180,190[ 6 0 = 0,3 0,6 + 0,3 = 0,9 [190,00[ 0 = 0,1 0,9 + 0,1 = 1 Total 0 1 Desta forma podemos observar que a classe modal é a classe [170,180[, porque é a primeira classe que tem uma frequêcia relativa acumulada superior a 0,5. A partir dos dados da tabela, desehamos um histograma com as frequêcias relativas acumuladas e o polígoo de frequêcias acumuladas. Depois, idetificado o poto do polígoo de frequêcias que correspode à frequêcia relativa acumulada de valor 0,5, podemos determiar por processos geométricos o valor aproximado da altura mediaa, como se apreseta o gráfico seguite: Frequêcia relativa acumulada 1 0,8 0,6 0,5 0,4 0, x Altura (cm) Págia 5 de 7

6 6. Como a amostra tem dimesão superior a 30, podemos determiar o itervalo de cofiaça, cosiderado o valor para a dimesão da amostra e os valores: A proporção amostral dos trabalhadores com, pelo meos, 75 quilogramas: ˆp 0,15 O valor de z para um ível de cofiaça de 99%: z =,576 Assim, calculado os valores dos extremos do itervalo de cofiaça temos: ] [ 0,15,576 ; 0,15 +,576 ( ] [ ) ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ˆp z, ˆp + z, E assim, a amplitude do itervalo, em fução de, é: ( ) 0,175 0,175 0,15 +,576 0,15,576 =,576 +,576 = 0,175 0,175 =,576 = 5,15 Assim, a dimesão míima da amostra, de modo que o itervalo de cofiaça, teha uma amplitude iferior a 0,, é o meor valor de que satisfaz a codição seguite: 0,175 5,15 < 0, 0,175 Iserido a calculadora gráfica a expressão y = 5,15, e visualizado a tabela de valores da fução, reproduzida a figura ao lado, podemos x idetificar o meor valor de x que verifica a codição aterior, ou seja, que está associado a um valor umérico da fução iferior a 0,, é x = 85 Logo, podemos cocluir que a dimesão míima da amostra, para verificar as codições do euciado é: = 85 X Y1 80 0, , ,0315 0, , , , Para coseguir ocupar as três horas de emissão, o diretor deve selecioar os dois filmes ou etão um filme e os três documetários. Assim, desigado os dois filmes por F1 e F e os três documetários por D1, D e D3, podemos orgaizar uma lista de cotagem para determiar o úmero de sequêcias possíveis com os programas do mesmo tipo exibidos cosecutivamete, ou seja, com os filmes o iício ou o fim do alihameto: F1 - F F1 - D1 - D - D3 F - D1 - D - D3 D1 - D - D3 - F1 D1 - D - D3 - F F - F1 F1 - D1 - D3 - D F - D1 - D3 - D D1 - D3 - D - F1 D1 - D3 - D - F F1 - D - D1 - D3 F - D - D1 - D3 D - D1 - D3 - F1 D - D1 - D3 - F F1 - D - D3 - D1 F - D - D3 - D1 D - D3 - D1 - F1 D - D3 - D1 - F F1 - D3 - D1 - D F - D3 - D1 - D D3 - D1 - D - F1 D3 - D1 - D - F F1 - D3 - D - D1 F - D3 - D - D1 D3 - D - D1 - F1 D3 - D - D1 - F Podemos verificar que o úmero de sequêcias possíveis pode se calculado como + 4 6, correspodete aos alihameto dos dois filmes somado com 6 alihametos dos 3 documetários multiplicados por 4, correspodete a colocar os dois filmes ates e depois dos documetários, ou seja, o úmero de sequêcias as codições do euciado são: = + 4 = 6 Págia 6 de 7

7 7.. Cosiderado a experiêcia aleatória que cosiste em selecioar, ao acaso, um dos espectadores, e os acotecimetos: M: O espectador ser mulher F 1: O espectador preferiu o primeiro filme Temos, de acordo com o euciado, que: P (M) = 0,4, P ( F 1 M ) = 0,3 e P ( M F 1 ) = 0,4 Assim, orgaizado os dados uma tabela obtemos: P ( M ) = 1 P (M) = 1 0,4 = 0,6 P ( F 1 M ) = P ( F 1 M ) P (M) = 0,3 0,4 = 0,1 P (M F 1) = P (M) P ( M F 1 ) = 0,4 0,1 = 0,8 P ( M F 1 ) = P ( M ) P ( M F 1 ) = 0,6 0,4 = 0,18 P (F 1) = P (M F 1)+P ( M F 1 ) = 0,8+0,18 = 0,46 M M F 1 0,8 0,18 0,46 F 1 0,1 0,4 0,4 0,6 1 Desta forma, a probabilidade de, escolhedo ao acaso um desses espectadores, o mesmo ser mulher sabedo que preferiu o primeiro filme, é: P (M F 1) = P (M F 1) P (F 1) = 0,8 0,46 0,609 E assim, o valor da probabilidade em percetagem, arredodado às uidades, é de 61% Págia 7 de 7