Lista 9 - Introdução à Probabilidade e Estatística

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1 Lista 9 - Itrodução à Probabilidade e Estatística Desigualdades e Teoremas Limites 2.= Um ariro apota a um alvo de 20 cm de raio. Seus disparos atigem o alvo, em média, a 5 cm do cetro deste. Assuma cada disparo é idepedete de qualr outro disparo. Limite superiormete a probabilidade do atirador errar o alvo o próximo disparo. 2 Supoha X seja uma variável aleatória com média e variâcia iguais a 20. O é possível dizer sobrep(0< X< 0)? 3 Com sua experiêcia, um professor sabe a ota de um estudate a prova fial é uma variável aleatória com média 75. a) Foreça um limite superior para a probabilidade de a ota de um estudate exceda 85. Supoha, além disso, o professor saiba a variâcia da ota de m estudate é igual a 25. b) O se pode dizer sobre a probabilidade de a ota de um estudate esteja etre 5 e 85? c) Quatos estudates teriam fazer a prova para assegurar, com probabilidade míima de 0, 9, a média da turma esteja etre 75±5? Não use o Teorema Cetral do Limite. Uma moeda hoesta é laçada de forma idepedete vezes. Seja S o úmero de caras obtidas esses laçametos. Use a desigualdade de Chebyshev para obter um limitate iferior para a probabilidade de S diste de 1 2 meos do 0, 1 quado 1.=0. 3. = No cotexto do problema aterior verifi para todoǫ> 0. lim P ( S 1 ) 2 <ǫ = 1 Cosidere uma moeda desoesta com probabilidade p de sair cara. Seja S o úmero de caras obtidas em laçametos idepedetes desta moeda. Escreva um limite semelhate ao problema aterior. Calcule o valor deste limite. 7 Dez dados hoestos são laçados. Ecotre, aproximadamete, a probabilidade de a soma dos úmeros assim obtidos esteja etre 30 e 0. 8 Supoha um programa de computador tem =0 págias de códigos. Seja X i o úmero de erros a i ésima págia. Supoha as variáveis aleatórias X i tem distribuição Poisso de parâmetro 0 1 e são idepedetes. Seja Y= X j o úmero total de erros. Utilize o Teorema Cetral do Limite para aproximar P[Y < 90]. 9 Uma amostra aleatória de ites é tomada de uma distribuição com mediaµ e variâciaσ 2, 0< σ 2. Utilizado o Teorema Cetral do Limite, determie o meor úmero de ites a serem cosiderados j=1

2 para a seguite relação seja satisfeita: P[ S µ σ ] 0, 99. Uma pessoa possui 0 lâmpadas cujos tempos de vida são expoeciais idepedetes com média de 5 horas. Se as lâmpadas são usadas uma de cada vez, sedo a lâmpada imada imediatamete substituída por uma ova, obteha uma aproximação para a probabilidade de aida exista uma lâmpada fucioado após 525 horas. 11 Mostre lim e k k! = 1 2. (Sugestão: Cosidere uma sequêcia de variáveis aleatórias i.i.d com distribuição Poisso e utilize o Teorema Cetral do Limite.) 12 Seja (X ) 1 uma sequêcia de variáveis aleatórias tal 1. lim E [X ]=α. 2. lim V ar[x ]=0. Mostre, ǫ> 0, lim P [ X α ǫ]=0. 13 Um provedor de acesso à Iteret está moitorado a duração do tempo de coexões de seus clietes, com o objetivo de dimesioar seus equipametos. A média é descohecida, mas o desvio padrão é cosiderado igual a 50 miutos. Uma amostra de 500 coexões resultou em um valor médio observado de 25 miutos. O dizer da verdadeira média, com cofiaça γ = 0, 92? 1 Supoha X represete a duração da vida de uma peça de equipameto. Admita-se 0 peças sejam esaiadas, forecedo uma duração de vida média de 501, 2 horas. Supoha-se o desvio padrão seja cohecido e igual a horas. Costrua um itervalo de cofiaça de 95% para a média. 15 A diretoria de uma escola de segudo grau r estimar a proporção p de estudates coseguiram eteder de forma satisfatória as mesages trasmitidas uma exposição de arte. Essa proporção deverá ser estimada com um erro de 5% para um coeficiete de cofiaça de 90%. a) Qual é o tamaho de amostra ecessário para ateder às exigêcias da diretoria? b) Que tamaho deverá ter a amostra sabedo p está etre 0, 20 e 0, 0? E sabedo p<0, 20? c) Numa amostra de 150 estudates, 0 apresetaram desempeho satisfatório um teste aplicado a saída da exposição. Qual seria a estimativa itervalar de p esse caso, para γ= 0, 95? 1 Uma revista semaal, em artigo sobre a participação das mulheres em curso superior de admiistração, pretede estimar a proporção p de mulheres este curso. a) Quatos estudates de admiistração devem ser etrevistados de modo a proporção p seja estimada com um erro de 0, 0 e uma probabilidade de 0, 98? b) Se tivermos a iformação adicioal de a proporção p é pelo meos 35%, você coseguiria dimiuir o tamaho amostral calculado o item aterior? Justifi. 17 Um estudo da prefeitura idica 30 das criaças da cidade têm deficit de ateção a escola. Numa amostra de 200 criaças, qual a probabilidade de pelo meos 50 criaças teham esse problema? 18 Utilize a desigualdade de Chebyshev para mostrar para toda fução cotiua f : [0, 1] R, f ( k ( ) ) x k (1 x) k f (x) k uiformemete em x [0, 1] quado. 2

3 Respostas dos Exercícios 1 Seja X a distâcia do poto atigido ao cetro do alvo. Note X 0. Seja Y uma variável aleatória defiida como sedo igual a 20 caso X 20 e 0 em outro caso. Logo, X Y. Tomado esperaça temos E[X] E[Y]=20P[X 20]. ComoE[X]=5 temos P[X 20] 1. Observação: Poderíamos simplesmete ter aplicado a desigualdade de Chebyshev. 2P[0 < X < 0] = P[ 20 < X 20 < 20] = 1 P[ X 20 20] = (a)p[x 85] E[X]/85=15/17. (b)p[5 X 85]=1 P[ X 75 > ] 1 25 (c)p[ X i / 75 > 5] 25. Logo = Sejam X 1, X 2,..., X variáveis aleatórias idepedetes cada uma assumido os valores 0 e 1 com probabilidade 1 2. Defiiremos 1 represeta cara e 0 represeta coroa. Logo S = X 1 + X X represeta o úmero de caras em laçametos. Temos E[ S ]= 1 E[X i ]= 1 2 e, devido a idepedêcia, temos V ar( S )= 1 2 V ar(x i )= 1, já E[X i ] = 1 2 ev ar(x i) = 1 para todo i, i = 1, 2,...,. Aplicado a desigualdade de Chebyschev temos P( S 1 2 0, 1) 1 (0, 1) 2. Substituido temos os limites iferiores forecidos pela desigualdade de Chebyschev são: (a)1 1, (b) e (c) respectivamete. 5 Aalogamete ao problema aterior temos P( S 1 1 <ǫ) 1 2 ǫ 2. O resultado segue desta desigualdade. Sejam X 1, X 2,..., X variáveis aleatórias idepedetes cada uma assumido os valores 0 e 1 com probabilidade p e 1 p respectivamete. Por coveção assumiremos 1 represeta cara e 0 represeta coroa. Logo S = X 1 +X X represeta o úmero de caras em laçametos. Temos E[ S ]= 1 E[X i ]= p e, devido a idepedêcia, temos V ar( S )= 1 2 V ar(x i )= p(1 p), já E[X i ]= p ev ar(x i )=p(1 p) para todo i, i= 1, 2,...,. Aplicado a desigualdade de Chebyschev temos P( S p ǫ) p(1 p) ǫ 2 para todo ǫ > 0. Isto implica lim P( S p <ǫ)= 1. 7 Seja X i o úmero sorteado pelo i-ésimo dado e seja S = X i a soma dos úmeros sorteados os laçametos dos dados. Logo,P[30<S < 0]= P[ < S < ]. Utilizado a aproximação dada pelo Teorema Cetral do Limite temos P[30< S < 0] Φ( ) Φ( ), odeφ(t) é a fução de distribuição acumulada de uma variável aleatória com distribuição ormal padrão. 8 Note E[Y]=0 e V ar(y )=0. logo, P[Y< 90]=P[ Y 0 < 90 0 ]. Pelo Teorema Cetral do Limite,P[ Y 0 < 90 0 ] Φ( 90 0 )=Φ( 1)= 0, Note P[ S µ σ ]=P[ σ S µ σ ]= P[ S µ σ ]. Pelo Teorema Cetral do Limite, P[ S µ σ ] Φ( ) Φ( )= 2Φ( ) 1, ode Φ(t) é a fução de distribuição acumulada de uma variável aleatória com distribuição ormal padrão. Logo, ecotre tal Φ( ) 0,

4 Aálogo ao exercício Cosidere uma sequêcia (X ) 1 de variáveis aleatórias idepedetes, ideticamete distribuídas, com distribuição Poisso de parâmetro 1. S = X k tem distribuição Poisso de parâmetro. k=1 Logo temos P[S ]= P[S = k]= e Como E[X i ] = 1 e V ar(x i ) = 1 e P[S ] = P[ S ] = P[ S 0] o Teorema Cetral do Limite implica k lim e k! =Φ(0)= 1 2, k k! ode Φ(t) é a fução de distribuição acumulada de uma variável aleatória com distribuição ormal padrão. 12 Chebyschev. 13 O itervalo de cofiaça para a média com variâciaσ 2 cohecida e coeficiete de cofiaçaγou γ0% é dado por [X a σ, X + a σ ], ode X é a média amostral e a é tal (1 Φ(a))= α 2 com γ= 1 α. Logo, a é tal Φ(a)= 0, 9. Portato a=1, 755, X = 25, =500 eσ= Aálogo ao exercício Seja X i Beroulli(p) assumido os valores 0 e 1, ode X i = 1 se o i-ésimo estudate etedeu a mesagem de forma satisfatória e 0 em outro caso. X i Logo, X = S = represeta a proporção dos estudates etederam a mesagem de forma satisfatória e é uma estimativa do valor descohecido p. A estimativa itervalar para a proporção descohecida é dada por um itervalo da forma [X ǫ, X +ǫ], ode ǫ é a margem de erro. A estimativa itervalar com margem de erroǫ tem coeficiete de cofiaça γ seγ=p[ X p ǫ]. Note ǫ γ = P[ S p p(1 p) p(1 p) ǫ p(1 p) ] ǫ = P[ S p ǫ ] p(1 p) p(1 p) p(1 p) Φ(t,ǫ ) Φ( t,ǫ ), ode Φ(t) é a fução de distribuição acumulada de uma variável aleatória com distribuição ormal padrão e t,ǫ =. A aproximação deve-se ao ǫ p(1 p) Teorema Cetral do Limite. Na prática, toma-se γ=φ(t,ǫ ) Φ( t,ǫ ). Pelas propriedades da fuçãoφsegue γ=2φ(t,ǫ ) 1. ǫ (a) t,ǫ =. Logo, t2,ǫ já p é descohecido e portato limitamos a expressão p(1 p) p(1 p) ǫ 2 por 1/ é seu valor máximo o itervalo [0, 1]. Comoǫ= 0, 05 eγ= 0, 90 etão t,ǫ = 1, 5. Logo, 272, 5. Toma-se =272. (b) A fução f (p)=p(1 p) tem um máximo absoluto em I= [0, 1] em p= 1 2. Desta forma, se o valor descohecido de p pertece ao itervalo (0.2, 0.) limitamos o valor de f (p) por 1/ e deve ser como o problema aterior, = 272. Se 0 < p < 0, 2 etão f (p) 0.1. Logo, 17, 2. Toma-se =17. (c) Na prática substitui-se a proporção descohecida X pela proporção amostral ˆp. Da expressão γ=p[ ǫ S p ǫ ] temos p(1 p) p(1 p) p(1 p) ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) I = [ˆp z, ˆp+ z ] é um itervalo de cofiaça para a proporção descohecida com coeficiete de cofiaçaγode z eγ estão relacioados através da equação γ = Φ(z) Φ( z) = 2Φ(z) 1. No problema =150, ˆp= = 0, 0,γ= 0, 95 e portato z= 1, 9. Logo, I= [0.321, 0.78]. 1 Idem Exercício Vamos cosiderar o caso em cada criaça tem a mesma probabilidade de ter este problema. Defiido { 1 se a j ésima criaça tem esse problema. X j = 0 c.c. temos X= X X 200 Biomial(200, 0, 30). A probabilidade a ser calculada é P[X 50]= 200 k=50 ( 200 k ) 0, 3 k 0, k Vamos aproximar esse valor. Sabemos X Biomial(200, 0, 30). Logo,E[X]=200 (0, 3)= 0 ev ar(x )=200 (0, 3)(0, 7)=2. Assim sedo,

5 aproximamos a distribuição de X pela distribuição de uma variável aleatória Y com Y N(0, 2). Logo, P[X 50] P[Y 50] Y 0 = P[ 50 0 ] 2 2 = 1 Φ( 1, 2) = 0, 90, ode Φ(t) é a fução de distribuição acumulada de uma variável aleatória com distribuição ormal padrão. 18 Este exercício é opcioal. Dica: Sejam X 1, X 2,..., X variáveis aleatórias idepedetes cada uma assumido os valores 0 e 1 com probabilidade p e 1 p respectivamete. Seja S = X 1 + X X o úmero de caras em laçametos. Defia o poliômio r (p)=e[ f ( S )] e estude a expressão r (p) f (p). 5

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