MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E MEDIDAS DE DISPERSÃO Í N D I C E

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1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E MEDIDAS DE DISPERSÃO Í N D I C E Medidas de Tedêcia Cetral Itrodução Média Aritmética... - Moda Mediaa... Medidas de Dispersão 4- Amplitude Total Variâcia e Desvio Padrão Bibliografia

2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Itrodução As medidas de posições mais importates são as medidas de tedêcia cetral ou promédias (verifica-se uma tedêcia dos dados observados a se agruparem em toro dos valores cetrais). As medidas de tedêcia cetral mais utilizadas são: média aritmética, moda e mediaa. Outros promédios meos usados são as médias: geométrica, harmôica, quadrática, cúbica e biquadrática. As outras medidas de posição são as separatrizes, que eglobam: a própria mediaa, os decis, os quartis e os percetis.. 1 MÉDIA ARITMÉTICA É igual à divisão etre a soma dos valores do cojuto e o úmero total dos valores. FÓRMULA DA MÉDIA ARITMÉTICA: Dados Não-Agrupados: Soma dos valores de xi xi X Número (quatidade) de valores de xi Quado desejamos cohecer a média dos dados ão-agrupados em tabelas de frequêcias, determiamos a média aritmética simples. Exemplo 1: Sabedo-se que a veda de arroz tipo A, durate uma semaa, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 1 quilos. Qual foi a média de veda diária a semaa de arroz? X Resposta: A média diária de arroz a semaa foi de 14 quilos por dia.

3 Dados Agrupados: A Sem itervalos de classe, Variável Discreta (sem faixas): Exemplo : Cosideremos a seguite distribuição relativa a 34 famílias que possuem quatro filhos cada uma, tomado como variável o úmero de filhos do sexo masculio. Calcularemos a quatidade média de meios por família. Tabela da Variável Discreta Meios Famílias Nº de Meios ou xi Freqüêcia ou fi fi 34 Como as frequêcias são úmeros idicadores da itesidade de cada valor da variável, elas fucioam como fatores de poderação, o que os leva a calcular a média aritmética poderada, dada pela fórmula: FÓRMULA MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA: X xi. fi fi Soma dos produtos (multiplicação) etre os valores de xi e fi Somatória da freqüêcia fi 3

4 Para ajudar os cálculos vamos orgaizar as variáveis a seguite tabela:..xi...fi...xi. fi Total fi 34 xi.fi 78 Σxi. fi 78 X,3 ou Σxi. fi X, 3 Σfi 34 Σfi Resposta: A média é de,3 meios, em famílias que possuem quatro filhos. B Com itervalos de classe, Variável Cotíua (com faixas): Exemplo 3: Calcular a estatura média de bebês em uma certa comuidade coforme a tabela: Tabela da Variável Cotíua Estatura de Bebês Poto Médio de Cada Classe fr (%) Estaturas em f(ac) Classe ou fi fr fi. 100 cm Cálculo: i Σfi xi li Li % ,5% ,5% % ,5% ,5% 40 7 fi 40 fr(%) 100% 4

5 Neste caso, covecioamos que todos os valores icluídos em um determiado itervalo de classe coicidem com o seu poto médio, e determiamos a média aritmética poderada por meio da fórmula: Para ajudar os cálculos vamos orgaizar as variáveis a seguite tabela: Estaturas (cm) fi..xi...xi. fi Total fi 40 xi.fi.440 Obs: Na primeira colua temos os itervalos de classe das alturas, separados em 4 em 4 cetímetros, a seguda colua a quatidade de cada um fi, a terceira colua o xi ecotrado após o cálculo do poto médio e a quarta colua, o produto (multiplicação) xi.fi. X Σ xi. fi Σ fi ou X Σ xi. fi Σ fi Resposta: A estatura média dos bebes é de 61 cetímetros. MODA É o valor que ocorre com maior freqüêcia em uma série de valores. Simbolizamos por mo moda. Por exemplo, o salário mais comum em uma fábrica é chamado de salário modal, isto é, o salário recebido pelo maior úmero de empregados dessa fábrica. 5

6 Exemplos de Moda mo evolvedo Dados Brutos e Rol A Moda quado os dados ão estão agrupados é facilmete recohecida. Basta procurar o valor que mais se repete. Por exemplo: Na série { 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 1 } a moda é mo 10. Há séries as quais ão exista valor modal, isto é, as quais ehum valor apareça mais vezes que outros. Por exemplo: Na série { 3, 5, 8, 10, 1 } ão apreseta a moda mo, portato, dizemos que a série é amodal. Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de cocetração. Dizemos, etão, que a série tem dois ou mais valores modais. Por exemplo: Na série {, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 } apreseta duas modas mo 4 e mo 7. A série, etão, é bimodal. Exemplos de Moda mo quado os dados estão agrupados: Na Variável Discreta: Uma vez agrupados os dados, é possível determiar imediatamete a moda: basta fixar o valor da variável de maior freqüêcia. Exemplo 4: Qual a temperatura mais comum medida coforme a tabela abaixo: Tabela da Variável Discreta Temperatura Temperaturas xi Freqüêcia ou fi 0º C 1 1º C 5 º C 1 3º C 6 fi 4 Resposta: Portato, a temperatura modal é de º C, pois é a de maior freqüêcia da variável discreta. mo º C. 6

7 Na Variável Cotíua: Exemplo 5: Calcule a estatura modal coforme a tabela abaixo. Tabela da Variável Cotíua Estatura Estaturas em cm ou h Freqüêcia ou fi fi 33 Obs: A maior freqüêcia fi está etre 58 6, para determiarmos a moda de uma Variável Cotíua precisaremos de mais uma fórmula. A classe que apreseta a maior frequêcia é deomiada classe modal. Pela defiição, podemos afirmar que a moda, este caso, é o valor domiate que está compreedido etre os limites da classe modal. Para o cálculo da moda em variável cotíua utilizaremos a fórmula de Czuber, pois, em sua fórmula, levou em cosideração, a frequêcia simples da classe aterior, a freqüêcia simples da classe posterior, além da freqüêcia simples da classe modal. É, portato, uma fórmula mais completa para o cálculo da moda em variável cotíua. FÓRMULA DE CZUBER PARA MODA mo : fi( mo) fi( at) Mo li( mo). h. fi( mo) [ fi( at) fi( post)] ode: li(mo) limite iferior da classe modal. fi(mo) freqüêcia da classe modal. fi(at) freqüêcia da classe aterior à classe modal. fi(post) freqüêcia da classe posterior à classe modal. h amplitude do itervalo de classe Mo , ,6 59,6.11 [9 8] 17 5 Resposta: Portato, a moda da estatura é igual a 59,6. 7

8 Obs: A moda é utilizada quado desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição ou quado a medida de posição deva ser o valor mais típico da distribuição. Já a média aritmética é a medida de posição que possui a maior estabilidade. 3 MEDIANA A mediaa de um cojuto de valores, dispostos segudo uma ordem (crescete ou decrescete), é o valor situado, de tal forma o cojuto, que o separa em dois subcojutos de mesmo úmero de elemetos. Símbolo da mediaa md. Mediaa em dados ão-agrupados: Por exemplo: Dada uma série de valores como: { 5,, 6, 13, 9, 15, 10 } De acordo com a defiição de mediaa, o primeiro passo a ser dado é o da ordeação (crescete ou decrescete) dos valores, etão: {, 5, 6, 9, 10, 13, 15 } O valor que divide a série acima em duas partes iguais é o úmero 9, logo, a md 9. Método prático para o cálculo da Mediaa: feita fórmula: Se a série dada tiver úmero ímpar de termos, o valor mediao será o termo de ordem dado Elemeto 1 Por exemplo: Calcule a mediaa da série { 0, 0, 1, 1,,, 3, 4, 5 } 9 (elemetos), logo: Elemeto feita fórmula: Resposta: Etão, a mediaa será o termo que ocupa a 5ª posição, ou seja, md. Se a série dada tiver úmero par de termos, o valor mediao será o termo de ordem dado Elemeto 1 8

9 Obs: Os elemetos correspodete. são termos de ordem e devem ser substituídos pelo valor Por exemplo: Calcule a mediaa da série { 0, 0, 1, 1,, 3, 3, 4, 5, 6 } 10 (elemetos), substituido a fórmula, temos: Elemeto 10 Obs: Os úmeros 5 e 6 (umerador) são a realidade a 5ª 6ª posição, etão: 5ª posição 6ª posição 3 e Elemeto 3 5,5 Resposta: Etão, a mediaa será a média aritmética dos termos cetrais da série, o caso, são os termos da 5ª e 6ª posição, ou seja, md. Obs: Quado o úmero de elemetos da série estatística for ímpar, haverá coicidêcia da mediaa com um dos elemetos da série. Quado o úmero de elemetos da série estatística for par, uca haverá coicidêcia da mediaa com um dos elemetos da série. A mediaa será sempre a média aritmética dos dois elemetos cetrais da série. IMPORTANTE: Em uma série a mediaa, a média e a moda ão têm, ecessariamete, o mesmo valor. A mediaa depede da posição e ão dos valores dos elemetos a série ordeada. Essa é uma da difereças marcates etre mediaa e médias (que se deixa iflueciar, e muito, pelos valores extremos). Por exemplo: Na seqüêcia: { 5, 7, 10, 13, 15 } a média 10 e a mediaa 10. Cálculo da média: X xi Na seqüêcia: { 5, 7, 10, 13, 65 } a média 0 e a mediaa 10. xi Cálculo da média: X

10 Isto quer dizer que, a média do segudo cojuto de valores é maior do que a do primeiro, por ifluêcia dos valores extremos, ao passo que a mediaa permaece a mesma. Na Variável Discreta (sem itervalos de classe): Neste caso, é o bastate idetificar a freqüêcia acumulada f(ac) imediatamete superior à metade da soma das freqüêcias. A mediaa será aquele valor da variável que correspode a tal frequêcia acumulada. Exemplo 6: Dada a tabela abaixo, idetifique o valor da mediaa:..xi...fi. f(ac) Total fi 35 Obs: Quado o somatório das frequêcias for ímpar o valor mediao será o termo de ordem dado pela fórmula: Posição Elemeto Mediao fi 1 Calculado a Posição Elemeto Mediao fi Portato, a série admite apeas um termo cetral que ocupa a posição 18 o. Resposta: Etão, a mediaa será o termo que ocupa a 18ª posição, ou seja, pela colua da f(ac) temos md 3. 10

11 Exemplo 7: Dada a tabela abaixo, idetifique o valor da mediaa:..xi...fi. f(ac) Total fi 8 Obs: Quado o somatório das frequêcias for par o valor mediao será o termo de ordem dado pela fórmula: Posição Elemeto Mediao Σ fi 1 fi Calculado a Σfi 1 fi Posição Elemeto Mediao Posição Elemeto Mediao 15,5 4ª 5ª Posição Resposta: Etão, a mediaa será a média aritmética dos termos cetrais da série, o caso, são os termos da 4ª e 5ª posição, ou seja, md 15,5. 11

12 Na Variável Cotíua (com itervalos de classe): Neste caso, é preciso seguir as etapas: 1º Calculamos a posição da mediaa a série /. º Para idetificarmos o itervalo de classe da mediaa determiamos as freqüêcias acumuladas f(ac). 3º Calculamos a mediaa md pela seguite fórmula de Czuber:. FÓRMULA DE CZUBER PARA MEDIANA md : f ( ac) at Md li( md ). h fi( md ) ode: li(md) limite iferior da classe mediaa. f(ac)at freqüêcia acumulada da classe aterior à classe mediaa. fi(md) freqüêcia simples da classe mediaa. h amplitude do itervalo da classe mediaa. Exemplo 8: Dada a tabela abaixo, calcule o valor da mediaa: Estaturas (cm) fi f(ac) NA 0ª POSIÇÃO É ONDE SE ENCONTRA A MEDIANA DESTA VARIÁVEL CONTÍNUA. Total fi 40 Calculado a mediaa: 1 o Passo: / 40/ 0ª posição, logo a classe da mediaa será

13 o Passo: Costruido o f(ac), para ecotrarmos a 0ª posição, logo temos as seguites iformações: li(md) f(ac)at fi(md) h 4 3 o Passo: Substituido esses valores a fórmula de Czuber, obtemos: 40 f ( ac) at Md li( md ). h fi( md ) Md ,55 60, Resposta: Portato, a mediaa estimada da variável cotíua é igual a 60,55. MEDIDAS DE DISPERSÃO 4 AMPLITUDE TOTAL É a úica medida de dispersão que ão tem a média o poto de referêcia. Em um Rol: Quado os dados ão estão agrupados a amplitude total é a difereça etre o maior e o meor valor observado: A T X máximo X míimo. Por exemplo: Dada à seqüêcia { 40, 45, 48, 6, 70 } a Amplitude total será: A T Em uma Variável Discreta: Quado os dados estão agrupados sem itervalos de classe a amplitude total também é: A T X máximo X míimo. Por exemplo: Dada a tabela abaixo, calcule o valor da Amplitude Total:..xi. fi Total fi 30 Calculado a Amplitude Total: A T X máximo X míimo A T

14 Em uma Variável Cotíua: Com itervalos de classe a Amplitude Total é a difereça etre a média do limite superior da última classe e a média do limite iferior da primeira classe. Por exemplo: Dada à tabela abaixo, calcule o valor da Amplitude Total: Classes..fi Total fi 11 Calculado a Média do Limite superior A T Calculado a Média do Limite iferior A T Etão, A T X máximo X míimo A T Nota: A amplitude total tem o icoveiete de só levar em cota os dois valores extremos da série, descuidado do cojuto de valores itermediários. Faz-se uso da amplitude total, por exemplo, quado se quer determiar a amplitude da temperatura em um dia, o cotrole de qualidade ou como um cálculo rápido de uma medida sem muita exatidão. 5 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO É a maior ou meor diversificação dos valores de uma variável em toro de um valor de tedêcia cetral (média ou mediaa) tomado como poto de comparação. A média aida que cosiderada como um úmero que tem a faculdade de represetar uma série de valores, ão pode, por si só, destacar o grau de homogeeidade ou heterogeeidade que existe etre os valores que compõem o cojuto. A Variâcia é uma média aritmética calculada a partir dos quadrados dos desvios obtidos etre os elemetos da série e a sua média e o Desvio Padrão é a raiz quadrada positiva da variâcia 14

15 O Desvio Padrão é a medida de dispersão que mais é empregada, pois leva em cosideração a totalidade dos valores da variável em estudo. É um idicador de variabilidade bastate estável. O Desvio Padrão baseia-se os desvios em toro da média aritmética e a sua fórmula básica pode ser traduzida como: a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios da amostra e é represetada pela letra s(x) e sua variâcia é represetada s²(x). FÓRMULA DA VARIÃNCIA S²(x): S ( x) 1 FÓRMULA DO DESVIO PADRÃO S(x): 1 S ( x) OU S ( x) S ( x ) Em Dados Brutos e Rol: Exemplo 9: Calcular a variâcia e o desvio padrão da seqüêcia, com 4 (elemetos), em dados brutos temos { 4, 5, 8, 5 }, orgaizado em ordem crescete temos Rol { 4, 5, 5, 8 }. 1 o Passo: Calculado a Média Aritmética: X xi ,5 o Passo: Calculado os quadrados da difereça de cada elemeto com a média aritmética calculada. ( xi x ) (4 5,5) (5 5,5) (5 5,5) (8 5,5) Σ ( xi x ) ( 1,5) ( 0,5) ( 0,5) (,5),5 0,5 0,5 6,5,5 0,5 0,5 6,5 9 15

16 3 o Passo: Calculado a Variâcia e o Desvio Padrão da amostra: Variâcia S ( x) Desvio Padrão S( x) 1 3 1,73 Resposta: Portato, o Desvio Padrão é aproximadamete 1,73, isso quer dizer que, a medida de dispersão dos valores { 4, 5, 5, 8 } em toro de sua média aritmética que foi de 5,5 é igual ao Desvio Padrão de 1,73. Obs: Para facilitar os cálculos estatísticos, podemos também motar a seguite tabela:..xi. x ( ( 1 4 5,5 (4 5,5) 1,5,5 5 5,5 (5 5,5) 0,5 0, ,5 (5 5,5) 0,5 0, ,5 (8 5,5),5 6,5 9 1 Calculado a Variâcia S ( x) 3 S ( x) 1 Calculado o Desvio Padrão 3 1,

17 Em Variável Discreta: Exemplo 10: Dada a tabela abaixo, calcule o valor da Variâcia e do Desvio Padrão: xi. fi Total fi 0 Obs: Como há repetições de elemetos o cojuto, defiimos a Variâcia como sedo uma Média Aritmética Poderada dos quadrados dos desvios dos elemetos da série para a média da série. 1º Passo: Calculado a Média Aritmética Poderada X Σ xi. fi Σ fi ,65 Agora, para facilitar os cálculos, vamos utilizar a seguite tabela:..xi fi xi.fi ( ( (. fi 3 6 ( 3,65) 1,65,75,75.3 8, (3 3,65) 0,65 0,45 0,45.5, (4 3,65) 0,35 0,15 0,15.8 0, (5 3,65) 1,35 1,85 1,85.4 7,900 fi 0 Σ xi. fi Σ fi 73 0 xi.fi 73 X 3, 65 xi x). fi 18,55. fi 18,55 Calculado a Variâcia S ( x) 0, 9763 Σfi fi Calculado o Desvio Padrão S ( x) 0,9763 0, 9881 Σfi 1 Resposta: A Variâcia vale aprox. 0,98 e o Desvio Padrão é de aprox. 0,99. 17

18 Em Variável Cotíua: Exemplo 11: Dada a tabela abaixo, calcule o valor da Variâcia e do Desvio Padrão: Classe Itervalo de Classe xi li Li fi..xi. fi Total fi 10 xi.fi 84 1º Passo: Calculado a Média Aritmética Poderada X Σ xi. fi Σ fi ,4 Agora, para facilitar os cálculos, vamos utilizar a seguite tabela:..xi fi xi.fi ( ( (. fi 1 ( 8,4) 6,4 40,96 40, , (6 8,4),4 5,76 5, , (10 8,4) 1,6,56,56.5 1, (14 8,4) 5,6 31,36 31, ,36 fi 10 Σ xi. fi Σ fi xi.fi 84 X 8, 4 xi x). fi 10,4. fi 10,4 Calculado a Variâcia S ( x) 11, 3778 Σfi fi Calculado o Desvio Padrão S ( x) 1,3778 3, 3731 Σfi 1 Resposta: A Variâcia vale aproximadamete 11,4 e o Desvio Padrão é de aproximadamete 3,4. 18

19 Exemplo 1: Calcule a variâcia e o desvio padrão das otas de três turmas de estudates. Notas de estudates das Turmas A, B e C: Turma Notas dos Aluos Média Desvio Padrão A ,31 B ,51 C ,5 7,5 6 6,49 Cálculo da variâcia e desvio padrão da turma A: Σ xi Média: X 6, xi x). (4 6) (5 6) (5 6) (6 6) (6 6) (7 6) (7 6) (8 6) Variâcia: s ( x) xi x) s ( x) 1, Desvio Padrão: s ( x) 1,71 1, 31 1 Cálculo da variâcia e desvio padrão da turma B: Σ xi Média: X 6, xi x). (1 6) ( 6) (4 6) (6 6) (6 6) (9 6) (10 6) (10 6) Variâcia: s ( x) xi x) s ( x) 1, Desvio Padrão: s ( x) 1,9 3, 51 1 Cálculo da variâcia e desvio padrão da turma C: Σ xi ,5 7, Média: X 6, xi x). (0 6) (6 6) (7 6) (7 6) (7 6) (7,5 6) (7,5 6) (6 6) Variâcia: s ( x) xi x) ,5,5 0 43,5 s ( x) 6, Desvio Padrão: s ( x) 6,1,

20 Resposta: Aalisado os dados da tabela acima verificamos através da média que as três turmas tederam a ter as otas em toro de seis, porém a seqüêcia de otas que geraram esta média são bastate diferetes. A turma A foi quem apresetou meor desvio padrão e a turma B o maior desvio. O Desvio Padrão forece iformação sobre a dispersão (variâcia ou heterogeeidade) dos valores em estudo. 6 BIBLIOGRAFIA BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P.A., Estatística Básica. 5ª Ed.São Paulo:SARAIVA, 007. CRESPO, A.A., Estatística Fácil, 17ª Ed.São Paulo: SARAIVA, 00 CRESWELL, J. W. Projeto de pesquisa: métodos qualitativo, quatitativo e misto. 3. ed. Porto Alegre: Artmed, 010. DOWNING, D., Estatística Aplicada, ª Edição, São Paulo, Saraiva, 00. MARTINS, G. de A. Estatística geral e aplicada. 3.ed. São Paulo: Atlas, 005 MORETTIN, L.G., Estatística Básica, 7ª Edição, São Paulo, PEARSON, 000. NEUFELD, J.L., Estatística Aplicada a Admiistração Usado o Excel, São Paulo, PEARSON, 003. PINHEIRO, J. I. Estatística Básica: A Arte de trabalhar com dados. Rio de Jaeiro: Elsevier, 009 SPIEGEL, M.R., Estatística, 3ª Edição, Coleção Schaum, São Paulo, PEARSON, SPIEGEL, M.R., Probabilidade e Estatística, Coleção Schaum, São Paulo, PEARSON, SILVA, E.M., Estatística Para os Cursos de; Ecoomia, Admiistração e Ciêcias Cotábeis, 3ª Edição, São Paulo, Atlas, TRIOLA, M. F.. Itrodução à Estatística. 10.ed.Rio de Jaeiro: LTC, 008 0

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