Medidas de Tendência Central

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1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA Medidas de Tendência Central 3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 3.1 Média Aritmética Uma das mais importantes medidas estatísticas utilizadas é a média. Ela é, por exemplo, utilizada no cálculo de nossa média escolar. A média caracteriza o centro da distribuição de freqüências; ela é considerada o ponto de equilíbrio de uma distribuição. Cálculo da média aritmética para dados isolados A média aritmética representada por x, é dada pela soma x 1 + x x n, dividida por n (número total da amostra), ou x xi seja: x = i = 1. n Veja o exemplo a seguir: Um administrador deseja calcular o tempo médio de espera do lanche X TUDO em sua lanchonete. Para isso, analisa uma amostra de pedidos, cujo tempo de espera está listado a seguir: Tabela 1. Tempo, em minutos, de espera do lanche X tudo na Lanchonete

2 Medidas de Tendência Central A média é calculada da seguinte maneira: x = = 17 min Cálculo da média aritmética para o caso de distribuição de freqüências. Exemplo: Em uma amostra de 40 parafusos produzidos por uma metalúrgica, foram medidos os diâmetros, em milímetros, conforme a tabela abaixo. Qual é a medida média do diâmetro? Tabela. Freqüências. Diâmetro do parafuso, em milímetros. xi Nº de parafusos (fi) 1,1 1, 1,3 1 1,4 4 1, 6 Total fi = 40 xi. fi Neste caso utilizamos a fórmula: x = i = 1, pois a tabela n mostra que existem parafusos com diâmetro igual a 1,1mm, parafusos com diâmetro 1, mm e assim por diante. Tabela 3. x Diâmetro do parafuso, em milímetros. xi nº de parafusos (fi) xi.fi 1,1, 1, 1 1,3 1 19, 1,4 4,6 1, 6 9 Total fi = 40 xi.fi = 1,6 30

3 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 16, x = = 19, mm 40 Veja o outro exemplo a seguir: x xi. fi x = i = 1, onde x i é representado pelo ponto médio da n classe. Tabela 4. Classes de salários. Classes de salários (em reais) Ponto Médio fi x i.fi fi = 0 xi.fi = x = = 0 0 reais. 3. Mediana (Me) A mediana é uma medida de tendência central. Ela divide um conjunto ordenado de dados em duas partes com igual número de elementos. No caso de dados isolados temos: Se a amostra é constituída por um número ímpar de elementos, a mediana é o valor que fica no centro dos dados ordenados. 31

4 Medidas de Tendência Central Exemplo: 0, 0, 4,, 30. A mediana é 4. Se a amostra é constituída por um número par de elementos, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais dos dados ordenados. Exemplo: 0, 0, 4, 6, 30 e 36 A mediana é =. Curiosidade: Para os dados agrupados, a mediana é n fai calculada através da fórmula: Me = Li + ( ). c, fme onde: Li: limite inferior da classe que contém a mediana. n: freqüência total. fai: soma de todas as freqüências das classes anteriores à mediana. fme: freqüência da classe que contém a mediana. c: amplitude do intervalo da classe da mediana. Qual é a diferença entre média e mediana? Embora sejam duas medidas de tendência central, a média e a mediana possuem conceitos diferentes. Observe o conjunto de dados abaixo:, 3, 4,, 9, 1, 3, 98. Calculando a média obtemos: x = = 137, 8 3

5 ESTATÍSTICA DESCRITIVA Calculando a mediana obtemos: me = + 9 = 7. O que podemos perceber nesse caso é que o cálculo da média levou em consideração todos os valores do conjunto de dados numéricos, sendo assim influenciada pelos maiores valores. A mediana levou apenas em consideração os seus dois valores centrais. Embora a média aritmética seja bastante utilizada, há casos em que a mediana descreve melhor a situação. Cabe ao pesquisador procurar a medida mais conveniente Moda A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com maior freqüência. Exemplo. Para o conjunto de dados:, 1, 1, 3, 1,, 0, a moda é 1. Curiosidade: Para os dados agrupados, a moda é d calculada através da fórmula: Mo = Li + 1. c, onde: d1 + d Li: limite inferior da classe modal. d1: diferença entre a freqüência classe modal e a classe imediatamente anterior. d : diferença entre a freqüência classe modal e a classe imediatamente seguinte. c: amplitude do intervalo da classe modal. 33

6 Medidas de Tendência Central Um conjunto de dados pode ser: Amodal: quando nenhum dado se repete. Exemplo., 3,, 9, e 1. Modal: quando um valor se repete. Exemplo: 3, 4, 4, 4,, 6, 7 e 9. Moda: 4. Bimodal: quando dois valores se repetem. Exemplo. 3, 4, 4,, 6, 6, 7 e. Moda: 4 e 6. Trimodal: quando três valores se repetem. Exemplo. 1,,, 3, 4, 4,, 6, 6 e 8. Moda:, 4 e 6. Polimodal: mais do que três valores se repetem. 1 Exemplo. 1, 1, 1,, 3, 3, 3, 4,,,, 6, 7, 7, 7, 8, 9,. Moda: 1, 3, e Medidas de Posição (Quartis, decis e percentis) Para o conjunto de dados ordenados temos que os valores que dividem o conjunto em quatro partes iguais são denominados quartis. Esses valores que podem ser representados por Q1, Q e Q3 denominam-se primeiro, segundo e terceiros quartis, respectivamente. Os valores que dividem o conjunto ordenado em dez partes iguais denominam-se decis e os valores que dividem os dados em cem partes iguais percentis. 34

7 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 3. Exercícios Resolvidos 1. Uma amostra com dez preços de álcool foi extraída em diversos postos no dia 0/01/007. Os preços em reais são: 1,00 1, 1,3 1,09 1,19 1, 1,1 1,4 1,39 1,19 Para a tabela acima determine: a) a mediana. Para o calculo da mediana devemos necessariamente colocar os dados em ordem. (Rol) 1,00 1,09 1,1 1,19 1,19 1, 1, 1,3 1,39 1,4 Temos aqui um conjunto com uma quantidade par de elementos ( elementos). Devemos então fazer a média aritmética dos dois elementos centrais: 119, + 1, Me = = 1, reais. b) a moda. 1 Para o cálculo da moda não há necessidade de colocar os dados em ordem, porém a visualização dos valores que se repetem fica mais clara. O conjunto de dados é bimodal, pois há no conjunto dois valores que se repetem: 1,19 e 1,. c) a média. 0 1, , , + 119, + 119, + 1, + 1, + 13, + 139, + 14, x = = 1,8 = = 18,. 3

8 Medidas de Tendência Central O preço médio do álcool é de R$1,3 (arredondamento de duas casas decimais).. O peso em quilogramas de 0 alunos de uma academia está listado na tabela abaixo. Tabela. Freqüências. Pesos, em kg. nº de alunos (fi) Total Determine a média. fi=0 Devemos lembrar que essa tabela mostra que existem alunos com peso igual a 4 kg, 4 alunos com 8 kg e assim por diante. O número total de alunos é igual a 0. Neste caso, para o cálculo da média utilizamos a fórmula: xi. fi x =. n Vamos fazer este cálculo utilizando a tabela. Tabela. Cálculo da Média. Pesos, em kg. Xi nº de alunos (fi) xi.fi 4 4.= = = = = = =31 Total fi=0 xi.fi=3400* * xi. fi = =

9 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 3400 x = = 68 kg. 0 O peso médio dos alunos da academia é de 68 kg. b) Moda. A moda é 74 (16 alunos pesam 74 kg). 3. A seguir estão listadas as mensalidades, em reais, do curso de línguas ( horas semanais) em diversas escolas de um bairro Determine: a) Mediana. Para o calculo da mediana devemos necessariamente colocar os dados em ordem. (Rol) Temos aqui um conjunto com uma quantidade ímpar de elementos (9 elementos). A mediana é o termo central. Me= Podemos dizer que 0% dos preços são maiores ou iguais a R$ 300,00 e 0% dos preços são menores ou iguais a R$ 300,00. b) Moda. O conjunto de dados é amodal (nenhum valor se repete). 0 c) Média x = = = = 33, 6. 9 O valor médio é de R$33,6. 37

10 Medidas de Tendência Central 4. Um nutricionista indicou dietas diferentes para três grupos de pacientes. A tabela indica a perda de peso (em kg) por paciente. Tabela 7. Perda de Peso. Grupo 1 Grupo Grupo Calcule a média, a mediana e a moda para cada um dos grupos. Grupo 1. Média: x = = =, kg. 8 8 A moda é igual a 4 kg. 4 Mediana: Me = + = 4, kg. Grupo. Média: x = = = 8 8 A moda é igual a kg. 4, kg. 1 3 Mediana: Me = + 3 = 3 kg. Grupo 3. 3 Média: x = = = 8 8 4, 7 kg. 38

11 ESTATÍSTICA DESCRITIVA Bimodal: 4kg e 6 kg. 4 Mediana: Me = + = 4, kg. Os resultados estão na tabela a seguir: Tabela 8. Resumo. Grupo 1 Grupo Grupo xi = 4 xi = 34 xi = 38 x 1 =, kg x = 4,kg x3 = 4,7kg Me(1)=4,kg Me()=3kg Me(3)=4,kg Levando em consideração a média, podemos dizer que a dieta do grupo 1 foi a que teve mais efeito. A mediana para os grupos 1 e 3 foi a mesma, significando que 0% do peso perdido é maior ou igual a 4, kg e 0% menor ou igual a 4, kg.. Considere o histograma abaixo, para calcular a idade média dos alunos em um curso de Inglês. Gráfico 1. Histograma. 39

12 Medidas de Tendência Central Para calcular a média, primeiramente vamos transportar os dados do gráfico para uma tabela. Tabela 9. Freqüências. Classes de Idades nº de alunos Total: 0 Agora vamos calcular a média: Tabela. Cálculo da Média. Classes de Idades Ponto Médio xi xi nº de alunos fi xi.fi = = = = =190 Total: 0 xi.fi = x = = 14, anos 0 A idade média é 14, anos. 4 MEDIDAS DE DISPERSÃO. Quando descrevemos nossos dados através das medidas de tendência central, necessitamos muitas vezes de complementos, denominados medidas de dispersão. As medidas de dispersão utilizadas são a amplitude, a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação. 40

13 ESTATÍSTICA DESCRITIVA As medidas de dispersão indicam o quanto os dados variam em torno da região central. 4.1 Amplitude A amplitude é a diferença entre o maior e o menor dado observado. Por utilizar apenas os extremos, a amplitude não é uma boa medida de dispersão. No exemplo (capítulo 1) a amplitude é: Variância (s ) A variância é definida como a soma dos quadrados dos desvios dividida pelo tamanho da amostra menos 1. s ( xi x) = n 1 O desvio em relação à média é a diferença entre cada dado (x i ) e a média do conjunto ( x ). Exemplo: Calcular a variância para o caso abaixo. Tabela 1. Tempo, em minutos. Tempo, em minutos, de espera do lanche X tudo na Lanchonete x = 17 min s ( 0 17) + ( 1 17) + ( 17) ( 1 17) = 170 = = 18, 89 min 9 1 = 41

14 Medidas de Tendência Central No caso de uma distribuição de freqüências usamos a fórmula: ( xi x). fi s =, onde xi é o ponto médio do intervalo de n 1 classe e fi é a freqüência de cada classe. Tabela. Classes de salários. Classes de salários (em reais) Ponto Médio fi (x i - x).fi x =.0 reais. s = = , 76 reais Desvio-padrão (s) fi = 0 (x i - x).fi = O desvio-padrão é a raiz quadrada positiva da variância. Para dados isolados: s = ( xi x). n 1 Para dados agrupados: s = ( xi x). fi. n 1 O desvio-padrão é uma das medidas de dispersão de maior interesse nas pesquisas em geral, pois ela é expressa na mesma unidade da variável em estudo. 4

15 ESTATÍSTICA DESCRITIVA Verifique o exemplo abaixo: Vamos considerar as alturas, em centímetros, de grupos de alunos de uma universidade. Tabela 3. Alturas. Grupo 1 Grupo Total: 11 Total: 1713 x 1 = 11, cm s 1 = 1,08 cm x = 171,3 cm s = 18,98 cm Devemos observar que, quanto maior o desvio-padrão, maior será a variação entre os dados analisados, e, quanto menor for o desvio-padrão, menor é a variação entre os dados analisados. No grupo, a variação entre as alturas é maior (desviopadrão 18,98 cm), e no grupo 1 (desvio-padrão 1,08 cm), a variação é menor Coeficiente de Variação (CV) O coeficiente de variação é o quociente entre o desvio-padrão e a média. CV s =. x Podemos expressar o coeficiente de variação na forma de porcentagem. s CV =. 0 %. x No exemplo acima temos: Grupo 1, com CV=0,71%, e Grupo, com CV=11,08%. 43

16 Medidas de Tendência Central 4. Exercícios Resolvidos 1. A variação do preço, em reais, da lata de óleo de soja em diversos mercados. Preços referentes a 03/01/008.,0,70,30,4,60,,6,1,3,70 Para os dados acima encontre: a) a média., 0 +, 70 +, 30 +, 4 +, 60 +, +, 6 +, 1 +, 3 +, 70 x = = 4, = =, 4 O preço médio é de R$,4. b) desvio-padrão. Para facilitar os cálculos, vamos construir uma tabela; veja a seguir: s = Preços (em reais) (xi - x), (, -,4) = 0,1,1 (,1 -,4) = 0,09,30 (,30 -,4) = 0,0,3 (,3 -,4) = 0,01,4 (,4 -,4) = 0,0 (,0 -,4) = 0,00,60 (,60 -,4) = 0,0,6 (,6 -,4) = 0,04,70 (,70 -,4) = 0,06,70 (,70 -,4) = 0,06 xi =,4 (xi - x) = 0,43 0, 1 + 0, , 0 + 0, , , 0 + 0, , , 06 1 * arredondamento para duas casas decimais. 0, c) CV =. 0% = 8, 98%., 4 0, 43 = = 0, * 9 44

17 ESTATÍSTICA DESCRITIVA. Para a tabela a seguir, determine: Tabela 4. Produção de Biodiesel. Produção de Biodiesel no estado de São Paulo Biodiesel Puro por produtor (m³) Janeiro - 63 Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Determine: Fonte: ANP/SRP, conforme a portaria ANP nº 4/01. a) a média e o desvio-padrão da produção de Biodiesel de junho a dezembro de x = = = = 3017, m 3 7 Mês Xi (xi - x) Junho 3761 ( ,7) = 4676,7 Julho 3 (3-301,7) = ,36 Agosto 34 (34-301,7) = 44649,70 Setembro 4007 ( ,7) = 977,8 Outubro 489 ( ,7) = ,96 Novembro 4863 ( ,7) = ,44 Dezembro 136 ( ,7) = , xi = 111 (xi - x) = , , 68 s = = 1869, 8 6 4

18 Medidas de Tendência Central b) a média e o desvio-padrão da produção de Biodiesel de janeiro a outubro de 007. Média: x = = Desvio-Padrão: 3114 = 311, 4 m 3 Mês Xi (xi - x) Janeiro 63 (63-311,4) = ,36 Fevereiro 1683 ( ,4) = ,36 Março 1743 ( ,4) = 1876,36 Abril 1916 ( ,4) = ,96 Maio 336 ( ,4) = 60796,96 Junho 99 (99-311,4) = ,6 Julho 3871 ( ,4) = 7473,96 Agosto 793 ( ,4) = ,36 Setembro 4473 ( ,4) = 1813,36 Outubro 787 ( ,4) = 17478,16 xi = 3114 (xi - x) = , , 4 s = = 1, 8 m 3 9 O valor médio da produção de biodiesel, em 006, foi de 301,7 m³ e, em 007, foi de 311,4 m³. A variação da produção foi maior em

19 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 3. A tabela a seguir mostra os preços de venda no mercado atacadista de 3 produtos. Preços mensais de venda no mercado atacadista janeiro a outubro de 007. Feijão Carioquinha tipo 1 Preço em reais por saca de 60 kg. Feijão Carioquinha tipo Preço em reais por saca de 60 kg. Feijão Preto tipo 1 Preço em reais por saca de 60 kg. Janeiro 74,64 67,0 6,31 Fevereiro 78,6 68,6 6,09 Março 7,80 66,0 9,61 Abril 7,9 66,66 9,84 Maio 89,86 76,66 61, Junho 93,61 8,16 67,9 Julho 93,9 8,93 66,93 Agosto 0,6 93,70 70,13 Setembro 11,84 8,8 77,0 Outubro 146,0 141,34 86,66 Fonte: IAE Instituto de Economia Agrícola. a) calcule o preço médio de cada produto nos meses de janeiro a outubro de 007. b) calcule o desvio-padrão e o coeficiente de variação de cada produto nos meses de janeiro a outubro de 007. c) analise os resultados do item b. 47

20 Medidas de Tendência Central Feijão Carioquinha Tipo 1 x1 74, , 6 + 7, , , , , 9 + 0, , , 0 937, 6 = = = 93, 76 reais Feijão Carioquinha tipo 1 Preço em reais por saca de 60 kg. (xi) (xi - x) 74,64 (74,64-93,76) = 36,766 78,6 (78,6-93,76) = 31,190 7,80 (7,80-93,76) = 439,31 7,9 (7,9-93,76) = 341,36 89,86 (89,86-93,76) = 1,490 93,61 (93,61-93,76) = 0,040 93,9 (93,9-93,76) = 0,6 0,6 (0,6-93,76) = 4,180 11,84 (11,84-93,76) = 363,86 146,0 (146,0-93,76) = 780,980 xi = 937,6 (xi - x) = 480, , 3340 s 1 = =, 6 reais. 9 Feijão Carioquinha Tipo x 67, , , , , , , , , 83, 7 = = = 8, 37 reais. Feijão Carioquinha tipo Preço em reais por saca de 60 kg. (xi) (xi - x) 67,0 (67,0-8,37) = 33,697 68,6 (68,6-8,37) = 80,69 66,0 (66,0-8,37) = 374, ,66 (66,66-8,37) = 30, ,66 (76,66-8,37) = 7,8989 8,16 (8,16-8,37) =,3169 8,93 (8,93-8,37) =, ,70 (93,70-8,37) = 69,36 8,8 (8,8-8,37) = 38, ,34 (141,34-8,37) = 313,4170 xi = 83,7 (xi - x) = 173, , 71 s = = 3, 98 reais. 9

21 ESTATÍSTICA DESCRITIVA Feijão Preto Tipo 1. x3 6, 31+ 6, , 61+ 9, , + 67, , , , , , 46 = = = 67, 346 reais Feijão Preto tipo 1 Preço em reais por saca de 60 kg. (xi) s (xi - x) 6,31 (6,31-67,346) =, ,09 (6,09-67,346) = 7,636 9,61 (9,61-67,346) = 9, ,84 (9,84-67,346) = 6, , (61, - 67,346) = 33, ,9 (67,9-67,346) = 0, ,93 (66,93-67,346) = 0, ,13 (70,13-67,346) = 7, ,0 (77,0-67,346) = 94, ,66 (86,66-67,346) = 373,03096 xi = 673,46 (xi - x) = 677, , 8914 = = 8, 68 reais. 9 Resumindo os nossos dados temos: Feijão Carioquinha Tipo 1 Feijão Carioquinha Tipo Feijão Preto Tipo 1 Média R$ 93,76 R$ 8,37 R$ 67,346 Desvio-padrão R$,6 R$ 3,98 R$ 8,68 Após a análise, podemos concluir que o feijão preto tipo 1 possui menor preço médio e também a menor variação de preço. Entre o feijão carioquinha tipos 1 e, o menor preço médio é o do tipo ; a variação do tipo 1 é de aproximadamente 3% e a do tipo é de,8%. 49

22 Medidas de Tendência Central 4. A tabela de freqüências abaixo mostra o número de professores agrupados por classes; de idade de uma Universidade. Classes de idades (em anos) nº de professores (fi) fi = 4 Calcule a média, a variância e o coeficiente de variação. Para o cálculo da média devemos primeiramente encontrar os pontos médios dos intervalos de classe; veja a seguir: Classes de idades (em anos) nº de professores (fi) Ponto Médio = = = = = 6 fi = 4 0

23 ESTATÍSTICA DESCRITIVA Para o cálculo da média, fazemos: Classes de idades (em anos) nº de professores (fi) Ponto Médio (xi) xi.fi =.= = 3 3.= = 4 4.1= =.1= = 6 6.3=19 00 x = = 44, 6 * anos 4 fi = 4 xi.fi = 00 *aproximação de duas casas decimais. Para o cálculo da variância temos: Classes de idades (em anos) Ponto Médio (xi) nº de professores (fi) (xi - x)..fi ( - 44,6). = 191,968 (3-44,6). = 913,936 (4-44,6). 1 =,904 ( - 44,6). 1 = 1307,93 (6-44,6). 3 = 13,3808 fi = 4 (xi - x).fi = 391,11 s 191, ,936 +, , ,3808 = = , = 1, 3 anos. 44 1

24 Medidas de Tendência Central Para o cálculo do coeficiente de variação temos: s = 1, 3 = 11, 07 anos. 11, 07 CV =. 0% = 4, 84%. 44, 6. Considere a tabela abaixo. Salários recebidos pelos funcionários da Empresa X. Salários nº de funcionários Total: 60 Calcule a média, o desvio-padrão e o coeficiente de variação. Para o cálculo da média, temos: Salários xi nº de funcionários fi xi.fi = = = = = = =00 Total: xi.fi = x = = 116, 67 reais. 60

25 ESTATÍSTICA DESCRITIVA Para o desvio-padrão temos: Salários xi nº de funcionários fi xi.fi 800 ( ,6). = , ( ,6).6 = 3976, (00-116,6).1 = 944, (10-116,6).4 = 184, (0-116,6).8 = 19, ( ,6). = 0434, ( ,6). 1 = 88814,333 fi = 60 (xi - x).fi= , , 334 s = = 03, 67 reais. 9 Para o coeficiente de variação temos: 03, 67 CV =. 0% = 17, 6% 116, 67 A média dos salários é de R$116,67 com um coeficiente de variação de 17,6%. 6. Considere o histograma abaixo e calcule a variância e o coeficiente de variação. 3

26 Medidas de Tendência Central A idade média dos alunos já foi calculada no capítulo anterior, basta agora calcularmos o desvio-padrão e o coeficiente de variação. 14 x = = 14, anos. 0 Classes de idades Ponto Médio xi nº de alunos fi (xi - x)..fi (11-14,). 30 = 88, (13-14,). 0 = 4, (1-14,). = 0, (17-14,). 1 = 16, (19-14,). = 40,1 Total: 0 (xi - x).fi = s = =, 66 anos. 99, 66 CV =. 0% = 18, 87% 14, A variação das idades dos alunos do curso de Inglês é de 18,87%. Referências Bibliográficas LARSON e FARBER. Estatística Aplicada. São Paulo: Prentice Hall, 004. LEVIN, J. e FOX, J.A. Estatística para ciências humanas. São Paulo: Prentice Hall, 004. MOORE, D. A Estatística Básica e sua prática. Rio d Janeiro: LTC, 000. NEUFELD, J. L. Estatística aplicada à Administração usando excel. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 003. PEREIRA, P. H. Noções de Estatística. São Paulo: Papirus, 004. SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books, VIEIRA, S. Introdução a Bioestatística. Rio de Janeiro: Campus,

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