População x Amostra. statística descritiva X inferência estatística. Revisão de Estatística e Probabilidade

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Sebastiana Cordeiro Galvão
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1 Revisão de Estatística e Probabilidade Magos Martiello Uiversidade Federal do Espírito Sato - UFES Departameto de Iformática DI Laboratório de Pesquisas em Redes Multimidia LPRM statística descritiva X iferêcia estatística Estatística descritiva : métodos que evolvem a coleta, a apresetação e a caracterização de um cojuto de dados de modo a descrever apropriadamete as várias características deste cojuto; Iferêcia estatística : métodos que possibilitam a estimativa de uma característica de uma população ou a tomada de decisão referete à população com base somete em resultados de amostra; População x Amostra População (ou uiverso) : cojuto de idivíduos sobre os quais se quer obter iformações Totalidade dos ites ou objetos. Exemplo: Todas as empresas do Brasil, ceso do IBGE Amostra: parte selecioada da população. Exemplo: empresas brasileiras de capital aberto Iformações imprecisas devido à variação amostral Imprecisão compesada pela viabilidade Ex: pesquisas eleitorais, aálise de ativos (retoro X risco) Amostra: deve ser represetativa da população 1

2 Estatística Descritiva Objetivos 1. Explicar propriedades uméricas dos dados. Descrever medidas de : Tedêcia cetral Variação Forma Caracterizado um cojuto de dados Quado temos um cojuto de observações, em geral há tipos de medidas que os iteressam: medidas de posição e medidas de dispersão ou variação. Etre as medidas de posição, temos especial iteresse as medidas de tedêcia cetral: média, mediaa e moda. Etre as medidas de dispersão, as mais importates são a variâcia e o desvio-padrão. Propriedades e Medidas Propriedades Numéricas Tedêcia Cetral Média Mediaa Moda Variação Forma Amplitude Assimetria Variâcia Curtose Desvio Padrão Coeficiete de Variação

3 Medidas de Tedêcia Cetral Média Medida mais comum Atua como um Cetro de Gravidade Supoha uma amostra de observações X 1, X,..., X. A média aritmética, é defiida como: X X1 + X X i= 1 = = X i Medidas de Tedêcia Cetral Exemplo: A cotaçãodiáriado dólarparavedaaologoda semaa foi:,11 ;,09 ;.11 ;.07 ;.16. A) Qual é a média? B) Se a úica iformação que você tem é que uma pessoa vedeu 10 dólares esta semaa, qual o melhor palpite que você pode formar quato ao retoro em reais desta veda? É afetada por valores extremos ( Outliers ) Medidas de Tedêcia Cetral Mediaa Valor do meio da seqüêcia ordeada Assim, 50% das observações estão abaixo da mediaa, equato 50% estão acima. é ímpar, a mediaa é o valor umérico de posição (+1)/, a amostra ordeada. é par, a mediaa é a média das duas observações do meio da amostra ordeada. 3

4 Medidas de Tedêcia Cetral Exemplo: A cotaçãodiáriado dólarparavedaaologoda semaa foi:,11 ;,09 ;.11 ;.07 ;.16. A) Qual é a mediaa? B) Cosidere os seguites valores:,4,6,8,80. Se você quer uma medida que melhor reflita estes dados, você escolheria a média ou a mediaa? C) E se os valores forem 4,4,6,40,40? Mediaa ão é afetada por valores extremos ( Outliers ) Medidas de Tedêcia Cetral Moda Valor que ocorre com maior frequêcia em um cojuto de dados Não é afetada por valores extremos Pode existir mais de uma moda Medidas de Tedêcia Cetral Exemplo: A cotaçãodiáriado dólarparavedaaologoda semaa foi:,11 ;,09 ;.11 ;.07 ;.16. A) Qual é a moda? B) Cosidere os seguites valores:,4,6,8,80. Qual é a moda? C) E se tivermos os seguites valores observados 4,4,6,40,40? Qual é a moda? Moda é afetada por valores extremos? 4

5 Resumo: medidas de tedêcia cetral Medida Equação Descrição Média Σ X i / Cetro de Gravidade Mediaa (+1) Posição Valor do meio quado ordeado Moda max f(x) Mais Freqüete Necessidade de medidas de dispersão Cosidere uma empresa exportadora de fragos. Esta empresa esta preocupada com as variações a cotação do dólar e deseja obter uma medida que quatificasse estas variações. 1. O cálculo de medidas de tedêcia cetral vai ajudar esta firma este objetivo? Amostra 1 - {3,90; 3,89; 3,88; 3,91; 3,89; 3,87; 3,90; 3,88; 3,9} Amostra - {3,88; 3,84; 3,90; 3,90; 3,93; 3,97; 3,86; 3,81; 3,95} Necessidade de medidas de dispersão Ambas as amostras têm a mesma média, mediaa e moda. Mas ote que a amostra é mais espalhada que a amostra 1. É, portato, importate desevolvermos medidas de dispersão. 5

6 Medidas de Dispersãoou Variação Medidas de dispersão idicam como valores estão distribuídos em toro de um determiado poto As medidas que vamos estudar aqui, medem como as variáveis estão distribuídas em toro da média: variâcia e desvio padrão. Qual a importâcia das medidas de dispersão? Quato maior o desvio padrão e/ou a variâcia, maior vai ser o itervalo ode os valores de uma variável aleatória pode cair. Neste caso, sigifica que a média ão tem muita iformação acerca dos valores de uma realização da variável aleatória. Exemplo: Lucro e Risco Pese o caso do lucro. Se o lucro de uma empresa tiver muita dispersão, sigifica que ele pode ser muito alto ou muito baixo. Isto sigifica dizer que, por exemplo, um ivestimeto as ações desta empresa pode trazer um gaho elevado ou uma perda elevada. 6

7 Medidas de Dispersão Idicam a variação em toro da média Var( X) ( Xi X ) i= = 1 _ X = 8 S = Var(X) Necessidade de medidas de dispersão Qual é a variâcia e o desvio padrão de cada amostra? Amostra 1 - {3,90; 3,89; 3,88; 3,91; 3,89; 3,87; 3,90; 3,88; 3,9} Amostra - {3,88; 3,84; 3,90; 3,90; 3,93; 3,97; 3,86; 3,81; 3,95} Voltado ao Exemplo Variâcia: Amostra 1 = 0,000 Amostra = 0,004 Difícil de iterpretar porque, se a amostra é medida em reais, a variâcia é medida em reais ao quadrado. Desvio-Padrão: Amostra 1 = 0,0149 Amostra = 0,0490 As oscilações da amostra em toro da média são de, aproximadamete, 1 cetavo e meio a amostra 1 e cico cetavos a amostra. 7

8 Amplitude 1. Difereça etre a meor e a maior observação. Mede a dispersão total o cojuto de dados 3. Igora a maeira como os dados são distribuídos Quatis Tato a média quato o desvio padrão são afetados, de forma exagerada, por valores extremos; Podemos defiir uma medida, chamada quatil de ordem p deotada por q(p), ode p é uma proporção qualquer, 0< p<1, tal que 100p% das observações sejam meores do que q(p) Exemplos q(0.5) = primeiro quartil = 5 percetil q(0.5) = mediaa = 5 decil = 50 percetil Coeficiete de Variação Medida de dispersão relativa Sempre em % Mostra a variação relativa à média Ao cotrário da variâcia ou do desvio-padrão, ele ão depede da uidade de medida. CV S = 100% X Evidetemete, se a média aritmética for zero ou muito próxima de zero, o coeficiete de variação deixa de ser uma medida útil. 8

9 Resumo de medidas de dispersão Medida Equação Descrição Amplitude X maior - X meor Dispersão total Desvio Padrão ( X X) Dispersão em toro i da média Variâcia Σ(X i - X) Dispersão quadrada em torodamédia Coef. de Variação (S / X).100% Variação Relativa Propriedades e Medidas Propriedades Numéricas Tedêcia Cetral Média Mediaa Moda Variação Forma Amplitude Assimetria Variâcia Curtose Desvio Padrão Coeficiete de Variação Medidas de Forma Assimetria Descreve como os dados estão distribuídos em cada lado da média O coeficiete de assimetria de uma distribuição simétrica em relação à média é ulo. a 3 = m3 3 m k ( xi x) m i= k = 1 Assimetria à Esquerda Simétrica Média Mediaa Moda Média= Mediaa= Moda Assimetria à Direita Moda Mediaa Média 9

10 Coeficiete de Curtose Mede o ível de achatameto em relação a uma distribuição Normal A curtose de uma Normal vale 3: distribuição mesocúrtica Meor que 3: distribuição platicúrtica maior que 3: distribuição leptocúrtica platicúrtica mesocúrtica m a 4 4 = m leptocúrtica 10

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