AEP FISCAL ESTATÍSTICA

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1 AEP FISCAL ESTATÍSTICA Módulo 0: Medidas de Dispersão

2 MÓDULO 0 - MEDIDAS DE DISPERSÃO 1. Coceito: Dispersão é a maior ou meor diversificação dos valores de uma variável, em toro de um valor de tedêcia cetral tomado como poto de comparação. Para qualificar os valores de uma variável, mostrado a maior ou meor cocetração ou dispersão etre seus valores e a medida de posição tomada como referêcia, o caso a média aritmética, recorre-se às medidas de dispersão ou de variabilidade. Portato, a fialidade das medidas de dispersão é verificar a represetatividade do grau de cocetração ou dispersão dos dados em toro da média.. AMPLITUDE TOTAL: AT É a difereça etre o maior valor e o meor valor dos dados apresetados. Exemplo para um cojuto: Seja o cojuto: = {1,,,, 7, 9} Teremos que: AT= 9 1 AT = Exemplo de Dados Tabulados ão agrupados em classes: Seja: fi Total 0 Teremos que: AT = 1 AT = 11 Exemplo de Dados tabulados agrupados em classes: Seja: classes fi Total 0 Teremos que: AT = 1 AT = Obs.: Note que a Amplitude Total também pode ser determiada pela difereça etre o Poto Médio da última classe e o Poto Médio da primeira classe! Obs.: Essa medida tem aplicações muito limitadas, pois só capta o que acotece com os valores extremos, sedo completamete isesível aos valores itermediários.

3 . DESVIO MÉDIO: DM É a média dos valores absolutos dos desvios calculados em relação à média aritmética do cojuto..1. Para um cojuto: DM Exemplo: Seja = {1,,, 7, 9} Teremos que: = Daí: = - = - = 0 7 = 9 = 0 Total 1 Logo: DM = 1 / DM =,.. Para Dados tabulados ão agrupados: Teremos que: fi. DM Exemplo: Calcule o desvio médio da distribuição: fi Total 0 Acharemos as coluas, e fi.. Calculado a média, ecotraremos: =6,. Logo: fi fi ,=-, -6,=-, 6-6,=-0, -6,=1, -6,=, 1-6,=6,,, 0, 1,, 6,,x=,,x= 0,x1=7, 1,x1=1,x=17, 6,x=19, Total 0 1 Daí: DM = 1 / 0 DM =,0

4 .. Para Dados tabulados agrupados em classes: Teremos também que: fi. DM A úica difereça para o DMA os dados tabulados ão agrupados é que agora a colua será ecotrada pela difereça etre o Poto Médio de cada classe e a Média Aritmética da distribuição! Portato, devemos aqui ecotrar primeiramete a colua dos Potos Médios ()!. VARIÂNCIA: V ou S É a média dos quadrados dos desvios dos elemetos tomados em relação à média aritmética. Para um cojuto de valores: Para a População: Para a Amostra: ( V ) ou ( ) V ou 1 Para a Distribuição de Frequêcias: Para a População: fi ( ) V 1 V 1 V 1 ou 1 V fi ( ) 1 Para a Amostra: V fi ou V 1 fi 1 Lembre-se que em uma distribuição de freqüêcia com classes, os elemetos ão são cohecidos, e que estes são represetados geralmete pelos potos médios das classes. IMPORTANTE: Na fórmula da Variâcia aparece o termo ) para um cojuto de valores e o ( termo fi ) para os Dados Tabulados. É importate saber que há uma relação etre os ( fi fi termos acima e o valor da média aritmética. Temos as seguites relações: - Para o Rol ou Dados Brutos:. - Para Dados Tabulados: fi. Deste modo, se forem forecidos os valores de e de, coseqüetemete teremos o valor do termo que aparece a fórmula da variâcia.

5 Exemplo: Seja = {1,,, 7, 9} Teremos que: = Daí: ( ) Logo: V = = - = - = 0 7 = 9 = Total 0 V = Exemplo: Calcule a variâcia a partir da distribuição populacioal a seguir: fi Total 0 Acharemos as coluas, ( ) e fi.( ). Calculado a média, ecotraremos: =6,. Logo: fi ( ) fi. ( ) ,=-, -6,=-, 6-6,=-0, -6,=1, -6,=, 1-6,=6, 0, 6, 0,, 1,, 0,x = 1, 6,x = 6, 0,x1 =,7,x1 = 7 1,x = 61,,x = 16,7 Total 0,0,0 Daí: V V = 7,6 0 6

6 Cálculo Simplificado da Variâcia Da mesma forma que usamos uma variável trasformada o Cálculo Simplificado da Média Aritmética, também usaremos o Cálculo Simplificado da Variâcia com a fialidade de facilitar a obteção da variâcia que depededo dos dados forecidos a questão pode ser bastate trabalhosa. Assim, trasformaremos a variável origial em uma outra variável, por meio de uma operação de subtração e depois de uma divisão. Poderemos simbolizar a ova variável (a variável trasformada) por uma outra letra, Z por exemplo. Ou W, ou Y... fica a seu critério. Iremos, portato, o cálculo simplificado da variâcia costruir uma ova colua, que será chamada Colua da Variável Trasformada. Vejamos um exemplo: Classes 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 69, 69, 79, 79, 9, 9, 99, fi (potos médios),,, 6, 7,, 9, Zi = 6, fi.zi fi.zi = Os passos deste método são os seguites (Para distribuições com amplitudes de classes iguais): 1) Costruir a colua da variável trasformada (aqui chamada Z), seguido a sugestão: i) Subtrairemos os pelo poto médio de uma das classes da distribuição. A escolha mais adequada é uma classe cetral da distribuição. Se a distribuição tiver um úmero par de classes, escolha a classe cetral com maior freqüêcia. No exemplo acima, escolhemos o PM da ª Classe. ii) Dividiremos o resultado pela Amplitude da Classe, o h (o exemplo: h=). IMPORTANTE: Sempre que costruirmos a colua da variável trasformada por meio da sugestão apresetada acima, teremos como resultado uma seqüêcia de úmeros iteiros, iiciado por zero a classe escolhida ateriormete e icremetado de +1 para baixo e de -1 para cima. (Veja a tabela.) ) Costruir a colua (fi.zi) e calcular o seu somatório; ) Costruir a colua (fi.zi ) e calcular o seu somatório; ) Ecotrar o valor da Variâcia da Variável Trasformada, usado a fórmula da variâcia: 1 - Para a população: fi. Zi V Z fi. Zi. 7

7 1 (0) Substituido os dados, teremos: V Z 70, 0 0 ) Cálculo da Variâcia A relação etre e Z é dada por: Z = 6,_, e ao isolarmos, obteremos: =.Z + 6,. Pelas propriedades da variâcia, sabemos que ao somar ou subtrair uma costate a uma variável, a variâcia ão se altera, e que ao multiplicar (ou dividir) uma variável por uma costate, a variâcia fica multiplicada ou dividida pelo quadrado da costate. Portato, como Z 6,, etão: V ( ) V. Z Substituido o valor de V Z =,, calculado o item, obtemos a variâcia da variável : V = ()., =. Propriedades da Variâcia: A variâcia de dados costates é zero; A variâcia utiliza o quadrado dos desvios em relação à média, portato terá o quadrado da uidade dos dados, ou seja, m, kg,... Quato a Propriedade da Soma e da Subtração: Somado-se (ou subtraido-se) a cada elemeto de um cojuto de valores uma costate arbitrária, a variâcia ão se altera. Quato a Propriedade do Produto e da Divisão: Multiplicado-se (ou dividido-se) cada elemeto de um cojuto de valores por um valor costate, arbitrário e diferete de zero, a variâcia ficará multiplicada (ou dividida) pelo quadrado desta costate. Obs.: Veja os resumos, ao fial da apostila, o cálculo simplificado da variâcia!. DESVIO PADRÃO: dp ou S É a raiz quadrada da média dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética, ou seja, é a raiz quadrada da variâcia: S V. Caso uma questão peça o valor do desvio padrão, primeiramete calcule a variâcia e em seguida tire a raiz quadrada... Propriedades do Desvio Padrão: O desvio padrão de dados costates é zero; O desvio padrão é uma medida que utiliza a mesma uidade dos dados.

8 Quato a Propriedade da Soma e da Subtração: Somado-se (ou subtraido-se) a cada elemeto de um cojuto de valores uma costate arbitrária, o desvio padrão ão se altera. Quato a Propriedade do Produto e da Divisão: Multiplicado-se (ou dividido-se) cada elemeto de um cojuto de valores por um valor costate, arbitrário e diferete de zero, o desvio padrão ficará multiplicado (ou dividido) por esta costate. 6. AMPLITUDE SEMI-INTERQUARTÍLICA (DESVIO QUARTÍLICO): Dq É a metade da difereça etre o terceiro quartil (Q) e o primeiro quartil (Q1). Ou seja: Dq Q Q 1 Ateção: O itervalo iterquartílico é defiido por: Q 1 ; Q A distâcia ou amplitude iterquartílica é defiida como: Q Q1 Q1 Q O itervalo semi-iterquartílico é defiido por: ; Q Q A distâcia ou amplitude semi-iterquartílica é defiida como: 1 7. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO: CV (A Dispersão Relativa) Também cohecido por Coeficiete de Variação de Pearso. É utilizada para fazer comparação da dispersão de duas séries distitas em toro de suas respectivas médias. É defiida como o quociete etre o Desvio Padrão e a Média Aritmética do cojuto de dados. S Ou seja: CV Exemplo: Cosidere que tehamos duas distribuições. A primeira com média e desvio padrão 1, e a outra com média e desvio padrão 1,. Neste caso temos os seguites CV's: CV CV 0. logo coclui-se que, como CV é maior que CV 1, a seguda distribuição tem uma dispersão relativa maior que a primeira. Obs.: Quato meor for o valor do CV, mais homogêeo será o cojuto de dados. Portato, o exemplo acima, a primeira distribuição é mais homogêea do que a seguda. Obs.: Em geral CV maior ou igual a 0% é cosiderado alto, sedo a média pouco represetativa. Valores meores que 0% implicam CV baixo e a média é tão mais represetativa quato meor for o valor do CV. 9

9 . VARIÂNCIA RELATIVA : VR A variâcia relativa também é uma medida de dispersão relativa que é obtida como a razão etre a variâcia e o quadrado da média aritmética. S VR A variâcia relativa pode ser defiida como o quadrado do coeficiete de variação, vejamos: VR S CV S RESUMO DAS PROPRIEDADES DA SOMA, SUBTRAÇÃO, PRODUTO E DIVISÃO: Se tomarmos todos os elemetos de um cojuto e os......somarmos a uma costate...subtrairmos de uma costate...multiplicarmos por uma costate...dividirmos por uma costate As medidas: Média, Mediaa, Moda, Quartil, Decil e Percetil estarão: O Desvio Padrão e o Desvio Médio ficarão: A Variâcia ficará: O Coeficiete de Variação ficará: Também somada a esta costate Ialterado Ialterada alterado (calcular S ) Também subtraída desta costate Ialterado Ialterada alterado Também multiplicada por esta costate Multiplicado pelo módulo desta costate Multiplicada pelo quadrado desta costate Também dividida por esta costate Dividido pelo módulo desta costate Dividida pelo quadrado desta costate (calcular S ) Ialterado Ialterado 0

10 EERCÍCIOS 01. (AFC-9 ESAF) Etre os fucioários de um órgão do govero, foi retirada uma amostra de dez idivíduos. Os úmeros que represetam as ausêcias ao trabalho registradas para cada um deles, o último ao, são: 0, 0, 0,,,,,, 6 e. Sedo assim, o valor do desvio padrão desta amostra é: a) c) b) 9 d) 0 0. (AFPS-00/ESAF) Dada a seqüêcia de valores,,, 7 e assiale a opção que dá o valor da variâcia. Use o deomiador em seus cálculos. a), c), e) 16,0 b), d) 6,0 0. (AFTN-9) Os dados seguites, ordeados do meor para o maior, foram obtidos de uma amostra aleatória, de 0 preços () de ações, tomada uma bolsa de valores iteracioal. A uidade moetária é o dólar americao.,,, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7,,,,,,,,,, 9, 9, 9, 9, 9, 9,,,,,,,,, 11, 11, 1, 1, 1, 1,1, 1, 1, 1, 16, 16, 1, Os valores seguites foram calculados para a amostra: i i = 90 e i i ( i i ) / 0 = 66 Assiale a opção que correspode à mediaa e à variâcia amostral, respectivamete (com aproximação de uma casa decimal) a) (9,0 1,6) c) (,0 1,0) e) (9,0 1,0) b) (9, 1,0) d) (,0 1,6) 0. (SEFAZ/SP APOFP 009 ESAF) Cosiderado que as observações apresetadas a questão aterior costituem uma amostra aleatória simples 1,,..., de uma variável aleatória, determie o valor mais próximo da variâcia amostral, usado um estimador ão tedecioso da variâcia de. Cosidere que: a) 90,7 b) 96, c) 9, d) 9,6 e) 9,7 0. (Tec Receita Federal 00 ESAF) Cosidere os seguites cojutos de observações referetes a cico diferetes variáveis: T: ; ; ; ; ; V: ; ; ; ; ; : ; ; ; ; ; Y: ; ; ; ; ; Z: ; ; ; ; ; O cojuto de observações que apreseta a maior variabilidade, medida pelo desvio padrão, é o referete à variável a) Y b) T c) V d) e) Z 1

11 06. (Fiscal de Redas SP 006 FCC) Cosiderado as respectivas defiições e propriedades relacioadas às medidas de posição e de variabilidade, é correto afirmar: (A) Cocededo um reajuste de % em todos os salários dos empregados de uma empresa, temse também que a respectiva variâcia fica multiplicada por 1,. (B) Defiido coeficiete de variação (CV) como sedo o quociete da divisão do desvio padrão pela respectiva média aritmética (diferete de zero) de uma seqüêcia de valores, tem-se etão que CV também poderá ser obtido dividido a correspodete variâcia pelo quadrado da média aritmética. (C) Subtraido um valor fixo de cada salário dos fucioários de uma empresa, tem-se que o respectivo desvio padrão dos ovos valores é igual ao valor do desvio padrão dos valores ateriores. (D) Dividido todos os valores de uma seqüêcia de úmeros estritamete positivos por, tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por. (E) Em qualquer distribuição de valores em estudo, a difereça etre a mediaa e a moda é sempre diferete de zero. 07. (ANEEL 00 ESAF) Em uma pesquisa de opiião para avaliar a percepção de dirigetes quato adequabilidade de determiado procedimeto admiistrativo, observaram-se 0 impressões favoráveis ao procedimeto e 60 cotrárias. Seja o atributo com valor 1 para uma impressão favorável e zero em caso cotrário. Assiale a opção que dá a variâcia dos valores observados de. Use o deomiador 0 o cálculo da variâcia. a) 0,1600 d) 0, b) 0,600 e) 0,66 c) 0,00 0. (ATRFB 009 ESA) Obteha o valor mais próximo da variâcia amostral da seguite distribuição de frequêcias, ode xi represeta o i-ésimo valor observado e fi a respectiva frequêcia. xi fi 6 6 a) 1,9. b) 1,. c) 1,. d) 1,9. e) 1,. 09. (ACE-MICT-199/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de veda de um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de revededores, a tabela de freqüêcias seguite: Classe de Preços m i f i [ 9) 7 [ 9 1) 11 [1 17) 1 7 [17 1) 19 6 [1 ) [ 9) 7 1 As quatidades m i e f i represetam o poto médio e a freqüêcia da classe de preços i. Sabedo-se que: i (f i m i ) ( i f i m i ) / 69

12 assiale a opção que melhor aproxima o desvio padrão amostral. a) (7/1) 0. d),91 b) 6 e) c) (/1) 0.. (AFRFB 009 ESAF) A tabela mostra a distribuição de frequêcias relativas populacioais (f ) de uma variável : f ' 6a 1 1a a Sabedo que a é um úmero real, etão a média e a variâcia de são, respectivamete: a) µ = - 0, e =,7 b) µ = 0, e = -, c) µ = - 0, e =, d) µ = 0 e = 1 e) µ = 0, e =,7 11. Determie a variâcia amostral de utilizado a distribuição de frequêcia a seguir: Classes 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 69, 69, 79, 79, 9, 9, 99, fi =0 1. (AFRF-00.) Uma variável cotábil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de empresas apresetado os resultados seguites: Grupo Média Desvio padrão A 0 B Assiale a opção correta. a) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta. b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa. c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo A. d) A dispersão relativa de Y etre os Grupos A e B é medida pelo quociete da difereça de desvios padrão pela difereça de médias. e) Sem o cohecimeto dos quartis ão é possível calcular a dispersão relativa os grupos.

13 1. (AFRF-000) Numa amostra de tamaho 0 de uma população de cotas a receber, represetadas geericamete por, foram determiadas a média amostral M = 0 e o desvio-padrão S =1 da variável trasformada (-00)/. Assiale a opção que dá o coeficiete de variação amostral de. a),0 % d) 17, % b) 9, % e),0 % c) 17,0 % 1. (AFRF-00/ESAF) O atributo Z= (-)/ tem média amostral 0 e variâcia amostral,6. Assiale a opção que correspode ao coeficiete de variação amostral de. a) 1,9% d) 1,% b) 0,1% e),0% c) 7,7% GABARITO 01 c 11 7,7 0 c 1 c 0 a 1 b 0 b 1 c 0 d 06 c 07 c 0 c 09 a c