Comparação entre duas populações

Transcrição

1 Comparação etre duas populações

2 AMOSTRAS INDEPENDENTES

3 Comparação etre duas médias 3

4 Itrodução Em aplicações práticas é comum que o iteresse seja comparar as médias de duas diferetes populações (ambas as médias são descohecidas. Na comparação de duas populações, dispomos de duas amostras, em que são possíveis as seguites situações: amostras depedetes idepedetes variâcias pop. cohecidas variâcias pop. iguais descohecidas diferetes Discutiremos apeas os testes cohecidos como paramétricos, que assumem que as variáveis se comportam segudo um modelo Normal. 4

5 Exemplo : Um pesquisador deseja comparar o salário de profissioais da saúde, de ambos os sexos. Para isso, selecioou uma amostra aleatória de 50 profissioais, sedo do sexo femiio e 8 do sexo masculio. Sabe-se, de estudos ateriores, que o salário de profissioais da saúde segue uma distribuição ormal. Masculio Femiio

6 Exemplo As duas populações, de ode as amostras são proveietes, são idepedetes e ormalmete distribuídas; - a população dos salários de profissioais da saúde do sexo femiio tem média e variâcia ~ N(, - a população dos salários de profissioais da saúde do sexo masculio tem média e variâcia ~ N(, Iteresse: Comparar as médias das duas populações. 6

7 Hipóteses estatísticas: H 0 : = H : ou > ou < ou, equivaletemete, usado difereças H 0 : - = 0 H : - 0 ou - > 0 ou - < 0 da pop. ormal com média e desvio padrão extrai-se uma a.a. de tamaho x : média da amostra de s : desvio padrão da amostra de da pop. ormal com média e desvio padrão extrai-se uma a.a. de tamaho m y : média da amostra de s : desvio padrão daamostra de Obs.: ote que os úmeros de observações as amostras, e m, ão precisam ser iguais. 7

8 grupo grupo população amostra média desvio padrão média y desvio padrão s s tamaho m x Situações possíveis com respeito às variâcias e :. cohecidas: teste Z. descohecidas: - iguais: teste-t de duas amostras - diferetes: teste-t modificado Obs.: O teste de comparação de variâcias pode ser utilizado como um procedimeto prelimiar em teste de comparação de médias, auxiliado a escolha da técica adequada. 8

9 CASO : variâcias cohecidas Cosidere o Exemplo, dos salários de profissioais da saúde. Queremos verificar se o salário das mulheres é meor do que o dos homes. ( Hipóteses estatísticas: H 0 : = ou, equivaletemete, H 0 : - = 0 H : < usado difereças H : - < 0 ( Estatística de teste Estimador de - : - Distribuição amostral do estimador: Como e são idepedetes com distribuição ormal, com médias e e desvio padrão e, respectivamete, etão ~ N μ μ, σ σ m, 9

10 ( Estatística de teste Se as variâcias são cohecidas, a estatística de teste é dada por Z ( σ σ m (3 Nível de sigificâcia: = 5% (4 Calcular medidas ecessárias: Sob H 0, Z ~ N(0, Tamaho da amostra Média Masculio ( 8 430,87 Femiio ( 40,68 Iformação dada: = 80 e = 300 0

11 (4 Calcular medidas ecessárias: z obs ( 40,68 430,87 8, ,33 8 3,45 (5A Região crítica (teste uilateral iferior A região crítica deve ter a forma: RC = { Z z tab } z tab =? Da tabela da N(0,, com = 5%, z tab = -,64 RC = { Z -,64} (6A Decidir e Cocluir z obs = -3,45 RC rejeita-se H 0 (5B Nível descritivo P P = P(Z -3,45 = 0,0003. (6B Decidir e Cocluir P < rejeita-se H 0

12 A média dos salários das mulheres é meor do que a dos homes. Quato meor? Itervalo de cofiaça para a difereça - : m z m z P z m z P z Z z P tab tab tab tab tab tab ( ( ( No exemplo: IC( - ;0% = (-8,9-,648,33; -8,9+,648,33; = (-46,;-46,7

13 CASO : variâcias descohecidas, iguais Exemplo : salário de profissioais da saúde. Queremos verificar se o salário das mulheres é meor do que o dos homes. Supoha agora: NÃO CONHECEMOS AS VARIÂNCIAS. Temos apeas a iformação de que SÃO IGUAIS ( x = =, mas ão sabemos o valor. ( Hipóteses estatísticas: H 0 : = ou, equivaletemete, H : < usado difereças H 0 : - = 0 H : - < 0 ( Estatística de teste Temos que: ~ N μ μ, σ σ m ~ N μ μ, σ m, 3

14 Assim, Z ( ( μ σ μ ~ m N ( 0, Não cohecemos, precisamos estimar por: s p ( s ( m s m. - A estimativa s p combia iformação de ambas amostras para se produzir uma estimativa mais cofiável de ; - Na verdade, s p é média poderada das duas variâcias amostrais s e s, ode cada variâcia é poderada pelos seus graus de liberdade associados; - Se é igual a m, s p é a média aritmética simples; caso cotrário, maior peso é dado à variâcia da maior amostra. 4

15 ( Estatística de teste T ( S p ( m Sob H 0, T ~ t (+m-. (3 Nível de sigificâcia: = 5% (4 Calcular medidas ecessárias: Tamaho da amostra Média Desvio padrão Masculio 8 430,87 335,74 Femiio 40,68 30,08 s p= [(-30,08 +(8-335,74 ] / (+8- = s p = 3,037 5

16 T obs ( 40,68 3, ,87 ( 8-3,074, (5A Região crítica A região crítica deve ter a forma: RC = { T t tab } t tab =? Da tabela da t(48 g.l., com = 5%, t tab = -,68 (6A Decidir e Cocluir RC = {T -,68} T obs = -3,074 RC rejeita-se H 0 (5B Nível descritivo P P= P(T 48-3,074 = 0,007 (6B Decidir e Cocluir P < rejeita-se H 0 6

17 Itervalo de cofiaça para a difereça - : em que t tab é obtido da tabela t com (+m- graus de liberdade. No exemplo: IC( - ; 0% = = (-8,9-,683,0370,85; -8,9+,683,0370,85 = (-434,85;-7,53. 7

18 CASO 3: variâcias descohecidas, diferetes Exemplo : salário de profissioais da saúde. Queremos verificar se o salário das mulheres é meor do que o dos homes. Supoha agora: NÃO CONHECEMOS AS VARIÂNCIAS E SABEMOS QUE SÃO DIFERENTES ( x. ( Hipóteses estatísticas: H 0 : = ou, equivaletemete, H 0 : - = 0 H : < usado difereças H : - < 0 ( Estatística de teste Temos que: ~ N μ μ, σ σ m 8

19 Assim, ( 0, ( ( N m σ σ μ μ Z ~ Não cohecemos e estimamos por s x e s. Fialmete, a estatística de teste, sob H 0, é. ( ( m S S T. / ] ( ( ( [( ] ( [( m m s s m s s / / / / / Sob H 0, T ~ t(, em que é o úmero de graus de liberdade dado por 9

20 (3 Nível de sigificâcia: = 5% (4 Calcular medidas ecessárias: Tamaho da amostra Média Desvio padrão Masculio 8 430,87 335,74 Femiio 40,68 30,08 40, , 87 t obs -3, 3008, 335, 74 8 [(30,08 [(30,08 / / (335,74 /( (335,74 /8] /8 /(8 ] 47,. Assim, usamos 47. 0

21 (5A Região crítica A região crítica deve ter a forma: RC = {T t tab } t tab =? Da tabela da t(47 g.l., com = 5%, t tab = -,68 RC = { T -,68} (6A Decidir e Cocluir t obs = -3, RC rejeita-se H 0 (5B Nível descritivo P P = P(T 47-3, = 0,005 (6B Decidir e Cocluir P < rejeita-se H 0

22 Itervalo de cofiaça para a difereça - : em que t tab é obtido da tabela t com graus de liberdade. No exemplo: IC( - ;0% = (-8,9-,6890,6; -8,9+,6890,6 = (-43,8; -9,56.

23 Comparação etre duas variâcias 3

24 Um teste de hipóteses importate cosiste em verificar se duas populações têm a mesma variâcia. Cosidere uma amostra,..., de uma população com distribuição N(, e uma amostra,..., m de uma população com distribuição N(,. Supoha que as duas amostras sejam idepedetes. ( Hipóteses estatísticas: H 0 : = H : ou > ou < ( Estatística de teste Se S e S são as variâcias amostrais respectivas, etão a estatística do teste é F S S Qual é a distribuição de probabilidade de F? 4

25 Resultado: Sejam ~ N(, e ~ N(,, idepedetes. Para amostras aleatórias,,...,, de e,,..., m, de, temos U S σ ~ ( V m S σ ~ ( m Se =, etão F S S U V m ~ F( ; m Se a hipótese ula H 0 é verdadeira ( =, a estatística F possui distribuição de probabilidade F de Sedecor com - graus de liberdade o umerador e m- graus de 5 liberdade o deomiador.

26 (3 Nível de sigificâcia: (4 Calcular medidas ecessárias: Obter S e S, as variâcias amostrais, e calcular F. (5A Região crítica Se H :, Se H : >, Se H : <, RC = {F: F < f ou F > f } RC = {F: F > f } RC = {F: F < f } Obteção dos valores críticos: Teste bilateral tabela Para fixado, ecotre a tabela F(-; m- um valor f tal que P(F (-; m- > f = / e Para fixado, ecotre a tabela F(m-; - (observe que os g.l. foram trocados um valor g tal que P(F (m-; - > g = / e calculamos f =/g. 6

27 (5B Nível Descritivo Se H :, Se H : >, Se H : <, P = P(F(-; m- > F obs ou P = P(F(-; m- < F obs P = P(F(-; m- > F obs P = P(F(-; m- < F obs (6 Decidir e cocluir (A Se F obs RC, rejeita-se H 0 Se F obs RC, ão se rejeita H 0 (B Se P rejeita-se H 0 Se P > ão se rejeita H 0 7

28 8 Itervalo de cofiaça para o quociete / com coeficiete de cofiaça ; ( S S f S S f P f S S f P f m V U f P f m F f P

29 Cosidere o Exemplo, dos salários de profissioais da saúde. Queremos verificar se a variabilidade do salário das mulheres é igual à dos homes. ( Hipóteses estatísticas: H 0 : M F H : M F ( Estatística de teste Se S M e S F são as variâcias amostrais respectivas, etão a estatística do teste é SF F ~ F(; 7 S (3 Nível de sigificâcia = 5%. M (4 Calcular as medidas ecessárias 30,08 S M = 335,74 e S F = 30,08 F obs 0, ,74 9

30 (5A Região crítica RC = {F : F < f ou F > f }, sedo f e f obtidos por f : ecotre a tabela F(; 7 o valor f tal que P(F(;7 > f = 0,05 f =,5 (aprox. e f : ecotre a tabela F(7; um valor g tal que P(F (7; > g = 0,05 e calculamos f =/g =/,34 = 0,47 RC = {F : F < 0,47 ou F >,5 }, (6 Decidir e cocluir F obs = 0,804 RC ão se rejeita H 0 (5B Nível descritivo P = P(F(; 7 < 0,804 = (- 0,69 = 0,6 > ão se rejeita H 0 30 Dist F

31 Itervalo de cofiaça de 95% para o quociete / : O valor IC, como esperado. 3

32 Comparação etre duas proporções 3

33 Como vimos para a média, muito frequetemete, podemos estar iteressados a comparação de duas proporções de duas populações idepedetes. ( Hipóteses estatísticas: H 0 : p = p H : p p ou p > p ou p < p ( Estatística de teste extraímos uma uma a.a. de tamaho de uma população com proporção p ; se observamos x sucessos a amostra, etão pˆ. (estimador potual de p Aalogamete, selecioamos uma amostra de tamaho da população com proporção p e se observamos x sucessos, etão pˆ (estimador potual de p. 33

34 p p p ˆ ˆ ˆ A quatidade é uma média poderada das duas proporções das amostras, e. pˆ p p ˆ ˆ. ˆ - ˆ p p ˆ ˆ ˆ ˆ p p p p p p Var p p p p E ( ( ( ( Se a hipótese ula é verdadeira, temos que p = p = p, os dados de ambas as amostras podem ser combiados para estimar esse parâmetro comum p, por 34

35 Sob a hipótese ula H 0, o estimador do erro padrão da difereça pˆ - ˆ é dado por: p pˆ (- pˆ ( Estatística do teste: Z pˆ ( pˆ ( pˆ pˆ ( Se e são suficietemete grades, essa estatística, sob H 0, tem uma distribuição ormal com média 0 e desvio padrão. 35

36 (3 Nível de sigificâcia: (4 Calcular medidas ecessárias (5A Região crítica (5B Nível Descritivo (6 Decidir e cocluir (A Se Z obs RC, rejeita-se H 0 Se Z obs RC, ão se rejeita H 0 (B Se P rejeita-se H 0 Se P > ão se rejeita H 0 36

37 Exemplo : Para ivestigar a lealdade de cosumidores a um determiado produto, sorteou-se uma amostra de 00 homes e 00 mulheres. Foram classificados como tedo alto grau de fidelidade 00 homes e 0 mulheres. Os dados trazem evidêcias de difereça de grau de fidelidade etre os gêeros? Em caso afirmativo, costrua um itervalo de cofiaça para a difereça. Sejam: p H : proporção de homes com alto grau de fidelidade p M : proporção de mulheres com alto grau de fidelidade 37

38 H 0 : p H = p M H : p H p M, ( Hipóteses estatísticas: ( Estatística do teste (3 Fixar o ível de sigificâcia do teste : = 5% ( ( ( M H M H p p p p Z ˆ ˆ ˆ ˆ sedo M H M M H H p p p ˆ ˆ ˆ 38

39 (4 Calcular as medidas ecessárias H = com alto grau de fidelidade pˆ H ,5 M = 00 0 com alto grau de fidelidade 0 pˆ M 0,6 00 ˆp 000,5 000, ,55 Valor da estatística do teste: z obs ( 0, 5 0,6 0,55 ( 0, ,0 39

40 (5A Região crítica (teste bilateral = 5% RC = {Z : Z < -,96 ou Z >,96 } (5B Nível Descritivo P = P(Z -,0 = 0,044 (6 Decidir e cocluir (A z obs = -,0 RC, rejeita-se H 0 (B Se P rejeita-se H 0 40

41 pˆ - ˆ forece uma estimativa por poto para a H p M verdadeira difereça p H p M das proporções populacioais. Um itervalo de cofiaça de 95% para a difereça p H - p M, usado a aproximação ormal, é pˆ H - pˆ M,96 pˆ H ( H pˆ H pˆ M ( M pˆ M Note que o erro padrão da difereça das proporções amostrais ão é o mesmo que aquele usado o teste; o teste de hipóteses, o erro padrão empregado foi baseado a suposição de que a hipótese ula era verdadeira (p H =p M =p; essa suposição ão é ecessária o cálculo de um itervalo de cofiaça. 4

42 No exemplo, como pˆ H 0,5e pˆ M 0,6, um itervalo de cofiaça aproximado de 95% para p H p M é 0,5( 0,5 (0,5 0,6,96 00 ( 0, 0,097; 0, 0,097 0,6( 0,6 00 ( 0,97; 0,03 Note que, como esperado, o itervalo ão cotém o valor zero. 4

43 AMOSTRAS DEPENDENTES (teste t-pareado 43

44 característica das amostras depedetes (pareadas: para cada uidade amostral realizamos duas medições. As medidas são tomadas em um úico idivíduo em dois potos distitos o tempo. Em geral, observações pareadas correspodem a medidas tomadas ates e depois de uma dada iterveção -- cada idivíduo é examiado ates que um certo tratameto seja aplicado e ovamete depois que o tratameto foi completado. Outro tipo de emparelhameto: o pesquisador casa os idivíduos de um grupo com aqueles de um segudo grupo, de modo que os membros de um par sejam parecidos (em relação a características, tais como, a idade e o gêero. 44

45 Plaejameto empregado a tetativa de se cotrolar fotes de variação que poderiam iflueciar os resultados da comparação. Se as medidas são feitas o mesmo sujeito uma certa variabilidade biológica é elimiada -- ão temos que os preocupar com o fato de um sujeito ser mais velho do que outro ou se um é homem e o outro é mulher. A iteção do emparelhameto é, portato, fazer uma comparação mais precisa. 45

46 Exemplo 3: Uma empresa deseja estudar o efeito de uma pausa de dez miutos para um cafeziho sobre a produtividade de seus trabalhadores. Para isso, sorteou seis operários, e cotou o úmero de peças produzidas durate uma semaa sem itervalo e uma semaa com itervalo. Os resultados sugerem se há ou ão melhora a produtividade? Caso haja melhora, qual deve ser o acréscimo médio de produção para todos os trabalhadores da fábrica? Operário Sem itervalo Com itervalo i : úmero de peças produzidas pelo operário i a semaa sem itervalo i : úmero de peças produzidas pelo operário i a semaa com itervalo 46

47 Efeito do emparelhameto: elimiar quaisquer distorções que poderiam ser itroduzidas ao se comparar idivíduos que diferem com relação a outras variáveis, como idade, sexo, peso, etc. Supoha que os dois grupos de observações possam ser dispostos como a seguir: Amostra Amostra d i = y i - x i x y x y d = y - x d = y - x... x y d = y - x Variável de iteresse: D =, e uma amostra de D é d, d,...d (as difereças amostrais. 47

48 O efeito produzido para o i-ésimo idivíduo pode ser represetado pela variável difereça D i = i - i ( com sem Supodo D i N( D, D, para i =,...,, uma situação geral, queremos testar as hipóteses: H 0 : D = 0 H : D 0 ou D < 0 ou D > 0 A pausa aumeta a produtividade média a pausa para o café ão produz efeito a pausa para o café produz algum efeito 48

49 O parâmetro D é estimado pela média amostral das difereças: Como ão temos iformação sobre a variâcia das difereças, estimamos seu valor por S D, dado por: i D i D ( D D S i i D Estatística do teste: S D T D Sob H 0, a estaística T tem distribuição t-studet com - graus de liberdade. 49

50 Cometários A média da amostra forece uma estimativa por poto para a verdadeira difereça das médias das populações D -. Em geral supomos que e têm distribuição ormal e, cosequetemete, podemos cosiderar que a distribuição das difereças tem distribuição ormal. Obs.: o caso geral, é ecessário uma verificação da suposição de ormalidade da difereça - pela aálise gráfica e/ou testes de hipóteses. Se a ormalidade ão é válida, esse teste t ão se aplica e técicas ão paramétricas de aálise são ecessárias. 50

51 Voltado ao exemplo, gostaríamos de saber se há alguma evidêcia estatística de que a pausa para o café aumeta a produtividade. ( Hipóteses: H 0 : D = 0 H : D > 0 ( com - sem que equivale a H 0 : = H : > D ( Estatística de teste: T ~ t (, sob H 0. S D (3 Nível de sigificâcia: = 5%. 5

52 (4 Calcular medidas ecessárias Amostra de pares d i = y i - x i : 5, 3, 0, 4, -, - s D t obs d 6 i 6 6 d 9 6 i i, ( d i d 6-5,, 88 (5A Região Crítica 6 5,88, 76 (média amostral das difereças (desvio padrão das difereças Sob a hipótese ula H 0, T tem distribuição t-studet com 6 - = 5 graus de liberdade. = 5% RC = {T : T 5,05 } 5

53 (5B Nível descritivo: P(T,76 0,5 (valor exato: 0,9 (6 Decidir e cocluir (A t obs =,76 RC ão se rejeita H 0 (B P > ão se rejeita H 0 ão há evidêcia experimetal para cocluirmos que a pausa para um cafeziho melhora a produtividade média.. 53

54 Se a hipótese ula H 0 é rejeitada: Iteresse: Ecotrar um itervalo de cofiaça para D IC( μ D sd ; % ( d t- ; d t - s D IC( μ D,88 ; 90% (,5,05 ;,5,05 6 (,5,37 ;,5,37,88 6 ( - 0,87; 3,87, que, este caso, cotem o " zero", como esperado. 54

55 55 volta

56 56 volta

57 Tabela da distribuição t-studet tabela

58 Parte iteira e primeira decimal de z Distribuição Normal : Valores de P( Z < z = A(z Seguda decimal de z