d) A partir do item c) encontre um estimador não viciado para σ 2.

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1 Uiversidade de Brasília Departameto de Estatística 6 a Lista de PE 1 Seja X 1,, X ) uma AAS tal que EX i ) = µ e VarX i ) = σ 2 a) Ecotre EXi 2 ) e E X 2) b) Calcule EX i X) X i X) 2 c) Se T =, mostre que T é um estimador viciado para σ 2 d) A partir do item c) ecotre um estimador ão viciado para σ 2 2 Propoha um estimador para o coeficiete de correlação ρ) etre duas variáveis 3 Uma das desvatages dos estimadores de mometos é que podemos ter estimadores distitos para um mesmo parâmetro Mais aida, estes estimadores distitos podem forecer valores bem diferetes para o mesmo parâmetro Com base essas idéias respoda os ites abaixo: a) Se X Poisλ), com base as propriedades da distribuição de Poisso, propoha dois estimadores de mometos distitos para o parâmetro λ b) Supoha que o úmero de acidetes semaais em uma estrada brasileira, observados um período de 30 semaas, teha sido registrado como abaixo: Supodo que os dados acima seguem a distribuição de Poisso, mostre que os dois estimadores do item a) forecem estimativas bastate díspares para λ 4 Ecotre o EMV relativo a uma AAS com distribuição expoecial de parâmetro λ 5 O tempo residual do efeito de um agrotóxico está sedo aalisado Uma aálise em laboratório com uma amostra de tamaho 10, foreceu os seguites valores em dias): 3, 5 2, 9 3, 2 2, 7 2, 8 3, 1 2, 6 3, 3 3, 2 2, 7 Estudos prévios idicam o modelo expoecial como adequado à variável acima Ecotre a probabilidade de que o tempo residual seja superior a 6 dias 6 Ecotre o EMV relativo a uma AAS com distribuição de Poisso com parâmetro λ 7 O úmero de acidetes registrados a cidade de Brasília em 10 dias ão chuvosos, escolhidos aleatoriamete em 2001, são Sabedo que o úmero de acidetes segue a distribuição de Poiso, use os dados para estimar a proporção de dias ão chuvosos que tiveram 2 ou meos acidetes este ao

2 8 Ecotre o EMV relativo a uma AAS com distribuição ormal de parâmetros µ e σ 2 9 A lei da fragmetação de Kolmogorov diz que o tamaho de uma úica partícula em uma coleção de partículas obtida da fragmetação de um mieral composto terá distribuição aproximadamete logormal, ode uma va X é dita ter distribuição logormal se logx) tem distribuição ormal Essa lei, que foi iicialmete estabelecida empiricamete, teve sua base teórica desevolvida por Kolmogorov e tem aplicação vasta o campo da egeharia por exemplo, tem sido usada a aálise do tamaho de partículas de ouro selecioadas aleatoriamete de uma coleção de ouro em pó) Supoha que uma amostra de 10 grãos de areia metálica selecioados de uma grade pilha de areia tem os respectivos comprimetos em milímetros): 2, 2 3, 4 1, 6 0, 8 2, 7 3, 3 1, 6 2, 8 2, 5 1, 9 Estime o percetual de grãos de areia da pilha cujo comprimeto esteja etre 2 e 3 milímetros 10 Seja X 1,, X ) uma AAS de uma distribuição cuja desidade é dada por Determie o EMV de θ fx) = { e x θ), se x θ, 0 se x < θ 11 Por aalogia a produtos similares, o tempo de reação a um ovo medicameto pode ser cosiderado como tedo distribuição ormal com desvio padrão igual a 2 miutos Vite pacietes foram sorteados, receberam o medicameto e tiveram seu tempo de reação aotado Os dados em miutos) foram os seguites: 2,9 3,4 3,5 4,1 4,6 4,7 4,5 3,8 5,3 4,9 4,8 5,7 5,8 5,0 3,4 5,9 6,3 4,6 5,5 6,2 Ecotre um itervalo de cofiaça de 95% para o tempo de reação médio ao medicameto 12 Uma amostra aleatória de 625 doas de casa revela que 70% delas preferem a marca A de um detergete Costrua um itervalo de cofiaça para a proporção p das doas de casa que preferem a marca A com cofiaça de 90% 13 Uma amostra de 25 observações de uma N µ, 16) foi coletada e foreceu uma média amostral de valor 8 Costrua itervalos de cofiaça 80%, 85%, 90% e 95% para a média populacioal Comete as difereças ecotradas 14 Será coletada uma amostra de uma população ormal com desvio padrão igual a 9 Para uma cofiaça de 90%, determie a amplitude do itervalo de cofiaça para a média populacioal os casos em que o tamaho da amostra é 30, 50 ou 100 Comete as difereças

3 15 Desejamos coletar uma amostra de uma variável aleatória X com distribuição Normal de média descohecida e variâcia 30 Qual deve ser o tamaho da amostra para que, com uma cofiaça de 92%, a média amostral ão difira da média populacioal por mais de 3 uidades? 16 A autoomia de um automóvel medido em km/l) é uma variável aleatória com parâmetros depededo do tipo de automóvel Supoha que, para um certo tipo de automóvel, a variâcia da autoomia seja cohecida e igual a 4, porém precisamos de iformações sobre a autoomia média desse tipo de automóvel Para tal, coletamos uma amostra de 40 automóveis desse modelo e observamos seus desempehos a) Se a amostra foreceu uma autoomia média de 9, 3 km/l, costrua um itervalo de cofiaça 94%) para a média de cosumo desses carros b) Se a amplitude de um itervalo de cofiaça, costruído a partir dessa amostra, é de 1,5; qual teria sido o coeficiete de cofiaça? 17 O itervalo 35, 21 ; 35, 99) é o itervalo com cofiaça 95%, costruído a partir de uma amostra de tamaho 100, para a média µ de uma população Normal com variâcia cohecida de valor 4 a) Qual o valor ecotrado para a média dessa amostra? qual o valor de X?) b) Se utilizássemos essa mesma amostra, mas com uma cofiaça de 90%, qual seria o ovo itervalo de cofiaça? 18 Supoha que estamos iteressados em verificar o comprimeto em cm) médio das correias produzidas por uma fábrica Tedo em vista o processo de fabricação, podemos cosiderar que os comprimetos dessas correias seguem uma distribuição Normal com variâcia 2 Assim, com um ível de cofiaça de 90%: a) qual deverá ser o tamaho da amostra para que a estimativa do comprimeto médio das correias ão difira do verdadeiro valor por mais que 0,5 cm? b) retirada a amostra com tamaho defiido o item aterior), foi costruído o seguite itervalo para o comprimeto médio das correias: 57, 6 ; 58, 6) Qual é a estimativa potual) do comprimeto médio dessas correias? c) para se ajustar a um certo tipo de máquia, a correia deve ter etre 58 e 62 cm de comprimeto Supodo que a média é o valor estimado o item aterior, qual a probabilidade de uma correia, escolhida ao acaso, poder ser usada esta máquia? 19 Uma amostra em 100 cidades brasileiras, de até 20 mil habitates, idicou que o valor médio da hora aula paga aos professores do esio fudametal é de R$ 2,5 Obteha um itervalo de cofiaça de 95% para o valor médio acioal da hora aula em cidades do tipo mecioado se o desvio padrão é assumido ser igual a R$ 1,1 20 Numa pesquisa com 50 eleitores, o cadidato José João obteve 34% da preferêcia dos eleitores Costrua, com cofiaça de 94%, os itervalos otimista e coservador para a proporção de votos a serem recebidos pelo cadidato mecioado, supodo que a eleição ocorresse esse mometo

4 21 Ates de uma eleição, um determiado partido está iteressado em estimar a proporção p de eleitores favoráveis a seu cadidato Uma amostra piloto de tamaho 100 revelou que 60% dos eleitores eram favoráveis ao cadidato em questão a) Determie o tamaho da amostra ecessário para que o erro cometido a estimação seja de, o máximo, 0,01 com probabilidade de 80% b) Se a amostra fia, com tamaho dado pelo item a), observou-se que 55% dos eleitores eram favoráveis ao cadidato em questão, costrua um itervalo de cofiaça, com cofiaça de 95%, para a proporção p 22 Numa pesquisa de mercado desejamos estimar a proporção de pessoas que compram uma certa marca de saboete a) Que tamaho de amostra devemos colher para que, com uma cofiabilidade de 90%, a estimativa ão se desvie do verdadeiro valor por mais de 0,05? b) Se tivermos a iformação adicioal de que a aceitação do saboete é o míimo 0,8, qual deve ser o tamaho da amostra? c) Supoha que decidimos colher uma amostra de tamaho 81 Com uma cofiaça de 90%, qual o erro máximo que cometeremos? d) Para a amostra de tamaho 81, qual será a cofiabilidade da estimativa se o erro máximo for de 0,08? 23 Supoha que estejamos iteressados em estimar a porcetagem de cosumidores de um certo produto Se uma amostra de tamaho 300 foreceu 100 idivíduos que cosomem o dado produto, determie: a) um itervalo de cofiaça para p, com cofiaça de 95%; b) o tamaho da amostra para que o erro da estimativa ão exceda 0,02 uidades com probabilidade de 95% 24 Com o auxílio da tabela t-studet calcule a) P 3, 365 < t 5 < 3, 365); b) P t 8 < 1, 4); c) P 1, 1 < t 14 < 2, 15); d) O valor de a tal que Pt 9 > a) = 0, 02; e) O valor de b tal que Pt 16 b) = 0, Uma amostra de trita dias do úmero de ocorrêcias policiais em um certo bairro de São Paulo, apresetou os seguites resultados: Ecotre itervalos de cofiaça para a média de ocorrêcias diária deste bairro com cofiaça de 90% e 95%

5 26 Supodo que a variâcia é cohecida, como você defiiria um itervalo uilateral de cofiaça para a média? E se a variâcia fosse descohecida? {Eteda como itervalos uilaterais, itervalos do tipo, A) ou B, + ), ode A e B são reais} 27 Use os dados da Questão 25 para obter itervalos de cofiaça superior e iferior com cofiaça de 95% 28 Seja X 1,, X ) uma AAS de uma população ormal com média µ 1 e variâcia σ 2 1 e seja Y 1,, Y m ) uma AAS de uma outra população ormal com média µ 2 e variâcia σ 2 2 Supoha que as duas amostras são idepedetes etre si e que as suas variâcias são cohecidas Com base essas iformações, propoha um itervalo de cofiaça para a difereça etre as médias, µ 1 µ 2, com cofiaça 1 α) 29 Dois tipos de cabos de isolameto elétrico foram recetemete testados afim de determiar o ível de voltagem em que ocorrem falhas Quado as amostras foram submetidas a um stress de tesão crescete, em uma experiêcia de laboratório, falhas para os dois tipos de cabos ocorreram as voltages seguites: Tipo A Tipo B Supodo, com base em experimetos ateriores, que a a tesão ao qual os cabos podem suportar é ormalmete distribuída com médias µ A e µ B descohecidas e variâcias σ 2 A = 40 e σ2 B = 100 Determie um itervalo de cofiaça de 95% para µ A µ B

6 Uiversidade de Brasília Departameto de Estatística Respostas 1 a) E X 2 i ) = µ 2 + σ 2 e E 2 ˆρ = b) EX i X) = µ 2 + σ2 c) Demostração d) S 2 = X i X) 2 1 Xi X ) Y i Y ) Xi X ) 2 X 2) = µ 2 + σ2 Yi Y ) 2 3 a) ˆλ 1 = X i b) 3,17 e 9,07 4 ˆλ = 1/X 5 0, ˆλ = X 7 0,4936 e ˆλ2 = Xi X ) 2 8 ˆµ = X i 9 0,3399 e ˆσ = X i µ) 2 10 ˆθ = MiX1,, X ) 11 3, 868 ; 5, 622) 12 0, 67 ; 0, 73) 13 6, 976 ; 9, 024), 6, 848 ; 9, 152), 6, 688 ; 9, 312), e 6, 432 ; 9, 568) 14 5, 39; 4, 17 e 2, a) 8, 71 ; 9, 89) b) 98% 17 a) 35, 6 b) 35, 27 ; 35, 93) 18 a) 22

7 b) 58, 1 c) 0, , 2844 ; 2, 7156) 20 0, 214 ; 0, 466) e 0, 207 ; 0, 473) 21 a) 4096 b) 0, 5347 ; 0, 5652) 22 a) 269 b) 173 c) 0, 07 d) 0, a) 0, 2799 ; 0, 3867) b) a) 0,98 b) 0,8 c) 0,825 d) 2,3984 e) -1, , 0469 ; 11, 0931) e 9, 2200 ; 10, 9199) ) ) σ 26 x z α σ ; +, ; x + z α s ), x t α, 1 ; + e 27 9, 2200 ; + ) e ; 10, 9199) 28 x y z α/2 σ σ2 2 m ; x y + z α/ , 59 ; 6, 48) σ σ2 2 m ) ) s ; x + t α, 1