Objetivo. Estimar a média de uma variável aleatória X, que representa uma característica de interesse de uma população, a partir de uma amostra.

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2 Objetivo Estimar a média de uma variável aleatória X, que represeta uma característica de iteresse de uma população, a partir de uma amostra.

3 Exemplos: : peso médio de homes a faixa etária de 20 a 30 aos, em uma certa localidade; : idade média dos habitates do sexo femiio a cidade de Satos, em 1990; : salário médio dos empregados da idústria metalúrgica em São Berardo do Campo, em 2001; : taxa média de glicose em idivíduos do sexo femiio com idade superior a 60 aos, em determiada localidade; : comprimeto médio de jacarés adultos de uma certa raça.

4 Vamos observar elemetos, extraídos ao acaso da população; Para cada elemeto selecioado, observamos o valor da variável X de iteresse. Obtemos, etão, uma amostra aleatória de tamaho de X, que represetamos por X 1, X 2,..., X.

5 Uma estimador potual para média amostral, X X 1 X 2... X i 1 é dado pela X i. Uma estimador cofiaça para itervalar tem a forma ou itervalo de X - ; X, sedo o erro amostral (margem de erro) calculado a partir da distribuição de probabilidade de X.

6 Teorema do Limite Cetral Seja X uma v. a. que tem média e variâcia 2. Para amostras X 1, X 2,..., X, retiradas ao acaso e com reposição de X, a distribuição de probabilidade da média amostral X aproxima-se, para grade, de uma distribuição ormal, com média e variâcia 2 /, ou seja, X ~ N, 2, para grade, aproximada mete.

7 Cometários: Se a distribuição de X é ormal, etão distribuição ormal exata, para todo. O desvio padrão erro padrão o da média. m 2 X tem é deomiado

8 Itervalo de Cofiaça Como vimos, o estimador por itervalo para a média tem a forma X - ; X Perguta: Como determiar?

9 Seja P( ) =, a probabilidade da média amostral estar a uma distâcia de, o máximo, da média populacioal (descohecida), ou seja, X P X - P X P X - P Z, sedo Z ~ N(0,1).

10 Deotado z, temos que P (-z Z z). Assim, cohecedo-se o coeficiete de cofiaça obtemos z.

11 Da Erro a estimativa itervalar igualdade z, segue que o erro amostral é dado por z, sedo z tal que P (-z Z z), com Z ~ N(0,1). O itervalo de cofiaça para a médiam, com coeficiete de cofiaça fica, etão, dado por X - z ; X z, sedo o desvio padrão de X.

12 Exemplo 1: Não se cohece o cosumo médio de combustível de automóveis da marca T. Sabe-se, o etato, que o desvio padrão do cosumo de combustível de automóveis dessa marca é 10 km/l. Na aálise de 100 automóveis da marca T, obteve-se cosumo médio de combustível de 8 km/l. Ecotre um itervalo de cofiaça para o cosumo médio de combustível dessa marca de carro. Adote um coeficiete de cofiaça igual a 95%. X: cosumo de combustível de automóveis da marca T = 10 km/l = 100 x (média amostral) = 8 km/l = 0,95 z = 1,96

13 Pelo Teorema do Limite Cetral, o itervalo de cofiaça de 95% é dado, aproximadamete, por X - z ; X z 8-1, ; 8 1, ,96 ; 8 1,96 6,04 ; 9,96 Observe que o erro amostral é 1,96 km/l.

14 Exemplo 2: Deseja-se estimar o tempo médio de estudo (em aos) da população adulta de um muicípio. Sabe-se que o tempo de estudo tem distribuição ormal com desvio padrão = 2,6 aos. Foram etrevistados = 25 idivíduos, obtedo-se para essa amostra, um tempo médio de estudo igual a 10,5 aos. Obter um itervalo de 90% de cofiaça para o tempo médio de estudo populacioal. X : tempo de estudo, em aos e X ~ N( ; 2,6 2 ) = 25 x = 10,5 aos = 0,90 z = 1,65

15 A estimativa itervalar com 90% de cofiaça é dada por: x - z ; x z 10,5-1,65 2,5 25 ; 10,5 1,65 2, ,5-0,86 ; 10,5 0,86 9,64 ; 11,36

16 Dimesioameto da amostra A partir da relação z, o tamaho da amostra é determiado por z 2 2, cohecedo-se o desvio padrão de X, o erro da estimativa e o coeficiete de cofiaça do itervalo, sedo z tal que P (-z Z z) e Z ~ N(0,1).

17 Exemplo 3: A reda per-capita domiciliar uma certa região tem distribuição ormal com desvio padrão = 250 reais e média µ descohecida. Se desejamos estimar a reda média µ com erro = 50 reais e com uma cofiaça = 95%, quatos domicílios devemos cosultar? X : reda per-capita domiciliar a região X ~ N( ; ) =?? tal que = 50 reais, = 0,95 z = 1,96

18 Etão, z 2 2 1, ,04 Aproximadamete 96 domicílios devem ser cosultados.

19 Exemplo 4: A quatidade de colesterol X o sague das aluas de uma uiversidade segue uma distribuição de probabilidades com desvio padrão = 50 mg/dl e média µ descohecida. Se desejamos estimar a quatidade média µ de colesterol com erro = 20 mg/dl e cofiaça de 90%, quatas aluas devem realizar o exame de sague? X: quatidade de colesterol o sague das aluas da uiversidade = 50 mg/dl =?? tal que = 20 mg/dl = 0,90 z = 1,65

20 Supodo que o tamaho da amostra a ser selecioada é suficietemete grade, pelo Teorema do Limite Cetral temos: z 2 2 1, ,25 Assim, aproximadamete 206 aluas devem realizar o exame de sague.

21 Na prática, a variâcia populacioal 2 é descohecida e é substituída por sua estimativa, 2 A estimativa amostral do desvio padrão é s s 2

22 Se a amostra for selecioada de uma população com distribuição ormal com média e variâcia descohecidas, a variável aleatória X S - tem distribuição t de Studet com -1 graus de liberdade.

23 Distribuiçã ção o t de Studet tem caudas mais desas do que a distribuição ormal; valores extremos são mais prováveis de ocorrer com a distribuição t do que com a ormal padrão;

24 a forma da distribuição t reflete a variabilidade extra itroduzida pelo estimador S; para cada possível valor dos graus de liberdade, há uma diferete distribuição t; as distribuições com meores graus de liberdade são mais espalhadas; coforme g.l. aumeta, a distribuição t se aproxima da distribuição ormal padrão; coforme o tamaho da amostra aumeta, s se tora uma estimativa mais cofiável de ; se é muito grade, cohecer o valor de s é quase equivalete a cohecer.

25 Assim, uma estimativa itervalar para a média populacioal, quado é descohecido, é x - t -1 s ; x - t -1 s,

26 Exemplo 5: Cosidere uma a.a. de 10 criaças selecioadas da população de bebês que recebem atiácidos que cotém alumíio. Esses atiácidos são freqüetemete usados para tratar problemas digestivos. A distribuição de íveis de alumíio o plasma é cohecida como sedo aproximadamete ormal com média e desvio padrão descohecidos. O ível médio de alumíio para a amostra de 10 bebês é = 37,2 g/l e o desvio padrão é s = 7,13 g/l. x Um itervalo de cofiaça de 95% para a média população é s s x - t ; x - t da

27 Substituido os valores correspodetes resulta (37,2 2,262 7,13 10 ; 37,2 2,262 7,13 10 ) (32,1 ; 42,3). Se forecemos a iformação adicioal de que o ível médio de alumíio o plasma para a população de bebês que ão recebem atiácidos é 4,3 g/l, o IC obtido sugere que dar atiácidos aumeta muito os íveis de alumíio o plasma das criaças. Se o desvio padrão da população é cohecido e é igual ao valor da amostra de 7,13 g/l, o itervalo de cofiaça de 95% para seria (32,8; 41,6), que é levemete meor.

28 Para grade, a distribuição t de Studet aproximase da distribuição ormal. Assim, uma estimativa itervalar aproximada para a média populacioal, quado o tamaho da amostra é grade e é descohecido, é x - z s x z s sedo s o desvio padrão amostral e z tal que P (- z Z z) com Z ~ N(0,1).

29 Exemplo 6: Para estimar a reda semaal média de garços de restaurates em uma grade cidade, é colhida uma amostra da reda semaal de 75 garços. A média e o desvio padrão amostrais ecotrados são R$ 227 e R$ 15 respectivamete. Determie um itervalo de cofiaça, com coeficiete de cofiaça de 90%, para a reda média semaal. X : reda semaal de garços da cidade = 75 x = 227 e s = 15 = 0,9 z = 1,65

30 O itervalo de 90% de cofiaça é dado, aproximadamete, por x z s ; - 1,65 x z ; s 227 1, ,86 ; 227 2,86 224,14 ; 229,86

31 Exemplo 6: Cosidere que a distribuição de íveis séricos de colesterol para homes que são hipertesos e que fumam é aproximadamete ormal com uma média descohecida e desvio padrão = 46 mg/100ml. Iteresse: estimar o ível sérico médio de colesterol dessa população. Ates de selecioarmos uma a.a., a probabilidade de que o itervalo ( X 1,96 46 ; 1,96 46 coteha a média verdadeira da população é 0,95. X )

32 Supoha que selecioamos uma a.a. de tamaho 12 da população de fumates hipertesos e que o ível sérico médio de colesterol é x = 217 mg/100ml. Baseado essa amostra, um itervalo de cofiaça de 95% para é 46 ( 217 1,96 ; ,96 e o comprimeto é = 52 g/100ml ) (191 ; 243) O itervalo de 191 a 243 forece um itervalo de valores razoáveis para. Não podemos dizer que há uma probabilidade de 95% de que se ecotre etre esses valores; é fixo e está etre 191 e 243 ou ão.

33 Iterpretaçã ção freqüetista etista: Se extrairmos 100 a.a. de tamaho 12 dessa população e para cada uma delas costruirmos um itervalo de cofiaça de 95%, esperamos que 95 dos itervalos coteham a média verdadeira da população e 5 ão. Itervalo de cofiaça de 99% para : 46 ( 217 2,58 ; , ) (183 ; 251) O comprimeto desse itervalo é maior do que o correspodete itervalo de cofiaça de 95%. comprimeto do IC de 99% é = 68 g/100ml.

34 Que tamaho deve ter a amostra para se reduzir o comprimeto do itervalo para 20 mg/100ml? Como o itervalo está cetrado ao redor da média da amostra x = 217 mg/100ml, estamos iteressados o tamaho de amostra ecessário para produzir o itervalo ( ; ) = (207 ; 227). Para ecotrar o tamaho precisamos resolver a equação 46 2,58 10 da amostra requerido, 140,8 É ecessária uma amostra de 141 homes para reduzir o comprimeto do IC de 99% para 20 g/100ml.

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