Objetivo Estimar uma proporção p (desconhecida) de elementos uma população, apresentando certa característica de interesse, partir

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2 Objetivo Estimar uma roorção (descohecida) de elemetos em uma oulação, aresetado certa característica de iteresse, a artir da iformação forecida or uma amostra.

3 Exemlos: : roorção de aluos da USP que foram ao teatro elo meos uma vez o último mês; : roorção de cosumidores satisfeitos com os serviços restados or uma emresa telefôica; : roorção de eleitores da cidade de São Paulo que votariam em um determiado cadidato, caso a eleição ara residete se realizasse hoje; : roorção de criaças de 2 a 6 aos, do estado de São Paulo, que ão estão matriculadas em escola de educação ifatil.

4 Dois ossíveis rocedimetos de estimação: Estimação otual Estimação itervalar - Vamos observar elemetos, extraídos ao acaso e com reosição da oulação; - Para cada elemeto selecioado, verificamos a reseça (sucesso) ou ão (fracasso) da característica de iteresse.

5 sedo que Estimador otual O estimador otual ara, também deomiado roorção amostral, é defiido como X, X deota o úmero de elemetos a amostra que aresetam a característica; deota o tamaho da amostra coletada. Se observamos o valor k da v. a. X, obtemos que deomiamos estimativa otual ara. k /

6 Exemlo 1: Sejam, : roorção de aluos da USP que foram ao teatro elo meos uma vez o último mês, e X: úmero de estudates que resodem sim em uma esquisa com etrevistados. Suoha que foram etrevistados = 500 estudates e que, desses, k = 100 teriam afirmado que foram ao teatro elo meos uma vez o último mês.

7 A estimativa otual (roorção amostral) ara é dada or: k ,20, ou seja, 20% dos estudates etrevistados afirmaram que foram ao teatro elo meos uma vez o último mês. Note que, outra amostra de mesmo tamaho ode levar a uma outra estimativa otual ara.

8 Estimativa itervalar ou itervalo de cofiaça Para uma amostra observada, os estimadores otuais forecem como estimativa um úico valor umérico ara o arâmetro. Os estimadores otuais são variáveis aleatórias e, ortato, ossuem uma distribuição de robabilidade, em geral, deomiada distribuição amostral. Idéia: costruir itervalos de cofiaça, que icororem à estimativa otual iformações a reseito de sua variabilidade (erro amostral). Itervalos de cofiaça são obtidos or meio da distribuição amostral do estimador otual.

9 A estimativa itervalar estimativa itervalar corresode a um itervalo determiado da seguite maeira: sedo o erro amostral ou margem de erro. Perguta: Como ecotrar?

10 Seja P( ) a robabilidade da estimativa otual estar a uma distâcia de, o máximo, da roorção verdadeira, ou seja, P( ) P ( ). A robabilidade P( ) é também deomiada coeficiete de cofiaça do itervalo, que deotamos ela letra grega (gama). Afirma-se aida que a estimativa itervalar tem coeficiete de cofiaça = P( ).

11 Formalmete, P( ) P( ) P X P X P X P 1 X 1 1. Como X ~ b(,) temos que, ara grade, a variável aleatória X - Z (1- ) tem distribuição N(0,1).

12 Deste modo, ara grade, P( ) P (1 ) Z (1 ), ode Z ~ N(0,1).

13 Deotado z, (1 ) temos que P( ) = = P(-z Z z). Assim, odemos obter z cohecedo-se (ou P( )). Por exemlo, cosidere = 0,80. z é tal que A(z) = 0,90. Pela tabela, temos z = 1,28.

14 Erro da estimativa itervalar Da igualdade z, (1 ) é imediato mostrar que o erro amostral dado or (1 ) z, é ode z é tal que = P(-z Z z), com Z~N(0,1).

15 Dimesioameto da amostra Da relação z segue que o tamaho amostral, dados margem de erro, tem a forma z (1 2 ), (1 ), e a ode z é tal que = P(-z Z z) e Z ~ N(0,1). Etretato, esta exressão, deede de (1-), que é descohecido. Como calcular o valor de?

16 Gráfico da fução (1-), ara 0 1. Pela figura observamos que: a fução (1-) é uma arábola simétrica em toro de = 0,5; o máximo de (1-) é 0,25, alcaçado quado = 0,5. Assim, a rática, substituímos (1-) or seu valor máximo, obtedo z 2 0,25, que ode forecer um valor de maior do que o ecessário.

17 Exemlo 2: No exemlo da USP (Exemlo 1) suoha que ehuma amostra foi coletada. Quatos estudates recisamos cosultar de modo que a estimativa otual esteja, o máximo, a 0,02 da roorção verdadeira, com uma robabilidade de 0,95? Dados do roblema: = 0,02 (erro da estimativa); P( ) = = 0,95 z = 1,96. 1,96 0,02 2 (1 - ) 1,96 0,02 2 0, estudates.

18 Perguta: É ossível reduzir o tamaho da amostra quado temos alguma iformação a reseito de? Por exemlo, sabemos que: ão é suerior a 0,30, ou é elo meos 0,80, ou está etre 0,30 e 0,60. Resosta: Deede do tio de iformação sobre. Em algus casos, odemos substituir a iformação (1-), que aarece a exressão de, or um valor meor que 0,25.

19 Redução do tamaho da amostra Vimos que, se ada sabemos sobre o valor de, o cálculo de, substituímos (1-) or seu valor 2 máximo, e calculamos z 0,25. Se temos a iformação de que é o máximo 0,30 ( 0,30), etão o valor máximo de (1-) será dado or 0,3x0,7 = 0,21. Logo, reduzimos o valor de ara z 2 0,21.

20 Agora, se é elo meos 0,80 ( 0,80), etão o máximo de (1-) é 0,8 x 0,2 = 0,16 e temos z 2 0,16. Mas, se 0,30 0,60, o máximo de (1-) é 0,5x0,5 = 0,25 e, este caso, ão há redução, ou seja, z 2 0,25.

21 Exemlo 3: No Exemlo 2, suoha que temos a iformação de que o máximo 30% dos aluos da USP foram ao teatro o último mês. Portato, temos que 0,30 e, como vimos, o máximo de (1-) este caso é 0,21. Assim, recisamos amostrar z 2 0,21 1,96 0,02 2 0, estudates, coseguido uma redução de = 384 estudates.

22 Itervalo de cofiaça ara Vimos que a estimativa itervalar ara tem a forma: ;, z (1 ) com e z tal que = P(-z Z z) a N(0,1). Na rática, substituímos a roorção descohecida ela roorção amostral, obtedo o seguite itervalo de cofiaça com coeficiete de cofiaça : (1 ) (1 ) IC(; ) z ; z

23 Exemlo 4: No exemlo da USP, temos = 500 e = 0,20. Costruir um itervalo de cofiaça ara coeficiete de cofiaça = 0,95. com Como = 0,95 forece z = 1,96, o itervalo é dado or: z (1 ) ; z (1 ) 0,20 0,20 1,96 0,035 ; 0,20 0, ,20 ; 0,035 0,20 1,96 0,165 ; 0,20 0, ,235. Nesse itervalo ( =0,95), a estimativa otual ara é 0,20, com um erro amostral igual a 0,035.

24 Iterretação do IC com = 95%: Se sortearmos 100 amostras de tamaho =500 e costruírmos os resectivos 100 itervalos de cofiaça, com coeficiete de cofiaça de 95%, eseramos que, aroximadamete, 95 destes itervalos coteham o verdadeiro valor de. Cometários: Da exressão z (1 ), é ossível cocluir que: ara fixado, o erro dimiui com o aumeto de. ara fixado, o erro aumeta com o aumeto de.

25 Exemlo 5: Aida o exemlo da USP, temos k = 100 e = 500. Qual é a robabilidade da estimativa otual estar a uma distâcia de, o máximo, 0,03 da roorção verdadeira? Dados do roblema: 500, 0,20 e 0,03 P( ) = =?? Como a roorção verdadeira é descohecida, utilizamos a estimativa otual ara calcular z e, assim, obter (ou P( )).

26 Cálculo de z: z (1 ) 0,03 0, ,8 1,68. Logo, obtemos P( ) 2 A( z) 1 2 A(1,68) 1 2 0, ,906 (90,6%).

27 Exemlo 6: Suoha que estamos iteressados em estimar a roorção de acietes com meos de 40 aos diagosticados com câcer os ulmões que sobrevivem elo meos 5 aos. Em uma amostra aleatoriamete selecioada de 52 acietes, somete seis sobreviveram mais de 5 aos. - Estimativa or oto ara : ,115 - Itervalo de cofiaça aroximado de 95% ara : 0,115(1 (0,115 1,96 52 (0,028, 0,202) 0,115) ; 0,115 1,96 0,115(1 52 0,115) )

28 Cometário: Embora esse itervalo teha sido costruído usado a aroximação ormal ara a distribuição biomial, oderíamos ter gerado um itervalo de cofiaça exato ara usado a rória distribuição biomial. Um itervalo exato é articularmete útil ara equeas amostras, em que o uso da aroximação ormal ão ode ser justificada.

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