Estimação A estimação de um parâmetro, θ, de uma população pode ser feita por dois processos: Estimação Pontual e Estimação intervalar.

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1 Escola uperior de Tecologia de Viseu ETIMAÇÃO Estimação A estimação de um parâmetro, θ, de uma população pode ser feita por dois processos: Estimação Potual e Estimação itervalar. Exemplo: Num dos diversos estudos que levaram à proibição do uso de DDT, procedeu-se à medição da espessura de casca de ovos de falcões peregrios. Os dados recolhidos uma região em que ão se procede a exploração agrícola, e em que ão tiha havido uso de DDT, com o objectivo de servirem de padrão de comparação, costam a tabela seguite: 0,28 0,24 0,26 0,28 0,32 0,25 0,31 0,32 0,28 0,29 0,21 0,26 0,29 0,28 0,24 0,25 0,29 0,25 0,22 0,33 Carla Heriques e Mauel Reis Tabela: Espessura (mm) de ovos de falcão peregrio. Tratameto Estatístico de Dados 1

2 Escola uperior de Tecologia de Viseu ETIMAÇÃO upoha que a espessura, em mm, de ovos de falcão peregrio, X, segue uma distribuição ormal: X~N(µ,σ 2 ) A média da amostra recolhida é 0,28 + 0,24 + 0,26 + 0,28 + 0, ,33 x = = 0, A média amostral, x = 0, 2725, é uma estimativa potual da média populacioal descohecida µ. Carla Heriques e Mauel Reis Tratameto Estatístico de Dados 2

3 Escola uperior de Tecologia de Viseu ETIMAÇÃO Estimação itervalar. A estimação itervalar cosiste a determiação de um itervalo ode, com uma certa cofiaça (probabilidade), esteja o parâmetro θ descohecido. Para costruir um itervalo de cofiaça é ecessário idicar um valor λ, desigado por ível de cofiaça. λ probabilidade de o itervalo aleatório ]L1, L2[ coter o parâmetro θ: P( θ ]L1, L2[ ) = λ O itervalo ]L1, L2[ é desigado por itervalo de cofiaça para o parâmetro θ com um ível de cofiaça λ. Carla Heriques e Mauel Reis Tratameto Estatístico de Dados 3

4 Escola uperior de Tecologia de Viseu ETIMAÇÃO Depois de recolhida uma amostra aleatória, usam-se os valores observados dessa amostra, para calcular os valores observados das variáveis aleatórias L1 e L2, que se represetam, respectivamete, por l1 e l2. (l1, l2) é o itervalo de cofiaça cocreto para aquela amostra. e o ível de cofiaça é de 0,95, espera-se que 95% dos itervalos calculados com diferetes amostras icluam o parâmetro populacioal θ. Carla Heriques e Mauel Reis Tratameto Estatístico de Dados 4

5 Escola uperior de Tecologia de Viseu ETIMAÇÃO Observação: A utilização da estimação itervalar é preferível à estimação potual, a medida em que a primeira os dá iformação sobre a precisão e icerteza da estimação. Para exemplificar, determiemos um itervalo de cofiaça para µ (média populacioal da espessura, em mm, de ovos de falcão peregrio) com um ível de cofiaça de 95%. Pretede-se determiar um itervalo de cofiaça para µ com λ=0,95. Como X~N(µ,σ 2 ) e = 20 <30, o itervalo de cofiaça para µ é dada por (ver quadro): Carla Heriques e Mauel Reis X t ; X + t Tratameto Estatístico de Dados 5

6 Escola uperior de Tecologia de Viseu ETIMAÇÃO Determiemos t tal que P(-t<T<t) =λ, com T ~ t -1 P(-t<T<t) =0,95, com T ~ t 19 Etão P(T<t) =1-0,05/2 Ou seja, P(T<t)=0,975 t = TINV(0,05;19)=2,093 Como, x = 0,2725mm e s = 0,0332 mm o itervalo de cofiaça a 95% para a média populacioal µ é 0,0332 0,0332 0,2725 2,093 ;0,2725 2,093 = (0,257 ; 0,288) Com cofiaça a 95%, cocluímos que a espessura média de ovos de falcão peregrio se situa etre os valores 0,257mm e 0,288mm. Carla Heriques e Mauel Reis Tratameto Estatístico de Dados 6

7 Escola uperior de Tecologia de Viseu ETIMAÇÃO upohamos que o ivestigador pretede dimiuir a margem de erro (i.e.,aumetar a precisão do itervalo), matedo o ível de cofiaça. µ X t ;X + t Itervalo cetrado em X e com amplitude igual a 2 t X t X X + t Uma vez que, com probabilidade λ, o parâmetro populacioal µ está detro daquele itervalo, etão, o erro que cometemos usado X para estimar µ é, com probabilidade λ, iferior ou igual a t (metade da amplitude do itervalo). Erro máximo= t Carla Heriques e Mauel Reis Tratameto Estatístico de Dados 7

8 Escola uperior de Tecologia de Viseu ETIMAÇÃO No exemplo aterior obtivemos o seguite itervalo de cofiaça (0,257 ; 0,288), que tem amplitude igual a 0,031 (= 0,288 0,257). Cocluímos, com cofiaça a 95%, que a espessura média de ovos de falcão peregrio se situa etre os valores 0,257mm e 0,288mm. Ora, usado o valor de x = 0, 2725mm como estimativa potual de µ, o erro máximo desta estimação seria etão, 0,0155 (metade da amplitude). Carla Heriques e Mauel Reis Tratameto Estatístico de Dados 8

9 Escola uperior de Tecologia de Viseu ETIMAÇÃO Aumetado a dimesão da amostra, é possível dimiuir este erro (aumetar a precisão da estimação), matedo o ível de cofiaça. Para determiar a dimesão da amostra, de modo a que o erro cometido seja meor ou igual a um valor especificado, basta determiar tal que t erro especificado Imagiemos que o ivestigador pretedia um erro máximo meor ou igual 0,01, para o mesmo ível de cofiaça. Basta etão fazer, t 0,01 t t 0,01 0, ,0332 2,093 48, ,01 Carla Heriques e Mauel Reis Tratameto Estatístico de Dados 9