Métodos Numéricos e Estatísticos Parte II-Métodos Estatísticos Estimação pontual e intervalar

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1 potual por itervalos Métodos Numéricos e Estatísticos Parte II-Métodos Estatísticos potual e itervalar Lic. Eg. Biomédica e Bioegeharia-2009/2010

2 potual por itervalos A Teoria das Probabilidades cosiste o estudo dos modelos matemáticos capazes de descrever o comportameto de feómeos aleatórios, modelos esses que se dizem probabiĺısticos. Foi sobre o estudo de tais modelos que os debruçamos os capítulos ateriores. Daqui em diate falaremos sobre Estatística, que cosiste um cojuto de técicas quatitativas para recolher, apresetar e iterpretar dados relativos a feómeos aleatórios.

3 potual por itervalos Amostra e dado estatístico Dada a impossibilidade de observar toda uma população, é ecessário recolher um subcojuto que se pretede represetativo da população. A esse subcojuto dá-se o ome de amostra. A cada resultado observado, relativo à v.a. (ou característica) de iteresse (i.e., uma característica crucial para o cohecimeto do feómeo aleatório em estudo) dá-se o ome de dado estatístico.

4 Amostragem potual por itervalos Trata-se de uma vasto cojuto de procedimetos estatísticos que ecotra motivação a ecessidade de obteção de amostras represetativas de uma população. Na população as medidas de localização e de dispersão são fixas e ivariates; são características da população e desigam-se por parâmetros. Na amostra, estas medidas são estimativas dos parâmetros da população e desigam-se por estatísticas.

5 potual por itervalos Exemplos de algus tipos de amostragem Aleatória sistemática: Uma amostra aleatória sistemática é costituída pelos elemetos da população seleccioados de k em k elemetos. Aleatória simples: Sigifica que todos os elemetos da população têm a mesma probabilidade de serem escolhidos e de virem a fazer parte da amostra de dimesão previamete fixada. Estratificada: Iicialmete a população é dividida em estratos e depois seleccioa-se uma amostra em cada estrato.

6 potual por itervalos Com a recolha da amostra obtém-se um cojuto de dados cuja leitura ada parece cotribuir para a compreesão do feómeo aleatório em estudo. A estatística Descritiva resolve parcialmete este problema, resumido e/ou orgaizado a iformação cotida os dados. A iferêcia estatística compreede um vasto cojuto de métodos que usado a iformação cotida a amostra, respode a questões específicas da população, tais como Idicar valores ou itervalos de valores razoáveis para parâmetros descohecidos da população; Averiguar a razoabilidade de cojecturas sobre parâmetros descohecidos ou famílias de distribuições (testes de hipóteses) e/ou a razoabilidade de modelos de regressão que expliquem a relação etre duas variáveis (regressão simples).

7 potual por itervalos Amostra Sejam X uma v.a. de iteresse; X 1, X 2,..., X v.a idepedetes e ideticamete distribuídas (i.i.d.) a X, i.e., X i i.i.d X, i = 1, 2,...,. Etão o vector aleatório X = (X 1, X 2,..., X ) diz-se uma amostra aleatória (a.a.) de dimesão proveiete da população X. À observação particular da a.a. X = (X 1, X 2,..., X ) dá-se o ome de amostra e represeta-se por x = (x 1, x 2,..., x ).

8 potual por itervalos Porque a a.a. é costituída por v.a. i.i.d. a X, a caracterização probabiĺıstica da a.a. é dada por 1 Caso discreto P(X = x) = P(X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X = x ) 2 Caso cotíuo = P(X 1 = x 1 )... P(X = x ) = P(X i = x i ) = P(X = x i ) i=1 i=1 f X (x) = f X1,X 2,...,X (x 1, x 2,..., x ) = f X1 (x 1 )... f X (x ) = f Xi (x i ) = f X (x i ) i=1 i=1

9 potual por itervalos Estatística Seja X = (X 1, X 2,..., X ) a.a.de dimesão proveiete da população X. T diz-se uma estatística se se tratar de uma fução exclusiva da a.a. i.e., T = T (X ). Note que T ão depede de ehum parâmetro descohecido. Exemplo Estatística Valor observado da estatística Míimo da a.a. X (1) = mi i=1,..., X i x (1) = mi i=1,..., x i Máximo da a.a. X () = max i=1,..., X i x () = mi i=1,..., x i Amplitude da a.a. R = X () X (1) r = x () x (1) Média da a.a. X = 1 i=1 X i x = 1 i=1 x i S 2 = 1 i=1 (X 1 i X ) 2 s 2 = 1 i=1 (x Var. corrigida da a.a. = 1 1 i=1 Xi i x) 2 = 1 1 i=1 xi S 2 = 1 i=1 (X Var. ão corrigida da a.a. i X ) 2 2 s = 1 i=1 = 1 (x i x) 2 i=1 Xi 2 1 X 2 = 1 i=1 xi 2 1 x2

10 potual por itervalos O objectivo pricipal da Estatística é iferir sobre características da v.a. de iteresse com base a amostra recolhida. Cosidera-se, geralmete, que a distribuição de X é parcial ou totalmete descohecida Parcialmete descohecida, se cohecermos o tipo distribucioal de X (p.e., Poisso) a meos de um ou mais parâmetros Totalmete descohecida, se o tipo distribucioal de X for especificado de modo muito vago (p.e., distribuição discreta).

11 potual por itervalos Parâmetro descohecido e espaço paramétrico Um parâmetro descohecido será daqui em diate represetado por θ. O espaço paramétrico correspode ao cojuto de todos os valores possíveis para o parâmetro θ e represeta-se por Θ. Tedo como objectivo adiatar valores razoáveis para os parâmetros descohecidos a distribuição da variável de iteresse, iremos recorrer a estatísticas com características especiais, a que chamaremos estimadores.

12 potual por itervalos Estimador A estatística T = T (X ) diz-se um estimador do parâmetro descohecido θ se T = T (X ) apeas toma valores o espaço paramétrico Θ. Estimativa Ao valor observado do estimador de θ, t = T (x) dá-se o ome de estimativa de θ. Note que o estimador é uma v.a. e como tal tem uma distribuição de probabilidade.

13 potual por itervalos Um estimador coduzirá a estimativas mais rigorosas se usufruir de algumas propriedades. Vejamos quais. Estimador cetrado O estimador do parâmetro descohecido θ diz-se cetrado se E[T (X )] = θ. Estimador eviesado O estimador do parâmetro descohecido θ diz-se eviesado se θ Θ : E[T (X )] θ.

14 potual por itervalos Eviesameto de um estimador O estimador do parâmetro descohecido θ possui eviesameto dado por bias θ [T (X )] E[T (X )] θ. Notas: Um estimador cetrado possui eviesameto ulo; Regra geral há mais do que um estimador para um mesmo parâmetro descohecido. Quato meor for o eviesameto de um estimador mais rigorosas serão as estimativas por ele forecidas.

15 potual por itervalos Supohamos que X é uma v.a. de iteresse com distribuição arbitrária, valor esperado µ e variâcia σ 2. A média da a.a. X = 1 i=1 X i é um estimador cetrado de µ pois ( ) 1 E(X ) = E X i = 1 E(X i ) i=1 i=1 = 1 E(X ) = 1 µ = 1 µ = µ i=1 i=1 A variâcia corrigida é um estimador cetrado de σ 2 uma vez que [ ] [( E(S 2 1 ) ] ) = E (X i X ) 2 = E Xi 2 (ax ) 2 i=1 i=1 [ ] 1 = E(Xi 2 ) E[(X ) 2 ] 1 i=1 = = = { } [V (X i ) + E 2 (X i )] [V (X ) + E 2 (X )] i=1 [ ( σ (σ 2 + µ 2 2 ) ] ) + µ2 = 1 1 (σ2 + µ 2 σ 2 µ 2 ) i=1 1 1 ( 1)σ2 = σ 2.

16 potual por itervalos Não basta que um estimador seja cetrado para garatir estimativas mais rigorosas. Estas serão tato mais rigorosas quato meos o estimador se dispersar em toro do verdadeiro valor do parâmetro descohecido. Erro quadrático médio O erro quadrático médio do estimador T = T (X ), do parâmetro descohecido θ é dado por EQM θ [T (X )] = E { [T (X ) θ] 2} = V [T (X )] + {E[T (X )] θ} 2 = V [T (X )] + {bias θ [T (X )]} 2 O EQM quatifica a dispersão esperada do estimador em toro do parâmetro descohecido; Um estimador será tato melhor quato meor for o seu EQM.

17 potual por itervalos Eficiêcia relativa de estimadores Sedo T 1 (X ) e T 2 (X ) dois estimadores de um mesmo parâmetro descohecido θ, defie-se eficiêcia de T 1 em relação a T 2 por Assim, se e θ [T 1 (X ), T 2 (X )] = EQM θ[t 2 (X )] EQM θ [T 1 (X )]. e θ [T 1 (X ), T 2 (X )] > 1 EQM θ [T 2 (X )] > EQM θ [T 1 (X )], e portato o estimador T 1 (X ) é mais eficiete que o estimador T 2 (X ).

18 potual por itervalos Método da máxima verosimilhaça Este método permite obter o valor mais razoável de um parâmetro descohecido, de etre todos os valores possíveis para esse mesmo parâmetro, tedo em cota a amostra recolhida. Fução de verosimilhaça A fução de verosimilhaça L(θ x) : Θ R defie-se do seguite modo: Caso discreto L(θ x) = P(X = x θ) = P(X = x i θ), i=1 θ Θ Caso cotíuo L(θ x) = f X (x θ) = f X (x i θ), i=1 θ Θ ode P( θ) e f X ( θ) são a f.p e a f.d.p (resp.) da v.a. de iteresse X, tedo em cota que θ é o verdadeiro valor do parâmetro.

19 potual por itervalos Estimativa de máxima verosimilhaça Obtida a a amostra x = (x 1,..., x ), a estimativa de máxima verosimilhaça (EMV) do parâmetro descohecido correspode ao poto de máximo da fução de verosimilhaça ou, equivaletemete, ao poto de máximo do logaritmo da fução de verosimilhaça. Esta estimativa represeta-se por ˆθ e é etão dada por ou equivaletemete L(ˆθ x) = max θ Θ L(θ x) l L(ˆθ x) = max l L(θ x) θ Θ

20 potual por itervalos Exemplo Um iquérito realizado a um grupo de 1000 idivíduos com queixas de isóia revelou que 448 respodem ter dormido bem após a toma de um certo soporífero. Deduza a EMV da probabilidade (p) de uma pessoa escolhida ao acaso ter dormido bem tedo tomado o soporífero. V.a. de iteresse: X =resposta ao iquérito Distribuição: X Beroulli(p) Parâmetro descohecido: p = P(X = 1), 0 p 1 F.p.: P(X = x) = p x (1 p) 1 x, x = 0, 1 Amostra: x = (x 1,..., x ) amostra de dimesão = 1000, proveiete da população ode x i = resposta de i-ésima pessoa. x = 448 = = 44.8% de respostas afirmativas. 1000

21 potual por itervalos Exemplo (cot.) Fução de verosimilhaça: L(p x) = i=1 P(X = x i) = p i=1 x i (1 p) i=1 x i i=1 ( p x i (1 p) 1 x ) i = Fução de log-verosimilhaça: ( l L(p x) = l p ) i=1 x i (1 p) i=1 x i = l(p) i=1 x i + l(1 p) ( i=1 x i) Maximização: A EMV de p, ˆp, obtém-se resolvedo { d l L(p x) dp p=ˆp = 0 (poto de estacioaridade) ˆp : d 2 l L(p x) dp 2 p=ˆp < 0 (poto de máximo)

22 potual por itervalos Exemplo (cot.) ˆp : d[l(p) i=1 x i +l(1 p)( i=1 x i)] dp p=ˆp = 0 d 2 [l(p) i=1 x i +l(1 p)( i=1 x i)] dp 2 p=ˆp < 0 ( i=1 x i i=1 x i ˆp 1 ˆp i=1 x i ˆp 2 i=1 x i ) = 0 (1 ˆp) 2 < 0 ( i=1 x i i=1 x i ( p 1 p i=1 x i p 2 i=1 ) x i (1 p) 2 ) p=ˆp = 0 p=ˆp < 0 { (1 ˆp) i=1 x i ˆp ( i=1 x ) i = 0 i=1 x i ˆp 2 i=1 x i (1 ˆp) 2 < 0 { ˆp = 1 i=1 x i proposição verdadeira

23 potual por itervalos Exemplo (cot.) Estimador de MV de p: EMV (p) = 1 i=1 X i = X (média da amostra). Cocretização: ˆp = 1 x i i=1 = o de respostas afirmativas o de pessoas iquiridas = 0.448

24 potual por itervalos Exemplo Os tempos observado (em aos) até à 1 a colisão de detritos espaciais com diâmetro iferior a 1mm em 4 satélites em MEO foram de 1.2, 1.5, 1.8 e 1.4. Admitido que tal tempo tem distribuição pertecete ao modelo expoecial de parâmetro λ, vamos determiar o estimador e a estimativa de MV de λ. V.a. de iteresse: X =tempo (em aos) até à 1 a colisão de detritos espaciais Distribuição: X expoecial(λ) Parâmetro descohecido: λ, λ > 0 F.d.p.: f X (x) = { λe λx, x 0 0, c.c. Amostra: x = (x 1,..., x ) amostra de dimesão = 4, proveiete da população ode x i = resposta de i-ésima pessoa. x = = 1.475

25 potual por itervalos Exemplo (cot.) Fução de verosimilhaça: L(λ x) = i=1 f X (x i ) = i=1 Fução de log-verosimilhaça: l L(λ x) = l ( λ e λ i=1 x i ) ( λe λx i ) = λ e λ i=1 x i = l(λ) λ i=1 x i Maximização: A EMV de λ, ˆλ, obtém-se resolvedo ˆλ : { d l L(λ x) dλ λ=ˆλ = 0 (poto de estacioaridade) d 2 l L(λ x) dλ 2 λ=ˆλ < 0 (poto de máximo)

26 potual por itervalos Exemplo (cot.) ˆλ : { ( λ i=1 x i) λ=ˆλ = 0 λ { < 0 2 λ=ˆλ ṋ λ i=1 x i = 0 ṋ < 0 λ 2 { ˆλ = i=1 x i proposição verdadeira

27 potual por itervalos Exemplo (cot.) Estimador de MV de p: EMV (λ) = = (X ) 1 (média da amostra). Cocretização: i=1 X i ˆλ = i=1 x i = ( x) 1 iverso da média da amostra = = Nota: Repare que ão se trata de um estimador cetrado de λ.

28 potual por itervalos Distribuições amostrais A caracterização probabiĺıstica de estatísticas, de estimadores ou de suas fuções é crucial ão só para avaliar as propriedades dos estimadores (como p.e., eviesameto, EQM, eficiêcia), mas também como veremos a seguir, para obter estimativas itervalares dos parâmetros descohecidos (aos quais chamaremos itervalos de cofiaça). É etão fudametal cohecer a distribuição de uma estatística, de um estimador ou de sua fução, à qual chamamos distribuição amostral (ou distribuição por amostragem). Exemplo Sedo X = (X 1,..., X ) uma a.a. de dimesão proveiete da população X com f.d. F X (x), etão facilmete se mostra que Estatística X (1) = mi i=1,..., X i X () = max i=1,..., X i Distribuição amostral F X(1) (x) = 1 [1 F X (x)] F X() (x) = [F X (x)]

29 potual por itervalos A média é, em geral, o estimador de MV (ou de alguma forma está com ele relacioada) do valor esperado de uma v.a. de iteresse, pelo que é fudametal cohecer a sua distribuição. Seja X = (X 1,..., X ) uma a.a. de dimesão proveiete da população X. Etão População X ormal(µ, σ 2 ) X com distribuição arbitrária (ão ormal) E(X ) = µ, V (X ) = σ 2, grade Distribuição amostral da média X ormal(µ, σ2 ) X µ ormal(0, 1) σ O 1 o dos dois resultados é exacto e deve-se ao facto de a combiação liear de ormais aida possuir distribuição ormal. O 2 o resultado é aproximado e é cohecido como o Teorema do Limite Cetral e só deve ser aplicado quado a v.a. ão tem distribuição ormal e a dimesão da amostra é suficietemete grade.

30 potual por itervalos Exemplo Assuma que a pressão sistólica de uma população saudável segue uma distribuição ormal de média 120mmHg e desvio padrão 10mmHg. Num grupo de 25 pessoas, a média da pressão sistólica foi de 124mmHg. Qual a probabilidade de se ecotrar uma média superior a esta uma amostra de 25 idivíduos? Ou, dito de outro modo, qual a proporção de amostras de 25 idivíduos escolhidas ao acaso essa população que têm uma média superior a 124mmHg? De acordo com o 1 o dos resultados ateriores, a distribuição amostral da média segue uma distribuição ormal de parâmetros µ = 120 e σ 2 = X ormal(120, 4). A probabilidade pedida é etão dada por = 4, i.e., P(X > 124) = 1 P(X 124) = 1 F X (124) = o scilab: cdfor( PQ, 124, 120, 2) = com cosulta das tabelas Sedo Z = X ormal(0, 1) 25 P(X 124) = P( X ) = P(Z 2) = Φ(2). 25

31 potual por itervalos Itervalos de cofiaça Para além de uma estimativa potual para um parâmetro descohecido é importate obter um itervalo que os dê uma ideia da cofiaça que se pode depositar a estimativa potual. Essa estimativa itervalar é desigada por itervalo de cofiaça (IC). A um itervalo de cofiaça está associado um grau de cofiaça, usualmete represetado por (1 α) 100%, cujos valores mais usuais são 90%, 95% e 99% (ou, α = 0.1, 0.05, 0.01, respectivamete). Ates de mais é ecessário descever a situação com que lidamos, em particular a v.a. X de iteresse e a respectiva distribuição o parâmetro descohecido para o qual se pretede obter um IC outro evetual parâmetro (cohecido ou ão) da distribuição de X.

32 potual por itervalos IC para a média, variâcia cohecida IC para o valor esperado de uma população ormal com variâcia cohecida Sedo Z = X µ, pretedemos determiar a σ α e b α tal que P(a α Z b α) = 1 α ou aida, recorredo às tabelas ou ao scilab, determiar a α e b α tal que { P(Z < aα) = α { aα = Φ 2 P(Z > b α) = α 1 ( ) α 2 = Φ 1 ( 1 α ) 2 2 b α = Φ 1 ( 1 α ) 2 Assim P(a α Z b α) = 1 α P(a α X µ σ b α) = 1 α P (X b α σ µ X a α σ ) = 1 α ( ( P X Φ 1 1 α ) σ ( µ X + Φ 1 1 α ) σ ) = 1 α 2 2 [ ( IC (1 α) 100% (µ) = x Φ 1 1 α ) σ (, x + Φ 1 1 α ) σ ] 2 2

33 potual por itervalos IC para a média, variâcia cohecida IC para o valor esperado de uma população arbitrária com variâcia cohecida Sedo Z = X µ σ a α e b α tal que ormal(0, 1) (Teorema do limite cetral), pretedemos determiar P(a α Z b α) 1 α ou aida, recorredo às tabelas ou ao scilab, determiar a α e b α tal que { P(Z < aα) = α { aα = Φ 2 P(Z > b α) = α 1 ( ) α 2 = Φ 1 ( 1 α ) 2 2 b α = Φ 1 ( 1 α ) 2 Assim P(a α Z b α) = 1 α P(a α X µ σ b α) 1 α P (X b α σ µ X a α σ ) 1 α ( ( P X Φ 1 1 α ) σ ( µ X + Φ 1 1 α ) σ ) 1 α 2 2 [ ( IC (1 α) 100% (µ) = x Φ 1 1 α ) σ (, x + Φ 1 1 α ) σ ] 2 2

34 potual por itervalos Exemplo O QI uma população segue uma distribuição ormal de variâcia Com base uma amostra de dimesão 25, com média amostral de 100, vejamos como cotruir o IC a 95% para a média a população. Ora [ ( IC (1 α) 100% (µ) = x Φ 1 1 α ) σ (, x + Φ 1 1 α ) σ ] 2 2 ode, este caso α = No scilab, o comado cdfor( X, 0, 1, , ) devolve-os o valor de Φ 1 ( ) 2 = 1.96, logo [ IC 95% (µ) = , ] = [94.1, 105.6] 25 25

35 potual por itervalos Quado ão cohecemos o valor de σ 2 a população, etão a v.a. deixa de ser útil. Neste caso, σ 2 será estimado por S 2 e usa-se a v.a. Z = X µ S t 1 X µ σ ormal(0, 1) e lê-se Z possui distribuição de t-studet com ( 1) graus de liberdade. A distribuição de t-studet é semelhate à distribuição ormal reduzida. É simétrica em relação à média, (0), mas com um desvio padrão depedete de um parâmetro deomiado graus de liberdade; Existe uma distribuição de t-studet diferete para cada o de graus de liberdade; Geralmete, os graus de liberdade correspodem à difereç a etre a dimesão amostral e o o de parâmetros a estimar.

36 potual por itervalos IC para a média, variâcia descohecida IC para o valor esperado de uma população ormal com variâcia descohecida Sedo Z = X µ S t ( 1), pretedemos determiar a α e b α tal que P(a α Z b α) 1 α ou aida, recorredo às tabelas ou ao scilab, determiar a α e b α tal que { { P(Z < aα) = α aα = F 1 ( α ) 2 t P(Z > b α) = α ( 1) 2 = F 1 ( ) t ( 1) 1 α 2 2 b α = Ft 1 ( ) ( 1) 1 α 2 P(a α Z b α) = 1 α P(a α X µ b S α) 1 α P (X b α S µ X a α S ) 1 α ( ( P X Ft 1 ( 1) 1 α ) S ( µ X + F 1 2 t ( 1) 1 α ) S ) 1 α 2 [ ( IC (1 α) 100% (µ) = x Ft 1 ( 1) 1 α ) s (, x + F 1 2 t ( 1) 1 α ) s ] 2

37 potual por itervalos Exemplo A duração em horas de uma pilha de certa máquia possui distribuição que se admite ormal com valor esperado e variâcia descohecidas. Recolheu-se uma amostra de 10, tedo-se obtido o seguite cojuto de dados: x = (251, 238, 236, 229, 252, 253, 245, 242, 235, 230). Determiemos um itervalo de cofiaça a 99% para µ. Cosiderado a v.a. Z = X µ t S ( 1), o IC pedido é dado por [ ( IC (1 α) 100% (µ) = x Ft 1 ( 1) 1 α ) s (, x + F 1 2 t ( 1) 1 α ) s ] 2 ode α = 0.01, = 10, x = 241.1, s 2 = e Ft 1 ( ) ( 1) 1 α 2 = F 1 ( ) t ( No scilab, o comado cdft( T, 9, , 0.01 ) devolve-os o valor de 2 = Ft 1 ( ) (9) = , logo IC 99% (µ) = [ ] , = [ , ]

38 potual por itervalos IC para a média, variâcia descohecida IC para o valor esperado de uma população arbitrária com variâcia descohecida Usa-se a v.a. Z = X µ ormal(0, 1) (Teorema do limite cetral). Pretedemos S determiar a α e b α tal que P(a α Z b α) 1 α Recorredo às tabelas ou ao scilab, determiar a α e b α tal que { P(Z < aα) = α { aα = Φ 2 P(Z > b α) = α 1 ( ) α 2 = Φ 1 ( 1 α ) 2 2 b α = Φ 1 ( 1 α ) 2 P(a α Z b α) = 1 α P(a α X µ b S α) 1 α P (X b α S µ X a α S ) 1 α ( ( P X Φ 1 1 α ) S ( µ X + Φ 1 1 α ) S ) 1 α 2 2 [ ( IC (1 α) 100% (µ) = x Φ 1 1 α ) s (, x + Φ 1 1 α ) s ] 2 2

39 potual por itervalos IC para a variâcia de uma população ormal IC para a variâcia de uma população ormal com valor esperado descohecido Usa-se a v.a. Z = ( 1)S2 σ 2 χ 2 e lê-se Z possui distribuição do qui-quadrado com ( 1) ( 1) graus de liberdade. Como esta distribuição ão é simétrica em relação à origem e tem com suporte R + temos que determiar a α e b α tal que { P(Z < aα) = α 2 P(Z > b α) = α 2 P(a α Z b α) = 1 α P a α P P(a α Z b α) 1 α a α = F 1 ( ) α2 χ 2 ( 1) b α = F 1 χ 2 ( 1) ( 1)S 2 F 1 χ 2 ( 1) ( 1 α 2 IC (1 α) 100% (σ 2 ) = ( 1)S2 σ 2 ( ) 1 α 2 b α 1 α ) σ 2 ( 1)S2 F 1 ( ) α2 1 α χ 2 ( 1) ( 1)S 2 F 1 χ 2 ( 1) ( 1 α 2 ( 1)S 2 ), F 1 ( ) α2 χ 2 ( 1)

40 potual por itervalos IC para a variâcia de uma população ormal IC para a variâcia de uma população ormal com valor esperado cohecido Procede-se como o caso aterior mas a distribuição de Z passa a ter () graus de liberdade. Nota: No scilab, o comado cdfchi( X,, α 2, 1 α 1 ( ) devolve o valor de F α ) 2 χ 2 2 ()

41 potual por itervalos IC para uma proporção Cosideremos a população X Beroulli(p), ode a probabilidade de sucesso, p, é descohecida. Cosideramos que a dimesão da amostra,, é suficietemete grade ( > 30). Cosidera-se a v.a., com distribuição aproximada: Z = Determiamos a α e b α por P X ( Φ 1 1 α 2 { aα = Φ 1 ( 1 α ) 2 b α = Φ 1 ( 1 α ) 2 X p X (1 X ) ormal(0, 1). P(a α Z b α) 1 α P a α X p X (1 X ) ) X (1 X ) ( p X + Φ 1 1 α ) 2 b α 1 α X (1 X ) 1 α O seguite [ IC possui grau de cofiaça aproximadamete igual a (1 α) 100%: IC(p) = x Φ 1 ( 1 α ) x(1 x) 2, x + Φ 1 ( 1 α ) ] x(1 x) 2