Métodos Quantitativos em Contabilidade. Prof. José Francisco Moreira Pessanha

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1 Métodos Quatitativos em Cotabilidade Prof. José Fracisco Moreira Pessaha Rio de Jaeiro, 4 de setembro de 0

2 Itrodução O propósito da iferêcia estatística cosiste em fazer afirmações sobre alguma característica de uma população baseado-se em resultados de uma amostra da população. A iferêcia estatística forece procedimetos para extrair coclusões sobre uma população a partir de dados amostrais (MOORE,005)

3 População Cojuto formado por todos os elemetos que compartilham uma característica comum: Exemplos: População carioca Cojuto dos domicílios cariocas Cojuto de fucioários da Prefeitura Cojuto de forecedores da Prefeitura População fiita: se há um determiado úmero de elemetos (por exemplo, º de domicílios em uma cidade) População ifiita: o tamaho da população é ilimitado.

4 Distribuição populacioal Em cada elemeto da população podemos observar um cojuto de atributos, por exemplo: o cosumo de eergia elétrica em uma uidade cosumidora o valor da fatura de eergia elétrica de uma uidade cosumidora se o cliete é residecial ou ão residecial se o cliete é medido ou ão é medido. Em geral, os atributos ão se distribuem com a mesma itesidade em todos os elemetos da população, mas, ao cotrário, a distribuição da itesidade dos atributos é desigual. Para ilustrar, cosidere a seguite população formada por 6 uidades cosumidoras e os respectivos cosumos mesais em kwh. Distribuição populacioal

5 Distribuição populacioal A distribuição populacioal pode ser caracterizada miimamete por meio de uma medida de posição e uma medida de dispersão. Medida de posição (média): idica o valor típico da população. Medida de dispersão (desvio-padrão): idica a variabilidade dos elemetos da população ao redor da média. Quado calculadas com base em todos os elemetos da população estas medidas são deomiadas por parâmetros populacioais. população média 6 50 kwh desvio padrão ,6 kwh

6 N x i N i Parâmetros populacioais Parâmetro populacioal é uma fução dos valores observados em todos os elemetos da população. Cosidere uma população fiita com N elemetos, cada um apresetado um valor x i (i=,n) em uma determiada característica de iteresse. Com base os valores de todos os elemetos da população calculam-se os parâmetros populacioais, etre os quais destacam-se: Média populacioal N N i x i Total populacioal N N i x i Variâcia populacioal Desvio-padrão populacioal N N x i x i N i N i Proporção P N Total de elemetos da população com a característica de iteresse, por exemplo, total de clietes com cosumo acima de 50 kwh e, este caso, P = proporção de clietes com cosumo acima de 50 kwh.

7 Ceso Um ceso é a ispeção de todos os elemetos da população, para extrair de cada um deles as iformações de iteresse. Os valores exatos dos parâmetros populacioais são obtidos por meio de um ceso da população. Problemas: Cesos podem ter custos proibitivos Cesos podem demadar muito tempo para serem cocluídos e, portato, os resultados ão são imediatos e podem estar desatualizados. Em uma população ifiita é impossível examiar todos os elemetos da população.

8 Ceso O ceso de uma grade população é uma operação complexa que evolve um eorme cotigete de receseadores. O evolvimeto de muita gete cria problemas a coordeação e cotrole das operações do ceso, o que aumeta as chaces de erros, deomiados por erros ão amostrais Erros ão amostrais: etrevistas mau aplicadas ou ão realizadas, erros de medida, erros de digitação dos dados coletados, efim erros que ão estão os dados, mas o sistema para obtê-los. Logo, os cesos ão são ecessariamete exatos.

9 Ceso Quado fazer um ceso? Quado a população é pequea, por exemplo, a população de uma localidade do iterior do país. Quado se exige precisão completa, como o setor de faturameto de uma empresa de serviço público em que todos os clietes são medidos.

10 Amostragem Cosiste a seleção e aálise de um subcojuto fiito (amostra) dos elemetos da população sob estudo. Objetivo: estimar os parâmetros da distribuição populacioal, por exemplo, a média populacioal e a proporção de elemetos portadores de determiada característica, a partir das observações de uma amostra da população. O fato de ivestigar apeas uma parcela da população tora as pesquisas por amostragem mais ecoômicas e mais rápidas que os cesos. Muito empregada em cotrole de qualidade e testes destrutivos, situações em que ão faz setido fazer um ceso. É a alterativa ao ceso. Pesquisas por amostragem evolvem um meor úmero de agetes a coleta de dados, torado possível treiá-los exaustivamete visado uiformizar os métodos de coleta de dados e, coseqüetemete, reduzir sigificativamete o erro ão amostral.

11 Amostragem A partir das respostas dos idivíduos amostrados queremos iferir a partir dos dados amostrais alguma coclusão sobre a população mais ampla que a amostra represeta. A iferêcia estatística forece métodos para extrair coclusões sobre uma população a partir de dados amostrais. Em fução da flutuação amostral ão podemos ter certeza de que ossas coclusões são corretas, pois uma amostra diferete poderia coduzir a coclusões diferetes. A iferêcia estatística usa a liguagem da probabilidade para expressar o grau de cofiaça das coclusões.

12 Estimação eja x, x,..., x os valores observados em uma amostra aleatória de tamaho ( < N) acerca de uma característica. Os valores observados a amostra podem ser iseridos as seguites fórmulas matemáticas deomiadas estimadores, cujos resultados uméricos são as estatísticas amostrais, estimativas dos valores descohecidos dos parâmetros populacioais: Média amostral i x i Estimador do total T N Variâcia amostral Desvio-padrão amostral x i x i i i Proporção pˆ Total de elemetos da amostra com a característica de iteresse.

13 Parâmetro, estimador e estimativa Cosidere Uma população Uma variável aleatória que a cada elemeto da população associa um valor umérico (). A distribuição de probabilidade de depede de uma costate (parâmetro) cujo valor é descohecido e desejamos estimar Uma amostra aleatória de tamaho é retirada da população e medidos valores x, x,...,x da variável os elemetos da amostra. Tais valores formam o cojuto de dados. Um estimador do parâmetro é uma fução (,,..., ) que associa a cada possível cojuto de dados (amostra) x, x,...,x o resultado ˆ (x, x,...,x ). Trata-se, portato de uma variável aleatória. Cada possível valor umério de um estimador é uma estimativa de. ˆ

14 Exemplo Pesquisa Eleitoral A população é o uiverso de eleitores da cidade A cada eleitor uma variável aleatória () vale, se o eleitor vota o cadidato A e () vale 0, caso cotrário. O parâmetro é a proporção p populacioal de eleitores que votariam em A. Distribuição da variável aleatória é Beroulli(p) Cosidere uma amostra aleatória de eleitores A amostra aleatória é o cojuto de variáveis aleatórias,,...,, cada i tem distrbuição Beroulli(p). As variáveis aleatórias,,..., são idepedetes e ideticamete distribuidas. Cojuto de dados: valores observados x, x,...,x em uma partciular amostra aleatória de tamaho, x i = se o i-ésimo eleitor da amostra vota em A e x i = 0 se o iésimo eletor da amostra ão vota em A. Estimador potual de p é a fução Estimativa de p, é o resultado de pˆ ˆ,..., p x,..., x i i em uma particular amostra

15 Distribuição amostral Diferetes amostras extraídas da mesma população origiam valores distitos para uma estatística amostral. Há uma flutuação aleatória das estatísticas amostrais, variado de uma amostra para outra. Amostra Amostra A difereça etre a estimativa e o valor do parâmetro populacioal costitui o erro amostral, uma compoete aleatória ierete ao próprio processo de seleção da amostra. População Parâmetro Amostra 3 Amostra k 3 k Portato, os estimadores são variáveis aleatórias, já que seu valor ão pode ser predito com certeza ates da amostra ter sido extraída.

16 Distribuição amostral Distribuição amostral: distribuição de probabilidade de uma estatística amostral quado cosideramos todas as possíveis amostras aleatórias de tamaho extraídas de uma população de Tamaho N (<N). A distribuição amostral descreve a variabilidade de uma estatística e idica quão prováveis são os diversos valores que ela pode assumir. A capacidade de usar amostras para fazer iferêcias sobre parâmetros populacioais depede do cohecimeto que temos sobre a distribuição amostral.

17 frequêcia absoluta Distribuição amostral população EEMPLO Todas as possíveis amostras de tamaho extraídas da população Distribuição da média amostral 3 Lembre que a média populacioal é =50 kwh Cosumo mesal (kwh)

18 frequêcia absoluta Distribuição amostral Cosumo mesal (kwh) imetria da distribuição da média amostral em toro da média populacioal ( =50 ). imetria implica a igualdade etre a média populacioal e o valor esperado da distribuição da média amostral (a média de todas as médias das amostras de tamaho =). Quado esta igualdade é verificada o estimador é ão tedecioso. Portato, a média amostral é um estimador ão tedecioso da média populacioal.

19 frequêcia absoluta 3 Distribuição amostral Cosumo mesal (kwh) A dispersão da distribuição amostral dos valores também é importate. Quato maior a cocetração em toro de, meor é a magitude do erro amostral e, portato, maior a precisão do estimador. O grau de dispersão é medido pelo desvio-padrão da distribuição amostral, deomiado erro-padrão. Quato meor o erro-padrão, maior será a precisão dos resultados obtidos.

20 Propriedades de um estimador O esquema do tiro ao alvo ilustra bem os coceitos de estimador ão tedecioso e precisão com base apeas a dispersão das estimativas (potos) em toro do parâmetro populacioal (alvo). ão tedecioso e preciso ão tedecioso e impreciso preciso e tedecioso impreciso e tedecioso

21 Propriedades da média e da variâcia amostrais A média amostral é um estimador ão tedecioso da média populacioal: i i E A variâcia amostral é um estimador ão tedecioso da variâcia populacioal: i i E Prova-se que e são variáveis aleatórias idepedetes

22 Teorema Cetral do Limite Nas situações práticas dispomos de apeas uma úica amostra de tamaho da população ivestigada. Etão como costruir a distribuição da média amostral com apeas uma amostra? As distribuições amostrais são deduzidas matematicamete e a forma da distribuição depede do estimador adotado, do tamaho da amostra e da distribuição origial da característica de iteresse a população.

23 Teorema Cetral do Limite No caso da média amostral, o Teorema do Limite Cetral estabelece que, idepedetemete da distribuição populacioal da característica de iteresse, para amostras suficietemete grades (30) a distribuição de probabilidade da média amostral coverge para uma distribuição ormal com média e variâcia /, à medida que aumeta o tamaho da amostra. grade (>30) ~ N, e a amostra represetar mais de 5% do tamaho da população (/Nx00% > 5%) a variâcia da distribuição da média amostral deve ser corrigida pelo fator de correção fiita: Fator de correção fiita grade (>30) ~ N, N N

24 Quado a distribuição populacioal da característica é ormal, a distribuição da média amostral é ormal, idepedetemete do tamaho da amostra ser pequeo ou grade. Teorema Cetral do Limite O resultado do Teorema do Limite Cetral pode ser melhor compreedido pelos gráficos a seguir (Bussab & Moretti, 987) que mostram como as distribuições amostrais da média se aproximam da distribuição Normal, à medida que o aumeta tamaho da amostra, a partir de diferetes distribuições populacioais da característica

25 Teorema Cetral do Limite A aproximação à curva ormal pode ser utilizada em outros estimadores, tais como o estimador do total e o estimador de proporção. No caso do estimador de proporção a sua distribuição amostral coverge para uma ormal com média igual a proporção populacioal p e variâcia igual a p(-p)/: p p p N p, ~ ˆ, ~ ˆ N N p p p N p Em populações fiitas (/N x 00% > 5%) a variâcia do estimador deve ser corrigida pelo fator de correção fiita:

26 Amostragem aleatória simples

27 Amostragem aleatória simples (AA) Cosiste em selecioar aleatoriamete uma amostra de elemetos em uma população com N elemetos (<N). Os elemetos são sorteados sem reposição e ão importa a ordem de seleção dos elemetos. Assim, o total de amostras de elemetos que podem ser obtidas de uma população de tamaho N é: N N!!N! Todos os elemetos da população têm igual probabilidade de pertecer a amostra. Portato, todas as possíveis amostras de tamaho são equiprováveis. A probabilidade de um elemeto pertecer a amostra é dada pela razão /N, cohecida como fração de amostragem.

28 Exemplo O úmero total de amostras possíveis de tamaho 3 de uma população formada pelos oito primeiros úmeros aturais {,,3,4,5,6,7,8} é 56: N =8 = ! 3! 8 3! eja o primeiro elemeto a ser sorteado. P( =i ) = /8 para todo i =,,3,4,5,6,7,8 8! 3!5! eja o segudo elemeto a ser sorteado P( =i =i ) = /7, para todo i diferete de i 8x7x6 3xx eja 3 o terceiro elemeto a ser sorteado P( 3 =i 3 =i. =i ) = /6, para todo i 3 diferete de i e i 8x7 56 Cosidere uma das possíveis amostras de três elemetos: A={,5,7} A probabilidade de que tal amostra seja selecioada é i, i, i 3 P A i, i, 3 i oma das probabilidades de todas 3 as permutações de,5 e 7

29 Exemplo O úmero de permutações dos elemetos da amostra A = {, 5, 7} é igual a 6: Na AA cada possível amostra de tamaho tem igual probabilidade de ser selecioada Cada uma das permutações tem probabilidade (/8) x (/7) x (/6) Como há 6 permutações A probabilidade de selecioar a amostra A={, 5, 7} é 6 x (/8) x (/7) x (/6) = /56 Evidetemete, qualquer outra amostra de tamaho 3 tem a mesma probabilidade de /56 de ser selecioada.

30 Tamaho da amostra Para dimesioarmos uma amostra devemos especificar duas costates: ) Máximo desvio ou erro tolerável (d) etre a média amostral e a média populacioal. ) A probabilidade de que o máximo desvio ou erro etre a média amostral e média populacioal seja maior do que d. Os valores das costates e d devem ser pequeos, tal que Probabilidade de que o desvio etre a média amostral e a média populacioal ultrapasse o máximo tolerável é igual a Probabilidade de que o desvio etre a média amostral e a média populacioal seja meor que máximo tolerável é igual a - P d P d

31 Tamaho da amostra (população ifiita) d P d d P N, ~ Pelo Teorema Cetral do Limite Admitido população ifiita d d P Dividido a desigualde pelo desvio padrão d z d P z~n(0,)

32 Tamaho da amostra (população ifiita) d z d P z z z P d z d z z Valor tabelado -0,5 probabilidade

33 Tamaho da amostra (população fiita) Pelo Teorema Cetral do Limite a distribuição da média amostral é Normal. Logo, a probabilidade de que o desvio etre a média populacioal e a média amostral seja meor do que e é -. z z z P N N d N N N N d P d d P d P Tamaho da amostra N N d z Logo z d N z N, ~ N N N

34 Tamaho da amostra z / N / N d z N = tamaho da população d = margem de erro fixada = variâcia da distribuição populacioal - = ível de cofiaça, usualmete 95% ( = 5%) z - / = abscissa da distribuição ormal que deixa uma probabilidade -/ a esquerda No caso de populações grades ou ifiitas podemos usar a seguite fórmula: z / d No caso de populações fiitas e com variâcia populacioal ão cohecida devemos usar a seguite fórmula: t / N / N d t = estimativa da variâcia da distribuição populacioal t -/ = abscissa da distribuição t que deixa uma probabilidade -/ a esquerda

35 Exemplo Tamaho da amostra A título de ilustração cosidere o cadastro com todas as uidades cosumidoras resideciais de uma localidade. Uma população com N=30 elemetos. Qual o tamaho da amostra para estimar o cosumo médio com 95% de cofiaça de um erro máximo de 50 kwh? Cosidere as seguites premissas: ível de cofiaça de 95% (=5%) z / =,96 = -INV.NORMP(0,05) Erro máximo admissível d = 50 kwh Desvio-padrão populacioal = 94,04 kwh Tamaho da amostra,96 94, ,96 94,04 0 Cadastro de uma localidade com 30 clietes Cliete Número Edereço Cosumo o mês aterior (kwh)

36 Tamaho da amostra Tamaho da amostra para estimar uma proporção. z / p pn N d z p p / N = tamaho da população e = margem de erro fixada p = proporção populacioal = ível de cofiaça %, 5% ou 0% z - / = abscissa da distribuição ormal que deixa uma probabilidade -/ a esquerda No caso de populações grades ou ifiitas podemos usar a seguite fórmula: z / p d p Note que o tamaho da amostra depede da proporção populacioal, justamete o parâmetro que queremos estimar por amostragem. Podemos cosiderar estimativas obtidas em estudos ateriores, fazer uma amostra piloto ou, a impossibilidade de obter tais estimativas, podemos fixar p em 0,5, pois assim maximizamos o produto p(-p) o que resulta em um maior tamaho para a amostra,

37 Amostragem aleatória simples (AA) Exemplo do cálculo do tamaho da amostra para estimar proporções Cosidere o cadastro com todas as uidades cosumidoras resideciais de uma localidade. Uma população com N=30 elemetos. Qual o tamaho da amostra para estimar a proporção de clietes com ar codicioado? Cosidere as seguites premissas: ível de cofiaça de 95% (=5%) z / =,96 = -INV.NORMP(0,05) Erro máximo admissível d = 0, Desvio-padrão populacioal = 0,5 x 0,5 Tamaho da amostra,96 0, ,,96 0,5 4 Cadastro de uma localidade com 30 clietes Cliete Número Edereço Cosumo o mês aterior (kwh)

38 Amostragem aleatória simples (AA) eleção da amostra Requer um cadastro ou uma lista em que sejam idetificados todos os elemetos da população alvo. Por exemplo, o cadastro de cosumidores ou cadastro de faturameto. A seleção da amostra se dá mediate a aplicação de um procedimeto de seleção aleatória ao cadastro. Cadastro de uma localidade com 30 clietes Cliete Número Edereço Cosumo do último ao (kwh)

39 Amostragem aleatória simples (AA) eleção da amostra Cadastro de uma localidade com 30 clietes Como fazer a seleção? Vamos selecioar uma amostra de tamaho =0, a partir do cadastro ao lado, ode N=30. Pode-se sortear 0 úmeros aleatórios etre e 30 e selecioar os clietes que ocupem as respectivas posições o cadastro. Use o comado =aletatórioetre(;30) o Excel e ão cosidere os úmeros repetidos. Números sorteados: 3, 4, 0, 0, 5,, 5, 3, 9, 6 Cliete Número Edereço Cosumo do último ao (kwh)

40 Amostragem aleatória simples (AA) eleção da amostra Cadastro de uma localidade com 30 clietes Outra opção cosiste em atribuir um º aleatório etre 0 e a cada elemeto do cadastro. Use o comado ALEATÓRIO() do Excel. Copie a colua de º aleatórios e cole como valor. Em seguida, ordee os elemetos do cadastro a ordem decrescete ou crescete do º aleatório. Pegue os dez primeiros elemetos para formar a amostra de tamaho =0. Colua de º aleatórios já ordeados Cliete Número Edereço Cosumo do último ao (kwh) Nº aleatório , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0997

41 Itervalo de cofiaça Estimação por itervalo

42 Itervalo de cofiaça para a média Como a média amostral segue uma distribuição ormal com média e variâcia /, podemos esperar com 95% de probabilidade que a média amostral seja diferete do valor populacioal por o máximo,96 desvios-padrão ~ DP N, P P,96 DP,96 DP 95%,96 DP,96 DP 95%

43 Itervalo de cofiaça para a média P P,96 DP,96 DP 95%,96 DP,96 DP 95%,, DP,96 DP 96 o itervalo tem uma probabilidade de 95% de coter a média populacioal. Logo, há uma probabilidade de 5% do itervalo ão coter a média, ou seja, uma probabilidade de 5% de erro. ubstituído a média amostral por seu valor umérico, a expressão acima deixa de ser uma probabilidade legítima e trasforma-se o itervalo com 95% de cofiaça de coter a média populacioal:, DP,96 DP 96

44 Itervalo de cofiaça para a média Na hipótese de serem sorteadas todas as diferetes amostras de tamaho de uma população, em cada amostra podemos calcular um itervalo com 95% de cofiaça cetrado a média amostral, sedo que somete 95% destes itervalos coterão a média populacioal. A cofiaça iforma com que frequêcia o método irá produzir um itervalo que cotém o verdadeiro parâmetro populacioal, o caso a média. Distribuição da média amostral Amostra,96 População Amostra,96 Média Variâcia Amostra 3, Amostra k k,96 k

45 Itervalo de cofiaça para a média No caso geral, os limites do itervalo com - cofiaça são determiados pela seguite fórmula: z z ode - é o ível de cofiaça especificado, usualmete: 0,9 ; 0,95 e 0,99. z(/) são os valores tabelados da ormal padroizada N(0,) que deixam uma probabilidade igual a / as caudas da distribuição ormal. O termo z é o erro máximo provável. A magitude do erro é determiada pelo ível de cofiaça -, pelo desvio padrão populacioal e pelo tamaho da amostra. maior o ível de cofiaça (maior z(/)) ou maior o desvio padrão populacioal. maior o erro, logo maior o comprimeto do itervalo de cofiaça. maior o tamaho da amostra meor o erro, logo meor o comprimeto do itervalo e mais precisa a estimativa.

46 Itervalo de cofiaça para a média Quado a população é fiita e o tamaho da amostra costitui mais de 5% da população (/N x 00% > 5%), devemos aplicar o fator de correção fiita a fórmula da variâcia da distribuição amostral da média: z N N z N N Todos os resultados ateriores também são válidos para pequeas amostras (30) desde que extraídas de populações ormais com variâcia cohecida.

47 Exemplo A seguir são apresetadas os valores mesais (em U$) pagos por 50 idivíduos selecioados aleatoriamete usuários de provedores comerciais de acesso à iteret em agosto de 000 os EUA. Costrua o itervalo de cofiaça de 95% (=5%). i (i=,50) Amostra grade (>30) ,0 5,0 0,0 5,0 Histograma dos dados amostrais sugere distribuição populacioal ão ormal 30,0 35,0 40,0 45,0 50,0 td. Dev = 7,65 Mea = 0,9 N = 50, VAR i i i 0,9 i 58, 459 z z Use o comado Excel INV.NORMP(0,975) para obter Z(,5%) =,96 8,78 3,0

48 Exemplo Em uma amostra de 5 tubos de imagem, a vida útil média é de 8000 horas. Em geral, a vida útil de tubos de imagem é assumida como sedo ormal. upoha que o desvio padrão da vida útil dos tubos de imagem de TV para uma marca particular é cohecido como sedo 500 horas. Costrua o itervalo de cofiaça de 95% para a vida útil média. z %.5% z , , z(/) = z(,5%) 7746,97 853,04 Use o comado Excel INV.NORMP(0,975) = Z(,5%) =,96 Como o itervalo acima ão cotém o total de horas em um ao (8760 horas), é razoável admitir que a vida útil média de um tubo de imagem seja meor que um ao.

49 Exemplo 3 Cosidere uma população, cuja característica de iteresse teha distribuição ormal com variâcia = 36. Desta população foi retirada uma amostra aleatória (com reposição) de tamaho =6 cuja média amostral é igual a 43. Costrua o itervalo de 90% de cofiaça da média populacioal (amostra pequea, mas extraída de uma população ormalmete distribuída e com cohecido). Dados 43 0% 36 6 =6 z(/) = z(5%) Use o comado Excel INV.NORMP(0,95) para obter Z(5%) =,6449 z z Itervalo com 90% de cofiaça de coter a média populacioal 40,54 45,46

50 Itervalo de cofiaça para a média Distribuição t Até o mometo admitimos que a variâcia populacioal é cohecida, uma situação que ão acotece a prática. Em geral ão é cohecida e deve ser substituída por sua estimativa amostral. Em fução desta modificação os valores críticos que defiem a região de rejeição, z(/), passam a ser defiidos pela tabela da distribuição t de tudet com - graus de liberdade e ão mais pela tabela da distribuição N(0,). Assim, por exemplo, o valor crítico ao ível de sigificâcia de 0% é,75 (use o comado =INVT(0,;5) o M Exel ), ligeiramete superior ao valor crítico de,64 defiido pela N(0,). O uso da distribuição t pressupõe que a população seja ormalmete distribuída.

51 Itervalo de cofiaça para a média Para pequeas amostras ( 30) extraídas de uma população ormalmete distribuída com o estimador o lugar de, pois ão é cohecido, tem-se que: t t N N t N N t Para amostras aleatórias de uma população fiita em que /Nx00% > 5% Neste caso deve-se substituir o z-score com distribuição ormal pelo t-score ou t(/) com distribuição t de tudet com - graus de liberdade: ~ t Variável aleatória com distribuição t de tudet com - graus de liberdade Distribuição t

52 Itervalo de cofiaça para a média Quado utilizar t ou Z ou ehum dos dois? Distribuição populacioal Tamaho da amostra Estatística de teste Normal Grade (30) Cohecido Z Normal Pequeo (<30) Cohecido Z Normal Grade (30) Descohecido t ou Z Z é usado como uma aproximação de t Normal Pequeo (<30) Descohecido t Descohecida Grade (30) Cohecido Descohecida Grade (30) Descohecido Z Teorema do Limite Cetral é ivocado t ou Z Teorema do Limite Cetral é ivocado e Z é usado como uma aproximação de t Descohecida Pequeo (<30) Cohecido Nehum Descohecida Pequeo (<30) Descohecido Nehum Testes ão paramétricos ou Bootstrap

53 Exemplo 4 Uma agêcia goverametal deseja estimar as milhas por galão que um determiado modelo de veículo é capaz de fazer. Para isto a agêcia adquire um destes veículos, eche o taque de combustível e um motorista treiado dirige o carro por 00 milhas. Etão o veículo é reabastecido e o mesmo motorista dirige o carro por mais 00 milhas, ao fial do percurso o veículo é ovamete reabastecido e assim segue o experimeto. A operação é realizada 0 vezes e o úmero de galões ecessários para reabastecer o taque de combustível estas 0 vezes é apresetado a seguir: 4,78 4,4 3,94 4,5 4,90 3,9 3,94 4,68 4,3 4,3 Assuma que estes valores são proveietes de uma população ormalmete distribuída e calcule o itervalo com 90% de cofiaça para o úmero médio de galões ecessários para percorrer as 00 milhas. Itervalo de cofiaça: t t

54 Exemplo 4 Amostra i (i=,0): 4,78 4,4 3,94 4,5 4,90 3,9 3,94 4,68 4,3 4,3 0 =0 i 4, 38 0 i 0, 303 i 0 0 i t5%, 833 t t Use o comado Excel =INVT(0,;9) 0,303 4,38,833 4,38, , ,9 4,537 Itervalo com 90% de cofiaça para o úmero médio de galões ecessários para percorrer 00 milhas A partir deste resultado também podemos costruir o Itervalo com 90% de cofiaça a médio de milhas percorridas por galão de combustível 00/4,537 00/4,9,04 4,8

55 Exemplo 5 A vida útil média de uma amostra de 0 lâmpadas é 4000 horas, com desvio padrão da amostra de 00 horas. abedo que a vida útil de uma lâmpada é assumida como sedo aproximadamete ormal, costrua o itervalo de cofiaça de 95% para a média da vida útil. ) A vida útil da lâmpada é uma variável aleatória com distribuição ormal ) Amostra é pequea = 0 3) Desvio padrão estimado a partir da amostra (s = 00) Logo deve-se utilizar a distribuição t a defiição do itervalo de cofiaça para a média s t9 9 %.5% t ,6 4000, ,8 443, s 00 0 =INVT(0.05,9)=,6

56 Assim, os limites do itervalo com 00(-)% de cofiaça para a proporção p são determiados coforme a seguir: Itervalo de cofiaça para a proporção p p z p p p p z p ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Em grades amostras, a aproximação à curva ormal pode ser utilizada em outros estimadores, tal como o estimador de proporção, cuja distribuição amostral coverge para uma ormal com média igual a proporção populacioal p e variâcia igual a p(-p)/: p p p N p, ~ ˆ

57 Exemplo 6 Uma empresa de pesquisa eleitoral etrevistou por telefoe 400 eleitores registrados, pergutado-lhes se votariam o cadidato A ou o cadidato B. Como resultado foi observado que 60% dos etrevistados respoderam que votariam o cadidato A. Deduza o erro padrão, a margem de erro e o itervalo de 95% de cofiaça para a proporção dos que idicam preferêcia pelo cadidato A. Dados pˆ 0,6 400 Erro padrão = estimativa da proporção dos que votam o cadidato A tamaho da amostra = 5% ível de sigificâcia s p Margem de erro = pˆ pˆ 0,6 0, ,045 s z,5% s,960,045 0, 048 z Itervalo de cofiaça pˆ z p p s p pˆ z s 0,55 p 0, 648 p A vista do itervalo de cofiaça resultate (55%, 65%) o cadidato A pode setir-se razoavelmete seguro quato a suas perspectivas em relação a eleição p

58 Exemplo 7 Uma amostra aleatória de 65 doas-de-casa revela que 70% delas preferem a marca de detergete. Costrua um itervalo com 90% de cofiaça para a proporção de doas-de-casa que preferem. Dados: pˆ 0,7 65 0% Itervalo de cofiaça para a proporção p Use o comado INV.NORMP(0,95) do Excel para obter Z(5%) =,6449 pˆ z pˆ pˆ pˆ pˆ p pˆ z 0,7,6449 0,7 0,7 0,7 0,7 65 p 0,7, ,67 p 0,73

59 Itervalos de cofiaça para a difereça as médias de duas populações

60 Amostras idepedetes x Amostras emparelhadas Cosidere a tarefa de formular um experimeto com a fialidade de avaliar dois tipos de têis em relação ao desgaste da sola: têis Rosa (R) e têis Verde (V). A forma mais simples de elaborar o experimeto é escolher, ao acaso, um grupo de meios e calçá-los com têis R e calçar um outro grupo com o têis V, Este tipo de experimeto é cohecido pelo ome de amostras idepedetes. Uma estratégia com maior sesibilidade para detectar as difereças etre R e V cosiste em escolher aleatoriamete para cada meio o pé o qual calçará o têis R. O outro pé calçará o têis V. Esta classe de experimetos é cohecida pelo ome de amostras depedetes ou emparelhadas. Amostras idepedetes Amostras emparelhadas

61 Itervalo de cofiaça para a difereça as médias de duas populações Cosidere duas populações Normais com média e possivelmete distitas e com a mesma variâcia = =. Isto é ~ N(, ) Y ~ N(, ) Cosidere amostras aleatórias de e Y (amostras idepedetes) e com tamahos m e respectivamete, isto é (x,...,x m ) e (y,...,y ) - Caso de duas populações com variâcias iguais (Amostras idepedetes) Todos os parâmetros são descohecidos e o objetivo é costruir itervalos com 00(-)% de cofiaça para a difereça das médias -

62 A partir dos pressupostos assumidos sabemos que as distribuições amostrais das médias amostrais são ormais: As médias amostrais são idepedetes etão a difereça etre elas também tem distribuição ormal: m N, ~ N Y, ~ m N Y, ~ A partir dos resultados acima tem-se que: 0, ~ N m Y Z Itervalo de cofiaça para a difereça as médias de duas populações - Caso de duas populações com variâcias iguais (Amostras idepedetes)

63 A variâcia ão é cohecida e pode ser estimada como ode m m pooled m i i m x m Variâcia amostral da amostra da população Variâcia amostral da amostra da população Y ubstituido por seu estimador tem-se que pooled ~ m pooled t m Y Itervalo de cofiaça para a difereça as médias de duas populações Distribuição t com m+- graus de liberdade - Caso de duas populações com variâcias iguais (Amostras idepedetes) i i Y y

64 m pooled m t m Y t P m t Y m t Y P pooled m pooled m m t Y m t Y pooled m pooled m ubstituido as estatísticas amostrais por seus valores uméricos, a expressão acima deixa de ser uma probabilidade legítima e trasforma-se o itervalo com 00(-)% de cofiaça de coter a difereça etre as médias populacioais: Para grades amostras m+ >= 30 pode-se aproximar a distribuição t pela ormal padrão z. (t é aproximado por z) - Caso de duas populações com variâcias iguais (Amostras idepedetes) Itervalo de cofiaça para a difereça as médias de duas populações Valores tabelados

65 Itervalo de cofiaça para a difereça as médias de duas populações Exemplo caso de duas populações com variâcias iguais (Amostras idepedetes) De que maeira as empresas que vão à falêcia diferem daquelas que cotiuam a operar? Para respoder a esta questão, um estudo comparou diversas características de 68 empresas que estão em boa situação com 33 que faliram. Uma das variáveis estudadas foi a razão etre o patrimôio e as dívidas atuais. Grosso modo, trata-se do que a firma vale dividido pela quatia que ela deve. As estatísticas amostrais são apresetadas a seguir: Empresas bem sucedidas,756 0,6393 Empresas falidas 0,836 0,48 A estimativa da difereça da razão patrimôio/dívidas etre as firmas bem sucedidas e aquelas que faliram é,756 0,836 0,90 Costrua o itervalo de 95% cofiaça para a difereça das médias

66 Itervalo de cofiaça para a difereça as médias de duas populações Exemplo caso de duas populações com variâcias iguais (Amostras idepedetes) Vamos admitir populações com variâcias iguais. Etão, primeiro deve-se calcular a variâcia combiada pooled m 68 0, m O grau de liberdade da estatística t é m+- = = 99 0,48 0,354 Ao ível de cofiaça = 95%, o t(,5%) é,984. No Excel INVT(0,05;99) =, 984 Como as amostras são grades, etão poderíamos aproximar pela ormal,96 A margem de erro é t99 pooled,984 0,354 0,495 m A difereça etre as bem sucedidas e falidas é em média 0,90 com margem de erro de 0,495 para uma cofiaça de 95%. Alterativamete, o itervalo com 95% cofiaça para a difereça das médias é 0,90 0,495 ou (0,655,,55).

67 Itervalo de cofiaça para a difereça as médias de duas populações Cosidere duas populações Normais com média e possivelmete distitas e com variâcias e. Isto é ~ N(, ) Y ~ N(, ) Cosidere amostras aleatórias de e Y (amostras idepedetes) e com tamahos m e respectivamete, isto é (x,...,x m ) e (y,...,y ) - Caso de duas populações com variâcias diferetes (Amostras idepedetes) Todos os parâmetros são descohecidos e o objetivo é costruir itervalos com 00(-)% de cofiaça para a difereça das médias -

68 A partir dos pressupostos assumidos sabemos que as distribuições amostrais das médias amostrais são ormais: As médias amostrais são idepedetes etão a difereça das médias amostrais também tem distribuição ormal: m N, ~ N Y, ~ m N Y, ~ A partir dos resultados acima tem-se que: 0, ~ N m Y Z Itervalo de cofiaça para a difereça as médias de duas populações - Caso de duas populações com variâcias diferetes (Amostras idepedetes)

69 A variâcia de cada população ão é cohecida. ubstituido as variâcias populacioais pelos respectivos estimadores, obtém-se uma variável aleatória que ão tem distribuição t ode Variâcia amostral da amostra da população Variâcia amostral da amostra da população Y Porém pode ser aproximada por uma distribuição t com v graus de liberdade determiado por: m m m v Itervalo de cofiaça para a difereça as médias de duas populações m Y Arredode o resultado para cima - Caso de duas populações com variâcias diferetes (Amostras idepedetes) m i i m x m i i Y y

70 Itervalo de cofiaça Ode v é determiado como: m m m v Itervalo de cofiaça para a difereça as médias de duas populações m t Y m t Y v v Arredode o resultado para cima - Caso de duas populações com variâcias diferetes (Amostras idepedetes) Valores tabelados

71 Itervalo de cofiaça para a difereça as médias de duas populações Exemplo caso de duas populações com variâcias diferetes (Amostras idepedetes) De que maeira as empresas que vão à falêcia diferem daquelas que cotiuam a operar? Para respoder a esta questão, um estudo comparou diversas características de 68 empresas que estão em boa situação com 33 que faliram. Uma das variáveis estudadas foi a razão etre o patrimôio e as dívidas atuais. Grosso modo, trata-se do que a firma vale dividido pela quatia que ela deve. As estatísticas amostrais são apresetadas a seguir: Empresas bem sucedidas,756 0,6393 Empresas falidas 0,836 0,48 A estimativa da difereça da razão patrimôio/dívidas etre as firmas bem sucedidas e aquelas que faliram é,756 0,836 0,90 Costrua o itervalo de 95% cofiaça para a difereça das médias

72 Itervalo de cofiaça para a difereça as médias de duas populações A título de ilustração, admitido variâcias iguais o itervalo é (0,655 ;,55) Exemplo caso de duas populações com variâcias diferetes (Amostras idepedetes) Em amostras de tamahos diferetes ão é recomedável admitir a hipótese de variâcias populacioais iguais, a meos que ambas as amostras sejam realmete grades, como este caso. Vamos costruir o itervalo de cofiaça admitido variâcias diferetes. Etão, primeiro deve-se calcular v, o º de graus de liberdade da estatística t v 0, m 0, ,48 33 m m 68 0, , Como as amostras são grades, etão poderíamos aproximar pela ormal,96 Ao ível de cofiaça = 95%, o t(,5%) é,9883. No Excel INVT(0,05;85) =, 9883 A margem de erro é t v 0,6393 0,48,9883 0,69 m A difereça etre as bem sucedidas e falidas é em média 0,90 com margem de erro de 0,69 para uma cofiaça de 95%. Alterativamete, o itervalo com 95% cofiaça para a difereça das médias é 0,90 0,69 ou (0,675,,89).

73 Amostras emparelhadas Quado for ecessário comparar, por exemplo, as vedas diárias de duas filiais que operam com os mesmos produtos, ou os resultados de um treiameto, cofrotado o cohecimeto ates e depois do treiameto, os itervalos de cofiaça para a difereças das médias cosiderados até este mometo ão podem ser aplicados, pois se referem a duas populações idepedetes. Agora, ecessitamos aalisar duas populações relacioadas, isto é, duas populações depedetes. Neste caso, a variável de iteresse será a difereça etre os pares das duas amostras, o lugar das próprias amostras, que devem ter o mesmo tamaho.

74 Itervalo de cofiaça para a difereça as médias de duas populações 3- Caso de amostras emparelhadas Cosidere duas populações Normais com média e possivelmete distitas e com variâcias e. Isto é ~ N(, ) e ~ N(, ) Cosidere amostras aleatórias de e (amostras depedetes ou emparelhadas) com tamahos idêticos (), isto é (x,x ), (x,x ),..., (x i,x i ),..., (x,x ) formam um cojuto de observações emparelhadas. Em cada par amostrado pode-se calcular o desvio d i =x i -x i para i=,..., O valor esperado dos desvios é D = E(D) = E(-) = - Assim, o itervalo de cofiaça para a difereça etre e pode ser realizado por meio do itervalo para a média dos desvios D. d t d D d t Valores tabelados d ode d d i e d i são estatísticas amostrais i d i d

75 Itervalo de cofiaça para a difereça as médias de duas populações 3- Exemplo caso de amostras emparelhadas Um fabricate de automóveis coleta dados do cosumo de combustível para uma amostra de =0 carros em várias categorias de pesos, usado um tipo padrão de gasolia com e sem determiado aditivo. Os motores foram ajustados para as mesmas especificações ates de cada teste, e os mesmos motoristas foram usados para as duas codições de gasolia (sem que o motorista em questão soubesse qual gasolia estava sedo usada em cada teste particular). Dadas as iformações da amostra costrua o itervalo com 95% de cofiaça para a difereça do cosumo médio com e sem aditivo. 0 i d,7, 3 i 0 i d i d 0 0 i d i,7 0 0,7 d 0 i d i 0d 9 0,34 Para um ível de cofiaça de 95% tem-se que t 9 (,5%)= INVT(0,05;9) =,6

76 Itervalo de cofiaça para a difereça as médias de duas populações 3- Exemplo caso de amostras emparelhadas O itervalo para a média dos desvios etre os pares de observações das amostras emparelhadas é 0,34 0,7,6 D 0,7,6 0 0,34 0 0,599 0,939 Como o itervalo cotém o zero ão podemos afirmar que as médias dos cosumos com e sem aditivo a gasolia são diferetes. D

77 Outros itervalos de cofiaça

78 Cosidere uma população Normal com média e variâcia descohecidas da qual foi extraída uma amostra de tamaho. A partir dos registros amostrais foi calculada a variâcia amostral: Itervalo de cofiaça para a variâcia da Normal m i x i m A distribuição amostral de (-) / é qui-quadrado com - graus de liberdade ou seja -. Com base esta distribuição podemos determiar um itervalo com probabilidade - de coter a variâcia populacioal. ) ( P ubstituido a estatística amostra por seu valor umérico, a expressão acima deixa de ser uma probabilidade legítima e trasforma-se o itervalo com 00(- )% de cofiaça de coter a variâcia da ormal ) ( ) ( P ) ( ) ( Valores tabelados

79 Itervalo de cofiaça para a razão de variâcias Cosidere duas populações Normais com média e possivelmete distitas e com variâcias e. Isto é ~ N(, ) Y ~ N(, ) Cosidere amostras aleatórias e idepedetes de e Y e com tamahos m e respectivamete, isto é (x,...,x m ) e (y,...,y ) Todos os parâmetros são descohecidos e o objetivo é costruir itervalos com 00(-)% para a razão das variâcias

80 Itervalo de cofiaça para a razão de variâcias As estatísticas amostrais e são idepedetes e a distribuição amostral de seus múltiplos é uma distribuição qui-quadrado ~ ) ( m m ~ ) ( A razão das duas variáveis aleatórias acima segue uma distribuição F ) ; ( ~ ) ( ) ( m m F m Distribuição F com m- graus de liberdade o umerador e - graus de liberdade o deomiador

81 Itervalo de cofiaça para a razão de variâcias,, m m F F P,, F F P m m ubstituido as estatísticas amostrais por seus valores uméricos, a expressão acima deixa de ser uma probabilidade legítima e trasforma-se o itervalo com 00(-)% de cofiaça de coter a razão das variâcias:,, F F m m Com base esta distribuição podemos determiar um itervalo com probabilidade - de coter a razão das variâcias populacioais.

82 Exercício Numa experiêcia agroômica pretede-se avaliar o crescimeto total de uma certa espécie de platas (expresso em peso seco) relativamete a dois regimes de fertilização A e B. Ao fim de determiado tempo procedeu-se a medições, tedo-se obtido os seguites resultados: a) Numa experiêcia aterior (com um elevado umero de platas da mesma cultivar) relativa ao tratameto A, obteve-se uma variâcia de 0.4. Verifique se os dados atuais são cosistetes com esse valor. Comete, justificado, se haveria alguma(s) hipótese(s) ecessária(s) à resolução do problema. b) Verifique se os dois regimes de fertilização A e B evideciam difereças sigificativas o que respeita ao crescimeto das platas. Explicite as hipóteses ecessárias à resolução do problema

83 Exercício (a resolução também pode ser ecotrada a plailha exercícios.xlsx) a) Admitido populações ormais, vamos resolver a questão por meio do itervalo de cofiaça para a variâcia da população A. Primeiro deve ser calculada a variâcia da amostra extraída de A 0,897 A Na sequêcia, para um ível de cofiaça de 95%, devem ser determiados os valores críticos da distribuição qui-quadrado que deixam,5% de probabilidade a cauda esquerda e,5% a cauda direita. valor crítico da cauda direita = 6,0. No Excel INV.QUI(0,05;7) valor crítico da cauda esquerda =,69. No Excel INV.QUI(0,975;7) O itervalo com 95% de cofiaça para variâcia de A é ( ) ( ) (8 )0,897 (8 )0,897 0,3538 6,0,69 3,3953 como o itervalo de cofiaça cotém o valor 0,4 ão temos razão para afirmar, com 95% de cofiaça, que os dados

84 Exercício (a resolução também pode ser ecotrada a plailha exercícios.xlsx) b) Admite-se a hipótese de ormalidade. F O pressuposto de igualdade das variâcias pode ser avaliado por meio do itervalo de cofiaça para a razão das variâcias. Assim, primeiro são calculadas as variâcias em cada amostra A 0,897 B 0, 9346 Na sequêcia, para um ível de cofiaça de 95%, devem ser determiados os valores críticos da distribuição F que deixam,5% de probabilidade a cauda esquerda e,5% a cauda direita. valor crítico da cauda direita = 4,99. No Excel INV.F(0,05;7;7) valor crítico da cauda esquerda = 0,0. No Excel INV.F(0,975;7;7) O itervalo com 95% de cofiaça para a razão das variâcias é 0,897 0,897 A A A A A F, 0, 4,99 0,756 m 0,9346 0,9346 m, B B B B B 4,3804 Como o itervalo cotém o ão temos razão para afirmar que as variâcias são diferetes. Portado, o pressuposto de variâcias iguais é plausível,

85 Exercício (a resolução também pode ser ecotrada a plailha exercícios.xlsx) b) As médias amostrais são 5,8033 5, 78 A O itervalo de cofiaça para a difereça das médias ode se admite a hipótese de populações ormais com variâcias iguais é B A ode B t m pooled pooled m 8 0, A 0,9346 B t m 0,877 pooled m para um ível de cofiaça de 95% (=5%), o t crítico com 4 graus de liberdade é,448. (No Excel usar =INVT(0,05;4) ) O itervalo com 95% de cofiaça para a difereça das médias é (-0,368 ;,6899). Como o itervalo cotém o zero ão podemos afirmar que as médias são diferetes.

86 Exercício Pretede-se verificar se um dado tratameto aos metais tem algum efeito a quatidade de metal removido uma certa operação. Uma amostra aleatória de 00 peças foi itroduzida um liquido durate 4 horas sem ser feito o tratameto, obtedo-se uma média de. mm de metal removido e um desvio padrão de. mm. Uma seguda amostra de 00 peças foi primeiro tratada e depois itroduzida durate 4 horas o tal liquido, resultado uma média de 9. mm de metal removido com um desvio padrão de 0.9 mm. Determie um itervalo de cofiaça a 98% para a difereça etre as verdadeiras quatidades médias de metal removido sem tratameto e com tratameto. Reduzirá o tratameto a quatidade de metal removido?

87 Exercício

88 Teste de hipóteses

89 Teste de hipóteses para a média As estatísticas amostrais como médias e proporções forecem estimativas potuais dos parâmetros populacioais, porém, em fução da variabilidade ierete à amostragem aleatória, as estatísticas amostrais e os parâmetros populacioais raramete coicidem. É justamete a discrepâcia etre a estatística amostral e a hipótese sobre o valor de um parâmetro populacioal que ecotraremos evidêcias para validar ou refutar a hipótese acerca do parâmetro. Desvios pequeos podem ser atribuídos ao erro amostral, ierete ao processo de amostragem, e este caso é razoável admitir que a hipótese seja verdadeira, isto é, que a amostra poderia ter sido extraída de uma população, cujo parâmetro populacioal assume o valor alegado pela hipótese. Por sua vez, discrepâcias grades sugerem que a variabilidade ão se deve apeas ao erro amostral, mas a iadequação da hipótese acerca do valor do parâmetro, ou seja, a hipótese é falsa. eguido esta lógica, os testes de hipóteses decidem pela aceitação (variabilidade casual atribuída ao erro amostral) ou pela rejeição (variabilidade real ão atribuída apeas ao erro amostral) da hipótese sobre o valor do parâmetro populacioal.

90 Teste de hipóteses para a média O teste compara duas hipóteses: a hipótese ula H0 e a hipótese alterativa H. Por exemplo, com base o valor da média amostral podemos avaliar a plausibilidade da hipótese da média populacioal ser igual a um determiado valor 0. Assim, podemos formular as seguites hipóteses acerca da média populacioal: H0: = 0 H: 0 O teste permite avaliar a evidêcia forecida pelos dados sobre alguma afirmação (expressa a hipótese ula H0) relativa à população. Note que a hipótese H0 é uma afirmação sobre o valor do parâmetro populacioal, equato H oferece uma alterativa à alegação feita a hipótese ula. A hipótese alterativa H: 0 é bilateral, pois abrage valores meores e maiores que 0, mas em outras situações pode assumir outras especificações, por exemplo, os testes uilaterais: H: >0 ou H: <0. Para realizar o teste é fudametal estabelecer a distribuição amostral do estimador do parâmetro populacioal correspodete às hipóteses. No caso da média, sabemos pelo Teorema do Limite Cetral que a distribuição da média amostral é ormal com média igual a média populacioal e variâcia /.

91 Teste de hipóteses para a média e a hipótese ula é verdadeira, a média amostral ormal com média igual a 0. segue distribuição Distribuição da média amostral Uma grade discrepâcia etre e 0 idica que o valor da média amostral situa-se as caudas da distribuição ormal, ou seja, é pouco provável que o valor observado da média amostral proveha de uma população com média igual a 0. Este resultado sugere rejeitar H0: = 0. Um pequeo desvio etre e 0 sugere que a difereça é casual e se deve apeas ao erro amostral e, portato, 0 é um valor plausível para a média populacioal. Resultado que sugere a aceitar H0: = 0.

92 0 Teste de hipóteses para a média desvio etre a média amostral e a (hipotética) média populacioal 0 Não dá uma idéia da magitude do desvio se pequeo ou grade 0 desvio etre a média amostral e a (hipotética) média populacioal 0 expresso em úmero de erros-padrão Dá uma idéia da magitude do desvio (> desvios é grade) Estatística teste Teorema do limite cetral z ~ N, 0 0 ~ N z é ormal com média zero e desvio-padrão 0, Valores de z como este são bastate improváveis se H 0 é verdadeira Valores de z como este são bastate prováveis se H 0 é verdadeira

93 Teste de hipóteses para a média Podemos defiir uma região com uma pequea probabilidade de ocorrêcia as caudas da distribuição amostral e rejeitar a hipótese ula H0: = 0 se o valor de z estiver esta região. -z(/) e z(/) são valores tabelados em fução do ível de sigificâcia (valores críticos) probabilidade - probabilidade A região de rejeição tem probabilidade / em cada cauda da distribuição. Neste caso a hipótese alterativa é bilateral, H: 0, logo grades desvios egativos ou positivos idicam que a hipótese ula ão é plausível. A probabilidade é o ível de sigificâcia do teste e usualmete adotase o valor de %, 5% ou 0%.

94 Teste de hipóteses para a média A regra de decisão é muito simples valor para a estatística teste z fora do itervalo [-z(/), z(/)] Rejeita-se a hipótese H0: =0 valor para a estatística teste z o itervalo [-z(/), z(/)] Aceita-se a hipótese H0: =0 A decisão sobre aceitar ou rejeitar a validade da hipótese ula baseia-se os resultados de uma amostra, os quais estão sujeitos à variabilidade ierete ao processo de amostragem, logo a regra de decisão ão está livre de erros e decisões icorretas podem ser tomadas.

95 Teste de hipóteses para a média ) e a média populacioal é 0 (H0 é verdadeira), podemos selecioar uma amostra que produza uma estatística teste cujo valor esteja a região de rejeição. Neste caso icorremos o erro tipo I: rejeitar uma hipótese verdadeira. ) e a amostra selecioada é proveiete de uma população com média diferete de 0, o valor da estatística teste pode pertecer ao itervalo [-z(/), z(/)], a região de aceitação da hipótese ula. Neste caso, icorremos o erro tipo II: aceitar uma hipótese falsa.

96 Teste de hipóteses para a média O importate é recohecer que estamos tomado decisões em codições de icerteza e, portato, sujeitos a dois tipos de erro: Erro tipo I : rejeitar H0 quado H0 é verdadeira Erro tipo II : aceitar H0 quado H0 é falsa Exemplo: H0 réu é iocete (todos são iocetes até que se prove o cotrário) H réu é culpado

97 Teste de hipóteses para a média A probabilidade do erro tipo I é dada pelo ível de sigificâcia especificado para o teste A probabilidade do erro tipo II é deotada por. Estas probabilidades estão iversamete relacioadas. A redução da probabilidade do erro tipo I aumeta o valor crítico z(/), o que reduz a região de rejeição da hipótese ula as caudas da distribuição amostral e, portato, aumeta a probabilidade do erro tipo II. Equato a hipótese ula estipula um valor 0 para a média populacioal, a hipótese alterativa admite que a média pode ser qualquer valor desde que diferete de 0. Assim, ão há um úico valor para a probabilidade, mas um cojuto de valores calculados para cada um dos possíveis valores para a média populacioal. Em fução da dificuldade de calcular, o procedimeto usual em testes de hipóteses cosiste em especificar uma pequea probabilidade de erro tipo I (ível de sigificâcia) e igorar o erro tipo II (TEVENON, 98). Note que o erro tipo I só pode ocorrer quado a hipótese H0 é verdadeira e o erro tipo II só pode acotecer quado a hipótese H0 é falsa. Assim, quado rejeitamos H0 existe uma pequea probabilidade de estarmos cometedo o erro tipo I. Porém, quado aceitamos H0 como verdadeira, a probabilidade de estarmos cometedo o erro tipo II pode ser grade. Por esta razão, HOFFMANN (998) recomeda que quado o resultado de um teste de hipótese é sigificativo, a coclusão deve ser escrita em termos de rejeitar H0 ao ível de sigificâcia, porém quado o resultado é ão sigificativo, a coclusão deve ser escrita em termos de ão há razão para rejeitar H0 ao ível de sigificâcia, mas ão em termos de aceitar H0.

98 Teste de hipóteses para a média Valor calculado está localizado a região de rejeição de H0 Exemplo : Um comprador de tijolos julga que a qualidade dos tijolos está deteriorado. abe-se pela experiêcia passada que a média de resistêcia ao esmagameto destes tijolos é de 400 libras com desvio padrão de 0 libras. Uma amostra de 00 tijolos deu uma média de 395 libras. Teste a hipótese de que a qualidade média ão se alterou cotra a alterativa de que se teha deteriorado. (cosidere o ível de sigificâcia de 5%) H 0 : μ = 400 H a : μ 400 Teste bilateral Calculado o valor da estatística teste = = -5 = -,5 0/ 00 z c = -,96 z c =,96 Valor da variâcia é cohecido e a amostra é grade (>30), etão podemos aproximar pela ormal. Logo para sigificâcia de 5%, z c =,96 CONCLUÃO: rejeitamos H 0, isto é, a resistêcia ão é maior que 400 libras.

99 Teste de hipóteses para a média Exemplo : Os registros dos últimos aos de um colégio atestam para os calouros admitidos que a ota média 5 potos (teste vocacioal). Para testar a hipótese de que a média de uma ova turma é a mesma, tirou-se, ao acaso, uma amostra de 50 otas, obtedo-se uma média 8 e um desvio padrão 0. Admita = 5%, para efetuar o teste. H 0 : = 5 (hipótese ula, com 0 =5) versus H : 5 (hipótese alterativa) Como é descohecida, a estatística do teste é: T = 0 = Teste bilateral =,06, Usamos a distribuição t, pois a variâcia ão é cohecida, mas como a amostra é grade (>30) poderíamos aproximar pela ormal. Para = 5% / o valor t / da tabela t-tudet bicaudal com ( ) = 49 graus de liberdade é t / =.,093. Como T =,06 <,093, cocluímos que ão rejeitamos H 0, isto é, ao ível de 5% de sigificâcia cocluímos que a ova turma tem a mesma ota média o teste vocacioal que os do registro dos últimos aos.

100 Teste de hipóteses para a média Exemplo 3: Um trecho de uma rodovia, quado é utilizado o radar, são verificadas em média 7 ifrações diárias por excesso de velocidade. O chefe da polícia acredita que este úmero pode ter aumetado. Para verificar isso, o radar foi matido por 0 dias cosecutivos. Os resultados foram: 8, 9, 5, 7, 8,, 6, 9, 6, 0 Os dados trazem evidêcias do ameto das ifrações? Use = 0% H 0 : µ 7 H a : µ > 7 Teste uilateral com região de rejeição o lado direito Média amostral = = 8 0 Não cohecedo σ, estimamos s, ode s =, A amostra é pequea (<30) com variâcia descohecida, logo devemos usar a distribuição t, Estatística teste = =,5 Calculado valor crítico (tc) o Excel = INVT(0,0;9) =,83 t =,5 t c =,83 CONCLUÃO: Ao ível de sigificâcia de 0 % ão rejeitamos H0, o que implica que o úmero de ifrações ão teve um aumeto sigificativo.

101 Teste de hipóteses para a média Exemplo 4: Uma pesquisa feita em uiversidades mostrou que professores gaham em média de R$ Um deles cotestou a pesquisa e disse que a real média seria de R$ com um desvio padrão de R$ Foram aalisados 8 professores para que ele chegasse a essa média amostral. O que o professor disse é válido? (ível de sigificâcia de 5%) H 0 : μ H a : μ < Teste uilateral com região de rejeição o lado esquerdo A amostra é grade (>30), logo podemos Aproximar pela ormal z c = -,65 = =.3 =, / 8 777,77 Calculado valor crítico o Excel para 5%, z c = INV.NORMP(0,05) = -,65 CONCLUÃO: O professor está correto (Não rejeitamos H 0 ). O salário é maior que R$ cosiderado o ível de sigificâcia de 5%.

102 Teste de hipóteses para a proporção Em grades amostras, a aproximação à curva ormal pode ser utilizada em outros estimadores, tal como o estimador de proporção, cuja distribuição amostral coverge para uma ormal com média igual a proporção populacioal p e variâcia igual a p(-p)/: pˆ ~ N p, p Com base a distribuição amostral do estimador pode-se costruir um teste de hipóteses para a proporção populacioal semelhate ao teste da média: H0: p=p 0 H: pp 0 p ob a hipótese ula a estatística teste tem distribuição ormal padrão: Estatística teste p 0 pˆ p0 ~ N ( p ) Para um dado ível de sigificâcia a hipótese ula é rejeitada se o valor absoluto da estatística teste for maior que o valor z(/) 0 0,

103 Teste de hipóteses para a proporção Exemplo : Um certo aalgésico adotado em determiado hospital é eficaz em 70% dos casos. Um grupo de médicos chieses em visita a esse hospital afirma que a utilização de acuputura produz melhores resultados. A direção do hospital resolve testar o método alterativo em 80 pacietes, com a fialidade de adotá-lo em defiitivo se ele apresetar eficiêcia satisfatória uma proporção de casos maior que do aestésico atual. Na amostra foi observado que em 85% dos casos o método de acuputura apreseta a eficiêcia satisfatória. Que decisão tomar ao ível de 5% de sigificâcia? Trata-se de um teste sobre uma proporção p, ode p é a eficiêcia do método alterativo. H 0 p=0,7 H p>0,7

104 Teste de hipóteses para a proporção Proporção amostral ˆ 0,85 p Erro padrão sob a hipótese ula p p p 0 0 p ˆ p 0,85 0,7 0 0,05 0,7 0,3 80 Estatística teste z, 94 p 0,05 H 0 p=0,7 H p>0,7 Teste uilateral com região de rejeição o lado direito,65 Valor crítico para um ível de sigificâcia de 5% Z c = INV.NORMP(0,95) =,65 Como z >,65 cocluímos pela rejeição da hipótese ula ao ível de sigificâcia de 5%, isto é, o método de acuputura produz melhores resultados que o método tradicioal.

105 Teste de hipóteses para a proporção Exemplo : Uma emissora de TV garate que em determiado horário sua audiêcia é de 80%. Uma pesquisa realizada em 00 domicílios revela que 6 aparelhos estavam ligados a emissora o horário idicado. Teste a hipótese da audiêcia ser a auciada, ao ível de sigificâcia de 5%. Trata-se de um teste sobre uma proporção p, ode p é a audiêcia. H 0 p=0,8 H p<0,8 Teste uilateral com região de rejeição o lado esquerdo Proporção amostral Erro padrão sob a hipótese ula ˆ 0,6 p p p p 0 0 0,8 0, 00 pˆ p0 0,6 0,8 0,04 Estatística teste z 4, 5 p 0,04 -,65 Valor crítico para um ível de sigificâcia de 5% Z c = INV.NORMP(0,05) = -,65 Como z < -,65 cocluímos pela rejeição da hipótese ula ao ível de sigificâcia de 5%, isto é, ão poderemos aceitar a hipótese de uma audiêcia de 80%, tomado-se por base os dados coletados em uma amostra de 00 idivíduos.

106 TETE DE HIPÓTEE COM DUA AMOTRA

107 Teste de hipóteses para a difereça as médias O teste de hipóteses da difereça das médias de duas populações é freqüetemete utilizado para determiar se é ou ão razoável cocluir que as médias de duas populações são diferetes. Por exemplo: e o mesmo produto oferecido por dois forecedores diferetes apreseta a mesma quatidade de peças com defeitos. Determiar se o ovo remédio para cotrole de diabetes é eficiete acompahado dois grupos de pacietes, o primeiro grupo que recebeu o remédio e o outro que recebeu apeas placebo, produto com a mesma forma, porém sem o elemeto ativo. O gerete de compras pode estar iteressado em determiar se o mesmo produto oferecido por dois forecedores diferetes apreseta o mesmo prazo real de etrega. Da mesma forma, o gerete de salários ecessita cohecer se os salários da mesma categoria de trabalhadores têm o mesmo valor em duas cidades diferetes.

108 Teste de hipóteses para a difereça as médias Cosidere duas populações Normais com média e possivelmete distitas e com variâcias e, Isto é ~ N(, ) Y ~ N(, ) Cosidere amostras aleatórias de e Y (amostras idepedetes) e com tamahos m e respectivamete, isto é (x,...,x m ) e (y,...,y ) - Caso de duas amostras idepedetes Em cada amostra são calculadas a média e a variâcia (, Y, ). Todos os parâmetros são descohecidos e desejamos testar a difereça das médias: H 0 - = O critério de rejeição é semelhate ao utilizado H - os testes de hipóteses para a média,

109 Teste de hipóteses para a difereça as médias. Amostras idepedetes de duas populações com variâcias iguais ode m m pooled Variâcia amostral da amostra da população Variâcia amostral da amostra da população Y ob H 0 a estatística teste tem distribuição t com m+- graus de liberdade ~ m pooled t m Y Variâcia combiada Cosidere duas populações Normais com média e possivelmete distitas e com a mesma variâcia = =. Todos os parâmetros são descohecidos e desejamos testar H 0 - = H - m i i m x m i i Y y

110 Teste de hipóteses para a difereça as médias. Exemplo amostras idepedetes de duas populações com variâcias iguais Deseja-se estimar a difereça o cosumo de combustível (km/l) etre as versões Camihoete (C) e eda () de um determiado modelo de automóvel. Por estudos já realizados ateriormete (e aida válidos) sabe-se que os cosumos destes automóveis são ormalmete distribuídos e tem variâcias idêticas. Uma amostra de 30 camihoetes e 5 sedas foi aalisada obtedo-se as seguites estatísticas amostrais para o cosumo: Camihoetes C C 8,748 km/l 3,0 (km/l) eda 8,874 km/l 38,608 (km/l) Admitido um ível de sigificâcia de 5%, teste a hipótese de que o cosumos médios sejam idêticos (=0) H 0 C - = 0 H C - 0 Estatística teste sob H pooled C pooled Y ~ t 43

111 Teste de hipóteses para a difereça as médias. Exemplo amostras idepedetes de duas populações com variâcias iguais Primeiro é calculado o valor da variâcia combiada. pooled 93,0 438, ,83 Após obtém-se o valor da estatística teste 8,748 8,874 8,83 0,464 ob H 0 a estatística teste tem distribuição t com 43 graus de liberdade. O valor crítico ao ível de 5% (valor tabelado obtido pelo Excel) é t crítico = INVT(0,05,43) =,067 Valor absoluto calculado (0,464) < Valor crítico ao ível de 5% (,067), logo ão rejeitamos a hipótese ula (H 0 ). Coclusão: A um ível de 5% de sigificâcia ão há evidêcias amostrais que permitam rejeitar a hipótese de que os cosumos médios dos dois modelos sejam idêticos. 30 5

112 Teste de hipóteses para a difereça as médias ode Variâcia amostral da amostra da população Variâcia amostral da amostra da população Y ob H 0 a estatística teste tem distribuição t com v graus de liberdade Cosidere duas populações Normais com média e possivelmete distitas e com variâcias e. Todos os parâmetros são descohecidos e desejamos testar H 0 - = H - m m m v t v m Y ~ Arredode o resultado para cima. Amostras idepedetes de duas populações com variâcias diferetes m i i m x m i i Y y

113 Teste de hipóteses para a difereça as médias. Exemplo amostras idepedetes de duas populações com variâcias diferetes Deseja-se estimar a difereça o cosumo de combustível (km/l) etre as versões Camihoete (C) e eda () de um determiado modelo de automóvel. Por estudos já realizados ateriormete (e aida válidos) sabe-se que os cosumos destes automóveis são ormalmete distribuídos. Uma amostra de 30 camihoetes e 5 sedas foi aalisada obtedo-se as seguites estatísticas amostrais para o cosumo: Camihoetes C C 8,748 km/l 3,0 (km/l) eda 8,874 km/l 38,608 (km/l) Admitido um ível de sigificâcia de 5%, teste a hipótese de igualdade das médias (=0) H 0 C - = 0 H C - 0 Estatística teste sob H0 C 0 C 30 5 ~ t v ode v C C

114 Teste de hipóteses para a difereça as médias Exemplo para o caso de duas populações com variâcias diferetes O valor calculado da estatística teste (t calc ) é t calc 8,748 8,874 3, ,608 5 O º de graus de liberdade v 0,383 v 3,0 30 3, , , O valor crítico ao ível de 5% (valor tabelado obtido pelo Excel) para uma distribuição t com v graus de liberdade é: t crítico = INVT(0,05,3) =,0687 Valor absoluto calculado (0,383) < Valor crítico ao ível de 5% (,0687), logo ão rejeitamos a hipótese ula (H 0 ). Coclusão: A um ível de 5% de sigificâcia ão há evidêcias amostrais que permitam rejeitar a hipótese de médias idêticas. 3

115 Teste de hipóteses para a difereça as médias Exemplo para o caso de duas populações com variâcias diferetes (teste para igualdade de proporções) Uma amostra de 50 residêcias em uma comuidade mostra que 0 delas estão assistido, pela TV, a um especial sobre a ecoomia acioal. Em uma seguda comuidade, 5 de uma amostra aleatória de 50 residêcias estão assistido ao especial a TV. Teste a hipótese de que a proporção geral de espectadores as duas comuidades ão têm difereça, usado um ível de sigificâcia de 5%. H 0 : p - p = 0 H : p - p 0 Estatística teste sob H0 pˆ pˆ 0 / 50 0, 5/ 50 0,3 O teste pode ser coduzido como o teste para avaliar a difereça as médias para amostras idepedetes z pˆ ˆ p 0 ~ N(0,) ( pˆ ) ˆ ( ˆ p p) Valor calculado para a estatística teste = z = -,6 Valor crítico ao ível de 5% = z c = INV.NORMP(0,05) =,96 pˆ Coclusão: Como valor absoluto de z é meor que o valor crítico, decidimos ão rejeitar a hipótese ula.

116 Teste de hipóteses para a difereça as médias Exemplo para o caso de duas populações com variâcias diferetes (teste para igualdade de proporções) Em virtude dos protestes feitos sobre as más codições de trabalho em certas fábricas de roupas dos EUA, em 998 uma comissão cojuta do govero e da idústria recomedou que as empresas que moitoram os padrõe apropriados de produção teham a permissão de utilizar uma etiqueta No weat em seus produtos. erá que a preseça dessas etiquetas ifluecia o comportameto dos cosumidores? Uma pesquisa feita com residetes dos EUA e com idade acima de 8 aos pergutou-lhes que chace haveria de eles comprarem uma roupa com a etiqueta No weat. Assim, cada etrevistado foi classificado como um valorizador da etiqueta ou ão valorizador da etiqueta. As proporções amostrais por sexo são apresetadas a tabela abaixo: Teste a hipótese de que as proporções dos que valorizam a etiqueta é a mesma etre os homes e as mulheres. Use = 5%.

117 Teste de hipóteses para a difereça as médias Hipóteses Exemplo para o caso de duas populações com variâcias diferetes (teste para igualdade de proporções) H 0 : p M - p H = 0 H : p M - p H 0 O teste pode ser coduzido como o teste para avaliar a difereça as médias para amostras idepedetes. Estatística teste sob H0 pˆ pˆ M H 0,3 0,08 M H 96 5 z pˆ M pˆ ( M M pˆ M ) pˆ H 0 pˆ H ( H pˆ H ) ~ N(0,) Valor calculado para a estatística teste = z = 3,48 Valor crítico ao ível de 5% = z c = INV.NORMP(0,05) =,96 Coclusão: Como valor absoluto de z é meor que o valor crítico, decidimos rejeitar a hipótese ula. Ao ível de sigificâcia de 5% as proporções de mulheres e homes que valorizam a etiqueta são diferetes.

118 Amostras emparelhadas Quado for ecessário comparar, por exemplo, as vedas diárias de duas filiais que operam com os mesmos produtos, ou os resultados de um treiameto, cofrotado o cohecimeto ates e depois do treiameto, os procedimetos de teste de hipóteses para difereça das médias utilizados até este mometo ão podem ser aplicados, pois se referem a duas populações idepedetes. Agora, ecessitamos aalisar duas populações relacioadas, isto é, duas populações depedetes. Neste caso, a variável de iteresse será a difereça etre os pares das duas amostras, o lugar das próprias amostras, que devem ter o mesmo tamaho.

119 Teste de hipóteses para a difereça as médias 3- Caso com amostras emparelhadas Cosidere duas populações Normais com média e possivelmete distitas e com variâcias e. Isto é ~ N(, ) e ~ N(, ) Cosidere amostras aleatórias de e (amostras depedetes ou emparelhadas) com tamahos idêticos (), isto é (x,x ), (x,x ),..., (x i,x i ),..., (x,x ) formam um cojuto de observações emparelhadas. Em cada par amostrado pode-se calcular o desvio d i =x i -x i para i=,..., O valor esperado dos desvios é D = E(D) = E(-) = - Assim, o teste da difereça etre e pode ser realizado por meio do teste t com as hipóteses H 0 D = 0 H D 0

120 Teste de hipóteses para a difereça as médias 3- Caso com amostras emparelhadas Como premissa, a população das difereças tem distribuição aproximadamete ormal e a amostra das difereças é extraída aleatoriamete da população das difereças. Assim a estatística teste sob H0 tem distribuição t com - graus de liberdade d 0 d ~ t ode d i d i e d i d i d O teste segue o mesmo fucioameto do teste t para a média, ou seja, a hipótese ula é rejeitada ao ível de sigificâcia se o valor absoluto da estatística teste é maior que o valor tabelado para a t - (/).

121 Teste de hipóteses para a difereça as médias 3 - Exemplo caso com amostras emparelhadas Um fabricate de automóveis coleta dados do cosumo de combustível para uma amostra de =0 carros em várias categorias de pesos, usado um tipo padrão de gasolia com e sem determiado aditivo. Os motores foram ajustados para as mesmas especificações ates de cada teste, e os mesmos motoristas foram usados para as duas codições de gasolia (sem que o motorista em questão soubesse qual gasolia estava sedo usada em cada teste particular). Dadas as iformações da amostra teste ao ível de sigificâcia de 5% a hipótese de que ão há difereça etre o cosumo médio obtido com e sem aditivo. 0 i d,7, 3 i 0 i d i d 0 0 i d i,7 0 0,7 d 0 i d i 0d 9 0,34 Para um ível de sigificâcia de 5% tem-se que t 9 (,5%)= INVT(0,05;9) =,6

122 Teste de hipóteses para a difereça as médias O valor calculado da estatística teste é 3 - Exemplo caso com amostras emparelhadas d 0 d ~ t t calculado = 0,7 0,34 0,59 Como o valor calculado da estatística teste (,59) é maior que o valor crítico (,6), etão podemos cocluir pela ão rejeição da hipótese ula, ou seja, ão há difereças etre o cosumo obtido com e sem o aditivo.

123 Teste de igualdade de variâcias Freqüetemete, é ecessário verificar se é ou ão razoável cocluir que as variâcias das duas populações são diferetes. O teste F é um teste de hipóteses utilizado para verificar se as variâcias de duas populações com distribuição ormal são diferetes, ou para verificar qual das duas populações com distribuição ormal têm mais variabilidade. De outra maeira, cohecidas duas amostras com qualquer tamaho, o teste F dá codições para determiar se as duas amostras pertecem à mesma população.

124 Teste de igualdade de variâcias Cosidere duas populações Normais com média e possivelmete distitas e com variâcias e, Isto é ~ N(, ) Y ~ N(, ) Cosidere amostras aleatórias de e Y (amostras idepedetes) e com tamahos m e respectivamete, isto é (x,...,x m ) e (y,...,y ) Em cada amostra são calculadas a média e o desvio-padrão (, Y, ). Todos os parâmetros são descohecidos e desejamos testar a igualdade das variâcias:, alterativamete

125 Teste de igualdade de variâcias A estatística teste é a razão das variâcias amostrais ob H 0 a estatística teste tem distribuição F com m+ graus de liberdade o umerador e - graus de liberdade o deomiador: A maior variâcia amostral etra o umerador A meor variâcia amostral etra o deomiador ~ F m ; Comparado o F calculado (F calc ) com o F crítico (F c ), se F calc >F c, etão a hipótese ula deve ser rejeitada F m ;

126 Teste de igualdade de variâcias Exemplo Deseja-se verificar se há difereças o cosumo de combustível etre as versões Camihoete (C) e eda () de um determiado modelo de automóvel. Por estudos ateriores sabe-se que os cosumos destes são ormalmete distribuidos e, um processo ode foram coletadoas 30 iobservações para a Camihoete e 5 observações para o eda, obteve-se respectivamete variâcias de 3,0 (km/l) e 38,608 (km/l). Teste a hipótese de que as variâcias para os cosumos dos dois modelos sejam idêticas, ao ível de sigificâcia de 5%. Como a amostra do eda apresetou a maior variâcia amostral, a estatística teste tem distribuição F com 4 graus de liberdade o umerador e 9 graus de liberdade o deomiador: ~ F C 4,9 O valor calculado da estatística teste é C 38,608 3,0,664 Ao ível de sigificâcia de 5% o valor crítico (obtido pelo Excel) é: Fc = INVF(0,05;4;9) =,05 Coclusão: Ao ível de 5% de sigificâcia ão podemos rejeitar a hipótese de que as variâcias dos cosumos dos dois modelos sejam idêticas, sedo as difereças ecotradas explicadas por variações estatísticas o processo de amostragem.