A finalidade dos testes de hipóteses paramétrico é avaliar afirmações sobre os valores dos parâmetros populacionais.

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1 Prof. Jaete Pereira Amador Itrodução Os métodos utilizados para realização de iferêcias a respeito dos parâmetros pertecem a duas categorias. Pode-se estimar ou prever o valor do parâmetro, através da estimação de parâmetros ou pode-se tomar decisões relativas ao mesmo, através de um teste de hipótese paramétrico (teste de sigificâcia). O teste de sigificâcia ou teste de hipóteses paramétrico cosiste em verificar se a difereça etre um valor alegado de um parâmetro populacioal e o valor de uma estatística amostral pode ser razoavelmete atribuído a variabilidade amostral ou se a discrepâcia é demasiadamete grade para ser ecarada assim. A fialidade dos testes de hipóteses paramétrico é avaliar afirmações sobre os valores dos parâmetros populacioais. 2 Hipótese Estatística Uma hipótese estatística é uma afirmação que pode ou ão ser verdadeira sobre o valor de um parâmetro ou sobre a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória. Em estatística existem dois tipos de hipótese estatística. A Hipótese ula H é a hipótese coservadora sempre pode ser expressa por uma igualdade a zero. Por exemplo: H ou H. A Hipótese alterativa H é qualquer hipótese que diferi de uma dada hipótese ula é a Hipótese experimetal. Por exemplo: H ou H ou H. A Hipótese ula H é uma afirmação que diz que o parâmetro populacioal é tal como especificado (isto é, a afirmação é verdadeira). A Hipótese alterativa H é uma afirmação que oferece uma alterativa à alegação (Isto é, o parâmetro é maior ou meor que o valor alegado) As hipóteses H e H são mutuamete excludetes, aceitado-se uma hipótese como verdadeira, a outra, automaticamete, será rejeitada. Portato deve-se tomar cuidado para ão ser cometido erros com relação aceitação e rejeição de H e H. 3 Tipos de Erro Quado se realiza um teste de hipótese, pode-se cometer dois tipos de erro: Erro tipo I: cosiste em rejeitar H quado ela é verdadeira. Pode ser limitado pela escolha do ível de sigificâcia que probabilidade de rejeitar H quado essa for verdadeira. Erro tipo II: Cosiste em aceitar H, quado ela é falsa. O ível de sigificâcia do teste (probabilidade de rejeitar H quado essa for verdadeira) é fixada ates da extração das amostras. Os valores mais comus para são:.,.5 e. ou %, 5% e %. Se por exemplo, ao deliear-se um teste, escolhe-se =.5 ou 5%, sigifica que em cerca de 5% rejeitar-se-ia erroeamete H. O coeficiete de cofiaça, idicado por ( - ), é a probabilidade de que a hipótese ula H ão seja rejeitada quado de fato for verdadeira e ão deve ser rejeitada. Em termos de metodologia do teste de hipóteses, esse coeficiete represeta a probabilidade de

2 Prof. Jaete Pereira Amador 2 se cocluir que o determiado valor do parâmetro que está sedo testado para hipótese ula seja plausível. 4 Teste de Hipóteses Uilateral e Bilaterais Depededo da hipótese alterativa, os testes são classificados como uilaterais e bilaterais. 4. Teste de hipóteses bilateral Os testes bilaterais se usam sempre que há divergêcia crítica em ambas as direções, tal como ocorreria a fabricação de roupas, ode camisas muito grades ou muito pequeas ão correspodem à determiação do padrão. Outro exemplo é o caso em que peças devem ajustar-se uma a outra, como o parafuso e porca. Uma variação excessiva ocasioará seja um ajuste muito frouxo, de modo que as peças ão permaecerão uidas, ou um ajuste excessivo impedido a cojugação das peças. Assim por exemplo: H cotra H é um teste bilateral, esquematicamete: Valor tabelado também chamado de valor crítico, separa a região de aceitação H (RA H ) da região de rejeição (RR H ). 4.2 Teste de hipóteses uilateral a direita O teste uilateral a direita é útil para testar se determiado padrão máximo ão foi excedido Como exemplo seria: teor máximo de gordura permitida em determiado tipo de leite, radiação emitida por usias ucleares, úmero de passas defeituosas de uma remessa de certa mercadoria, quatidade de poluição atmosférica emitida por uma determiada fabrica. Assim por exemplo: H cotra, H ( é o valor suposto para o parâmetro) é um teste uilateral a direita, esquematicamete:

3 Prof. Jaete Pereira Amador Teste de hipóteses uilateral a esquerda O teste uilateral a esquerda é útil para verificar se determiado padrão míimo foi atigido. Como exemplo seria: coteúdo míimo de gordura o leite, peso líquido de pacotes de determiado produto, vida de um produto tal qual como especificado o certificado de garatia. Assim por exemplo: H : é um teste uilateral a esquerda, esquematicamete: 5 Procedimetos para Realização de um Teste de Hipóteses Para realizar um teste de hipótese sugere-se seguir as seguites etapas: ) Formular as hipóteses; 2) Idetificara a estatística do teste; 3) Determiar o ível de sigificâcia; 4) Calcular a estatística utilizado os valores amostrais; 5) Comparar as estatística calculada com a estatística tabelada; 6) Cocluir. 5. Teste de hipóteses para média O objetivo do teste de sigificâcia para médias é avaliar afirmações feitas a respeito de médias populacioais. Há basicamete três tipos de afirmação que se podem fazer a cerca das médias populacioais e cada tipo requer um tipo diferete de avaliação. Uma afirmação pode dizer respeito a média de uma úica população; a avaliação evolve etão um teste de uma amostra. Ou pode-se afirmar que a média de duas populações são iguais; tem-se etão um teste de duas amostras. Fialmete pode-se afirmar que a as médias de mais de duas populações são iguais, o que evolve um teste de K amostras Aálise de Variâcia Teste de sigificâcia de uma amostra para uma média amostral cotra um valor paramétrico De acordo com o teorema do limite cetral, se obtemos amostras grades ( > 3) (de qualquer população com qualquer distribuição), a distribuição das médias pode ser aproximada por uma distribuição ormal. Sedo assim, distribuição das médias amostrais será aproximadamete ormal com media e desvio padrão. Em um teste de hipóteses, o valor de correspode a hipótese ula, e o valor do desvio padrão populacioal deve ser cohecido. Se é descohecido e as amostras são

4 Prof. Jaete Pereira Amador 4 grades ( 3, podemos usar o desvio padrão amostral S em substituição σ, porque grades amostras aleatórias tedem a represetar a população com distribuição ormal. Retira-se uma amostra de tamaho e calcula-se X. X Calcula-se o valor da estatística Z X c ou t c S Sob a hipótese ula, tem-se que Z c possui uma distribuição ormal padrão.portato, Rejeita-se H se Z c Z 2 (isto é, se Z c < Z 2 ou Z c Z 2 ) ou Rejeita-se H se tc t (isto é, se t c < t, 2 ou t 2 t 2, 2, Aceita-se H se Z c Z 2 (isto é, c Z Z 2 Aceita-se H se tc t 2, (isto é, c teste. ), ou t t, 2 ) ), ode é o ível de sigificâcia do Ex: Uma máquia automática para echer pacotes de café eche-os segudo uma 2 distribuição ormal, com média e variâcia ( ) sempre igual a 4g 2. A máquia foi regulada para = 5g. Colhe-se, periodicamete uma amostra de 36 pacotes para verificar se a produção está sob cotrole, isto é, se = 5g ou ão. Se uma dessas amostras apreseta-se uma média amostral de X = 492 g, você pararia ou ão a produção para regular máquia, cosiderado o ível de sigificâcia de %? Ex: Um fabricate afirma que seus cigarros cotém ão mais que 3 mg de icotia. Uma amostra de 25 cigarros forece média de 3,5 mg e desvio padrão de 3 mg. Ao ível de 5%, os dados refutam ou ão a afirmação do fabricate? 5.2Teste de Hipótese para proporção Os testes para proporções são adequados quado os dados sob aálise cosistem em cotages ou freqüêcias de ites em duas ou mais classes. A fialidade de tais testes é avaliar afirmações sobre a proporção ou percetagem de uma população. Os testes se baseiam a premissa de que uma proporção amostral, isto é, x ocorrêcias em observações, ou x/, será igual a verdadeira proporção populacioal. Os testes focalizam geralmete as difereças etre um úmero esperado de ocorrêcias (supodo-se verdadeira uma afirmação) e o úmero efetivamete observado. A difereça é etão comparada com a variabilidade prescrita por uma distribuição amostral baseada a hipótese de que H é realmete verdadeira.

5 Prof. Jaete Pereira Amador 5 Seja a proporção dos elemetos de uma população que possuem uma determiada característica. Por exemplo, é igual a proporção ou percetagem dos habitates, de uma determiada localidade, que possuem automóvel. Se quisermos testar a hipótese de que essa proporção é igual a determiado valor, cotra a alterativa dessa proporção ser maior de que o valor especificado, laça-se as hipóteses: H : = Cotra uma das hipóteses alterativas: H : > H H : Um bom estimador do parâmetro é a proporção amostral P, que para grades amostras segue uma distribuição aproximadamete ormal com média e a variâcia ( ) ou seja, P ~ N (, ). Portato pode-se usar a variável ormal padroizada. Z P ~ ( ) N (,) sedo: P = x = úmero de sucessos tamaho da a amostra amostra proporção de sucesso a partir da hipótese ula Para proceder ao teste de hipóteses, como os casos ateriores, o valor de Z c. calculado deve ser comparado com o de Z dado em fução de, o ível de sigificâcia do teste. Ex: Um idustrial deseja certificar-se de que a fração de mercado que prefere seu produto ao de seu cocorrete é superior a 7%. Para tato colheu uma amostra aleatória de 65 opiiões, das quais 22 lhe foram favoráveis. Pode o idustrial ficar satisfeito com esse resultado, adotado o ível de sigificâcia de 5%? Solução:

6 Prof. Jaete Pereira Amador 6 Exercícios Teste de Hipótese Para Etregar. Os resíduos idustriais jogados os rios, muitas vezes, absorvem oxigêio reduzido assim o coteúdo do desse ecessário à respiração dos peixes e outras formas de vida aquática. Uma lei estadual exige o míimo de 5 ppm (partes por milhão) de oxigêio dissolvido, afim de que o coteúdo seja suficiete para mater á vida aquática. Seis amostras de água retiradas de um rio, durate a maré baixa, revelaram os ídices (em partes por milhão) de oxigêio dissolvido. 4,9 5, 4,9 5,5 5, 4,7 Estes dados são evidêcia para afirmar que coteúdo de oxigêio é meor que 5 ppm.teste cosiderado 5% 2. A Debug Compay vede um repelete de isetos que alega ser eficiete pelo prazo de 4 horas o míimo. Uma aálise de 9 ites escolhidos aleatoriamete acusou uma média de eficiêcia de 38 horas. Teste a hipótese alegação da compahia, cotra a alterativa que a duração é iferior a 4 horas o míimo, com desvio padrão amostral de 6 horas. Teste cosiderado % 3. Um laboratório farmacêutico afirma que o medicameto Atchim, recetemete itroduzido o mercado, tem uma eficácia de 9% a cura de certa alergia. Numa amostra aleatória de 2 pacietes sofredo dessa alergia, registraram-se 6 curas. Avalie se aquela propagada do laboratório é legitima. Use 3% 4. Numa pesquisa sobre possuidores de videocassete, ecotram-se 2 das 2 casas pesquisadas do bairro X e 24 das 5 residêcias do bairro do bairro Y. Há difereça sigificativa etre a proporção de possuidores de vídeo os dois bairros? Use %. 5. Uma experiêcia tem mostrado que 4% dos estudates de uma Uiversidade reprovam em pelo meos 5 disciplias cursadas. Se 4 de 9 estudates fossem reprovados em mais de 5 disciplias, poderíamos cocluir quato a proporção populacioal use % 6. Numa amostra de 6 lagartas de soja obtiveram-se as medidas para os seus comprimetos (mm); ; 2; 3; 4; 5. Teste as hipóteses µ =,5 vs µ,5, use um, 5. Iterprete o resultado do teste.