NOTAS DE AULA: DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL E INTERVALOS DE CONFIANÇA

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1 NOTAS DE AULA: DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL E INTERVALOS DE CONFIANÇA Objetivos da aula: Compreeder que um estimador é uma variável aleatória e, portato, pode-se estabelecer sua distribuição probabilística; Estabelecer a distribuição amostral das pricipais estatísticas: média, variâcia e proporção. Aplicar os resultados: costrução de itervalos de cofiaça, dimesioametos amostral, etc. Prof. Idemauro Atoio Rodrigues de Lara

2 1. INFERÊNCIA OU INDUÇÃO ESTATÍSTICA POPULAÇÃO: Seja θ : característica de uma variável X que se quer cohecer (PARÂMETRO) AMOSTRA: Seja T um estimador de θ, costruído com base em valores amostrais ˆ T ( X, X,..., X 1 ) Fução da amostra aleatória

3 . Métodos para realizar iferêcias a respeito dos parâmetros 1. Estimação: Determiar estimativas para os parâmetros populacioais: por poto e por itervalo.. Testes de hipóteses: Processo de idução estatística: decisão relativa ao valor de um parâmetro populacioal (ou cojuto de parâmetros). IC e testes de hipóteses ecessitam do cohecimeto da distribuição amostral do estimador.

4 3. Distribuição amostral Amostras de elemetos estimador estimativas Distribuição amostral do estimador: distribuição de probabilidade de um estimador potual. Parâmetros da distribuição amostral do estimador: Importate: cohecedo-se a distribuição amostral de determiado estimador pode-se fazer iferêcias.

5 4. Distribuição amostral da média 1º caso Variável X tem distribuição ormal com variâcia cohecida. Distribuição de probabilidade X ~ N(, ) desidade Figura: Distribuição amostral da média

6 Teorema Cetral do Limite X 1, X,...X v. a. idepedetes, com média µ e variâcia σ² A distribuição de ou seja: X Normal a medida que cresce, X ~ N(, ) Ou, aida: Z X N(0,1)

7 Teorema Cetral do Limite sample size = 5 Normal Gamma Desity Desity Uiform Beta Desity Desity

8 Teorema Cetral do Limite sample size = 15 Normal Gamma Desity Desity Uiform Beta Desity Desity

9 Teorema Cetral do Limite sample size = 30 Normal Gamma Desity Desity Uiform Beta Desity Desity

10 Teorema Cetral do Limite sample size = 50 Normal Gamma Desity Desity Uiform Beta Desity Desity

11 Resultado: IC para a média pressupodo ormalidade (ou amostras grades) e variâcia cohecida IC(, ) ( X z( / ) ; X z( / ) )

12 Eemplo 1- Por aalogia a produtos similares, o tempo de reação de um ovo medicameto pode ser cosiderado ormal com desvio padrão igual a miutos. Vite pacietes foram sorteados, receberam o medicameto e tiveram seu tempo de reação aotado. Os dados foram:,9 3,4 3,5 4,1 4,6 4,7 4,5 3,8 5,3 4,9 4,8 5,7 5,8 5,0 3,4 5,9 6,3 4,6 5,5 6, média 4,745 Obteha um itervalo de cofiaça para o tempo de reação.

13 Iterpretação do IC Cofidece itervals based o z distributio Ide Cofidece Iterval

14 º caso: Distribuição amostral da média, pressupodo distribuição ormal e variâcia descohecida. Se 30 : X s ~ t( 1) Se > 30 : X s N(0,1)

15 A distribuição t de Studet graus de liberdade=5 graus de liberdade=15 desidade desidade t t graus de liberdade=5 graus de liberdade=45 desidade desidade t t

16 Resultado: IC para a média pressupodo ormalidade e variâcia descohecida s IC(, ) ( X t( / ) ; X t( / ) s )

17 Eemplo - Admita que o ídice de poluição ambietal em uma região e horário siga o modelo ormal. Oito ídices foram medidos às 13 horas: 34, 45, 77, 5, 48, 54, 79, 66. Costrua um itervalo de 99% de cofiaça para a média.

18 5.Distribuição amostral da proporção Realizada uma amostragem, tal que: X, , ; X ( i {0,1}) Temos o seguite resultado: pˆ p pˆ(1 pˆ) N(0,1)

19 Aplicação: costrução de um IC para a proporção pˆ(1 pˆ) IC( p, ) pˆ z ; pˆ ( / ) z( / ) pˆ(1 pˆ)

20 Eemplo 3. Pretede-se estimar a proporção de locais de uma macro região, que tem codições satisfatórias de saeameto básico. Para tato foram escolhidos aleatoriamete 00 locais e observou-se que 115 deles ão havia codições míimas de saeameto. Estimar por itervalo a verdadeira proporção de locais sem saeameto básico. Use ível de cofiaça igual a 95%.

21 6- Distribuição amostral de S² Cosidere uma amostra aleatória etraída de população ormal com média e variâcia descohecidas. Temos o seguite resultado: S ~ ( ( 1) 1) A meos de uma costate a distribuição amostral da variâcia aproima-se da distribuição quiquadrado com (-1) graus de liberdade

22 A distribuição qui-quadrado f() Assimétrica à direita, parâmetro graus de liberdade

23 Itervalo de cofiaça para a variâcia ) 1 ( ; 1) ( ), ( a b S S IC a b EXEMPLO: IC para a variâcia do eemplo

24 ERRO MÁXIMO DA ESTIMATIVA / DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA cohecida (ou > 30) I.C. z erro = e 0 z para pop. ifiitas e 0 N z e ( N 1) z para pop. fiitas

25 Determiação do tamaho da amostra ecessário para com desvio máimo pré-determiado, a um certo ível de cofiaça: 0 z e p q para populações ifiitas 0 z p q N e ( N 1) z p q para populações fiitas obs.: Quado ão houver codições de prever o valor de p, admitir p 0, 50. Dessa forma, obter-se-á o maior tamaho da amostra, admitido-se costates os demais elemetos.

26 ERRO MÁXIMO DA ESTIMATIVA / DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA descohecida IC. s t erro = e 0 s e t para populações ifiitas ou 0 N t s ( N 1) e t s para populações fiitas

27 Referêcias 1. ANDRADE, D. F.; OGLIARI, P. J. Estatística para as ciêcias agrárias e biológicas com oções de eperimetação. Editora da UFSC, Floriaópolis, BUSSAB, W. O. ; P. A. MORETIN. Estatística Básica, 5ª edição. Editora Saraiva, MAGALHÃES, M. N.; LIMA, A.C. P de. Noções de Probabilidade e Estatística. 6ª ed. São Paulo: EDUSP, 007.