ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
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- Luzia Almada
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1 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 1
2 Estimação de Parâmetros uiverso do estudo (população) dados observados O raciocíio idutivo da estimação de parâmetros
3 Estimação de Parâmetros População p Amostra X S pˆ (parâmetros: úmeros reais descohecidos) (estatísticas / estimadores: variáveis aleatórias) 3
4 Propriedades Desejáveis de um Estimador Não-tedeciosidade: um estimador é ão tedecioso (ão viesado; ão viciado) se sua média (ou valor esperado) for o próprio parâmetro que se pretede estimar. 4
5 Não Tedeciosidade X = X i E( X ) = X = Não-tedecioso Número de ocorrêcias (biomial) pˆ X E( pˆ) 1 1 E( X ). p p Não-tedecioso 5
6 Não Tedeciosidade ( i ) ˆ Tedecioso 1 E( ˆ ) s ( i 1 ) ) E( s Não-tedecioso 6
7 Eficiêcia Um estimador (T 1 ) é mais eficiete que outro (T ) a estimação de um parâmetro se E{(T 1 ) } < E{(T ) } Se T 1 e T forem ão tedeciosos, T 1 é mais eficiete que T se Var(T 1 ) < Var (T ) 7
8 Não tedeciosidade e Eficiêcia T 1 é mais eficiete que T T 1 T T 3 Não-tedeciosos Tedecioso 8
9 Costrução de estimadores Estimador de míimos quadrados: fução que miimiza o quadrado dos erros a amostra. E. Dada uma amostra de medidas: X 1, X,..., X, supodo o modelo X i = + e i ode: = medida verdadeira, e i = erro associado à i-ésima medida, i = 1,,..., 9
10 Costrução de estimadores Estimador de máima verossimilhaça (EMV): supodo que os dados provém de um certo modelo probabilístico, o EMV de um parâmetro é a estatística T = T(X 1, X,..., X ) que produz um valor, o qual tora a amostra observada mais verossímil possível. E. Epto: 3 laçametos de uma moeda; Modelo: P(cara) = p; P(coroa) = 1 - p Amostra: {cara, cara, coroa} 10
11 E. Estimador de máima verossimilhaça (EMV) Epto: 3 laçametos de uma moeda; Modelo: P(cara) = p; P(coroa) = 1 - p Amostra: {cara, cara, coroa} EMV: Valor de p que maimiza a fução de verossimilhaça L(p) = p.(1- p) d dp L( p) 0 pˆ 3 (proporção amostral) 11
12 Estimador de máima verossimilhaça (EMV) Em geral, uma distribuição biomial, o EMV de p é a proporção amostral Numa distribuição ormal, os EMV de e são, respectivamete: pˆ X ˆ X i X i ˆ i X i X 1
13 Estimação de Parâmetros Por poto: estima-se apeas um valor para o parâmetro p pˆ Por itervalo: estima-se um itervalo de valores ode deve-se ecotrar o parâmetro (itervalo de cofiaça). p pˆ erro amostral 13
14 Relação etre p e pˆ Desde que a amostra seja aleatória e razoavelmete grade ( > 30), tem-se: Os possíveis valores de seguem uma distribuição (aproimada) ormal com média e desvio padrão dados por pˆ pˆ = p pˆ = p.(1 p) 14
15 Estimação de uma proporção p Na prática, estima-se o erro padrão da proporção por S Pˆ = pˆ.(1 pˆ) Se pˆ 5 Possível aproimar pela ormal Se (1 pˆ) 5 Possível aproimar pela ormal 15
16 Nível de cofiaça área itera = ível de cofiaça - Z 0 Z PARTE DE UMA TABELA NORMAL PADRÃO Área 0,800 0,900 0,950 0,980 0, ,998 z 1,8 1,645 1,960,36,576,807 3,090 Itervalo de cof. pˆ ± z. S pˆ 16
17 Estimação de uma proporção p Tamaho N da população cohecido Faz-se uma correção o cálculo do erro padrão: pˆ.(1 pˆ) N S Pˆ = N 1 OBS. Se N >>, pode-se usar a epressão ateriormete empregada. 17
18 Eemplo 1 Numa amostra aleatória simples de 10 domicílios, realizada um certo bairro da cidade, observou-se que apeas 33,3% possuíam istalações saitárias adequadas. Cosiderado que eistam 460 domicílios o bairro, ecotre um itervalo de 95% de cofiaça para a proporção de domicílios com istalações saitárias adequadas. 18
19 Eemplo 1 pˆ ± z. S pˆ S Pˆ = pˆ.(1 pˆ) N N 1 S Pˆ = 0,333.(10,333) ,0307 1,96 s ˆ 1,960,037 p 0,075 Itervalo de 95% de cofiaça para p: 33,3% 7,5% 19
20 Estimação de uma média Estimador potual: o melhor estimador para a média populacioal µ de uma variável é a média amostral da variável. Desde que a amostra seja aleatória e razoavelmete grade ( > 30), tem-se: Os valores da média amostral seguem uma distribuição aproimadamete ormal, cujos parâmetros são: X = X = DESCONHECIDA 0
21 Estimação do erro padrão da média S X = S para N descohecido ou muito grade S X = S N N 1 para N cohecido e ão muito grade 1
22 Itervalo de cofiaça para a média X t S X X média da amostra S erro padrão da média X t abscissa da distrib. t com gl = 1 e determiada cofiaça
23 Modelo t de Studet O modelo tem média igual a zero (como a ormal padrão). Mas sua variâcia é: /(-). Ode é o tamaho da amostra que foi retirada para o processo de Estimação. O modelo t tem 1 graus de liberdade. 3
24 Modelo t de Studet William Sealy Gossett Desevolveu a distribuição para aplicar a melhoria da qualidade da cerveja Guiess. Escrevia sob o pseudôimo Studet, por razões de sigilo idustrial. 4
25 Modelo t de Studet Para cada valor de temos uma curva t. 5
26 Eemplo O tempo de resposta de um algoritmo de otimização, implemetado uma certa máquia, foi observado 0 vezes. Desta amostra, obteve-se as seguites estatísticas: média de 8,0 miutos e desvio padrão de 10,0 miutos. Apresete um itervalo de cofiaça para o tempo médio de resposta do algoritmo esta máquia. 6
27 8 miutos Eemplo = 0 (19 graus de liberdade) s = 10 miutos Nível de 95% de cofiaça: t =,093 s I. C. t 8, I. C. 8 4,7 L.I. = 8 4,7 = 77,3 miutos L.S. = 8 + 4,7 = 86,7 miutos Há 95% de probabilidade de µ estar etre 77,3 e 86,7 miutos. 7
28 Tamaho da amostra para estimar uma Média Cálculo iicial: 0 = t E 0 s = 0 se N é muito grade ou descohecido = N. N se N ão for muito grade e for cohecido 8
29 Tamaho de Amostras Avaliação a priori do desvio padrão: Estudos passados Amostra piloto Fiado-se um valor teórico 9
30 Eemplo 3 Qual o tamaho da amostra para estimar o tempo médio processameto de ecomedas em uma agêcia fraqueada dos correios, admitido-se um erro máimo de 1 miuto? Cosidere que uma amostra piloto com 0 observações, ecotrou-se um desvio padrão de 10,0 miutos. 30
31 Eemplo 3 Nível de cofiaça: 95% E 0 = 1 miuto Amostra piloto: = 0, s = 10 miutos 95% de cofiaça para 0-1 = 19 graus de liberdade, t =,093 t s, = 438,0649 E Míimo de 439 elemetos! 31
32 Tamaho da amostra para estimar uma Proporção z p(1 p) Cálculo iicial: 0 = E 0 = 0 se N é muito grade ou descohecido = N. N se N ão for muito grade e for cohecido 3
33 Tamaho da amostra para estimar uma Proporção Estimação a priori da proporção p: Estudos passados Amostra piloto Fiado-se um valor teórico (0,5) => estimativa EXAGERADA. 33
34 Eemplo 4 Qual deve ser o tamaho de uma amostra aleatória simples para avaliar a preferêcia por um cadidato de certo partido em um grade muicípio, admitido erro amostral máimo de 3%, com 95% de cofiaça: a) Supodo que usualmete o partido obtém 40% de preferêcia popular? b) Utilizado uma estimativa eagerada. 34
35 Eemplo 4 a) p = 0,4 1- p = 0,6 E 0 = 0,03 Nível de cofiaça = 0,95 Z = 1,96 (1 ) 1,96 0,4 0,6 = z p p 0 104, E0 0,03 b) p = 0,5 1- p = 0,5 E 0 = 0,03 Nível de cofiaça = 0,95 Z = 1,96 (1 ) 1,96 0,5 0,5 = z p p , E0 0,03 35
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