1 Estimação de Parâmetros

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1 1 Estimação de arâmetros Vários tipos de estudos tem o objetivo de obter coclusões fazer iferêcias a respeito de parâmetros de uma população. A impossibilidade de avaliar toda a população faz com que a partir de amostras possamos obter estimativas daqueles parâmetros. A geeralização da amostra para a população é feita com o auxílio de um modelo estatístico para a situação em estudo, estas geeralizações estão sempre associadas um grau de icerteza e, cosequetemete, uma probabilidade de erro. A teoria da estimação preocupa-se com a obteção do respectivo de um estimador para um determiado parâmetro, com ituito de descrever o seu comportameto com o meor erro possível. arâmetro: É uma costate um úmero que caracteriza uma população. Exemplo: média populacioal µ, variâcia populacioal, etc. Em geral, os parâmetros são descohecidos. Estimador: É uma expressão algébrica utilizada para obter um valor aproximado de um parâmetro. Exemplo: X. i1 Estimativa: É o valor umérico de um estimador. É determiada usado os dados amostrais. Exemplo: Mediate uma pesquisa queremos cohecer o tamaho médio dos estudates uiversitários do Brasil. opulação: Todas os estudates uiversitários do Brasil; Amostra: por exemplo, 500 estudates; arâmetro: Média das alturas. x i Estimador:. X i1 x i Estimativa: X 1, 7m valor aproximado para µ. Estimação É um processo de idução, a qual usamos dados extraídos de uma amostra para produzir iferêcia sobre a população. Esta iferêcia só será válida se a amostra for sigificativa. Tipos de Estimações de arâmetros 1. Estimação otual;. Estimação Itervalar 1

2 .1 Estimação otual É usada quado a partir da amostra procura-se obter um úico valor de certo parâmetro populacioal, ou seja, obter estimativas a partir dos valores amostrais. A estimativas são os valores amostrais obtidos para a média, variâcia, proporção, etc. Os valores de X,, estimam, respectivamete µ, e.. Estimação Itervalar Uma outra maeira de se calcular um estimativa de um parâmetro descohecido, é costruir um itervalo de cofiaça [a, b] para esse parâmetro com uma probabilidade de 1 α ível de cofiaça de que o itervalo coteha o verdadeiro parâmetro, usado as distribuições de amostragem podemos obter expressões do tipo: a µ b 1 α Dessa maeira α será o ível de sigificâcia, isto é, o erro que se estará cometedo ao afirmar que o parâmetro está etre o limite iferior e o superior calculado...1 Itervalo de Cofiaça para proporção p Cosideremos uma população cujos elemetos podem ser classificados em dois tipos: ucesso e Isucesso. retede-se estimar a proporção p de sucessos a população. Dada uma amostra de tamaho, uma estimativa potual de p da proporção de sucessos é dada por ˆp x. elo teorema do limite cetal, quado for suficietemete grade ˆp tem distribuição aproximadamete ormal, com média µˆp p e variâcia a pq ˆp, em que: z ˆp p pq Fixado uma probabilidade de cofiaça 1 α, o itervalo de cofiaça para uma proporção pode ser obtido da seguite forma: ˆp z α p ˆp + z α ode:z α é a margem de erro da proporção e z α ecotramos uma área de α. 1 α é o valor da curva ormal padrão acima do qual Exemplo: Uma empresa de pesquisa de mercado faz cotato com 30 pessoas para saber a satisfação a uma determiada marca de refrigerate, 1 delas respodem que gosta da referida marca. Obteha o itervalo de cofiaça de 95% para proporção de pessoas que gostam da marca.

3 Nesse caso o sucesso é o gosto pela marca de refrigerate ˆp x 1 0, Como ˆp 0, 40, temos que ˆq 1 ˆp 1 0, 40 0, 60 Como queremos o itervalo de cofiaça a 95%, temos que: 1 α 0, 95 α 1 0, 95 0, 05 α 0, 05 0, 05 temos que o valor tabelado de z α 1, 96 ˆp z α p ˆp + z α 0, 95 0, 40 0, 60 0, 40 0, 60 0, 40 1, 96 p 0, , 96 0, , 40 0, 08 p 0, , 80 0, 95 0, 3 p 0, 48 0, 95 IC 95% µ [0, 3; 0, 48].. Itervalo de Cofiaça para média µ com variâcia cohecida Como já vimos ateriormete, X média amostral tem distribuição ormal de média µ e variâcia, assim um itervalo de 1 α de cofiaça para µ será dado por: X Z α µ X + Z α 1 α Exemplo: Um pesquisador obteve a partir de uma amostra uma média X 180cm para altura de uma determiado grupo de pessoas utilizado uma amostra 40, sabe-se que a variâcia populacioal da altura é de 100cm. Qual o itervalo de cofiaça a 90% e 95% para a média populacioal. temos que: rimeiramete temos que obter o valor tabelado de Z, como queremos o itervalo de cofiaça a 90%, 1 α 0, 90 α 1 0, 90 0, 10 α 0, 10 0, 05 temos que procurar a tabela qual o valor de Z que deixa 0, 05 de probabilidade acima dele. Olhado a tabela o valor em que 0 < Z < z 0, 45, temos que z 1, 65, logo o valor Z α X Z α 180 1, 65 µ X + Z α 1 α µ , 65 0, , 31 µ 183, 69 0, 90 1, 65 3

4 ou seja, o itervalo de cofiaça a 90% para a média é IC 90% µ [176, 31; 183, 69] Fazedo o mesmo processo temos que a95%: 1 α 0, 95 α 1 0, 95 0, 05 α 0, 05 0, 05 Etão Z 0,05 1, 96, assim X Z α 180 1, 96 µ X + Z α 1 α µ , 96 0, , 61 µ 187, 38 0, 95 IC 95% µ [178, 61; 187, 38] Observa-se que aumetado o ível de cofiaça, também temos o aumeto do itervalo de cofiaça...3 Itervalo de Cofiaça para média µ com variâcia descohecida Na prática quado ão se cohece a média X também ão se cohece a variâcia, esse caso utilizamos o itervalo de cofiaça: X t α µ X + t α 1 α Exemplo: Em uma determiada idustria para verificar a qualidade dos rolametos esféricos produzidos foi tomado uma amostra ao acaso um lote de 15 peças, forecedo um diâmetro médio de 40cm com desvio padrão de 15cm. Ecotre um itervalo de cofiaça de 95% para o diâmetro. temos que: rimeiramete temos que obter o valor tabelado de t, como queremos o itervalo de cofiaça a 95%, 1 α 0, 95 α 1 0, 95 0, 05 α 0, 05 0, 05 Olhado a tabela o valor que deixa 0,05 de área acima com ν , temos t α, 145 4

5 X t α µ X + t α 1 α 40, µ 180 +, , 95 31, 69 µ 48, 31 0, 95 IC 95% µ [31, 69; 48, 31]..4 Itervalo de Cofiaça para variâcia e para o desvio padrão Quado a população da qual foi amostra foi coletada for Normal, pode-se obter um itervalo de cofiaça para a variâcia dada por: 1 χ α 1 1 α χ α 1 e IC para o desvio padrão é dado por 1 χ α 1 χ 1 α 1 α Exemplo: No exemplo dos 15 peças de rolametos esféricos, obter o itervalo de cofiaça de 95% para a variâcia e para o desvio padrão do maior eixo. Temos que 0,05 0, 05, esse caso precisamos obter a tabela Qui-Quadrado o valores χ 0,05 e χ 1 0,05 χ 0,975, com ν 14 graus de liberdade, etão χ 0,05 6, 119 χ 0,975 5, 69 5

6 Nesse exemplo foi forecido a variâcia amostral é χ α , , 95 χ α , 69 77, , 14 0, 95 0, 95 A partir do itervalo da variâcia obtemo o IC do desvio padrão 77, , 14 0, 95 8, 78 18, 9 0, 95 IC 95% [77, 18; 358, 14] IC 95% [8, 78; 18, 9] 6