Teste de Hipóteses Paramétricos

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1 Teste de Hipóteses Paramétricos Como costruir testes de hipóteses para difereças etre duas médias. Como costruir testes de hipóteses para difereças etre duas proporções. Como costruir testes de hipóteses para difereças etre duas variâcias.

2 Motivação Veteraos do exército americao que serviram o Vietã (794) Codição Proporção estimada Depressão O,045 Asiedade 0,049 Abuso 0,37 Veteraos do exército americao que ão serviram o Vietã (7364) Codição Proporção estimada Depressão O,03 Asiedade 0,03 Abuso 0,09 Estudo relatado o Joural of America Medical Associatio. É possível cocluir que houve uma proporção sigificativa maior de depressão, asiedade e abuso?

3 Uma visão geral de testes de hipóteses etre médias População A População B x s Amostra x s Amostra Parâmetro para ser testado μ - μ. Qual a distribuição da difereça etre duas médias amostrais?

4 Teste de hipóteses etre médias σ e σ cohecidos Suposições Amostras aleatórias e idepedetes. Pelo meos uma das codições é satisfeita: as duas populações são ormais ou >30 e >30 Testes Uilaterais H 0 : μ - μ 0 H 0 : μ - μ 0 H a : μ - μ < 0 H a : μ - μ > 0 Testes Bilateral H 0 : μ - μ 0 H a : μ - μ 0

5 Teste de hipóteses etre médias σ e σ cohecidos Uilateral a esquerda Exemplo: seja: H 0 : μ - μ 0 H a : μ - μ < 0 X X ~ σ σ N( μ μ, ) Região Crítica α 0,05 (- α) 0,95 0,64σ X X Rejeitar H 0 Não rejeitar H 0

6 Covertedo Teste de hipóteses etre médias σ e σ cohecidos X X Uilateral a esquerda para ormal padrão (- α) 0,95 P(Z z)0,05 α 0,05,64 0 Rejeitar H 0 Não rejeitar H 0 ( x x) ( μ μ) Rejeitar H 0 se z, 64 σ σ

7 Teste de hipóteses etre médias σ e σ cohecidos Uilateral a direita Exemplo: seja: H 0 : μ - μ 0 H a : μ - μ > 0 X X ~ σ σ N( μ μ, ) (- α) 0,95 α 005 0,64σ X X Não rejeitar H 0 Rejeitar H 0

8 Covertedo Teste de hipóteses etre médias σ e σ cohecidos X X Uilateral a direita para ormal padrão P(Z z)0,05 (- α) 0,95 α 0,05 0,64 Não rejeitar H 0 Rejeitar H 0 se z ( x x ) ( μ μ ) σ σ,64 Rejeitar H 0

9 Teste de hipóteses etre X Exemplo: seja: H 0 : μ - μ 0 H a : μ - μ 0 médias σ e σ cohecidos σ σ X ~ N( μ μ, ) Bilateral - α 0,95 0,45 α / 0,05 α/ 0,0,5 0,64σ X X,64σ X X Rejeitar H 0 Não rejeitar H 0 Rejeitar H 0

10 Covertedo Teste de hipóteses etre médias σ e σ cohecidos X X Bilateral para ormal padrão 0,45 -α 0,95 α / 0,05 α / 0,0,5 0,96,96 Rejeitar Não rejeitar H 0 Rejeitar H 0 ( x x ) ( μ μ ) Rejeitar H 0 se z,96 ou σ σ H 0 z ( x x ) ( μ μ ) σ σ,96

11 Teste de hipóteses etre médias σ e σ descohecidos Usar a distribuição t com os seguites graus de liberdade. Se σ σ g.l. -. Se σ σ g.l.mi{ -, -} Suposições: Amostra aleatórias e idepedetes Pelo meos uma das codições seguites satisfeitas: Populações ormais ou > 30 ou > 30

12 Teste de hipóteses etre médias σ e σ descohecidos Testes Uilaterais H 0 : μ - μ 0 H 0 : μ - μ 0 H a : μ - μ < 0 H a : μ - μ > 0 Testes Bilateral H 0 : μ - μ 0 H a : μ - μ 0

13 Teste de hipóteses etre médias σ e σ descohecidos Estatísticas do teste t Se σ σ Se σ σ ) ( ) ( X X x x t σ μ μ s s p p X X σ s s X X σ ) ( ) ( s s s p ode Variâcia Combiada

14 Teste de hipóteses etre médias σ e σ descohecidos Exemplo: Um publicitário alega que há uma difereça etre a reda média das famílias portadores de cartões de crédito Visa e Master Card. Os resultados amostrais estão a tabela abaixo. Supoha que as variâcias populacioais são diferetes. Esses resultados cofirmam a alegação do publicitário com α5%? Visa Master x US$60900 s US$ x US$64300 s US$

15 Solução σ X X H 0 : μ - μ 0 H a : μ - μ 0 ode μ é a reda média da população Visa e μ é a reda média da população Master. Como o teste é bilateral com α5%, os valores da tabela t com 99 graus de liberdade são -,98 e,98 ( x t (000) 00 x) ( μ μ) σ σ X X (5000) 00,9,77 Como t -,77 [-,98,,98], ão rejeitamos a hipótese que as redas médias são iguais.

16 Cosiderações Se desejamos usar o método que supõe que as variâcias são iguais, como determiamos que σ σ? Uma abordagem cosiste em usar o teste para igualdade de variâcias. Triola ão recomeda esta abordagem alegado que o artigo Homogeity of variace i the two-sample meas os autores afirmam que raramete sabemos que σ σ.. Um camiho é realizar diferetes testes cosiderado tamahos de amostrais e poderes do teste.

17 Teste de hipóteses etre médias com amostras depedetes Duas amostras são depedetes se cada membro de uma amostra correspode ao mesmo da outra amostra. Para empregar esta técica é ecessário obter a difereça para cada par de dados. A variável aleatória é uma difereças etre médias d X X

18 Teste de hipóteses etre médias com amostras depedetes Suposições Amostras aleatórias Amostras depedetes (emparelhadas) Populações ormais ou > 30 Estatística do teste (padroizada) d μ t d sd Distribuição t-studet com - graus de liberdade

19 Teste de hipóteses etre médias com amostras depedetes Exemplo: Um projetista de campos de golfe alega que os golfistas podem dimiuir ou permaecer iguais as suas potuações se usarem campos recém costruídos. Oito golfistas foram selecioados ao acaso e foi pedido que revelasse a sua potuação mais recete. Após usar os ovos campos por mês, cada um disse outra vez sua potuação mais recete. As potuações estão a tabela abaixo. Supodo que as potuações sejam ormais, há evidêcia suficiete para cofirmar a alegação do projetista com α0%?

20 H 0 : μ d 0 H a : μ d < 0 Solução Atigo Novo d soma 3 Como α0,0 g.l.8-7e o teste é uilateral o valor da tabela t é -,44. t d s d μ d,65 3,07 8,50 Como t > -,44, Não rejeita H 0. Isto é existe evidêcia suficiete para ão rejeitar alegação do projetista.

21 Teste de hipóteses etre proporções Suposições: Amostras aleatórias e idepedetes Codições satisfeitas para distribuição biomial Notação: p, p - proporções populacioais

22 Teste de hipóteses para difereça etre proporções Testes Uilaterais H 0 :p -p 0 H 0 :p -p 0 H a : p -p < 0 H a : p -p > 0 Testes Bilateral H 0 :p -p 0 H a :p -p 0

23 Teste de hipóteses para difereça etre proporções Satisfeitas as codições ateriores A difereça p ˆ pˆ (amostral) segue uma distribuição ormal com média p -p e desvio padrão p ˆ pˆ Como p e p ão são cohecidos a hipótese ula, usa-se uma proporção combiada x úmeros de sucessos da amostra x úmeros de sucessos da amostra p σ x x p q p q

24 Teste de hipóteses para difereça etre proporções Codição satisfeita para usar aproximação ormal. Estatística de teste ) ( ) ˆ ˆ ( pq p p p p z p q x x p, q p, > 5

25 Teste de hipóteses para difereça etre proporções Exemplo: um estudo etre 00 mulheres e 50 homes adultos usuários da Iteret, 30% das mulheres e 38% dos homes disseram fazer compras pela rede pelo meos uma vez o mês. Sedo α0%, teste a alegação que ão há difereça a proporção de homes e mulheres.

26 Solução Hipóteses H 0 :p p 0 H a :p p 0 p ,344, q ,656 z ( pˆ pˆ ) ( p pq ) 0,3 0,38 p 0,344 0, ,775 Como os valores críticos da ormal com α0% são -,64 e,64, deve-se decidir Rejeitar a hipótese que ão existe difereça etre as proporções de homes e Mulheres.

27 Teste de hipóteses para difereça etre variâcias Suposições: Populações idepedetes Populações ormais. Testes Uilaterais H 0 : σ - σ 0 H 0 : σ - σ 0 H a : σ - σ < 0 H a : σ - σ > 0 Testes Bilateral H 0 : σ - σ 0 H a : σ - σ 0

28 Teste de hipóteses para difereça etre variâcias Estatística de teste s F s S é a maior das duas variâcias amostrais. A estatística de teste tem distribuição F. A distribuição F ão é simétrica. Valores de F ão podem ser egativos. A distribuição depede de dois parâmetros: dois diferetes graus de liberdade.

29 Teste de hipóteses para difereça etre variâcias Graus de liberdade do umerador -. Graus de liberdade do deomiador -. Como s é a maior variâcia, só precisamos ecotrar o valor crítico à direita. Se duas populações são iguais a razão s / s tede a se aproximar de. Duas populações tem variâcias radicalmete diferetes a razão s / s será um úmero grade. Um grade valor de F é evidêcia cotra σ σ. Ecotra-se o valor crítico cruzado os graus de liberdade do umerador com os graus de liberdade do deomiador.

30 Exemplo Cosidere as seguites estatísticas amostrais para os pesos da coca-cola e pepsi. s (0,007507) (coca) e s (0,00570) (pepsi), 36 e 36. 0, F,7339 Estatística de teste 0,00570 O valor de crítico da cauda direita está etre,875 e,0739. Como F,7339, ão rejeitamos a hipótese de igualdade variâcias.