Teorema do limite central e es/mação da proporção populacional p

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1 Teorema do limite cetral e es/mação da proporção populacioal p 1

2 RESULTADO 1: Relembrado resultados importates Seja uma amostra aleatória de tamaho de uma variável aleatória X, com média µ e variâcia σ.temos que: E( X ) = µ e Var ( X ) = σ RESULTADO : Se X ~ N(µ,σ ), para uma amostra aleatória de qualquer tamaho de X, σ X ~ N µ, etão, Z = ~ N ( 0,1) X µ σ

3 3 RESULTADO 3:, 1 ~ = t S X T µ em que, é a variâcia amostral e t -1 represeta a distribuicão t-studet com -1 graus de liberdade.. 1 ) ( 1 = = X X S i i Se X ~ N(µ,σ ) etão, para uma amostra aleatória de tamaho de X, 3

4 Teorema do Limite Cetral (TLC) RESULTADO 4 Seja X uma v. a. que tem média µ e variâcia σ. Para amostras X 1, X,..., X, retiradas ao acaso e com reposição de X, a distribuição de probabilidade da média amostral X aproxima-se, para grade, de uma distribuição ormal, com média µ e variâcia σ /, ou seja, X ~ N µ, σ, para grade, aproximadamete. Sugestão: Assistir ao vídeo o lik 4

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6 Figura : Histogramas correspodetes às distribuições de X para amostras de algumas populações. 4ª 00, 73 6

7 Esses gráficos mostram que, quado aumeta, idepedetemete da forma da distribuição de X, a distribuição de probabilidade da média amostral X aproxima-se de uma distribuição ormal. coforme aumeta, os valores de X tedem a se cocetrar cada vez mais em toro de média µ, uma vez que a variâcia vai dimiuido; No R Pacote: RcmdrPlugi.TeachigDemos Simulação do Teorema do Limite Cetral 7

8 Portato se a variável X a população ão tem distribuição ormal, e é grade, usado o TLC o itervalo de cofiaça aproximado para µ, com coeficiete de cofiaça γ, é para σ cohecido: σ X z ; X + z σ, para σ descohecido: S X z ; X + z S sedo z tal que γ = P(-z Z z), com Z ~ N(0, 1), σ o desvio padrão da população e S o desvio padrão amostral. 8

9 Exemplo 1: Não se cohece o cosumo médio de combustível de automóveis da marca T. Sabe-se, o etato, que o desvio padrão do cosumo de combustível de automóveis dessa marca é 10 km/l. Na aálise de 150 automóveis da marca T, obteve-se cosumo médio de combustível de 8 km/l. Ecotre um itervalo de cofiaça para o cosumo médio de combustível dessa marca de carro. Adote um coeficiete de cofiaça igual a 95%. X: cosumo de combustível de automóveis da marca T σ = 10 km/l Amostra: = 150 x (média amostral) = 8 km/l γ = 0,95 z = 1,96 9

10 Pelo Teorema do Limite Cetral, o itervalo de cofiaça é dado, aproximadamete, por X z 8 1,96 σ ; X + z σ 10 ; 8 + 1, [ 8 1,96 x 0,8;8 + 1,96 x 0,8] = [ 6,40; 9,60] Observe que o erro amostral ε é 1,60 km/l. 10

11 Exemplo : A quatidade de colesterol X o sague das aluas de uma uiversidade tem uma distribuição com desvio padrão σ = 50 mg/dl e média µ descohecida. Se desejamos estimar a quatidade média µ de colesterol com erro ε = 10 mg/dl e cofiaça de 95%, quatas aluas devem formar a amostra para realizar o exame de sague? X: quatidade de colesterol o sague das aluas da uiversidade σ = 50 mg/dl ε = 10 mg/dl γ = 0,95 z = 1,96 =?? 11

12 Supodo que o tamaho da amostra a ser selecioada é suficietemete grade, pelo Teorema do Limite Cetral (TLC) temos: = z ε σ, = = 1,96 ( 50) 10 96,04 Assim, aproximadamete 97 aluas devem ser selecioadas para realizar o exame de sague. 1

13 Exemplo 3: Para estimar a reda semaal média de garços de restaurates em uma grade cidade, é colhida uma amostra da reda semaal de 75 garços. A média e o desvio padrão amostrais ecotrados são R$ 57 e R$ 50, respectivamete. Determie um itervalo de cofiaça, com coeficiete de cofiaça de 90%, para a reda média semaal de garços dessa cidade. X : reda semaal de garços da cidade Amostra: = 75 x = 57 e s = 50 γ = 0,9 z = 1,65 13

14 O itervalo de 90% de cofiaça é dado, aproximadamete, por x 57 - s z - 1,65 ; x z ; 57 s = ,65 75 = [ - 9,53 ; ,53 ] [ 517,47 ; 536,53 ] 57 = 14

15 Es/mação da proporção 15

16 Objetivo Estimar uma proporção p (descohecida) de elemetos em uma população, apresetado certa característica de iteresse, a partir da iformação forecida por uma amostra. 16

17 Exemplos: p: proporção de aluos da USP que foram ao teatro pelo meos uma vez o último mês; p: proporção de cosumidores satisfeitos com os serviços prestados por uma empresa telefôica; p: proporção de eleitores da cidade de São Paulo que votariam em um determiado cadidato, caso a eleição para presidete se realizasse hoje; p: proporção de criaças de a 6 aos, do estado de São Paulo, que ão estão matriculadas em escola de educação ifatil. 17

18 - Vamos observar elemetos, extraídos ao acaso da população, de forma idepedete; - Para cada elemeto selecioado da população, verificamos a preseça ( sucesso ) ou ão ( fracasso ) da característica de iteresse. Neste caso, temos uma amostra aleatória (a.a.) de tamaho de X, sedo X uma v.a. com distribuiçao de Beroulli, que represetamos por X 1, X,..., X, ode X i vale 1, se ocorre sucesso, ou 0, se ocorre fracasso para o i-ésimo elemeto da amostra. 18

19 Estimador potual O estimador potual para p, também deomiado proporção amostral, é defiido como X ˆ 1 p = Note que: X X é o úmero de elemetos a amostra que apresetam a característica; p ˆ = X Se observamos k elemetos a amostra com a característica, obtemos p ˆ = k /, que deomiamos estimativa potual para p. X. 19

20 Exemplo 1: Seja p a proporção de aluos da USP que foram ao teatro pelo meos uma vez o último mês. Supoha que foram etrevistados = 500 estudates, e que, desses, k = 100 teriam afirmado que foram ao teatro pelo meos uma vez o último mês. A estimativa potual (proporção amostral) para p é dada por: k 100 pˆ = = = 0,0 500 ou seja, 0% dos estudates etrevistados afirmaram que foram ao teatro pelo meos uma vez o último mês., Note que outra amostra de mesmo tamaho pode levar a uma outra estimativa potual para p. 0

21 Itervalo de cofiaça para p Vimos que, para qualquer variável aleatória X, quado é grade, usado o Resultado 4 (TLC), um itervalo de cofiaça para µ tem a forma ε = z σ [ X ε ; X + ε], ode, sedo σ a variâcia de X. Neste caso, como X ~ Beroulli(p), com σ =p(1-p) e p ˆ = X, a estimativa itervalar para p é dada por [ p ˆ ε ; pˆ + ε ], com ε = z p( 1 p) e z tal que γ = P(-z Z z) a N(0,1). 1

22 Itervalo de cofiaça para p ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ + = p p z p p p z p p ; γ IC ) ( ) ( ) ( ; Na prática, substituímos a proporção descohecida p pela proporção amostral, obtedo o seguite itervalo de cofiaça aproximado com coeficiete de cofiaça γ : pˆ

23 Exemplo 1 (cotiuação): No exemplo da USP, temos = 500 e pˆ = 0,0. Costruir um itervalo de cofiaça para p com coeficiete de cofiaça γ = 0,95. Como γ = 0,95 forece z = 1,96, o itervalo é dado por: pˆ z pˆ ( 1 pˆ ) pˆ ( 1 pˆ ; pˆ + z ) 0,0 0,80 0,0 0,80 = 0,0 1,96 ; 0,0 + 1, = [ 0,0 0,035 ; 0,0 + 0,035] = [ 0,165 ; 0,35]. 3

24 Iterpretação do IC com γ = 95%: Se sortearmos 100 amostras de tamaho = 500 e costruirmos os respectivos 100 itervalos de cofiaça, com coeficiete de cofiaça de 95%, esperamos que, aproximadamete, 95 destes itervalos coteham o verdadeiro valor de p. Cometários: Da expressão ε = z p( 1 p), é possível cocluir que: para γ fixado, o erro dimiui com o aumeto de. para fixado, o erro aumeta com o aumeto de γ. 4

25 Da relação Dimesioameto da amostra ε = z segue que o tamaho amostral, dados γ e a margem de erro ε, tem a forma = p(1 z ε p), p(1 p), ode z é tal que γ = P(-z Z z) e Z ~ N(0,1). Etretato, esta expressão, depede de p(1-p), que é descohecido. Como calcular o valor de? 5

26 Gráfico da fução p(1-p), para 0 p 1. Pela figura observamos que: a fução p(1-p) é uma parábola simétrica em toro de p = 0,5; o máximo de p(1-p) é 0,5, alcaçado quado p = 0,5. Assim, a prática, substituímos p(1-p) por seu valor máximo, obtedo z = 0,5, ε que pode forecer um valor de maior do que o ecessário. 6

27 Exemplo 1 (cotiuação): No exemplo da USP supoha que ehuma amostra foi coletada. Quatos estudates precisamos cosultar de modo que a estimativa potual esteja, o máximo, a 0,0 da proporção verdadeira p, com uma probabilidade de 0,95? Dados do problema: ε = 0,0 (erro da estimativa); γ = 0,95 z = 1,96. 1,96 = p(1- p) 0,0 1,96 0,0 0,5 = 401 estudates. 7

28 Perguta: É possível reduzir o tamaho da amostra quado temos alguma iformação a respeito de p? Por exemplo, sabemos que: p ão é superior a 0,30, ou p é pelo meos 0,80, ou p está etre 0,30 e 0,60. Resposta: Depede do tipo de iformação sobre p. Em algus casos, podemos substituir a iformação p(1-p), que aparece a expressão de, por um valor meor que 0,5. 8

29 Redução do tamaho da amostra Vimos que, se ada sabemos sobre o valor de p, o cálculo de, substituímos p(1-p) por seu valor máximo, e calculamos z = ε 0,5. Se temos a iformação de que p é o máximo 0,30 (p 0,30), etão o valor máximo de p(1-p) será dado por 0,3x0,7 = 0,1. Logo, reduzimos o valor de para z = ε 0,1. 9

30 Agora, se p é pelo meos 0,80 (p 0,80), etão o máximo valor de p(1-p) é 0,8 x 0, = 0,16, e temos z = ε 0,16. Mas, se 0,30 p 0,60 o máximo valor de p(1-p) é 0,5 x 0,5 = 0,5 e, este caso, ão há redução, ou seja, z = ε 0,5. 30

31 Exemplo 1 (cotiuação): No exemplo da USP, supoha que temos a iformação de que o máximo 30% dos aluos da USP foram ao teatro o último mês. Portato, temos que p 0,30 e, como vimos, o máximo valor de p(1-p) este caso é 0,1. Assim, precisamos amostrar z = ε 0,1= 1,96 0,0 0,1= 017 estudates, coseguido uma redução de = 384 estudates. 31

32 Exemplo : Por ocasião do ceteário da imigração japoesa o Brasil, um Istituto de Pesquisa coduziu uma pesquisa, com a fialidade de cohecer algus aspectos dessa população vivedo o país. Etre outras questões, desejou-se estimar a proporção p de japoeses e descedetes o Brasil que perteciam a alguma associação de cultura japoesa. Foram selecioados 610 japoeses e descedetes, com mais de 16 aos de idade. Na amostra aleatória selecioada, 195 declararam frequetar ou pertecer a alguma associação de cultura japoesa. - Estimativa por poto para p: 195 pˆ = 0, Itervalo de cofiaça aproximado de 95% para p: 0,3(1 0,3) 0,3(1 0,3) (0,3 1,96 ; 0,3 + 1,96 ) = (0,3-0,037; 0,3 + 0,037) = (0,83; 0,357) 3

33 Uma Ilustração Fote da Pesquisa a ítegra: poder/015/03/ maioria-foi-as-ruas-cotracorrupcao-diz-datafolha.shtml 33

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36 Parte iteira e primeira decimal de z Distribuição Normal : Valores de P( Z < z ) = A(z) Seguda decimal de z Volta 36