INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

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1 i UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Aa Maria Lima de Farias Outubro 2008

2 Coteúdo 1 Iferêcia Estatística - Coceitos Básicos Itrodução Exemplo Exemplo População Amostraaleatóriasimples EstatísticaseParâmetros DistribuiçõesAmostrais Propriedadesdeestimadores Resumo do Capítulo Exercícios SoluçãodoExercício Distribuição Amostral da Média Médiaevariâciadadistribuiçãoamostraldamédia Distribuiçãoamostraldamédiaparapopulaçõesormais Exemplos ListadeExercícios TeoremaLimiteCetral ListadeExercícios Distribuiçãoamostraldavariâciaamostral Resumo do Capítulo Exercícios SoluçãodasListasdeExercícios SoluçãodosExercícios Distribuição Amostral da Proporção Aproximaçãoormaldadistribuiçãobiomial ListadeExercícios Adistribuiçãoamostraldaproporção ListadeExercícios Resumo do Capítulo Exercícios SoluçãodasListasdeExercícios SoluçãodosExercícios ii

3 CONTEÚDO iii 4 Itervalos de Cofiaça Idéias básicas Itervalo de cofiaça: média da N(μ; σ 2 ),σ 2 cohecida Notação Iterpretação do itervalo de cofiaça para μ ListadeExercícios Margemdeerro ListadeExercícios Resumo do Capítulo Exercícios SoluçãodasListasdeExercícios SoluçãodosExercícios Itervalos de Cofiaça: Proporções - Amostra Grade Estimaçãodeumaproporçãopopulacioal Itervalo de cofiaça para a proporção populacioal Determiaçãodotamahodaamostra Resumo do Capítulo Exercícios SoluçãodosExercícios Itervalo de Cofiaça: Média da N(μ; σ 2 ),σ 2 Descohecida Idéias básicas Itervalo de cofiaça para a média de uma população ormal com variâcia descohecida Margemdeerro Amostras grades Resumocomparativo ICparaamédiadepopulaçõesormais ICparaumaproporção Itervalo de cofiaça para a média de populações ão-ormais - amostragrade Exercícios SoluçãodosExercícios Itervalo de Cofiaça: Variâcia da N(μ; σ 2 ) Idéias básicas Itervalo de cofiaça para a variâcia de uma população ormal Exercícios SoluçãodosExercícios Testes de Hipóteses Noçõesbásicas Exemplo Exemplo

4 CONTEÚDO iv Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo ListadeExercícios Coceitos básicos Hipótese ula Hipótese alterativa Estatística de teste, erros e regra de decisão Região crítica e ível de sigificâcia Fuçãocaracterísticadeoperaçãoepoderdoteste Exemplo Exemplo ListadeExercícios Resumo do Capítulo Exercícios SoluçãodasListasdeExercícios SoluçãodosExercícios Teste de Hipótese: Média da N(μ; σ 2 ) - σ 2 Cohecida Exemplo Hipóteses ula e alterativa Estatísticadeteste Nível de sigificâcia eregiãocrítica Determiaçãodaregiãocrítica Poder Exemplo Exemplo Procedimeto geral para costrução do teste de hipótese sobre a média de uma N(μ; σ 2 ) - σ 2 cohecida Testebilateral Testeuilateralàdireita Testeuilateralàesquerda Teste de hipótese versus itervalo de cofiaça Valor P Teste bilateral - Valor P paraoexemplo Testeuilateralàdireita-Exemplo Testeuilateralàesquerda-Exemplo Exemplo Exercícios SoluçãodosExercícios...144

5 CONTEÚDO v 10 Teste de Hipótese: Proporções - Amostra Grade Cotexto básico Testedehipótesessobreproporções Testebilateral Testesuilaterais Valor P Exemplo Exemplo Resumo do Capítulo Exercícios SoluçãodosExercícios TestedeHipótese: MédiadaN(μ; σ 2 ) - σ 2 Descohecida Cotexto básico Procedimeto geral para costrução do teste de hipótese sobre a média de uma N(μ; σ 2 ) - σ 2 descohecida Hipótese ula e hipótese alterativa Estatística de teste, erros, regra de decisão Nível de sigificâcia eregiãocrítica Exemplos Exemplo Exemplo Exemplo Poder do teste Valor P Exercícios SoluçãodosExercícios TestedeHipótese: VariâciadaN(μ; σ 2 ) Cotexto básico Procedimeto geral para costrução do teste de hipótese sobre a variâcia de uma N(μ; σ 2 ) Hipótese ula e hipótese alterativa Estatística de teste, erros, regra de decisão Nível de sigificâcia eregiãocrítica Exemplo Exemplo2(Bussab&Moretti-Exercício40p.353)...176

6 Capítulo 1 Iferêcia Estatística - Coceitos Básicos No estudo de métodos estatísticos, já foi visto como resumir um cojuto de dados através de tabelas de freqüêcias, gráficos e medidas de posição e dispersão. Depois, foram estudados modelos probabilísticos, discretos ou cotíuos, para descrever determiados feômeos. Agora, essas ferrametas serão utilizadas o estudo de um importate ramo da Estatística, cohecido como Iferêcia Estatística, que busca métodos de fazer afirmações sobre características de uma população, cohecedo-se apeas resultados de uma amostra. Neste capítulo você estudará os seguites coceitos: população e amostra amostra aleatória simples estatísticas e parâmetros estimador distribuição amostral de um estimador 1.1 Itrodução No estudo da estatística descritiva, vimos que população é o cojuto de elemetos para os quais se deseja estudar determiada(s) característica(s). Vimos também que uma amostraéumsubcojutodapopulação. Noestudodaiferêciaestatística,oobjetivo pricipal é obter iformações sobre uma população a partir das iformações de uma amostra e aqui vamos precisar de defiições mais formais de população e amostra. Para facilitar a compreesão destes coceitos, iremos apresetar algus exemplos a título de ilustração. 1

7 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS Exemplo 1 Em um estudo atropométrico em ível acioal, uma amostra de 5000 adultos é selecioadadetreosadultosbrasileiroseumadasvariáveisdeestudoéaaltura. Neste exemplo, a população é o cojuto de todos os brasileiros adultos. No etato, o iteresse (um deles, pelo meos) está a altura dos brasileiros. Assim, esse estudo, a cada sujeito da população associamos um úmero correspodete à sua altura. Se determiado sujeito é sorteado para etrar a amostra, o que os iteressa é esse úmero, ou seja, sua altura. Como vimos, essa é a defiição de variável aleatória: uma fução que associa a cada poto do espaço amostral um úmero real. Dessa forma, a ossa população pode ser represetada pela variável aleatória X = altura do adulto brasileiro. Como essa é uma v.a. cotíua, a ela está associada uma fução de desidade de probabilidade f e da literatura, sabemos que é razoável supor que essa desidade seja a desidade ormal. Assim, ossa população, esse caso, é represetada por uma v.a. X N (μ; σ 2 ). Cohecedo os valores de μ e σ teremos iformações completas sobre a ossa população. Uma forma de obtermos os valores de μ e σ é medido as alturas de todos os brasileiros adultos. Mas esse seria um procedimeto caro e demorado. Uma solução, etão, é retirar uma amostra (subojuto) da população e estudar essa amostra. Supohamos que essa amostra seja retirada com reposição e que os sorteios sejam feitos de formaidepedete,istoé,oresultadodecadaextraçãoãoalteraoresultadodasdemais extrações. Ao sortearmos o primeiro elemeto, estamos realizado um experimeto que dá origem à v.a. X 1 = altura do primeiro elemeto ; o segudo elemeto dá origem àv.a. X 2 = altura do segudo elemeto e assim por diate. Como as extrações são feitas com reposição, todas as v.a. X 1,X 2,... têm a mesma distribuição, que reflete a distribuição da altura de todos os brasileiros adultos. Para uma amostra específica, temos os valores observados x 1,x 2,... dessas variáveis aleatórias Exemplo 2 Cosideremos, agora, um exemplo baseado em pesquisas eleitorais, em que estamos iteressados o resultado do segudo turo de uma eleição presidecial brasileira. Mais uma vez, ossos sujeitos de pesquisa são pessoas com 16 aos ou mais, aptas a votar. O iteresse fial é saber a proporção de votos de um e outro cadidato. Vamos cosiderar uma situação simplificada em que ão estamos cosiderado votos ulos, idecisos, etc. Etão, cada sujeito de pesquisa dá origem a uma variável aleatória biária, isto é, uma v.a. que assume apeas dois valores. Como visto, podemos represetar esses valores por 1 (cadidato A) e 0 (cadidato B), o que defie uma variável aleatória de Beroulli, ou seja, essa população pode ser represetada pela v.a. X Ber(p). Oparâmetrop represeta a probabilidade de um sujeito dessa população votar o cadidato A. Uma outra iterpretação é que p represeta a proporção populacioal de votates o cadidato A. Para obtermos iformação sobre p, retira-se uma amostra da população e, como ates, vamos supor que essa amostra seja retirada com reposição. Ao sortearmos o primeiro elemeto, estamos realizado um experimeto que dá origem à v.a. X 1 = voto

8 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS 3 do primeiro elemeto ; o segudo elemeto dá origem à v.a. X 2 = voto do segudo elemeto e assim por diate. Como as extrações são feitas com reposição, todas as v.a. X 1,X 2,... têm a mesma distribuição de Beroulli populacioal, isto é, X i Ber(p),i=1, 2, População A iferêcia estatística trata do problema de se obter iformação sobre uma população a partir de uma amostra. Embora a população real possa ser costituída de pessoas, empresas, aimais, etc., as pesquisas estatísticas buscam iformações sobre determiadas características dos sujeitos, características essas que podem ser represetadas por úmeros. Sedo assim, a cada sujeito da população está associado um úmero, o que os permite apresetar a seguite defiição. Defiição 1.1 A população de uma pesquisa estatística pode ser represetada por uma variável aleatória X que descreve a característica de iteresse. Os métodos de iferêcia os permitirão obter estimativas dos parâmetros de tal variável aleatória, que pode ser cotíua ou discreta. 1.3 Amostra aleatória simples Como já dito, é bastate comum o emprego da amostragem em pesquisas estatísticas. Nas pesquisas por amostragem, uma amostra é selecioada da população de iteresse e todas as coclusões serão baseadas apeas essa amostra. Para que seja possível iferir resultados para a população a partir da amostra, é ecessário que esta seja represetativa dapopulação. Embora existam vários métodos de seleção de amostras, vamos os cocetrar aqui o caso mais simples, que é a amostragem aleatória simples. Segudo tal método, toda amostra de mesmo tamaho tem igual chace (probabilidade) de ser sorteada. É possível extrair amostras aleatórias simples com e sem reposição. Quado estudamos as distribuições biomial e hipergeométrica, vimos que a distribuição biomial correspodia a extrações com reposição e a distribuição hipergeométrica correspodia a extrações sem reposição. No etato, para populações grades - ou ifiitas - extrações com e sem reposição ão levam a resultados muito diferetes. Assim, o estudo da Iferêcia Estatística, estaremos lidado sempre com amostragem aleatória simples com reposição. Este método de seleção atribui a cada elemeto da população a mesma probabilidade de ser selecioado e esta probabilidade se matém costate ao logo do processo de seleção da amostra (se as extrações fossem sem reposição isso ão acoteceria). No restate desse curso omitiremos a expressão com reposição, ou seja, o termo amostragem (ou amostra) aleatória simples sempre se referirá à amostragem com reposição. Por simplicidade, muitas vezes abreviaremos o termo amostra aleatória simples por aas.

9 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS 4 Uma forma de se obter uma amostra aleatória simples é escrever os úmeros ou omes dos elemetos da população em cartões iguais, colocar estes cartões em uma ura misturado-os bem e fazer os sorteios ecessários, tedo o cuidado de colocar cada cartão sorteado a ura ates do próximo sorteio. Na prática, em geral são usados programas de computador, uma vez que as populações tedem a ser muito grades. Agora vamos formalizar o processo de seleção de uma amostra aleatória simples, de forma a relacioá-lo com os problemas de iferêcia estatística que iremos estudar. Seja uma população represetada por uma variável aleatória X. De tal população será sorteada uma amostra aleatória simples com reposição de tamaho. Como visto os exemplos ateriores, cada sorteio dá origem a uma variável aleatória X i e, como os sorteios são com reposição, todas essas variáveis têm a mesma distribuição de X. Isso os leva à seguite defiição. Defiição 1.2 Uma amostra aleatória simples (aas) de tamaho de uma v.a. X (população) é um cojuto de v.a. X 1,X 2,..., X idepedetes e ideticamete distribuídas (i.i.d.). É iteressate otar a coveção usual: o valor observado de uma v.a. X é represetado pela letra miúscula correspodete. Assim, depois do sorteio de uma aas de tamaho, temos valores observados x 1,x 2,...,x das respectivas variáveis aleatórias. 1.4 Estatísticas e Parâmetros Obtida uma aas, é possível calcular diversas características desta amostra, como, por exemplo, a média, a mediaa, a variâcia, etc. Qualquer uma destas características é uma fução de X 1,X 2,..., X e, portato, o seu valor depede da amostra sorteada. Sedo assim, cada uma dessas características ou fuções é também uma v.a.. Por exemplo, a média amostral é a v.a. defiida por Temos, etão, a seguite defiição: X = X 1 + X X Defiição 1.3 Uma estatística amostral ou estimador T é qualquer fução da amostra X 1,X 2,..., X,istoé, ode g é uma fução qualquer. T = g(x 1,X 2,..., X ) As estatísticas amostrais que estaremos cosiderado este curso são

10 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS 5 média amostral variâcia amostral X = X 1 + X X S 2 = 1 1 P Xi X 2 i=1 (1.1) (1.2) Para uma amostra específica, o valor obido para o estimador será deomiado estimativa e, em geral, serão represetadas por letras miúsculas. Por exemplo, temos as seguites otações correspodetes à média amostral e à variâcia: x e s 2. Outras estatísticas possíveis são o míimo amostral, o máximo amostral, a amplitude amostral, etc. De forma aáloga, temos as características de iteresse da população. No etato, para difereciar etre as duas situações (população e amostra), atribuimos omes diferetes. Defiição 1.4 Um parâmetro é uma característica da população. Assim, se a população é represetada pela v.a. X, algus parâmetros são a esperaça E(X) eavariâciavar(x) de X. Com relação às características mais usuais, vamos usar a seguite otação: Característica Parâmetro Estatística (população) (amostra) Média μ X Variâcia σ 2 S 2 Número de elemetos N Lembre-se que, para uma v.a. discreta (fiita) uiforme, μ = E(X) = 1 N NP X i i=1 Var(X) = 1 N NP [X i E(X)] 2 = 1 N i=1 NP [X i μ] 2 = 1 N i=1 NP Xi 2 μ 2 i=1 1.5 Distribuições Amostrais Nos problemas de iferêcia, estamos iteressados em estimar um parâmetro θ da população (por exemplo, a média populacioal) através de uma aas X 1,X 2,..., X. Para isso, usamos uma estatística T (por exemplo, a média amostral) e, com base o valor obtido para T a partir de uma particular amostra, iremos tomar as decisões que o problema exige. Já foi dito que T é uma v.a., uma vez que depede da amostra sorteada; amostras diferetes forecerão diferetes valores para T.

11 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS 6 Cosideremos o seguite exemplo, ode ossa população é o cojuto {1, 3, 6, 8}, isto é, este é o cojuto dos valores da característica de iteresse da população em estudo. Assim, para esta população, ou seja, para essa v.a. X temos E(X) =μ = 1 4 ( )=4, 5 Var(X) = σ 2 = 1 4 = 7, 25 (1 4, 5) 2 +(3 4, 5) 2 +(6 4, 5) 2 +(8 4, 5) 2 Supoha que dessa população iremos extrair uma aas de tamaho 2 e a estatística que iremos calcular é a média amostral. Algumas possibilidades de amostra são {1,1}, {1,3}, {6,8}, para as quais os valores da média amostral são 1, 2 e 7, respectivamete. Podemos ver, etão, que há uma variabilidade os valores da estatística e, assim, seria iteressate que cohecêssemos tal variabilidade. Cohecedo tal variabilidade, temos codições de saber quão ifelizes podemos ser o sorteio da amostra. No exemplo acima, as amostras {1,1} e {8,8} são as que têm média amostral mais afastada da verdadeira média populacioal. Se esses valores tiverem chace muito mais alta do que os valores mais próximos de E(X), podemos ter sérios problemas. Para cohecer o comportameto da média amostral, teríamos que cohecer todos os possíveis valores de X, o que equivaleria a cohecer todas as possíveis amostras de tamaho 2 de tal população. Nesse exemplo, como só temos 4 elemetos a população, a obteção de todas as aas de tamaho 2 ão é difícil. Lembre-se do osso estudo de aálise combiatória: como o sorteio é feito com reposição, em cada um dos sorteios temos 4 possibilidades. Logo, o úmero total de amostras aleatórias simples é 4 4 = 16. Por outro lado, em cada sorteio, cada elemeto da população tem a mesma chace de ser sorteado; como são 4 elemetos, cada elemeto tem probabilidade 1/4 de ser sorteado. Fialmete, como os sorteios são idepedetes, para obter a probabilidade de um par de elemetos pertecer à amostra basta multiplicar as probabilidades (lembre-se que Pr(A B) =Pr(A)Pr(B) quado A e B são idepedetes). A idepedêcia dos sorteios é garatida pela reposição de cada elemeto sorteado. Na Tabela 1.1 a seguir listamos todas as possíveis amostras, com suas respectivas probabilidades e para cada uma delas, apresetamos o valor da média amostral. Aalisado esta tabela, podemos ver que os possíveis valores X são 1; 2; 3; 3,5; 4,5; 5,5; 6; 7; 8 e podemos costruir a sua fução de distribuição de probabilidade, otado, por exemplo, que o valor 2 pode ser obtido atravésdeduasamostras: (1,3)ou(3,1). Como essas amostras correspodem a evetos mutuamete exclusivos, a probabilidade de se obter uma média amostral igual a 2 é Pr(X =2) = Pr({1, 3} {3, 1}) = Pr({1, 3})+Pr({3, 1}) = = 2 16

12 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS 7 Amostra Probabilidade Média amostral x (1, 1) (1/4) (1/4) = 1/16 (1 + 1)/2 =1 (1, 3) (1/4) (1/4) = 1/16 (1 + 3)/2 =2 (1, 6) (1/4) (1/4) = 1/16 (1 + 6)/2 =3, 5 (1, 8) (1/4) (1/4) = 1/16 (1 + 8)/2 =4, 5 (3, 1) (1/4) (1/4) = 1/16 (3 + 1)/2 =2 (3, 3) (1/4) (1/4) = 1/16 (3 + 3)/2 =3 (3, 6) (1/4) (1/4) = 1/16 (3 + 6)/2 =4, 5 (3, 8) (1/4) (1/4) = 1/16 (3 + 8)/2 =5, 5 (6, 1) (1/4) (1/4) = 1/16 (6 + 1)/2 =3, 5 (6, 3) (1/4) (1/4) = 1/16 (6 + 3)/2 =4, 5 (6, 6) (1/4) (1/4) = 1/16 (6 + 6)/2 =6 (6, 8) (1/4) (1/4) = 1/16 (6 + 8)/2 =7 (8, 1) (1/4) (1/4) = 1/16 (8 + 1)/2 =4, 5 (8, 3) (1/4) (1/4) = 1/16 (8 + 3)/2 =5, 5 (8, 6) (1/4) (1/4) = 1/16 (8 + 6)/2 =7 (8, 8) (1/4) (1/4) = 1/16 (8 + 8)/2 =8 Tabela 1.1: Distribuição amostral da média amostral Com o mesmo raciocíio, obtemos a seguite fução de distribuição de probabilidade para X : x , 5 4, 5 5, Pr(X = x) 1/16 2/16 1/16 2/16 4/16 2/16 1/16 2/16 1/16 Note que a v.a. de iteresse aqui é X! Daí segue que E(X) = , e 4, , = 4, 5=μ Var(X) = (1 4, 5) (2 4, 5) (3 4, 5) (3, 5 4, 5) (4, 5 4, 5) (5, 5 4, 5) (6 4, 5) (7 4, 5) (8 4, 5) = 3, 625 = 7, 25 2 = σ2 2 = σ2 Neste exemplo podemos ver que E(X) =μ e Var(X) =σ 2 /2, ode 2 é o tamaho da amostra. Esses resultados estão os dizedo que, em média (esperaça), a estatística

13 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS 8 X é igual à média da população e que sua variâcia é igual à variâcia da população dividida pelo tamaho da amostra. Na Figura 1.1 temososgráficos da fução de distribuição de probabilidade de X (população) a parte (a) e de X (amostra) a parte (b). Podemosverqueamédiadeambasé4,5(ambassãosimétricasemtorode4,5) e que a distribuição de X tem meor dispersão em toro dessa média. Note que essa média e essa variâcia são calculadas ao logo de todas as possíveis aas de tamaho 2. 0,4 0,3 0,2 0, (a) 0,4 0,3 0,2 0, (b) Figura 1.1: Fução de distribuição de probabilidade de X edex para aas de tamaho 2tiradadapopulação{1, 3, 6, 8} Cosideremos, agora, a mesma situação, só que, em vez de estudarmos a média amostral, uma medida de posição, vamos estudar a dispersão. Como visto, a variâcia populacioal é Var(X) =7, 25. Para a amostra, vamos trabalhar com dois estimadores. Um deles vai ser S 2, defiido a Equação (1.2) e o outro vai ser bσ 2 = 1 P Xi X 2 i=1 (1.3) Da mesma forma que fizemos para a média amostral, vamos calcular o valor dessas estatísticas para cada uma das amostras. Na Tabela 1.2 temos os resultados parciais e globais de iteresse.

14 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS 9 2P Amostra x (x 1 x) 2 (x 2 x) 2 (x i x) 2 S 2 bσ 2 (1, 1) 1 (1 1) 2 (1 1) (1, 3) 2 (1 2) 2 (3 2) (1, 6) 3, 5 (1 3, 5) 2 (6 3, 5) 2 12, 5 12, 5 6, 25 (1, 8) 4, 5 (1 4, 5) 2 (8 4, 5) 2 24, 5 24, 5 12, 25 (3, 1) 2 (3 2) 2 (1 2) (3, 3) 3 (3 3) 2 (3 3) (3, 6) 4, 5 (3 4, 5) 2 (6 4, 5) 2 4, 5 4, 5 2, 25 (3, 8) 5, 5 (3 5, 5) 2 (8 5, 5) 2 12, 5 12, 5 6, 25 (6, 1) 3, 5 (6 3, 5) 2 (1 3, 5) 2 12, 5 12, 5 6, 25 (6, 3) 4, 5 (6 4, 5) 2 (3 4, 5) 2 4, 5 4, 5 2, 25 (6, 6) 6 (6 6) 2 (6 6) (6, 8) 7 (6 7) 2 (8 7) (8, 1) 4, 5 (8 4, 5) 2 (1 4, 5) 2 24, 5 24, 5 12, 25 (8, 3) 5, 5 (8 5, 5) 2 (3 5, 5) 2 12, 5 12, 5 6, 25 (8, 6) 7 (8 7) 2 (6 7) (8, 8) 8 (8 8) 2 (8 8) Tabela 1.2: Distribuição amostral de 2 estimadores da variâcia i=1 Podemos ver que a fução de distribuição de probabilidade de S 2 é s , 5 12, 5 24, 5 Pr(S 2 = s 2 ) 4/16 4/16 2/16 4/16 2/16 e a fução de distribuição de probabilidade de bσ 2 é Para essas distribuições temos: k 0 1 2, 25 6, 25 12, 25 Pr(bσ 2 = k) 4/16 4/16 2/16 4/16 2/16 e E(S 2 ) = , , , = =7, 25 = σ2 = Var(X) E(bσ 2 ) = , , , = 58 =3, Vemos que, em média, S 2 é igual à variâcia populacioal, o que ão ocorre com bσ 2. Estes dois exemplos ilustram o fato de que qualquer estatística amostral T é uma variável aleatória, que assume diferetes valores para cada uma das diferetes amostras

15 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS 10 e tais valores, jutamete com a probabilidade de cada amostra, os foreceriam a fução de distribuição de probabilidades de T, caso fosse possível obter todas as aas de tamaho da população. Isso os leva à seguite defiição, que é um coceito cetral a Iferêcia Estatística. Defiição 1.5 A fução de distribuição amostral de uma estatística T é a fução de distribuição de probabilidades de T ao logo de todas as possíveis amostras de tamaho. Podemos ver que a obteção da distribuição amostral de qualquer estatística T éum processo tão ou mais complicado do que trabalhar com a população iteira. Na prática, o que temos é uma úica amostra e com esse resultado é que temos que tomar as decisões pertietes ao problema em estudo. Esta tomada de decisão, o etato, será facilitada se cohecermos resultados teóricos sobre o comportameto da distribuição amostral. 1.6 Propriedades de estimadores No exemplo aterior, relativo à variâcia amostral, vimos que E(S 2 )=σ 2 e E(bσ 2 ) 6= σ 2. Aalogamete, vimos também que E(X) =μ. Vamos eteder direito o que esses resultados sigificam, ates de passar a uma defiiçãoformaldapropriedade evolvida. Dada uma população, existem muitas e muitas aas de tamaho que podem ser sorteadas. Cada uma dessas amostras resulta em um valor diferete da estatística de iteresse (X e S 2, por exemplo). O que esses resultados estão mostrado é como esses diferetes valores se comportam em relação ao verdadeiro (mas descohecido) valor do parâmetro. Cosidere a Figura 1.2, ode o alvo represeta o valor do parâmetro e os tiros, idicados pelos símbolo x, represetam os diferetes valores amostrais da estatística de iteresse. Naspartes(a)e(b)dafigura, os tiros estão em toro do alvo, equato as partes (c) e (d) isso ão acotece. Comparado as partes (a) e (b), podemos ver que a parte (a) os tiros estão mais cocetrados em toro do alvo, isto é, têm meor dispersão. Isso reflete uma potaria mais certeira do atirador em (a). Aalogamete, as partes (c) e (d), embora ambos os atiradores estejam com a mira deslocada, os tiros do atirador (c) estão mais cocetrados em toro de um alvo; o deslocameto poderia até ser resultado de um desalihameto da arma. Já o atirador (d), além de estar com o alvo deslocado, ele tem os tiros mais espalhados, o que reflete meor precisão. Traduzido esta situação para o cotexto de estimadores e suas propriedades, temos o seguite: as partes (a) e (b), temos dois estimadores que forecem estimativas cetradas em toro do verdadeiro valor do parâmetro, ou seja, as diferetes amostras forecem valores distribuídos em toro do verdadeiro valor do parâmetro. A difereça é que em (b) esses valores estão mais dispersos e, assim, temos mais chace de obter uma amostra ifeliz, ou seja, uma amostra que foreça um resultado muito afastado do valor do parâmetro. Essas duas propriedades estão associadas à esperaça e à variâcia

16 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS 11 Figura 1.2: Propriedades de estimadores do estimador, que são medidas de cetro e dispersão, respectivamete. Nas partes (c) e (d), as estimativas estão cetradas em toro de um valor diferete do parâmetro de iteresse e a parte (d), a dispersão é maior. Temos, assim, ilustrados os seguites coceitos. Defiição 1.6 Um estimador T é dito um estimador ão-viesado do parâmetro θ se E(T )=θ. Como os exemplos vistos, essa esperaça é calculada ao logo de todas as possíveis amostras, ou seja, é a esperaça da distribuição amostral de T. Nas partes(a) e(b) da Figura 1.2 os estimadores são ão-viesados e as partes (c) e (d), os estimadores são viesados. Com relação aos estimadores X, S 2 e bσ 2, veremosformalmetequeosdoisprimeiros são ão-viesados para estimar a média e a variâcia populacioais, respectivamete, equato bσ 2 é viesado para estimar a variâcia populacioal. Essa é a razão para se usar S 2,eãobσ 2. Defiição 1.7 Se T 1 e T 2 são dois estimadores ão-viesados do parâmetro θ, diz-se que T 1 é mais eficiete que T 2 se Var(T 1 ) <Var(T 2 ). Na Figura 1.2, o estimador da parte (a) é mais eficiete que o estimador da parte (b).

17 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS 12 Uma outra propriedade dos estimadores está relacioada à idéia bastate ituitiva de que à medida que se aumeta o tamaho da amostra, mais perto devemos ficar do verdadeiro valor do parâmetro. Defiição 1.8 Uma seqüêcia {T } de estimadores de um prâmetro θ é cosistete se, para todo ε>0 lim Pr { T θ >ε} =0 Uma maeira alterativa de verificar se uma seqüêcia de estimadores é cosistete é dada a seguir. Teorema 1.1 Uma seqüêcia {T } de estimadores de um prâmetro θ é cosistete se 1.7 ResumodoCapítulo lim ) = θ lim ) = 0 Ao fial deste capítulo, você deverá ser capaz de compreeder perfeitamete os seguites coceitos: A população de uma pesquisa estatística é descrita por uma variável aleatória X, que descreve a característica de iteresse. Essa variável aleatória pode ser discreta ou cotíua. O método de amostragem aleatória simples atribui, a cada amostra de tamaho, igual probabilidade de ser sorteada. Se os sorteios dos elemetos da amostra são feitos com reposição, cada sujeito da população tem a mesma probabilidade de ser sorteado e essa probabilidade se matém costate. Dessa forma, uma amostra aleatória simples com reposição (abreviaremos por aas esse texto) de uma população X éumcojutox 1,X 2,...,X de variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas, todas com a mesma distribuição da população X. Uma estatística ou estimador T é qualquer fução de X 1,X 2,...,X, isto é, T = g(x 1,X 2,...,X ). Como o estimador depede da amostra sorteada, ele é também uma variável aleatória. Os estimadores descrevem características da amostra. Umparâmetroéumacaracterísticadapopulação. As características que iremos estudar são a média (μ e X) eavariâcia(σ 2 e S 2 ). Como cada estimador é uma variável aleatória, ele pode ser descrito pela sua fução de distribuição, que é chamada distribuição amostral do estimador. A distribuição amostral de um estimador é a distribuição ao logo de todas as possíveis amostras de mesmo tamaho.

18 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS 13 Como sempre, a média e a variâcia de uma distribuição de probabilidades são parâmetros de posição e dispersão. No caso da distribuição amostral de um estimador, esses parâmetros referem-se à distribuição ao logo de todas as possíveis amostras. Assim, a média de uma distribuição amostral refere-se à média dos possíveis valores do estimador ao logo de todas as possíveis amostras e a variâcia reflete a dispersão desses valores em toro dessa média. Um estimador é ão-viesado se a sua média é igual ao parâmetro que ele pretede estimar. Isso sigifica que os valores do estimador ao logo de todas as possíveis amostras estão cetrados o parâmetro populacioal. Dados dois estimadores ão-viesados de um mesmo parâmetro, T 1 e T 2, diz-se que T 1 émaiseficiete que T 2 se sua variâcia for meor, ou seja, se Var(T 1 ) > Var(T 2 ). Uma seqüêcia {T } de estimadores de um ( parâmetro θ é cosistete se, para todo lim E(T )=θ ε>0, lim Pr { T θ >ε} =0ou se lim Var(T )=0 1.8 Exercícios Para fixar as idéias sobre os coceitos apresetados esta aula, você irá trabalhar com amostras aleatórias simples de tamaho 3 retiradas da população {1, 2, 4, 6, 8}. Pelo pricípio da multiplicação, o úmero total de amostras é 5 5 5=125ecadauma dessas amostras tem probabilidade = 1. Iremos cosiderar os seguites estimadores para a média da população: média amostral: média amostral poderada: X = X 1 + X 2 + X 3 3 X p = X 1 +2X 2 + X 3 4 poto médio = mi(x 1,X 2,X 3 )+max(x 1,X 2,X 3 ) 2 O que você irá mostrar é que (i) X e X p são ão-viesados e que X émaiseficiete que X p ; (ii) é viesado, mas sua variâcia é meor que a variâcia de X edex p. Para isso, você irá seguir os seguites passos: 1. Calcule a média μ eavariâciaσ 2 da população.

19 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS Nas cico tabelas a seguir, você tem listadas as 125 amostras. Para cada uma das amostras, calcule os valores dos estimadores. Para as 6 primeiras amostras os cálculos já estão feitos, a título de ilustração. Você ão precisa idicar todas as cotas; apeas use a máquia de calcular e aote o resultado obtido. 3. Obteha a fução de distribuição de probabilidade, explicitado os diferetes valores de cada um dos estimadores e suas respectivas probabilidades 4. Calcule a esperaça e a variâcia de cada um dos estimadores. 5. Verifique as afirmativas feitas o euciado do problema. Amostra Estimador X 1 X 2 X 3 X X p =1 = = = = = = = = = = = =1 1+2 = = = = = 3 2 2

20 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS 15 Amostra Estimador X 1 X 2 X 3 X X p

21 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS 16 Amostra Estimador X 1 X 2 X 3 X X p

22 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS 17 Amostra Estimador X 1 X 2 X 3 X X p

23 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS 18 Amostra Estimador X 1 X 2 X 3 X X p

24 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS Solução do Exercício Para a população temos que μ = =4, 2 5 σ 2 = (4, 2) 2 =6, 56 5 Completado-se as tabelas dadas, chegamos às seguites fuções de distribuição de probabilidade dos estimadores: Logo, e X Pr(X = x) Cálculo de E(X) Cálculo de Var(X) x p px E(X 2 ) 3/3 1/125 3/375 (3/3) 2 (1/125) 4/3 3/125 12/375 (4/3) (3/125) 5/3 3/125 15/375 (5/3) (3/125) 6/3 4/125 24/375 (6/3) 2 (4/125) 7/3 6/125 42/375 (7/3) 2 (6/125) 8/3 6/125 48/375 (8/3) 2 (6/125) 9/3 9/125 81/375 (9/3) 2 (9/125) 10/3 9/125 90/375 (10/3) 2 (9/125) 11/3 12/ /375 (11/3) 2 (12/125) 12/3 10/ /375 (12/3) 2 (10/125) 13/3 9/ /375 (13/3) 2 (9/125) 14/3 12/ /375 (14/3) 2 (12/125) 15/3 6/125 90/375 (15/3) 2 (6/125) 16/3 12/ /375 (16/3) 2 (12/125) 17/3 3/125 51/375 (17/3) 2 (3/125) 18/3 10/ /375 (18/3) 2 (10/125) 20/3 6/ /375 (20/3) 2 (6/125) 22/3 3/125 66/375 (22/3) 2 (3/125) 24/3 1/125 24/375 (24/3) 2 (1/125) Soma 1575/ / (9 125) E(X) = =4, 2=μ Var(X) = (4, 6, 56 2)2 =2, = = σ2 3 3

25 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS 20 Logo, e X p Pr(X p = x) Cálculo de E(X p ) Cálculo de Var(X p ) x p px E(X 2 p) 4/4 1/125 4/500 (4/4) 2 (1/125) 5/4 2/125 10/500 (5/4) 2 (2/125) 6/4 2/125 12/500 (6/4) 2 (2/125) 7/4 4/125 28/500 (7/4) 2 (4/125) 8/4 3/125 24/500 (8/4) 2 (3/125) 9/4 4/125 36/500 (9/4) 2 (4/125) 10/4 6/125 60/500 (10/4) 2 (6/125) 11/4 6/125 66/500 (11/4) 2 (6/125) 12/4 8/125 96/500 (12/4) 2 (8/125) 13/4 4/125 52/500 (13/4) 2 (4/125) 14/4 10/ /500 (14/4) 2 (10/125) 15/4 4/125 60/500 (15/4) 2 (4/125) 16/4 9/ /500 (16/4) 2 (9/125) 17/4 4/125 68/500 (17/4) 2 (4/125) 18/4 10/ /500 (18/4) 2 (10/125) 19/4 4/125 76/500 (19/4) 2 (4/125) 20/4 8/ /500 (20/4) 2 (8/125) 21/4 4/125 84/500 (21/4) 2 (4/125) 22/4 8/ /500 (22/4) 2 (8/125) 23/4 2/125 46/500 (23/4) 2 (2/125) 24/4 7/ /500 (24/4) 2 (7/125) 25/4 2/125 50/500 (25/4) 2 (2/125) 26/4 6/ /500 (26/4) 2 (6/125) 28/4 4/ /500 (28/4) 2 (4/125) 30/4 2/125 60/500 (30/4) 2 (2/125) 32/4 1/125 32/500 (32/4) 2 (1/125) Soma 2100/ /(16 125) E(X p )=4, 2=μ Var(X p )= (4.2)2 =2, 46

26 CAPÍTULO 1. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA - CONCEITOS BÁSICOS 21 e Logo, Pr( = x) Cálculo de E( ) Cálculo de Var( ) x p p x E( 2 ) 2/2 1/125 2/250 (2/2) 2 (1/125) 3/2 6/125 18/250 (3/2) 2 (6/125) 4/2 1/125 4/250 (4/2) 2 (1/125) 5/2 12/125 60/250 (5/2) 2 (12/125) 6/2 6/125 36/250 (6/2) 2 (6/125) 7/2 18/ /250 (7/2) 2 (18/125) 8/8 13/ /250 (8/2) 2 (13/125) 9/2 24/ /250 (9/2) 2 (24/125) 10/2 24/ /250 (10/2) 2 (24/125) 12/2 13/ /250 (12/2) 2 (13/125) 14/2 6/125 84/250 (14/2) 2 (6/125) 16/2 1/125 16/250 (16/2) 2 (1/125) Soma 1062/ /(4 125) E( ) = =4, 248 Var( ) = (4, 248)2 =1, Na tabela a seguir apresetamos o resumo dos resultados obtidos. Parâmetro Estimador populacioal X X p Média μ =4, 2 4, , , 2480 Variâcia σ 2 =6, 56 2, , , 8585 Coclui-se que X e X p são estimadores ão-viesados de μ equex émaiseficiete que X p, uma vez que Var(X) <Var(X p ). O estimador é viesado, pois E( ) 6= μ. No etato, a variâcia desse estimador é meor que as variâcias dos dois estimadores ão-viesados. À vezes, a prática, podemos trabalhar com estimadores viesados com variâcia pequea, desde que o viés ão seja muito grade.

27 Capítulo 2 Distribuição Amostral da Média Neste capítulo você irá aprofudar seus cohecimetos sobre a distribuição amostral da média amostral. No capítulo aterior aalisamos, através de algus exemplos, o comportameto da média amostral; mas aqueles exemplos, a população era pequea e foi possível obter todas as amostras, ou seja, foi possível obter a distribuição amostral exata. Veremos agora resultados teóricos sobre a distribuição amostral da média amostral, que os permitirão fazer aálises sem ter que listar todas as amostras. Os pricipais resultados que estudaremos são: médiaevariâciadadistribuiçãoamostraldamédia distribuição amostral da média para populações ormais Teorema Limite Cetral distribuição amostral da variâcia amostral 2.1 Média e variâcia da distribuição amostral da média No capítulo aterior, vimos, através de exemplos, que a média amostral X é um estimador ão-viesado da média populacioal μ. Na verdade, temos o seguite resultado geral. Teorema 2.1 Seja X 1,X 2,...,X umaamostraaleatóriasimplesdetamaho de uma população represetada pela variável aleatória X com média μ evariâciaσ 2. Etão, Demostração: E(X) = μ (2.1) Var(X) = σ2 (2.2) 22

28 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 23 Por defiição de amostra aleatória simples, as X i são idepedetes e todas têm a mesma distribuição da v.a. populacioal X; logo, E(X i )=μ e Var(X i )=σ 2. Da idepedêcia resulta que Cov(X i,x j )=0 i 6= j. Por outro lado, o estudo dos vetores aleatórios, vimos que a esperaça da soma de variáveis aleatórias é a soma das esperaças. Etão: X1 + X X E(X) = E = 1 E(X 1 + X X ) = 1 [E(X 1)+E(X 2 )+ + E(X )] = 1 (μ + μ + + μ) = 1 μ = μ X1 + X X Var(X) = Var = 1 Var(X X X ) " = 1 Var(X 2 1 )+Var(X 2 )+ + Var(X )+ P # Cov(X i,x j ) i6=j = 1 2 σ 2 + σ σ 2 +0 = 1 2 σ2 = σ2 É importate otar que esse resultado se refere a qualquer população X. O que ele estabelece é que as médias amostrais das diferetes amostras aleatórias simples de tamaho tedema acertaroalvo damédiapopulacioalμ; lembre-se da Figura 1.2, partes (a) e (b). Além disso, à medida que o tamaho amostral aumeta, a dispersão em toro do alvo, medida por Var(X), vai dimiuido e tede a zero quado. Esse teorema or permite ver que {X } é cosistete para estimar a média populacioal μ. O desvio padrão da distribuição amostral de qualquer estatística é usualmete chamado de erro padrão. Etão, o erro padrão da média amostral é EP(X) = σ. 2.2 Distribuição amostral da média para populações ormais Na prática estatística, várias populações podem ser descritas, pelo meos aproximadamete, por uma distribuição ormal. Obviamete, o teorema aterior cotiua valedo o caso de uma população ormal, mas temos uma característica a mais da distribuição amostral da média: ela é também ormal. Teorema 2.2 Seja X 1,X 2,...,X uma amostra aleatória simples de tamaho de uma população ormal,istoé,umapopulaçãorepresetadaporumavariávelaleatória

29 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 24 ormal X com média μ e variâcia σ 2. Etão, a distribuição amostral da média amostral X é ormal com média μ evariâciaσ 2 /, ou seja X N μ; σ 2 = X N μ; σ2 Na Figura 2.1 ilustra-se o comportameto da distribuição amostral da média amostral com base em amostras de tamaho =4para uma população ormal com média 2 e variâcia 9. A título de comparação, apreseta-se aí a distribuição populacioal. Podemos ver que ela é mais dispersa que a distribuição amostral de X, mas ambas estão cetradas o verdadeiro valor populacioal μ =2. 0,3 0,2 X ~ N ( 2;9 4) 0,1 X ~ N (2;9) 0, Figura 2.1: Distribuição amostral de X com base em aas de tamaho =4de uma população N(2; 9) 2.3 Exemplos Exemplo 2.1 A capacidade máxima de um elevador é de 500 kg. Se a distribuição dos pesos dos usuários é N(70; 100), qual é a probabilidade de que 7 pessoas ultrapassem este limite? E de 6 pessoas? Solução Podemos cosiderar os 7 passageiros como uma amostra aleatória simples da população de todos os usuários, represetada pela v.a. X N(70; 100). Seja, etão,

30 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 25 X 1,...,X 7 uma aas de tamaho =7. Se o peso máximo é 500, para que 7 pessoas ultrapassem o limite de seguraça temos que ter 7P X i > P X i > 500 X>71, 729 i=1 7 i=1 7 Mas, pelo Teorema 2.2, sabemos que X N 70; Logo, Pr(X > 71, 729) = Pr X q 70 71, > q = Pr(Z>0, 46) = 0, 5 tab(0, 46) = 0, 5 0, = 0, Com 6 pessoas teríamos que ter Pr X> 500 = Pr Z > q = Pr(Z>3, 27) = 0, 5 tab(3, 27) = = 0, Podemos ver que existe uma probabilidade alta (0,32 ou 32% de chace) de 7 pessoas ultrapassarem o limite de seguraça. Já com 6 pessoas, essa probabilidade é bastate pequea. Assim, o úmero máximo de pessoas o elevador deve ser estabelecido como 6oumeos. Exemplo 2.2 Uma v.a. X tem distribuição ormal com média 100 e desvio padrão Calcule Pr(90 <X<110) 2. Se X é a média de uma amostra aleatória simples de 16 elemetos retirados dessa população, calcule Pr(90 < X < 110). 3. Costrua, um úico sistema de coordeadas, os gráficos das distribuições de X e X. 4. Que tamaho deveria ter a amostra para que Pr(90 < X<110) = 0, 95? Solução 1. Pr(90 <X<110) = Pr <Z< 10 = Pr( 1 <Z<1) = 2 Pr(0 <Z<1) = 2 tab(1, 0) = 0,

31 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA Com =16, resulta que X N 100; 100 Pr(90 < X < 110) = Pr q <Z< = Pr( 4 <Z<4) = 2 Pr(0 <Z<4) = 2 tab(4, 0) 1, q Veja a Figura 2.2. Como visto, a distribuição amostral com =16émeos dispersa que a distribuição populacioal e aí podemos ver que, etre 90 e 110, temos cocetrada praticamete toda a distribuição de X. 0,18 0,16 0,14 0,12 N(100,100/16) 0,10 0,08 0,06 N(100,100) 0,04 0,02 0, Figura 2.2: Distribuição amostral de X com base em amostras de tamaho =16de uma população N(100; 100) 4. Queremos que Pr(90 < X<110) = 0, 95, ou seja Pr(90 < X<110) = 0, 95 Pr q <Z< q =0, Pr( <Z< )=0, 95 2 Pr(0 <Z< )=0, 95 2 tab( )=0, 95 tab( )=0, 475 =1, 96 4

32 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 27 A título de ilustração, apresetam-se a Figura 2.3 as distribuições amostrais de X para =16e =4. 0,18 0,16 0,14 0,12 N(100;100/16) 0,1 0,08 0,06 0,04 N(100;100/4) 0, Figura 2.3: Distribuição amostral de X combaseemamostrasdetamahos =16e =4de uma população N(100; 100) Exemplo 2.3 A máquia de empacotar um determiado produto o faz segudo uma distribuição ormal, com média μ e desvio padrão 10 g. 1. Em quato deve ser regulado o peso médio μ para que apeas 10% dos pacotes teham meos do que 500 g? 2. Com a máquia assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja iferior a 2 kg? Solução 1. Seja X a variável aleatória que represeta o peso dos pacotes. Sabemos, etão, que X N(μ; 100). Queremos que Pr(X <500) = 0, 10 X μ Pr < 500 μ =0, Pr Z< 500 μ =0, Etão, a desidade ormal padrão, à esquerda da abscissa 500 μ 10 temos que ter uma área (probabilidade) de 0,10. Logo, essa abscissa tem que ser egativa. Us-

33 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 28 ado a simetria da desidade ormal temos as seguites equivalêcias: Pr Z< 500 μ = 0, Pr Z> 500 μ = 0, Pr Z> μ 500 = 0, Pr 0 Z μ 500 = 0, μ 500 tab = 0, μ 500 = 1, μ = 512, 8 g Veja a Figura 2.4 ode são ilustradas essas equivalêcias. Figura 2.4: Solução do Exemplo 3 P 2. Sejam X 1, X 2,X 3,X 4 os pesos dos 4 pacotes da amostra. Queremos que 4 X i < i=1

34 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA g. Isso é equivalete a X<500. Logo, Pr(X <500) = Pr X q 512, , 8 < q = Pr(Z< 2, 56) = Pr(Z>2, 56) = 0, 5 Pr(0 Z 2, 56) = 0, 5 tab(2, 56) = 0, 5 0, = 0, Com a máquia regulada para 512,8g, há uma probabilidade de 0,00523 de que uma amostra de 4 pacotes apresete peso médio iferior a 500g. Note que com um pacote apeas, essa probabilidade é de 10%. Por isso, as ispeções de cotrole de qualidade são sempre feitas com base em amostras de tamaho > Lista de Exercícios 1 1. Os comprimetos das peças produzidas por determiada máquia têm distribuição ormal com uma média de 172 mm e desvio padrão de 5 mm. Calcule a probabilidade de uma amostra aleatória simples de 16 peças ter comprimeto médio (a) etre 169 mm e 175 mm; (b) maior que 178 mm; (c) meor que 165 mm. 2. Qual deverá ser o tamaho de uma amostra aleatória simples a ser retirada de uma população N(150; 13 2 ) para que Pr( X μ < 6, 5) = 0, 95? 2.4 Teorema Limite Cetral Os resultados vistos ateriormete são válidos para populações ormais, isto é, se uma população é ormal com média μ e variâcia σ 2, etão a distribuição amostral de X é também ormal com média μ e variâcia σ 2 /, ode é o tamaho da amostra. O teorema limite cetral que veremos a seguir os forece um resultado aálogo para qualquer distribuição populacioal, desde que o tamaho da amostra seja suficietemete grade.

35 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 30 Teorema 2.3 Teorema Limite Cetral Seja X 1,X 2,...,X uma amostra aleatória simples de uma população X tal que E(X) =μ e Var(X) =σ 2. Etão, a distribuição de X coverge para a distribuição ormal com média μ evariâciaσ 2 / quado. Equivaletemete, X μ σ N(0, 1) A iterpretação prática do teorema limite cetral é a seguite: para amostras grades de qualquer população, podemos aproximar a distribuição amostral de X por uma distribuição ormal com a mesma média populacioal e variâcia igual à variâcia populacioal dividida pelo tamaho da amostra. Quão grade deve ser a amostra para se obter uma boa aproximação depede das características da distribuição populacioal. Se a distribuição populacioal ão se afastar muito de uma distribuição ormal, a aproximação será boa, mesmo para tamahos pequeos de amostra. Na Figura 2.5 ilustra-se esse teorema para a distribuição expoecial, ou seja, para uma população distribuída segudo uma expoecial com parâmetro λ =1.O gráfico superior represeta a distribuição populacioal e os histogramas represetam a distribuição amostral de X ao logo de 5000 amostras de tamahos 10, 50, 100 e 250. Assim, podemos ver que, embora a população seja completamete diferete da ormal, a distribuição amostral de X vai se torado cada vez mais próxima da ormal àmedidaque aumeta. Em termos práticos, esse teorema é de extrema importâcia, daí ser chamado de teorema cetral e, em geral, amostras de tamaho >30 já forecem uma aproximação razoável. Exemplo 2.4 Uma moeda é laçada 50 vezes, com o objetivo de se verificar sua hoestidade. Se ocorrem 36 caras os 50 laçametos, o que podemos cocluir? Solução Neste caso, a população pode ser represetada por uma variável de Beroulli X com parâmetro p, istoé,x assume o valor 1 com probabilidade p a ocorrêcia de cara e assume o valor 0 com probabilidade 1 p a ocorrêcia de coroa. Para uma variável Beroulli, temos que E(X) =p e Var(X) =p(1 p). Como são feitos 50 laçametos, o tamaho da amostra é 50 ( grade!) e, pelo teorema limite cetral, X é aproximadamete ormal com média E(X) =p evariâciavar(x) = p(1 p). 50 Supohamos que a moeda seja hoesta, isto é, que p = 1/2. Nestas codições, qual é a probabilidade de obtermos 36 caras em 50 laçametos? Com a hipótese de hoestidade da moeda, o teorema limite cetral os diz que 1 1 X N 2 ;

36 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 31 Distribuição expoecial com média 1 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0, =10 = Frequecy Frequecy ,261 0,761 1,261 1,761 2, ,604 0,804 1,004 1,204 1,404 1,604 =100 = Frequecy Frequecy ,690 0,790 0,890 0,990 1,090 1,190 1, ,804 0,854 0,904 0,954 1,004 1,054 1,104 1,154 1,204 Figura 2.5: Ilustração do Teorema Limite Cetral para uma população X exp(1)

37 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 32 A probabilidade de se obter 36 ou mais caras em 50 laçametos é equivalete à probabilidade de X ser maior ou igual a 36 =0, 72 e essa probabilidade é 50 Pr(X 0, 72) = Pr X 0, , 72 0, 5 q = Pr(Z 3, 11) = 0, 5 Pr(0 Z<3, 11) = = 0, 5 tab(3, 11) = 0, 5 0, = 0, Note que essa probabilidade é bastate pequea, ou seja, há uma pequea probabilidade de obtermos 36 ou mais caras em um laçameto de uma moeda hoesta. Isso pode os levar a suspeitar sobre a hoestidade da moeda! Lista de Exercícios 2 1. O fabricate de uma lâmpada especial afirma que o seu produto tem vida média de 1600 horas, com desvio padrão de 250 horas. O doo de uma empresa compra 100 lâmpadas desse fabricate. Qual é a probabilidade de que a vida média dessas lâmpadas ultrapasse 1650 horas? 2.5 Distribuição amostral da variâcia amostral No capítulo aterior, cosideramos dois estimadores para a variâcia: S 2 e bσ 2. Através de um exemplo, vimos que bσ 2 é um estimador viciado. Vamos demostrar agora que S 2 é ão viciado para estimar a variâcia de uma população qualquer. Teorema 2.4 Seja X 1,X 2,...,X uma amostra aleatória simples extraída de uma população com N elemetos e variâcia populacioal σ 2 = 1 N NP (X i μ) 2 i=1 NP P ode μ = 1 X N i é a média (esperaça) populacioal. Etão S 2 = 1 (X 1 i X) 2 é i=1 i=1 um estimador ão viesado para estimar σ 2.

38 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 33 Demostração P (X i X) 2 = P (X i μ + μ X) 2 P = (Xi μ) X μ 2 i=1 i=1 i=1 P = (X i μ) 2 P + 2 P X μ 2 (X i μ) X μ i=1 i=1 P = (X i μ) 2 + X μ 2 P 2 X μ (X i μ) i=1 i=1 P = (X i μ) 2 + X μ 2 P 2 X μ X i μ i=1 P = (X i μ) 2 + X μ 2 2 X μ X μ i=1 P = (X i μ) 2 X μ 2 i=1 Daí segue que 1 P 2 E(S 2 ) = E (X i X) = 1 1 i=1 1 E P (X i μ) 2 X μ 2 i=1 1 P = E (X i μ) 2 E X μ 2 1 i=1 Mas como μ = E(X i )=E(X) e E (X i μ) 2 = Var(X i )=σ 2 e E X μ 2 = Var(X) resulta que E(S 2 1 P ) = Var(X i ) V ar(x) 1 i=1 1 P = σ 2 σ2 1 i=1 1 = σ 2 σ 2 1 = σ 2 e isso completa a prova. Teorema 2.5 Se X 1,X 2,...,X é uma amostra aleatória simples extraída de uma população X N(μ; σ 2 ) etão Var(S 2 )= 2.6 ResumodoCapítulo 2σ4 1 Neste capítulo, foram estudadas propriedades da média amostral X e da variâcia amostral S 2. Ao fial, você deverá ser capaz de compreeder perfeitamete os seguites resultados: i=1 i=1

39 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 34 Dada uma aas (amostra aleatória simples com reposição) X 1,X 2,...,X de uma população X com média μ evariâciaσ 2, a média amostral X é um estimador ãoviesado de μ com variâcia igual à variâcia populacioal dividida pelo tamaho amostral, isto é: E(X) = μ Var(X) = σ2 eavariâciaamostrals 2 é um estimador ão viesado para estimar σ 2, isto é E(S 2 )=σ 2 O desvio padrão da distribuição amostral de qualquer estatística é usualmete chamado de erro padrão. Etão, o erro padrão da média amostral é EP(X) = σ Nas codições ateriores e com a hipótese adicioal de a população X ser ormal, a distribuição amostral de X também é ormal, isto é: X N μ; σ 2 = X N μ; σ2 e Var(S 2 )= 2σ4 1 O teorema limite cetral é um dos mais importates teoremas da teoria iferecial. Ele os dá iformações sobre a dsitribuição amostral de X para amostras grades de qualquer população. Mais precisamete, se X 1,X 2,...,X éumaamostra aleatória simples de uma população X tal que E(X) =μ e Var(X) =σ 2, etão a distribuição de X covergeparaadistribuiçãoormalcommédiaμ e variâcia σ 2 / quado. Equivaletemete, X μ σ N(0, 1) ou 2.7 Exercícios X μ σ N(0, 1) 1. Uma amostra de tamaho =18é extraída de uma população ormal com média 15 e desvio padrão 2,5. Calcule a probabilidade de que a média amostral (a) esteja etre 14,5 e 16,0; (b) seja maior que 16,1.

40 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA Volte ao Exemplo Depois de regulada a máquia, prepara-se uma carta de cotrole de qualidade. Uma amostra de 4 pacotes será sorteada a cada hora. Se a média da amostra for iferior a 497g ou superior a 520g, a produção deve ser iterrompida para ajuste da máquia, isto é, ajuste do peso médio. (a) Qual é a probabilidade de uma parada desecessária? (b) Se a máquia se desregulou para μ = 500g, qual é a probabilidade de cotiuar-se a produção fora dos padrões desejados? 3. Uma empresa produz parafusos em duas máquias. O comprimeto dos parafusos produzidos em ambas é aproximadamete ormal com média de 20mm a primeira máquiae25mmasegudamáquiaedesviopadrãocomumde4mm. Uma caixa com 16 parafusos, sem idetificação, é ecotrada e o gerete de produção determia que, se o comprimeto médio for maior que 23 mm, etão a caixa será idetificada como produzida pela máquia 2. Especifique os possíveis erros essa decisão e calcule as suas probabilidades. 4. Defiimos a variável e = X μ como sedo o erro amostral da média, ode X éa média de uma aas de tamaho de uma população com média μ e desvio padrão σ. (a) Determie E(e) e Var(e). (b) Seapopulaçãoéormalcomσ =20, que proporção das amostras de tamaho 100 terá erro amostral absoluto maior do que 2 uidades? (c) Neste caso, qual deve ser o valor de δ para que Pr( e >δ)=0, 01? (d) Qual deve ser o tamaho da amostra para que 95% dos erros amostrais absolutos sejam iferiores a 1 uidade? 5. Uma fábrica produz parafusos especiais, para ateder um determiado cliete, que devem ter comprimeto de 8,5 cm. Como os parafusos grades podem ser reaproveitados a um custo muito baixo, a fábrica precisa cotrolar apeas a proporção de parafusos pequeos. Para que o processo de produção atija o lucro míimo desejável, é ecessário que a proporção de parafusos pequeos seja o máximo de 5%. (a) Supodo que a máquia que produz os parafusos o faça de modo que os comprimetos teham distribuição ormal com média μ e desvio padrão de 1,0 cm, em quato deve ser regulada a máquia para satisfazer as codições de lucratividade da empresa? (b) Para mater o processo sob cotrole, é programada uma carta de qualidade. A cada hora será sorteada uma amostra de 4 parafusos e, se o comprimeto médio dessa amostra for meor que 9,0 cm, o processo de produção é iterrompido para uma ova regulagem da máquia. Qual é a probabilidade de uma parada desecessária?

41 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 36 (c) Se a máquia se desregulou de modo que o comprimeto médio passou a ser 9,5 cm, qual é a probabilidade de se cotiuar o processo de produção fora dos padrões desejados? 6. A divisão de ispeção do Departameto de Pesos e Medidas de uma determiada cidade está iteressada em calcular a real quatidade de refrigerate que é colocada em garrafas de 2 litros, o setor de egarrafameto de uma grade empresa de refrigerates. O gerete do setor de egarrafameto iformou à divisão de ispeção que o desvio padrão para garrafas de 2 litros é de 0,05 litro. Uma amostra aleatória de 100 garrafas de 2 litros, obtida deste setor de egarrafameto, idica uma média de 1,985 litro. Qual é a probabilidade de se obter uma média amostral de 1,985 ou meos, caso a afirmativa do gerete esteja certa? O que se pode cocluir? 2.8 SoluçãodasListasdeExercícios Lista de Exercícios 1 1. Seja X = comprimeto das peças; etão X N(172; 25) e =16 (a) (b) (c) Pr(169 X 175) = Pr q X q = Pr( 2, 4 Z 2, 4) = 2 Pr(0 Z 2, 4) = 2 tab(2, 4) = 2 0, 4918 = 0, 9836 Pr(X > 178) = Pr Z > = Pr(Z>4, 8) 0 Pr(X < 165) = Pr Z < = Pr(Z< 5, 6) q q q 25 16

42 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA Temos que X N(150; 13 2 ) equeremosdetermiar para que Pr( X μ < 6, 5) = 0, 95. Lista de Exercícios 2 Pr( X 150 < 6, 5) = 0, 95 Pr( 6, 5 < X 150 < 6, 5) = 0, 95 Ã! Pr 6, 5 13 < X < 6, 5 13 =0, 95 Pr( 0, 5 <Z<0, 5 )=0, 95 2 Pr(0 <Z<0, 5 )=0, 95 Pr(0 <Z<0, 5 )=0, 475 tab(0, 5 )=0, 475 0, 5 =1, 96 1, 96 = =3, 92 0, 5 =(3, 92) Podemos aceitar que as 200 lâmpadas compradas sejam uma amostra aleatória simples da população referete às lâmpadas produzidas por esse fabricate. Como = 100 éumtamahosuficietemete grade de amostra, podemos usar o teo- ³ rema limite cetral, que os diz que X N 1600; Pr(X >1650) = Pr X q 1600 > = Pr(Z>2, 0) = 0, 5 Pr(0 Z 2) = 0, 5 tab(2, 0) = 0, 5 0, = 0, Solução dos Exercícios ³ 1. X N 15; 2, Logo q

43 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 38 (a) Pr(14, 5 X 16) = Pr 14, 5 15 q Z 2, = Pr( 0, 85 Z 1, 70) = Pr( 0, 85 Z 0) + Pr(0 <Z 1, 70) = Pr(0 Z 0, 85) + Pr(0 Z 1, 70) = tab(0, 85) + tab(1, 70) = 0, q 2, (b) Pr(X >16, 1) = Pr Z > = Pr(Z>1, 87) = 0, 5 Pr(0 Z 1, 87) = 0, 5 tab(1, 87) = 0, , 1 15 q 2, X N(512, 8; 100) (a) Parada desecessária: amostra idica que o processo está fora de cotrole (X <497 ou X>520), quado, a verdade, o processo está ajustado (μ = 512, 8). Neste caso, podemos usar a otação de probabilidade codicioal para auxiliar a solução do exercício. Queremos calcular Pr X<497 X>520 X N 512, 8; = = Pr X<497 X N (512, 8; 25) +Pr X>520 X N (512, 8; 25) , , 8 = Pr Z< +Pr Z> 5 5 = Pr(Z< 3, 16) + Pr(Z >1, 44) = Pr(Z>3, 16) + Pr(Z >1, 44) = [0, 5 Pr(0 Z 3, 16)] + [0, 5 Pr(0 Z 1, 44)] = 0, 5 tab(3, 16) + 0, 5 tab(1, 44) = 1, 0 0, , = 0, 07572

44 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 39 (b) Agora queremos Pr 497 X 520 X N(500; 25) = = Pr Z 5 5 = Pr( 0, 6 Z 4) = Pr( 0, 6 Z<0) + Pr(0 Z 4) = Pr(0 Z 0, 6) + Pr(0 Z 4) = tab(0, 6) + tab(4, 0) = 0, Note que a probabilidade de uma parada desecessária é pequea, às custas de uma alta probabilidade de se operar fora de cotrole. 3. Os erros são: E 1 : estabelecer que são da máquia 1, quado a verdade foram produzidos pela máquia 2 ou E 2 : estabelecer que são da máquia 2, quado a verdade foram produzidos pela máquia 1. A regra de decisão é a seguite: X > 23 = máquia 2 X 23 = máquia 1 Namáquia1ocomprimetoéN(20; 16) e a máquia 2, N(25; 16). Pr(E 1 ) = Pr X 23 X N = Pr Z 1 = Pr(Z 2) = Pr(Z 2) = = 0, 5 tab(2, 0) = 0, 5 0, = 0, Pr(E 2 ) = Pr X>23 X N = Pr Z> 1 = Pr(Z>3) = 0, 5 tab(3, 0) = 0, 5 0, = 0, ; ; 16 16

45 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA Note que e é igual a X meos uma costate e sabemos que E(X) =μ e Var(X) = σ 2. (a) Das propriedades da média e da variâcia, resulta que (b) X N(μ;20 2 ) e =100. Queremos E(e) =E(X) μ = μ μ =0 Var(e) =Var(X) = σ2 Pr( e > 2) = Pr(e < 2) + Pr(e >2) = Pr(X μ< 2) + Pr(X μ>2) X μ = Pr 20 < 2 X μ 20 +Pr = Pr(Z< 1) + Pr(Z >1) = 2 Pr(Z >1) = 2 [0, 5 Pr(0 Z 1)] = 2 [0, 5 tab(1, 0)] = 0, > (c) Pr( e >δ)=0, 01 Pr(e < δ)+pr(e>δ)=0, 01 Pr(X μ< δ)+pr(x μ>δ)=0, 01 X μ Pr 20 < δ X μ 20 +Pr 20 > δ 20 =0, Pr Z< δ +Pr Z> δ =0, Pr Z> δ =0, 01 2 Pr Z> δ =0, , 5 Pr 0 Z δ =0, Pr 0 Z δ =0, δ tab =0, δ =2, 58 δ =5, 16 2

46 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 41 (d) Pr ( e < 1) = 0, 95 Pr( 1 < X μ<1) = 0, 95 Ã! Pr 1 20 <Z< 1 20 =0, 95 Ã! Ã! Pr 1 20 <Z<0 +Pr 0 Z< 1 20 =0, 95 Ã! 2 Pr 0 Z< 1 20 =0, 95 Ã! Pr 0 Z< 1 20 =0, 475 =1, =39, Parafusos pequeos: X<8, 5, ode X é o comprimeto do parafuso. (a) X N(μ;1). Como Pr(X <8, 5) = 0, 05, resulta que 8,5 tem que ser meor que μ, ou seja, a abscissa 8, 5 μ tem que estar o lado egativo da escala da ormal padroizada. Pr(X <8, 5) = 0, 05 Pr Z< 8, 5 μ =0, 05 1 Pr Z> 8, 5 μ =0, 05 1 Pr(0 Z μ 8, 5) = 0, 45 μ 8, 5=1, 64 μ =10, 14 (b) Parada desecessária: amostra idica processo fora de cotrole (X < 9),

47 CAPÍTULO 2. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 42 quado, a verdade, o processo está sob cotrole (μ =10, 14). Pr X<9 X N 10, 14; , 14 = Pr Z< 0, 5 = Pr(Z< 2, 28) = Pr(Z>2, 28) = 0, 5 Pr(0 Z 2, 28) = 0, 5 tab(2, 28) = 0, 5 0, 4887 = 0, 0113 (c) Máquia desregulada: X > 9; processo operado sem ajuste: X N (9, 5; 1) Pr X>9 X N 9, 5; 1 4 = Pr Z> 9 9, 5 0, 5 = Pr(Z> 1) = Pr( 1 <Z<0) + Pr(Z 0) = Pr(0 <Z<1) + Pr(Z 0) = tab(1, 0) + 0, 5 = 0, Afirmativadogerete: μ =2e³ σ =0, 05. Como =100, podemos usar o teorema limite cetral. Logo, X N. 2; 0, Ã Pr(X 1, 985) = Pr Z! 1, ,05 10 = Pr(Z 3, 0) = Pr(Z 3, 0) = 0, 5 tab(3, 0) = 0, 5 0, = 0, A probabilidade de se obter esse valor as codições dadas pelo gerete é muito pequea, o que pode os fazer suspeitar da veracidade das afirmativas. É provável que,ouamédiaãoseja2(e,sim,meorque2),ouodesviopadrãoãoseja0,05 (e, sim, maior que 0,05). Esboce gráficos da ormal para compreeder melhor esse cometário!

48 Capítulo 3 Distribuição Amostral da Proporção Neste capítulo você verá uma importate aplicação do Teorema Limite Cetral: iremos estudar a distribuição amostral de proporções. Assim, você verá os resultados referetes à aproximação da distribuição biomial pela distribuição ormal, que os permitirá fazer iferêcia sobre proporções. Você verá os seguites resultados: aproximaçãodabiomialpelaormal correção de cotiuidade distribuição amostral da proporção amostral 3.1 Aproximação ormal da distribuição biomial No capítulo aterior, vimos o Teorema Limite Cetral, que trata da distribuição da média amostral X quado. Esse teorema os diz que, se X é uma população com média μ e variâcia σ 2, etão a distribuição amostral da média de uma amostra aleatória simples de tamaho se aproxima de uma distribuição ormal com média μ evariâcia σ2 quado. Usado as propriedades da média e da variâcia, podemos estabelecer esse teorema P em termos de S = X i, em vez de X. Como S = X, etão E(S )=E(X) e i=1 Var(S )= 2 Var(X) e isso os dá o seguite resultado. Teorema 3.1 Teorema Cetral do Limite Seja X 1,X 2,...,X uma amostra aleatória simples de uma população X tal que P E(X) = μ e Var(X) = σ 2. Etão, a distribuição de S = coverge para a X i i=1 distribuição ormal com média μ evariâciaσ 2 quado. 43

49 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO 44 A variável aleatória biomial foi defiida como úmero de sucessos em repetições idepedetes de um experimeto de Beroulli com parâmetro p. Etão, uma variável biomial é a soma de variáveis idepedetes Ber(p). Pelo teorema acima e usado ofatodequesex Ber(p) etão E(X) =p e Var(X) =p(1 p), podemos dizer que a distribuição biomial com parâmetros e p se aproxima de uma ormal com média p evariâciap(1 p) quado. Algus cuidados devem ser tomados a aproximação da biomial pela ormal. Um fato importate a observar é que a distribuição biomial é discreta, equato a variável ormal é cotíua. Veja a Figura 3.1. Aí o histograma represeta uma v.a. X com distribuição biomial com =12e p =0, 5. OS retâgulos, cetrados os possíveis valores de X, têm base 1 e altura igual a Pr(X = k), de modo que a área de cada retâgulo é igual a Pr(X = k). A curva ormal aí represetada é de uma v.a. Y com média μ =12 0, 5=6evariâciaσ 2 =12 0, 5 0, 5=3. 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0, Figura 3.1: Aproximação ormal da distribuição biomial Supoha que queiramos calcular Pr(X 8). Isso equivale a somar as áreas dos 4 últimos retâgulos superiores. Pela aproximação ormal, o etato, temos que calcular a área (probabilidade) acima do poto 7,5, de modo a icluir os 4 retâgulos. Assim, Y 6 Pr(X 8) Pr(Y 7, 5) = Pr 7, = Pr(Z 0, 87) = 0, 5 tab(0, 87) = 0, 5 0, = 0, O valor exato, calculado pela distribuição biomial, é Pr(X 8) = 0, 1938.

50 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO 45 Vamos, agora, calcular Pr(X >10). Isso equivale à área dos 2 retâgulos superiores, cetrados em 11 e 12 (este último ão é visível, pois Pr(X =12)=0, ); logo, pela distribuição ormal temos que calcular Pr(Y 10, 5) : Y 6 Pr(X >10) Pr(Y 10, 5) = Pr = Pr(Z 2, 31) = 0, 5 tab(2, 31) = 0, 5 0, = 0, Se queremos Pr(X <5), isso equivale às áreas dos 4 retâgulos iferiores e, portato Y 6 Pr(X <5) Pr(Y 4, 5) = Pr = Pr(Z 0, 58) = Pr(Z 0, 58) = 0, 5 tab(0, 58) = 0, 5 0, = 0, Se queremos Pr(4 X<8), temosaseguiteaproximação: Pr(4 X<8) Pr(3, 5 Y 7, 5) 3, 5 6 = Pr Z 7, = Pr( 1, 44 Z 0, 87) = Pr( 1, 44 Z 0) + Pr(0 Z 0, 87) = Pr(0 Z 1, 44) + Pr(0 Z 0, 87) = tab(1, 44) + tab(0, 87) = 0, , = 0, É iteressate observar que para uma variável biomial faz setido calcular Pr(X = k); o caso da ormal, essa probabilidade é ula, qualquer que seja k. Para usar a aproximação ormal para calcular, por exemplo, Pr(X =5), devemos otar que essa probabilidade equivale à área do retãgulo cetrado em 5 e, em termos da curva ormal,

51 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO 46 temos que calcular a área compreedida etre 4,5 e 5,5: Pr(X = 5) Pr(4, 5 Y 5, 5) 4, 5 6 = Pr Z 5, = Pr( 0, 87 Z 0, 29) = Pr(0, 29 Z 0, 87) = tab(0, 87) tab(0, 29) = 0, , = 0, e o valor exato é 0, Esses procedimetos são chamados de correção de cotiuidade e a Figura 3.2 ilustra-se o procedimeto geral; lembre-se que o cetro de cada retâgulo é o valor da variável biomial. A aproximação dada pelo teorema limite cetral é melhor para valores grades de. Existe a seguite regra empírica para os ajudar a decidir o que é grade : A distribuição biomial com parâmetros e p pode ser aproximada por uma distribuição ormal com média μ = p evariâciaσ 2 = p(1 p) se são satisfeitas as seguites codições: 1. p 5 2. (1 p) Lista de Exercícios 1 Em cada um dos exercícios abaixo, verifique que as codições para aproximação da biomial pela ormal são satisfeitas e calcule a probabilidade pedida usado a aproximação ormal. 1. X bi(18; 0, 4); Pr(X 15) e Pr(X <2) 2. X bi(40; 0, 3); Pr(X <10) e Pr(25 <X<28) 3. X bi(65; 0, 9); Pr(X =58)e Pr(60 <X 63) 4. X bi(100; 0, 2); Pr(25 X 35) 5. X bi(50; 0, 2); Pr(X >26) e Pr(5 X<10)

52 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO 47 Figura 3.2: Correção de cotiuidade para a aproximação ormal da biomial (a) Pr(X = k) (b) Pr(X k) (c) Pr(X <k) (d) Pr(X k) (e) Pr(X >k)

53 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO A distribuição amostral da proporção Cosidere uma população em que cada elemeto é classificado de acordo com a preseça ou ausêcia de determiada característica. Por exemplo, podemos pesar em eleitores escolhedo etre 2 cadidatos, pessoas classificadas de acordo com o sexo, trabalhadores classificados como trabalhador com carteira assiada ou ão, e assim por diate. Em termos de variável aleatória, essa população é represetada por uma v.a. de Beroulli, isto é: ½ 1 se elemeto possui a característica de iteresse X = 0 se elemeto ão possui a caracaterística de iteresse Vamos deotar por p a proporção de elemetos da população que possuem a característica de iteresse. Etão, Pr(X =1)=p, E(X) =p e Var(X) =p(1 p). Em geral, esse parâmetro é descohecido e precisamos estimá-lo a partir de uma amostra. Supoha, etão, que dessa população seja extraída uma amostra aleatória simples X 1,X 2,...,X com reposição. Essas extrações correspodem a variáveis aleatórias P de Beroulli idepedetes e, como visto, S = X i tem distribuição biomial com i=1 parâmetros e p. Note que S dá o úmero total de sucessos as repetições, ode sucesso, este caso, represeta a preseça da característica de iteresse. Os valores possíveis de S são 0, 1, 2,...,. Com relação à proporção bp de elemetos a amostra que possuem a característica de iteresse, temos que bp = S = X 1 + X X (3.1) eosvalorespossíveisde bp são 0, 1, 2 1,...,, 1 com Pr bp = k =Pr(S = k) (3.2) Aalisado a expressão (3.1), podemos ver que bp ada mais é que a média amostral de X i Ber(p),i=1,...,.Logo, o Teorema 2.1 se aplica com E(X) =p e Var(X) = p(1 p),ou seja: E( P b ) = p Var( bp ) = p(1 p) Vemos, etão, que a proporção amostral é um estimador ão-viesado da proporção populacioal p. A distribuição exata é dada pela expressão (3.2). Como a proporção amostral é uma média de uma amostra aleatória simples de uma população com distribuição de Beroulli com parâmetro p, o Teorema Limite Cetral os diz, etão, que a distribuição da proporção amostral se aproxima de uma oral com média p evariâcia p(1 p). Como essa aproximação é uma coseqüêcia direta da aproximação ormal da biomial, as mesmas regras cotiuam valedo: a aproximação deve ser feita se p 5 e (1 p) 5.

54 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO 49 Exemplo 3.1 De um lote de produtos maufaturados, extrai-se uma amostra aleatória simples de 100 ites. Se 10% dos ites do lote são defeituosos, calcule a probabilidade de serem sorteados o máximo 12 ites defeituosos. Solução As codições para utilização da aproximação ormal são válidas: com =100e p =0, 1 temos que 100 0, 1 = 10 > , 9 = 9 > 5 Seja X = úmero de ites defeituosos a amostra. Etão, X bi(100; 0, 1) e X N(10; 9). Queremos calcular Pr(X 12). Usado a correção de cotiuidade e deotado por Y uma v.a. N(10; 9), temos que O valor exato é Pr(X 12) = 0, 802. Pr(X 12) Pr(Y 12, 5) 12, 5 10 = Pr Z 9 = Pr(Z 0, 83) = 0, 5+tab(0, 83) = 0, Lista de Exercícios 2 A cofiabilidade de um compoete é a probabilidade de que ele fucioe sob as codições desejadas. Uma amostra aleatória simples de 1000 desses compoetes é extraída e cada compoete testado. Calcule a probabilidade de obtermos pelo meos 30 ites defeituosos supodo que a cofiabilidade do item seja 1. 0, , ResumodoCapítulo Neste capítulo estudamos dois resultados básicos sobre a distribuição biomial; o primeiro evolve a aproximação ormal e o segudo, a distribuição amostral de proporções amostrais. Ao fial, você deve compreeder os seguites resultados. Se X bi(; p), etão probabilidades desta variável podem ser aproximadas pelas probabilidades da distribuição N [p; p(1 p)], desde que sejam satisfeitas as seguites codições: p 5 (1 p) 5

55 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO 50 Na aproximação da biomial pela ormal, deve ser usada a correção de cotiuidade, coforme resumido a tabela a seguir, ode X bi(; p) e Y N [p; p(1 p)] (veja também a Figura 3.2): Biomial Aproximação Normal Pr(X = k) Pr(k 0, 5 Y k +0, 5) Pr(X k) Pr(Y k +0, 5) Pr(X <k) Pr(Y <k+0, 5) Pr(X k) Pr(Y k 0, 5) Pr(X >k) Pr(Y k +0, 5) Seja uma população descrita pela variável aleatória X Ber(p). Etão, Pr(X = 1) = p, Pr(X =0)=1 p, E(X) =p e Var(X) =p(1 p). Seja X 1,X 2,...,X uma aas desta população. Defiido a proporção amostral resulta que bp = X 1 + X X bp N p; p(1 p) e essa aproximação pode ser usada se p 5 e (1 p) Exercícios 1. Use a aproximação ormal para calcular as probabilidades pedidas, tedo o cuidado de verificar que as codições para essa aproximação são realmete satisfeitas. (a) Pr(X 25) se X bi(50; 0, 7) (b) Pr(42 <X 56) se X bi(100; 0, 5) (c) Pr(X >60) se X bi(100; 0, 5) (d) Pr(X =5)se X bi(20; 0, 4) (e) Pr(X 12) se X bi(30; 0, 3) (f) Pr(9 <X<11) se X bi(80; 0, 1) (g) Pr(12 X 16) se X bi(30; 0, 2) (h) Pr(X >18) se X bi(50; 0, 3) (i) Pr(X =6)se X bi(28; 0, 2) (j) Pr(30 X<48) se X bi(95; 0, 4) 2. Em uma sodagem, pergutou-se a 1002 membros de determiado sidicato se eles haviam votado a última eleição para a direção do sidicato e 701 respoderam afirmativamete. Os registros oficiais obtidos depois da eleição mostram que 61%

56 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO 51 dos membros aptos a votar de fato votaram. Calcule a probabilidade de que, detre 1002 membros selecioados aleaoriamete, o míimo 701 teham votado, cosiderado que a verdadeira taxa de votates seja de 61%. O que o resultado sugere? 3. Supodo que meios e meias sejam igualmete prováveis, qual é a probabilidade de ascerem 36 meias em 64 partos? Em geral, um resultado é cosiderado ão-usual se a sua probabilidade de ocorrêcia é pequea, digamos, meor que 0,05. É ão-usual ascerem 36 meias em 64 partos? 4. Com base em dados históricos, uma compahia aérea estima em 15% a taxa de desistêcia etre seus clietes, isto é, 15% dos passageiros com reserva ão aparecem a hora do vôo. Para otimizar a ocupação de suas aeroaves, essa compahia decide aceitar 400 reservas para os vôos em aeroaves que comportam apeas 350 passageiros. Calcule a probabilidade de que essa compahia ão teha assetos suficietes em um desses vôos. Essa probabilidade é alta o suficiete para a compahia rever sua política de reserva? 5. No cotrole de qualidade de produtos, uma técica comumete utilizada é a amostragem de aceitação. Segudo essa técica, um lote iteiro é rejeitado se cotiver mais do que um úmero determiado de ites defeituosos. A compahiaxcompraparafusosdeumafábricaemlotesde5000erejeitaoloteseuma amostra aleatória simples de 20 parafusos cotiver pelo meos 2 defeituosos. Se o processo de fabricação tem uma taxa de 10% de defeituosos, qual é a probabilidade de um lote ser rejeitado pela compahia X? 3.5 SoluçãodasListasdeExercícios Lista de Exercícios , 4=7, 2 > , 6=10, 8 > 5 X N (7, 2; 4, 32) Pr(X 15) Pr 14, 5 7, 2 Z 4, 32 = Pr(Z 3, 51) = 0, 5 0, = 0, , 5 7, 2 Pr(X < 2) Pr Z 4, 32 = Pr(Z 2, 74) = Pr(Z 2, 74) = 0, 5 0, = 0, 00307

57 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO , 3=12> , 7=28> 5 X N(12; 8. 4) 9, 5 12 Pr(X < 10) = Pr Z 8, , 9=58, 5 > , 1=6, 5 > 5 X N(58, 5; 5, 85) = Pr(Z 0, 86) = Pr(Z 0, 86) = 0, 5 0, = 0, Pr(25 < 25, , 5 12 X < 28) = Pr Z 8, 4 8, 4 Pr(X = 58) = Pr = Pr(4, 66 Z 5, 35) 0 57, 5 58, 5 58, 5 58, 5 Z 5, 85 5, 85 = Pr( 0, 41 Z 0) = Pr(0 Z 0, 41) = 0, Pr(60 < 60, 5 58, 5 63, 5 58, 5 X 63) = Pr Z 5, 85 5, 85 = Pr(0, 83 Z 2, 07) = 0, , = 0, , 2=20, 0 > , 8=80, 0 > 5 X N(20; 16) Pr(25 24, , 5 20 X 35) = Pr Z 4 4 = Pr(1, 13 Z 3, 88) = 0, , = 0, , 2=10, 0 > , 8=40, 0 > 5 X N(10; 8) Pr(X >26) = Pr 26, 5 10 Z =Pr(Z 5, 83) 0 8 4, , 5 10 Pr(5 X<10) = Pr Z 8 8 = Pr( 1, 94 Z 0, 18) = Pr(0, 18 Z 1, 94) = 0, , = 0, 40239

58 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO 53 Lista de Exercícios 2 1. Se a cofiabilidade é 0,995, etão a probabilidade de um item ser defeituoso é 0,005. Seja X = úmero de defeituosos a amostra. Etão, X N(1000 0, 005; ) ou seja, X N(5; 4, 975). Note que , 005 = 5 e , 995 = 995, de modo que podemos usar a aproximação ormal. Pr(X 30) Pr Z 29, 5 5 =Pr(Z 10, 98) 0 4, , 85 = 850 e , 15 = 150. X N(150; 127, 5) 29, Pr(X 30) Pr Z =Pr(Z 10, 67) 1, 0 127, Solução dos Exercícios 1.. (a) p =35 (1 p) =15 X N(35; 10, 5) 25, 5 35 Pr(X 25) = Pr Z 10, 5 = Pr(Z 2, 93) = 0, 5 0, = 0, (b) p =50 (1 p) =50 X N(50; 25) Pr(42 < 42, , 5 50 X 56) = Pr Z 5 5 = Pr( 1, 5 Z 1, 3) = 0, , = 0, (c) p =50 (1 p) =50 X N(50; 25) Pr(X > 60, ) = Pr Z 5 = Pr(Z 2, 1) = 0, 5 0, = 0, (d) p =8 (1 p) =12 X N(8; 4, 8) 4, 5 8 Pr(X = 5) = Pr Z 5, 5 8 4, 8 4, 8 = Pr( 1, 60 Z 1, 14) = Pr(1, 14 Z 1, 60) = 0, , = 0,

59 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO 54 (e) p =9 (1 p) =21 X N(9; 6, 3) Pr(X 12) = Pr Z 11, 5 9 =Pr(Z 1) 6, 3 = 0, 5 0, = 0, (f) p =8 (1 p) =72 X N(8; 7, 2) 9, 5 8 Pr(9 < X < 11) = Pr Z 10, 5 8 7, 2 7, 2 = Pr(0, 56 Z 0, 93) = 0, , = 0, (g) p =6 (1 p) =24 X N(8; 4, 8) 11, 5 8 Pr(12 X 16) = Pr Z 16, 5 8 4, 8 4, 8 = Pr(1, 60 Z 3, 88) = 0, , = 0, (h) p =15 (1 p) =35 X N(15; 10, 5) 18, 5 15 Pr(X > 18) = Pr Z = 10, 5 Pr(Z 1, 08) = 0, 5 0, = 0, (i) p =5, 6 (1 p) =22, 4 X N(5, 6; 4, 48) 5, 5 5, 6 6, 5 5, 6 Pr(X = 6) = Pr Z 4, 48 4, 48 = Pr( 0, 05 Z 0, 43) = 0, , = 0, (j) p =38 (1 p) =57 X N(38; 22, 8) 29, , 5 38 Pr(30 X<48) = Pr Z 22, 8 22, 8 = Pr( 1, 78 Z 1, 99) = 0, , = 0, X = úmero de pessoas que votaram. Etão X bi(1002; 0, 61) e X N(611, 22; 238, 3758) Ã! Pr(X 701) Pr Z p =Pr(Z 5.78) = ) Se a proporção de votates é de 61%, a probabilidade de ecotrarmos 701 ou mais votates em uma aas de 1002 é muito baixa. Talvez as pessoas etrevistadas ão estejam sedo siceras, com vergoha de dizer que ão votaram...

60 CAPÍTULO 3. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO X = úmero de meias em 64 partos ; X bi(64; 0, 5) e X N(32; 16) Pr(X > ) Pr Z 4 = Pr(Z 1.13) = = Esse é um resultado que pode ocorrer por mero acaso, ou seja, ão é um resultado ão-usual. 4. X = úmero de passageiros que se apresetam para o vôo em questão. X bi(400; 0, 85) e X N(340; 51). 350, Pr(X > 350) = Pr Z 51 = Pr(Z 1, 47) = 0, 5 0, = 0, Essa é uma probabilidade um pouco alta; talvez valha a pea a compahia rever a política de reservas e aceitar meos que 400 reservas. 5. X = úmero de defeituosos a amostra ; X bi(20; 0.1). Note que aqui ão podemos usar a aproximação ormal. uma vez que =2< 5. Queremos Pr(X 2) = 1 Pr(X <2) = 1 [Pr(X =0)+Pr(X =1)] = 1 (0, 1) 0 (0, 9) 20 (0, 1)(0, 9) 19 = 0 1 = 1 0, = 0, 60825

61 Capítulo 4 Itervalos de Cofiaça Neste capítulo você aprederá um método muito importate de estimação de parâmetros. Vimos ateriormete que a média amostral X é um bom estimador da média populacioal μ. Mas vimos, também, que existe uma variabilidade os valores de X, ou seja, cada amostra dá origem a um valor diferete do estimador. Uma maeira de iformar sobre esta variabilidade é através da estimação por itervalos. Sedo assim, este capítulo você aprederá os seguites coceitos e métodos: itervalo de cofiaça margem de erro ível de cofiaça ível de seigificâcia itervalo de cofiaça para a média de uma população N (μ; σ 2 ) com variâcia cohecida 4.1 Idéias básicas O objetivo cetral da Iferêcia Estatística é obter iformações para uma população a partir do cohecimeto de uma úica amostra. Em geral, a população é represetada por uma variável aleatória X, com fução de distribuição ou desidade de probabilidade f X. Dessa população, etão, extrai-se uma amostra aleatória simples com reposição, que dá origem a um cojuto X 1,X 2,...,X de variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas, todas com a mesma distribuição f X. Se f X depede de um ou mais parâmetros, temos que usar a iformação obtida a partir da amostra para estimar esses parâmetros, de forma a cohecermos a distribuição. Vimos, por exemplo, que a média amostral X é um bom estimador da média populacioal μ, o setido de que ela tede a acertar o alvo da verdadeira média populacioal, isto é, a média amostral é um estimador ão-viesado da média populacioal. Mas vimos, também, que existe uma variabilidade os valores de X, ou seja, cada amostra dá origem a um valor 56

62 CAPÍTULO 4. INTERVALOS DE CONFIANÇA 57 diferete do estimador. Para algumas amostras, X será maior que μ, para outras será meor e para outras será igual. Na prática, temos apeas uma amostra e, assim, é importate que se dê alguma iformação sobre essa possível variabilidade do estimador. Ou seja, é importate iformar o valor do estimador b θ obtido com uma amostra específica, mas é importate iformar também que o verdadeiro valor do parâmetro θ poderia estar um determiado itervalo, digamos, o itervalo [ b θ, b θ + ]. Dessa forma, estamos iformado a ossa margem de erro o processo de estimação; essa margem de erro é coseqüêcia do processo de seleção aleatória da amostra. O que vamos estudar agora é como obter esse itervalo, de modo a acertar a maioria das vezes, isto é, queremos um procedimeto que garata que, a maioria das vezes (ou das amostras possíveis), o itervalo obtido coterá o verdadeiro valor do parâmetro. A expressão a maioria das vezes será traduzida como probabilidade alta. Dessa forma, estaremos lidado com afirmativas do seguite tipo: Com probabilidade alta (em geral, idicada por 1 α), oitervalo[ b θ erro; b θ+ erro] coterá o verdadeiro valor do parâmetro θ. A iterpretação correta de tal afirmativa é a seguite: se 1 α =0, 95, por exemplo, etão isso sigifica que o procedimeto de costrução do itervalo é tal que, em 95% das possíveis amostras, o itervalo [ b θ erro; b θ+ erro] obtido coterá o verdadeiro valor do parâmetro. Note que cada amostra resulta em um itervalo diferete; mas, em 95% das amostras, o itervalo cotém o verdadeiro valor do parâmetro. Veja a Figura 4.1. Aí dois dos itervalos ão cotêm o parâmetro θ. Ovalor1 α é chamado ível de cofiaça, equatoovalorα écohecidocomo ível de sigificâcia. O itervalo [ b θ erro; b θ+ erro] é chamado de itervalo de cofiaça de ível de cofiaça 1 α. Tedoclaraaiterpretaçãodoitervalodecofiaça, podemos resumir a frase acima da seguite forma: ³ h i Pr θ bθ ; b θ + =1 α (4.1) Mais uma vez, a probabilidade se refere à probabilidade detre as diversas possíveis amostras, ou seja, a probabilidade está associada à distribuição amostral de b θ. Note que os limites do itervalo depedem de b θ, que depede da amostra sorteada, ou seja, os limites do itervalo de cofiaça são variáveis aleatórias. Cada amostra dá origem a um itervalo diferete, mas o procedimeto de obteção dos itervalos garate probabilidade 1 α de acerto.

63 CAPÍTULO 4. INTERVALOS DE CONFIANÇA 58 θ Figura 4.1: Iterpretação dos Itervalos de Cofiaça

64 CAPÍTULO 4. INTERVALOS DE CONFIANÇA Itervalo de cofiaça: média da N(μ; σ 2 ),σ 2 cohecida Vamos agora itroduzir os métodos para obteção do itervalo de cofiaça para a média de uma população. Como visto, a média populacioal é um parâmetro importate que pode ser muito bem estimado pela média amostral X. Para apresetar as idéias básicas, vamos cosiderar um cotexto que é pouco freqüete a prática. O motivo para isso é que, em termos didáticos, a apresetação é bastate simples. Como o fudameto é o mesmo para cotextos mais gerais, essa abordagem se justifica. Cosideremos uma população descrita por uma variável aleatória ormal com média μ evariâciaσ 2 : X N(μ; σ 2 ). Vamos supor que o valor de σ 2 seja cohecido e que osso iteresse seja estimar a média μ a partir de uma amostra aleatória simples X 1,X 2,...,X. Como visto ateriormete, a distribuição amostral de X éormalcom média μ e variâcia σ2, ou seja X N μ; σ 2 = X N μ; σ2 Da defiição de distribuição amostral, isso sigifica queosdiferetes valores dex obtidos a partir das diferetes possíveis amostras se distribuem ormalmete em toro de μ com variâcia σ2. Das propriedades da distribuição ormal, resulta que Z = X q μ σ 2 N(0; 1) ou equivaletemete, Z = X μ σ N(0; 1) (4.2) Notação Vamos estabelecer a seguite otação: vamos idicar por z α aabscissadacurvaormal padrão que deixa probabilidade (área) igual a α acima dela. Veja a Figura 4.2. Temos, etão, que Pr(Z >z α )=α. Essaabscissaz α é ormalmete chamada de valor crítico. Cosideremos, agora, o valor crítico z α/2 ;veja a Figura 4.3. Daí podemos ver que, se Z N(0; 1), etão Pr z α/2 Z z α/2 =1 α (4.3) Note que isso vale para a distribuição ormal padrão, em geral. Etão, usado os resultados (4.2) e (4.3), obtemos que Pr z α/2 X μ z α/2 =1 α σ

65 CAPÍTULO 4. INTERVALOS DE CONFIANÇA 60 Figura 4.2: Ilustração do valor crítico z α Figura 4.3: Defiição do valor crítico z α/2

66 CAPÍTULO 4. INTERVALOS DE CONFIANÇA 61 Masissoéequivaletea σ σ Pr z α/2 X μ z α/2 σ σ Pr X z α/2 μ X + z α/2 σ σ Pr X z α/2 μ X + z α/2 = 1 α = 1 α = 1 α (4.4) Note a última expressão; ela os diz que σ σ Pr μ X z α/2 ; X + z α/2 =1 α Mas essa é exatamete a forma geral de um itervalo de cofiaça, coforme explicitado a equação (4.1). Temos, etão, a seguite coclusão: Defiição 4.1 Itervalo de cofiaça para a média de uma população ormal com variâcia cohecida Seja X N(μ; σ 2 ) uma população ormal com variâcia σ 2 cohecida. Se X 1,X 2,...,X é uma amostra aleatória simples dessa população, etão o itervalo de cofiaça de ível de cofiaça 1 α para a média populacioal μ é dado por X z α/2 σ ; X + z α/2 σ Iterpretação do itervalo de cofiaça para μ σ O itervalo de cofiaça para μ pode ser escrito a forma [X ; X + ] ode = z α/2 é a margem de erro. Como visto, essa margem de erro está associada ao fato de que diferetes amostras forecem diferetes valores de X cuja média é igual a μ. As diferetes amostras forecem diferetes itervalos de cofiaça, mas uma proporção de 100 (1 α)% desses itervalos irá coter o verdadeiro valor de μ. Note que aqui é fudametal a iterpretação de probabilidade como freqüêcia relativa: estamos cosiderado os diferetes itervalos que seriam obtidos, caso sorteássemos todas as possíveis amostras. Assim, o ível de cofiaça está associado à cofiabilidade do processo de obteção do itervalo: esse processo é tal que acertamos (isto é, o itervalo cotém μ) em 100 (1 α)% das vezes. Na prática, temos apeas uma amostra e o itervalo obtido com essa amostra específica,oucotémouãocotémoverdadeirovalordeμ. Aafirmativa σ σ Pr μ X z α/2 ; X + z α/2 =1 α é válida porque ela evolve a variável aleatória X, que tem diferetes valores para as diferetes amostras. Quado substituímos o estimador X por uma estimativa específica

67 CAPÍTULO 4. INTERVALOS DE CONFIANÇA 62 x obtida a partir de uma amostra particular, temos apeas um itervalo e ão faz mais setido falar em probabilidade. Para ajudar a iterpretação do itervalo de cofiaça, supoha que, com uma amostra de tamaho 25, teha sido obtido o seguite itervalo de cofiaça com ível de cofiaça de 0,95: 5 1, 96 2 ;5+1, 96 2 =[4, 216; 5, 784] Esse itervalo específico cotém ou ão cotém o verdadeiro valor de μ. O que estamos dizedo é que, se repetíssemos o mesmo procedimeto de sorteio de uma amostra aleatória simples da população e coseqüete costrução do itervalo de cofiaça, 95% dos itervalos costruídos coteriam o verdadeiro valor de μ. Sedo assim, é errado dizer que há uma probabilidade de 0,95 de o itervalo específico [4, 216; 5, 784] coter o verdadeiro valor de μ. Mas é certo dizer que com probabilidade 0,95 o itervalo X 1, 96 2 ; X +1, cotém μ. Note a variável aleatória X o limite do itervalo. Exemplo 4.1 Em determiada população, o peso dos homes adultos é distribuído ormalmete com um desvio padrão de 16 kg. Uma amostra aleatória simples de 36 homes adultos é sorteada desta população, obtedo-se um peso médio de 78,2 kg. Costrua um itervalo de cofiaça de ível de cofiaça 0,95 para o peso médio de todos os homes adultos dessa população. Solução Vamos icialmete determiar o valor crítico associado ao ível de cofiaça de 0,95. Como 1 α =0, 95, resulta que α =0, 05 e α/2 =0, 025. Aalisado a Figura 4.3, vemos que as duas caudas da distribuição ormal padrão temos que ter 5% da área (α = 0, 05); logo, em cada cauda temos que ter 2,5% (α/2 =0, 025) da área total. Em termos da ossa tabela da distribuição ormal padrão (apresetada ovamete ao fial da apostila como Tabela 1), isso sigifica que etre 0 e z 0,025 temos que ter (50 2, 5)% = 47, 5% e, assim, temos que procurar o corpo da tabela o valor de 0,475 para determiar a abscissa z 0,025. Veja a Figura 4.4. Procurado o corpo da tabela da distribuição ormal padrão, vemos que o valor 0,475 correspode à abscissa z 0,025 =1, 96. Logo, osso itervalo de cofiaça é 78, 2 1, ;78, 2+1, =[72, 9733 ; 83, 4267] Esse itervalo cotém ou ão o verdadeiro valor de μ, mas o procedimeto utilizado para sua obteção os garate que há 95% de chace de estarmos certos.

68 CAPÍTULO 4. INTERVALOS DE CONFIANÇA 63 Figura 4.4: Valor crítico associado ao ível de cofiaça 1 α =0, Lista de Exercícios 1 1. Ecotre os valores críticos da ormal padrão correspodetes aos seguites íveis de cofiaça 1 α =0, 90; 0, 99; 0, Ecotre o ível de cofiaça correspodete aos seguites valores críticos z α/2 = 1, 28; 1, De uma população ormal com desvio padrão 2, extrai-se uma aas de tamaho 36, que forece o seguite resultado: 36P i=1 x i =1236. Calcule o itervalo de cofiaça para a média populacioal μ, utilizado o ível de sigificâcia α =2%. 4.3 Margem de erro Vamos, agora, aalisar a margem de erro do itervalo de cofiaça para a média de uma população ormal com variâcia cohecida. Ela é dada por = z α/2 σ (4.5) Lembradoqueoerropadrãoéodesviopadrãodoestimador,podemosescrever = z α/2 EP(X) (4.6) Aalisado a equação (4.5), podemos ver que ela depede diretamete do valor crítico e do desvio padrão populacioal e é iversamete proporcioal ao tamaho da amostra. Na Figura 4.5 ilustra-se a relação de depedêcia da margem de erro em relação ao desvio padrão populacioal σ. Temos aí duas distribuições amostrais cetradas a mesma média e baseadas em amostras de mesmo tamaho. Nas duas distribuições a área total das caudas sombreadas é α, de modo que o itervalo limitado pelas lihas verticais é o itervalo de cofiaça de ível de cofiaça 1 α. Para a distribuição mais dispersa, isto é, com σ maior, o comprimeto do itervalo é maior. Esse resultado deve

69 CAPÍTULO 4. INTERVALOS DE CONFIANÇA 64 Figura 4.5: Margem de erro versus sigma: σ 1 <σ 2 1 < 2 ser ituitivo: se há mais variabilidade a população, a ossa margem de erro tem que ser maior, matidas fixas as outras codições (tamaho de amostra e ível de cofiaça). Por outro lado, se mativermos fixos o tamaho da amostra e o desvio padrão populacioal, é razoável também esperar que a margem de erro seja maior para um ível de cofiaça maior. Ou seja, se queremos aumetar a probabilidade de acerto, é razoável que o itervalo seja maior. Aumetar a probabilidade de acerto sigifica aumetar oíveldecofiaça, o que acarreta em um valor crítico z α/2 maior. Veja a Figura 4.6, ode ilustra-se o itervalo de cofiaça para dois íveis de cofiaça diferetes: 1 α 2 > 1 α 1. O primeiro itervalo é maior, refletido o maior grau de cofiaça. Figura 4.6: Margem de erro versus ível de cofiaça: 1 α 2 > 1 α 1 2 > 1 Fialmete, matidos o mesmo desvio padrão populacioal e o mesmo ível de cofiaça, quato maior o tamaho da amostra, mais perto vamos ficadodapopulaçãoe, assim, vai dimiuido a ossa margem de erro. Exemplo 4.2 Deumapopulaçãoormalcomvariâcia25extrai-seumaamostraaleatória

70 CAPÍTULO 4. INTERVALOS DE CONFIANÇA 65 simples de tamaho com o objetivo de se estimar a média populacioal μ comumível de cofiaça de 90% e margem de erro de 2. Qual deve ser o tamaho da amostra? Solução Para um ível de cofiaça 0,90, o valor do ível de sigificâcia é α =0, 10. Etão, a cauda superior da distribuição ormal padrão temos que ter uma área (probabilidade) de 0,05 e, portato, para ecotrarmos o valor de z 0,05 temos que procurar o corpo da tabela o valor 0,45 (se ecessário, cosulte a Figura 4.4). Resulta que z 0,05 =1, 64. Temos, etão, todos os valores ecessários: 2=1, , 64 5 = =4, 1 =16, 71 2 Como o valor de tem que ser um iteiro, uma estimativa apropriada é =17(devemos arredodar para cima para garatir um ível de cofiaça o míimo igual ao desejado). Exemplo 4.3 Na divulgação dos resultados de uma pesquisa, publicou-se o seguite texto (dados fictícios): Com o objetivo de se estimar a média de uma população, estudou-se uma amostra de tamaho =45. De estudos ateriores, sabe-se que essa população é muito bem aproximada por uma distribuição ormal com desvio padrão 3, mas acredita-se que a média teha mudado desde esse último estudo. Com os dados amostrais obteve-se o itervalo de cofiaça [1, 79; 3, 01], com uma margem de erro de 0,61. Quais são as iformações importates que ão foram divulgadas? Como podemos obtê-las? Solução Quado se divulga um itervalo de cofiaça para um certo parâmetro, é costume publicar também a estimativa potual. Nesse caso, temos que iformar a média amostral, que pode ser achada observado que o itervalo de cofiaça é simétrico em torodamédia.logo,x éopotomédiodoitervalo: 1, , 01 x = =2, 4 2 Outra iformação importate é o ível de cofiaça, que é ecotrado a partir da abscissa z α/2 : 0, 61 = z α/2 3 z α/2 = 0, =1, Cosultadoatabeladadistribuiçãoormal,vemosquetab(1, 36) = 0, Veja a Figura 4.7: oíveldecofiaça é 2 0, = 0, , 83. Como dito o iício do capítulo, a situação abordada aqui é pouco realista. Na prática, em geral ão cohecemos o desvio padrão da população. Nos próximos capítulos iremos estudar o caso mais geral em que σ ão é cohecido.

71 CAPÍTULO 4. INTERVALOS DE CONFIANÇA 66 Figura 4.7: Cálculo do ível de cofiaça a partir de, σ, Lista de Exercícios 2 1. Cosidereosdoisitervalosdecofiaça a seguir, obtidos a partir de uma mesma amostra de uma população N(μ; 16). Sem fazer qualquer cálculo, idetifique para qual deles o ível de cofiaça é maior. [13, 04; 16, 96] [12, 42; 17, 58] 2. Obtido um itervalo de cofiaça para a média de uma N (μ; 25), oquedeveser feito para se reduzir a margem de erro pela metade se ão devemos alterar o ível de cofiaça? 4.4 ResumodoCapítulo Como existe uma variabilidade os valores de um estimador b θ ao logo das possíveis amostras, uma maeira de iformar sobre esta variabilidade é através hda estimação i por itervalos de cofiaça. Esses itervalos, em geral, têm a forma bθ ; b θ +, ode é margem de erro. A obteção de um itervalo de cofiaça é feita de modo que ³ h i Pr θ bθ ; b θ + =1 α Ovalor1 α éoíveldecofiaça, equato o valor α éoíveldesigificâcia. A probabilidade se refere à probabilidade detre as diversas possíveis amostras, ou seja, a probabilidade está associada à distribuição amostral de b θ. Cada amostra dá origem a um itervalo diferete, mas o procedimeto de obteção dos itervalos garate probabilidade 1 α de acerto, ou seja, iclusão do verdadeiro valor do parâmetro.

72 CAPÍTULO 4. INTERVALOS DE CONFIANÇA 67 A margem de erro do itervalo de cofiaça para a média de uma população ormal com variâcia cohecida é = z α/2 σ = z α/2 EP(X) ode z α/2 é o valor crítico da desidade ormal padrão que deixa probabilidade α/2 acima dele. 4.5 Exercícios 1. De uma população N(μ;9) extrai-se uma amostra aleatória simples de tamaho P 25, obtedo-se 25 x i =60. Desevolva detalhadamete o itervalo de cofiaça de i=1 ível de cofiaça 99%para a média da população. 2. Determie o tamaho da amostra ecessário para se estimar a média de uma população ormal com σ =4, 2 para que, com cofiaça de 95%, o erro máximo de estimação seja ±0, O peso X de um certo artigo é descrito aproximadamete por uma distribuição ormal com σ =0, 58. Uma amostra de tamaho =25resultou em x =2, 8. Desevolva detalhadamete o itervalo de cofiaça de ível de cofiaça 0, De uma população ormal com σ =5, retira-se uma amostra aleatória simples de tamaho 50, obtedo-se x =42. (a) Obteha o itervalo de cofiaça para a média com ível de sigificâcia de 5%. (b) Qual é o erro de estimação? (c) Paraqueoerroseja 1, com probabilidade de acerto de 95%, qual deverá ser o tamaho da amostra? 5. Os valores da veda mesal de determiado artigo têm distribuição aproximadamete ormal com desvio padrão de R$500,00. O gerete da loja afirma veder, em média, R$34.700,00. O doo da loja, queredo verificar a veracidade de tal afirmativa, selecioa uma amostra aleatória das vedas em determiado mês, obtedo os seguites valores: 33840, , , , , , , , , , 00 (a) Obteha o itervalo de cofiaça para a veda média mesal com ível de sigificâcia de 5%. (b) Obteha o itervalo de cofiaça para a veda média mesal com ível de sigificâcia de 1%.

73 CAPÍTULO 4. INTERVALOS DE CONFIANÇA 68 (c) Em qual dos dois íveis de sigificâcia podemos afirmar que o gerete se baseouparafazeraafirmativa? 6. Itervalo de cofiaça com limites assimétricos O tempo de execução de determiado teste de aptidão para igresso em um estágio é ormalmete distribuído com desvio padrão de 10 miutos. Uma amostra de 25 cadidatos apresetou um tempo médio de 55 miutos. Costrua um itervalo de cofiaça de limites L 1 e L 2 (L 1 <L 2 ) de modo que seja observada a seguite especificação: à descofiaça de que μ<l 1 atribuiremos um ível de sigificâcia de 5% e à descofiaça de que μ>l 2 atribuiremos o ível de sigificâcia de 10%. 4.6 SoluçãodasListasdeExercícios Lista de Exercícios α =0, 90 = z 0,05 =1, 64 1 α =0, 99 = z 0,005 =2, 58 1 α =0, 80 = z 0,10 =1, tab(1, 28) = α/2 =0, = α = = , 80 ou 80% tab(1, 80) = α/2 =0, = α = = , 93 ou 93% 3. α =2%= 1 α =98%= tab(z 0,01 )=0, 49 = z 0,01 =2, 33 = =0, 7767 Como a média amostral observada é x = =34.333, o itervalo de cofiaça é Lista de Exercícios 2 [ ; ] = [33, 556; 35, 110] 1. Como a amostra é a mesma, isso sigifica que a população é a mesma, bem como o tamaho de amostra, ou seja, σ e são os mesmos. Vimos que um ível de cofiaça maior resulta em um itervalo de cofiaça maior; logo, o segudo itervalo foi costruído com base em um ível de cofiaça maior do que o utilizado a costrução do primeiro. 2. Matidos fixos o ível de cofiaça e o desvio padrão populacioal, vimos que a margem de erro é iversamete proporcioal à raiz quadrada de. Assim, para reduzir pela metade a margem de erro, temos que dobrar, ou seja, temos que quadruplicar o tamaho amostral.

74 CAPÍTULO 4. INTERVALOS DE CONFIANÇA Solução dos Exercícios 1. É dado que X N(μ;9). Como =25, sabemos que X N μ; 9 25 Com 1 α =0, 99, temos que α =0, 01 e α/2 =0, 005. Assim, temos que procurar o corpo da tabela a abscissa correspodete ao valor 0, 5 0, 005 = 0, 495,o que os dá z 0,005 =2, 58. Etão Pr( 2, 58 Z 2, 58) = 0, 99 Pr 2, 58 X q μ 2, 58 =0, Ã r r! 9 9 Pr 2, 58 X μ 2, 58 =0, Pr( 1, 548 X μ 1, 548) = 0, 99 Pr(X 1, 548 μ X +1, 548) = 0, 99 Como a média amostral obtida é x = 60 =2, 4 oitervalodecofiaça de 99% de 25 cofiaça é [2, 4 1, 548 ; 2, 4+1, 548] = [0, 852 ; 3, 948] 2. Queremos 0, 05, com σ =4, 2 e 1 α =0, α =0, 95 z α/2 =1, 96 Etão 1, 96 4, 2 0, 05 1, 96 4, 2 = 164, 64 0, , 3296 Logo, o tamaho míimo ecessário é = É dado que X N(μ;0, 58 2 ). Como =25, sabemos que 0, 582 X N μ; 25 Com 1 α =0, 90, temos que α =0, 10 e α/2 =0, 05. Assim, temos que procurar o corpo da tabela a abscissa correspodete ao valor 0, 5 0, 05 = 0, 45,o que os

75 CAPÍTULO 4. INTERVALOS DE CONFIANÇA 70 dá z 0,05 =1, 64. Etão Pr( 1, 64 Z 1, 64) = 0, 90 Pr 1, 64 q X μ 1, 64 =0, 90 0,58 2 Pr 1, 64 0, X μ 1, 64 Pr( 0, X μ 0, 19024) = 0, 90 Pr(X 0, μ X +0, 19024) = 0, 90 0, 58 =0, 90 5 Como a média amostral obtida é x =2, 8 o itervalo de cofiaça de ível de cofiaça 99% é [2, 8 0, ; 2, 8+0, 19024] = [2, ; 2, 99024] 4. α =0, 05 1 α =0, 95 z 0,025 =1, 96 (a) A margem de erro é =1, =1, 3859 Logo, o itervalo de cofiaça de ível de cofiaça 0,95 é [42 1, ; , 3859] = [40, 6141 ; 43, 3859] (b) Como visto em (a) a margem de erro é =1, (c) Temos que reduzir a margem de erro; logo, o tamaho da amostra terá que ser maior que 50. = 1, , 96 5=9, 8 9, 8 2 =96, 04 Logo, deve ser o míimo igual a A média amostral é x = = (a) A margem de erro é =1, =309, 9 Logo, o itervalo de cofiaça de ível de cofiaça 95% é [ , 9 ; , 9] = [34002, 1 ; 34621, 9]

76 CAPÍTULO 4. INTERVALOS DE CONFIANÇA 71 (b) A margem de erro é =2, = 407, 93 Logo, o itervalo de cofiaça de ível de cofiaça 95% é [ , 93 ; , 93] = [33904, 07 ; 34719, 93] (c) O gerete deve estar usado o ível de sigificâcia de 1% (ou ível de cofiaça de 99%). 6. Veja a Figura 4.8. Figura4.8:SoluçãodoExercício6-Itervalo decofiaça assimétrico Temos que ter Pr(Z < z 1 )=0, 05 Pr(Z > z 1 )=0, 05 tab( z 1 ) = 0, 45 z 1 =1, 64 z 1 = 1, 64 Temos que ter Pr(Z >z 2 )=0, 10 tab(z 2 )=0, 40 z 2 =1, 28 Resulta, etão, que Pr( 1, 64 Z 1, 28) = 0, 85 Pr 1, 64 X μ 1, 28 =0, 85 σ Pr 1, 64 σ X μ 1, 28 σ =0, 85 Pr X 1, 64 σ μ X +1, 28 σ =0, 85 Pr X 1, 28 σ μ X +1, 64 σ =0, 85

77 CAPÍTULO 4. INTERVALOS DE CONFIANÇA 72 Com os dados obtidos, o itervalo de cofiaça assimétrico é 55 1, ;55+1, =[52, 44 ; 57,

78 Capítulo 5 Itervalos de Cofiaça: Proporções - Amostra Grade No capítulo aterior, foram apresetadas as idéias básicas da estimação por itervalos de cofiaça. Para ilustrar o pricípio utilizado a costrução de tais itervalos, cosideramos a situação especial de estimação da média de uma população ormal com variâcia cohecida. Neste caso, a distribuição amostral da média amostral é ormal e foi com base essa distribuição amostral ormal que obtivemos o itervalo de cofiaça. Neste capítulo usaremos o teorema limite cetral, que garate que a distribuição amostral da proporção amostral pode ser aproximada por uma distribuição ormal, desde que utilizemos amostras grades. 5.1 Estimação de uma proporção populacioal O cotexto de iteresse é o seguite: temos uma população em que cada elemeto é classificado de acordo com a preseça ou ausêcia de determiada característica. Em termos de variável aleatória, essa população é represetada por uma v.a. de Beroulli, isto é: ½ 1 se elemeto possui a característica de iteresse X = 0 se elemeto ão possui a caracaterística de iteresse Etão, Pr(X =1)=p, E(X) =p e Var(X) =p(1 p). Oparâmetrop étambém a proporção de elemetos da população que possuem a caracterísitca de iteresse. Em geral, esse parâmetro é descohecido e precisamos estimá-lo a partir de uma amostra. Supoha, etão, que dessa população seja extraída uma amostra aleatória simples X 1,X 2,...,X com reposição. Vimos que a proporção bp de elemetos a amostra que possuem a característica de iteresse, defiida por bp = S = X 1 + X X (5.1) 73

79 CAPÍTULO 5. INTERVALOS DE CONFIANÇA: PROPORÇÕES - AMOSTRA GRANDE74 é um estimador ão-viesado para p com variâcia p(1 p). Mais precisamete, E( bp ) = p Var( P b ) = p(1 p) Como a proporção amostral é uma média de uma amostra aleatória simples de uma população com distribuição de Beroulli com parâmetro p, o Teorema Limite Cetral os diz que a distribuição de bp se aproxima de uma oral com média p e variâcia p(1 p). Como visto, a aproximação deve ser feita se p 5 e (1 p) 5 e, em geral, essas codições são satisfeitas se 30. Note que, com =30,p 5 sempre que p 0, 1667; logo, essa idicação 30 em geral fucioa, desde que a característica de iteresse ão seja extremamete rarefeita a população (em estatística, usa-se o termo populações raras os casos em que p émuitopequeo). Casohajasuspeitasdequep seja muito pequeo, deve-se aumetar o tamaho da amostra. Resumido, temos o seguite resultado: bp N p; p(1 p) Usado as propriedades da distribuição ormal, temos que bp p q p(1 p) N(0; 1) ou equivaletemete bp p p N(0; 1) (5.2) p(1 p) Vamos ver, agora, como usar esse resultado para obter um itervalo de cofiaça para a verdadeira proporção populacioal p. 5.2 Itervalo de cofiaça para a proporção populacioal O procedimeto de costrução do itervalo de cofiaça para a proporção populacioal é totalmete aálogo ao do itervalo de cofiaça para a média de uma população ormal com variâcia cohecida, visto o capítulo aterior. Assim, iremos usar a mesma otação, a saber: vamos represetar por z α a abscissa da curva ormal padrão que deixa probabilidade (área) α acima dela. Como visto, temos o seguite resultado, ode Z N(0; 1) : Pr( z α/2 Z z α/2 )=1 α (5.3) Veja a Figura 5.1.

80 CAPÍTULO 5. INTERVALOS DE CONFIANÇA: PROPORÇÕES - AMOSTRA GRANDE75 Figura 5.1: Defiiçãodovalorcríticoz α/2 da N(0; 1) Como o resultado (5.3) vale para qualquer variável aleatória N(0; 1), podemos usar (5.2) para obter à Pr z α/2! bp p p z α/2 =1 α p(1 p) e, portato à r p(1 p) Pr z α/2 à r Pr P b p(1 p) z α/2 à r p(1 p) Pr bp z α/2 r! p(1 p) bp p z α/2! p b P + z α/2 r p(1 p) p bp + z α/2 r p(1 p)! = 1 α = = 1 α = = 1 α Como o caso da média, chegamos a uma expressão do seguite tipo: ³ Pr P b p bp + =1 α ode = z α/2 q p(1 p). Tato o caso da média de uma população ormal com variâcia cohecida, quato o caso da proporção, a margem de erro tem a forma = z α/2 EP( b θ) ode EP( b θ) represeta o erro padrão do estimador em questão. No caso da média, EP( b θ)=ep(x) = σ (5.4)

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