UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPTO. DE ESTATÍSTICA LISTA 4 PROBABILIDADE A (CE068) Prof. Benito Olivares Aguilera

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EATAS DEPTO. DE ESTATÍSTICA LISTA 4 PROBABILIDADE A (CE068) Prof. Beito Olivares Aguilera 2 o Sem./09 1. Das variáveis abaixo descritas, assiale quais são biomiais, e para estas dê os respectivos campos de defiição e fução de probabilidade. Quado julgar que a variável ão é biomial, apote as razões de sua coclusão. a) De uma ura com 10 bolas bracas e 20 pretas, vamos extrair, com reposição, cico bolas. é o úmero de bolas bracas as 5 extrações; b) Refaça o problema aterior, mas desta vez as extrações são sem reposição; c) De 5 uras com bolas pretas e bracas, vamos extrair de cada uma delas uma bola. Supoha que é o úmero de bolas bracas obtidas o fial; d) Vamos realizar uma pesquisa em 10 cidades brasileiras, escolhedo ao acaso um habitate de cada uma delas, e classificado-o em pró ou cotra um certo projeto federal. Supoha que é o úmero de idivíduos cotra o projeto o fial da pesquisa. e) Em uma idústria existem 100 máquias que fabricam determiada peça. Cada peça é classificada como sedo boa ou defeituosa. Escolhemos ao acaso um istate de tempo, e verificamos uma peça de cada uma das máquias. Supoha que seja o úmero de peças defeituosas. a) b) p 2. Se ~ b(,p), sabedo-se que E()=12 e σ 2 =3, determiar: c) P(<12) d) P( 14) e) E(Z) e Var(Z), ode Z=(-12)/ 3 f) P(Y 14/16), ode Y=/ g) P(Y 12/16), ode Y=/ 3. Um veteriário está estudado o ídice de atalidade em porcos sujeitos à isemiação artificial. Para tal, coletou iformações sobre a variável úmero

2 de filhotes ascidos vivos em cada uma das 100 isemiações realizadas com o mesmo reprodutor. A tabela a seguir apreseta os resultados: Número Freq Observada Foi sugerido que a variável : úmero de filhotes ascidos vivos pode ser ajustada por um modelo biomial com =10 e p=0.5. Discuta a validade dessa modelagem. Faça um diagrama de dispersão para os valores observados e esperados. 4. Numa cetral telefôica, o úmero de ligações chega segudo uma distribuição de Poisso, com média de 8 chamadas por miuto. Determiar qual a probabilidade de que um miuto se teha: a) 10 ou mais chamadas; b) Meos do que 9 chamadas; c) etre 7 (iclusive) e 9 (exclusive); 5. Em um certo tipo de fabricação de fita magética, ocorrem cortes a uma taxa de 1 por 2.00 pés. Qual a probabilidade de que um rolo com pés de fita magética teha: a) ehum corte? b) o máximo dois cortes? c) pelo meos dois cortes? 6. Supoha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquia seja defeituoso é de 0,2. Se 10 ites produzidos por esta máquia são selecioados ao acaso, qual é a probabilidade de que ão mais do que um defeituoso seja ecotrado? Use a biomial e a distribuição de Poisso, e compare os resultados. 7. O úmero de petroleiros que chegam a uma refiaria em cada dia ocorre segudo uma distribuição de Poisso, com λ=2. As atuais istalações podem ateder, o máximo, a 3 petroleiros por dia. Se mais de 3 aportarem um dia, o excesso é eviado a outro porto. a) Em um dia, qual a probabilidade de se eviar petroleiros para outro porto? b) De quato deverão ser aumetadas as istalações para permitir ateder a todos os avios que chegarem pelo meos em 95% dos dias?

3 c) Qual o úmero médio de petroleiros que chegam por dia? 8. Determiado tipo de parafuso é vedido em caixas com peças. É uma característica da fabricação produzir 10% defeituosos. Normalmete, cada caixa é vedida por 13,50 u.m. Um comprador faz a seguite proposta: de cada caixa, ele escolhe uma amostra de 20 peças; se a caixa tiver 0 defeituoso, ele paga 20,00 u.m.; 1 ou 2 defeituosos, ele paga 10,00 u.m.; 3 ou mais defeituosos, ele paga 8,00 u.m. Qual alterativa é a mais vatajosa para o fabricate? ( Justificar estatisticamete.). 9. Num teste tipo certo-errado, com 50 questões, qual é a probabilidade de que um aluo acerte 80% das questões, supodo que ele as respode ao acaso? 10. Repita o problema aterior, cosiderado cico alterativas para cada questão. 11. Em um experimeto biomial com 3 provas, a probabilidade de exatamete 2 sucessos é 12 vezes a probabilidade de 3 sucessos. Ecotre p. 12. Por egao 3 peças defeituosas foram misturadas com boas formado um lote com 12 peças o total. Escolhedo ao acaso 4 dessas peças, determie a probabilidade de ecotrar: a) Pelo meos 2 defeituosas. b) No máximo 1 defeituosa. c) No míimo 1 boa. 13. Sedo ~Geo (0.4), calcule: a) P(=3) b) P(2 <4) c) P(>1 2) d) P( 1). 14. A duração (em ceteas de horas) de uma lâmpada especial segue o modelo Geométrico com parâmetro p=0.7. Determie a probabilidade da lâmpada: a) Durar meos de 500 horas b) Durar mais de 200 horas e meos de 400 horas. c) Sabedo-se que vai durar mais 300 horas, durar mais de 800 horas. d) O item aterior é chamado falta de memória do modelo Geométrico. Prove que se ~Geo(p) e m>0, >0, etão. 15. A variável H segue o modelo Hipergeométrico com parâmetros =10, m=5 e r=4. Determie: a) P(H=2)

4 b) P(H 1) c) P(H>0). 16. A temperatura T de destilação do petróleo é crucial a determiação da qualidade fial do produto. Supoha que T seja cosiderada uma v.a.com distribuição uiforme o itervalo de 150 a 300. Supoha que o custo para produzir um galão de petróleo seja C 1 u.m.. Se o óleo é destilado a uma temperatura iferior a 200 o, o produto obtido é vedido a C 2 u.m.; se a temperatura for superior a 200 o, o produto é vedido a C 3 u.m.. a) Fazer o gráfico da fução desidade de probabilidade de T. b) Qual o lucro médio esperado por galão? 17. Se ~U(-1/2,1/2), calcule E(-1/2) Se ~N(10, 4) calcular: a) P ( 8 < < 10), (R:0.34) b) P ( 9 12), (R: 0.53) c) P ( > 10), (R: 0.5) d) P ( < 8 ou > 11). (R: 0.47) 19. Na distribuição ~N(100, 100), ecotre: a) P ( < 115), (R: 0.933) b) P ( 80), (R: 0.977) c) P ( ), (R: ) d) o valor de a, tal que P ( 100 a a) = 0,95. (R: 19.6) 20. As vedas de um determiado produto têm distribuição aproximadamete ormal, com média 500 e desvio padrão 50. Se a empresa decide fabricar 600 uidades o mês em estudo, qual é a probabilidade de que ão possa ateder a todos os pedidos desse mês, por estar com a produção esgotada? (R: 0.023) 21. As alturas de aluos de um colégio têm distribuição aproximadamete ormal, com média 170 cm e desvio padrão 5 cm. a) Qual o úmero esperado de aluos com altura superior a 1,65 cm?

5 b) Qual o itervalo simétrico em toro da média, que coterá 75% das alturas dos aluos? 22. As vedas de um determiado produto têm distribuição aproximadamete ormal, com média 500 e desvio padrão 50. Se a empresa decide fabricar 600 uidades o mês em estudo, qual é a probabilidade de que ão possa ateder a todos os pedidos desse mês, por estar com a produção esgotada? 23. Supoha que as amplitudes de vida de dois aparelhos elétricos, D 1 e D 2, teham distribuições N(42, 36) e N(45, 9), respectivamete. Se o aparelho é para ser usado por período de 45 horas, qual aparelho deve ser preferido? E se for por um período de 49 horas? 24. O diâmetro de rolametos de esfera fabricados por certa fábrica tem uma distribuição que pode ser cosiderada como N(0,6140; (0,0025) 2 ). O lucro T de cada esfera depede de seu diâmetro, sedo que T=0,10 se a esfera é boa (0,6100<<0,6180); T=0,05 se a esfera é recuperável (0,6080<<0,6100) ou (0,6180<<0,6200); T=-0,10 se a esfera é defeituosa (<0,6080 ou <0,6200). Calcular: a) as probabilidades de as esferas serem boas, recuperáveis e defeituosas. b) E(T). 25. Supoha que um mecaismo eletrôico teha um tempo de vida (em uidades de horas) que é cosiderado uma v.a. cotíua com f.d.p. ( ) = x f x e, x > 0. Supoha que o custo de fabricação de um item seja 2,00 u.m. e o preço de veda seja 5,00 u.m. O fabricate garate total devolução se x 0,9. Qual o lucro esperado por item? (R: 0.033) 26. Seja Y com distribuição biomial de parâmetros =10 e p=0,4. Determiar a aproximação ormal para: a) P ( 3 < Y < 8), (R: ) b) P ( Y 7), (R: ) c) P ( Y < 5). (R: ) 27. De um lote de produtos maufaturados, extraímos 100 ites ao acaso; se 10% dos ites do lote são defeituosos, calcular a probabilidade de 12 ites serem defeituosos. Use a aproximação ormal. (R:0.1043) 28. As otas de Estatística dos aluos de uma determiada uiversidade distribuem-se de acordo com uma distribuição ormal, com média 6,4 e desvio padrão 0,8. O professor atribui graus A, B e C da seguite forma.

6 Nota <5 5 x <7,5 7,5 x 10 Grau C B A Em uma classe de 80 aluos, qual o úmero esperado de aluos com grau A? B? e C? (R: 7, 70 e 3) 29. O diâmetro de certo tipo de ael idustrial é uma v.a. com distribuição ormal de média 0,10 cm e desvio padrão 0,02 cm. Se o diâmetro de um ael diferir da média de mais de 0,03 cm, ele é vedido por 5,00 u.m. ; caso cotrário, é vedido por 10,00 u.m. Qual o preço médio de veda de cada ael? (R: 9.34) Seja uma variável aleatória cuja FGM é dada por M = (1 t), t < 1. Ecotre os mometos de. 31. Supoha que teha desidade 1, x 1 2 f ( x) = x 0, x < 1 É a FGM fiita em uma vizihaça aberta de zero? x, 32. Seja uma v.a. tedo desidade f ( x) = (1/ 2) e x. 2 a) Mostre que M = 1/(1 t), 1 < t < 1. b) Use esta FGM para obter uma fórmula para E. 33. A FGM de uma v.a. é dada por distribuição de. M 1 t 2 = e +. Ecotre a Sejam e Y variáveis aleatórias idepedetes com ~ exp( λ) e Y ~ exp(2λ). Usado FGM calcule a média e a variâcia de - 2Y. 35. Seja uma variável aleatória cuja fução característica é dada por ϕ ( t ) = cos( at x ), sedo a>0. Ecotre a distribuição de. 36. Sejam,,... variáveis aleatórias idepedetes ideticamete 1 2 distribuídas, com ~ exp( λ). Mostre que (Distribuição Gama). i S = ~ Γ(, λ) i= 1 i

7 37. Sejam,,... variáveis aleatórias idepedetes ideticamete 1 2 distribuídas, com i ~ N(0,1). Ecotre a distribuição de S 1 = i. i = Seja uma v.a. com distribuição Cauchy padrão. a) o que ocorre com sua fução geradora de mometos? b) e com sua fução característica? c) podemos calcular os mometos de a partir da sua fução característica? 2 d) Mostre que ϕ 2 = ϕ. Coclua que ϕ + Y = ϕ ϕy e Y idepedetes. 39. Obteha a fução característica do modelo Geométrico de parâmetro p e usea para determiar a média e a variâcia. 40. Cosidere que a variável segue o modelo Laplace (ou também cohecido como Expoecial Duplo) de parâmetros µ e λ, isto é, sua desidade é dada por: λ λ x µ f ( x) = e, x, com λ > 0 e µ > 0. 2 Determie a fução característica de. 41. Sejam e Y variáveis aleatórias idepedetes com distribuição comum exp( λ ). Usado fuções características, mostre que: a) -Y é simétrica em toro de zero. b) -Y segue o modelo Laplace com parâmetros µ = 0 e λ.