Séquências e Séries Infinitas de Termos Constantes

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1 Capítulo Séquêcias e Séries Ifiitas de Termos Costates.. Itrodução Neste capítulo estamos iteressados em aalisar as séries ifiitas de termos costates. Etretato, para eteder as séries ifiitas devemos ates eteder o coceito de sequêcias ifiitas. Um aspecto particularmete importate das séries ifiitas é verificar a covergêcia ou divergêcia das séries ifiitas. Na egeharia elétrica estamos iteressados as séris ifiitas covergetes. Os tópicos aalisados este capítulo são ecessários para eteder as séries ifiitas em geral. Iiciamos o capítulo defiido uma sequêcia. Assim, uma sequêcia é defiida como um tipo especial de fução em que o domíio é um cojuto de úmeros iteiros e a imagem é um cojuto de úmeros reais. Posteriormete, defie-se uma série ifiita como um caso especial de sequêcia. O restate do capítulo está orietado a aalisar os teoremas usados para verificar a covergêcia ou divergêcia de séries ifiitas de termos costates... Sequêcias Defiição : Sequêcia é uma fução cujo domíio é o cojuto de todos os úmeros iteiros positivos {,, 3,...,,...}. Nesse cotexto, os úmeros que represetam a imagem de uma sequêcia são chamados elemetos da sequêcia. Exemplo : Seja a fução: f = A fução f tem como domíio os úmeros aturais: D = {,, 3,...,...} e como imagem: I = {,, 3, 4,...,,...}. A figura mostra o gráfico da fução f. As fuções que tem os úmeros iteiros positivos como domíio, como acotece com a fução f, represetam um tipo especial de fução que chamamos de sequêcia. Como o domíio de todas as fuções especiais chamadas de sequêcia ão varia etão esse tipo de fução pode ser represetada de uma forma mais simplificada mostrado apeas a imagem da fução e a forma de

2 f Figura.: Sequêcia do exemplo uma sequêcia ordeada. Assim, a fução do exemplo que passamos a chamar simplesmete de sequêcia é represetada de forma simplificada da seguite forma:,,, 3, 4,...,,... que é uma sequêcia ifiita muito cohecida e da origem a uma série ifiita chamada de série harmôica. Obviamete, estamos iteressados apeas as séries ifiitas. Observações:. Uma sequêcia pode ser represetada de uma forma compacta usado uma otação geérica {f} ou idetificado o elemeto geérico {a }. Assim, a sequêcia do exemplo pode ser represetada como { }.. A sequêcia a, a,..., a,... é igual à sequêcia b, b,..., b,... se e somete se a i = b i para todo i iteiro e positivo, isto é, se apresetam a mesma imagem. Defiição : Limite de uma sequêcia A sequêcia {a } tem um ite L se para qualquer ɛ > 0 existe um úmero N > 0 tal que se for iteiro e se > N etão a L < ɛ e, esse caso, o ite é represetado da seguite forma: a = L Exemplo : Use a defiição para provar que a sequêcia { + } tem ite igual a L =.

3 Precisamos mostrar que para todo ɛ > 0 existe um úmero N > 0 tal que se for iteiro e se > N etão: + < ɛ se > N etão + < ɛ = + < ɛ = + > ɛ = > ɛ 4ɛ A afirmação aterior é verdadeira, por exemplo, se N = ɛ 4ɛ N = ɛ 4ɛ = + < ɛ e se for iteiro. Portato, se Deve-se observar que usar a defiição para verificar que uma sequêcia tem ite ão é a estratégia mais adequada para provar que uma sequêcia tem ite além de demorado, precisamos cohecer esse ite. Teorema : Permite ecotrar o ite L de uma sequêcia a se existe esse ite. fx = L Se e se fx estiver defiida para todo iteiro positivo for um iteiro positivo qualquer. Exemplo 3: Provar que a sequêcia { + } tem ite L =. f = = fx = x + fx = x + = x x + f = L = + x quado = = {f } = Exemplo 4: Provar que a sequêcia { } tem ite L = 0.. Usado o Teorema : f = = fx = x fx = = x = 0 = {f } = 0. Usado a Defiição : Precisamos mostrar que para todo ɛ > 0 existe um úmero N > 0 tal que se for iteiro e se > N etão temos o seguite: 0 < ɛ se > N etão < ɛ 3 < ɛ > ɛ

4 A afirmação aterior é verdadeira, por exemplo, se N = ɛ e se for iteiro. Portato, se Defiição 3: Sequêcia covergete N = ɛ 0 < ɛ Se a sequêcia {a } tem um ite etão ela é covergete e a coverge para esse ite. Por outro lado, se a sequêcia ão for covergete etão ela é divergete. Exemplo 5: Determie se a sequêcia { + } é covergete ou divergete. { } Queremos verificar se + existe Usado o Teorema temos seguite: fx = x fx = x + = x x + = + x = { } + = e, portato, a sequêcia { + } é covergete e coverge para L =. Exemplo 6: Determie se a sequêcia { Se π } é covergete ou divergete. { Se π } Queremos verificar se existe fx = x Se π fx = x = x Se π x π = Se x x Se π Como x eiar a idetermiação. Usado a propriedade = 0 e gx hx x = g x h x = 0 etão aplicamos a Regra de L Hopital para = π Cos π x x x = π Cos π x = π = { Se π } = π e, portato, a sequêcia é covergete e coverge para L = π. 4

5 Teorema : Propriedades de sequêcias covergetes: Se {a } e {b } são sequêcias covergetes e c é uma costate etão:. A sequêcia costate {c} tem c como seu ite.. c a = c a 3. a ± b = a ± b 4. a. b = a. b 5. a b = a b Portato, os teoremas e podem ser usados para provar a covergêcia de sequêcias. Exemplo 7: Provar que a sequêcia { + Se π } é covergete. Usado o Teorema item 4 temos seguite: +. Seπ = +. Seπ No exemplo 5 foi provado que + é covergete e coverge para e o exemplo 6 foi provado que Se π é covergete e coverge para π. Etão usado o Teorema item 4 temos seguite: + Se π = + Se π = π = π e, portato, a sequêcia é covergete..3. Sequêcias moótoas e itadas Defiição 4: Uma sequêcia {a } é crescete se a a + para todo e é decrescete se a a +. Também, chamamos de moótoa uma sequêcia que seja crescete ou decrescete. Exemplo 8: Verificar que a sequêcia { } é decrescete. Como > + { } =,, 3,...,, +,..., para todo iteiro e positivo a sequêcia é decrescete. 5

6 Defiição 5: O úmero C é chamado de itate iferior da sequêcia {a } se C a para todo iteiro positivo. Também, o úmero D é chamado de itate superior da sequêcia {a } se a D para todo iteiro positivo. Defiição 6: Se A é uma itate iferior de uma sequêcia {a } e se A satisfaz a propriedade de que para todo itate iferior C de {a }, C A, etão A é chamada de itate iferior máximo da sequêcia. Aalogamete, se B for uma itate superior de uma sequêcia {a } e se B satisfaz a propriedade de que para todo itate superior D de {a }, B D, etão B é chamado de itate superior míimo da sequêcia. Defiição 7: Uma sequêcia {a } é itada ela tiver itates superior e iferior. Exemplo 9: Ilustramos as defiições usado a sequêcia a = { } a =,, 3,...,,..., -4 é uma itate iferior de a. Como = 0 = o itate iferior máximo de a é igual a zero. 5 é uma itate superior de a. é uma itate superior míimo de a. Teorema 3: Uma sequêcia moótoa e itada é covergete. Exemplo 0: Usar o teorema 3 para provar que a sequêcia { } é covergete. Precisamos provar apeas que a sequêcia é moótoa itada. A sequêcia:,, 3,...,,..., é moótoa porque é decrescete e itada porque tem itate iferior máximo igual a 0 e itate superior míimo igual a e, portato, essa sequêcia é covergete..4. Séries ifiitas de termos costates As séries ifiitas de termos costates represetam um tópico muito importate em egeharia elétrica porque muitas fuções matemáticas usadas em egeharia podem ser represetadas como uma soma de ifiitos termos, isto é, como uma série ifiita de termos costates. Estamos particularmete iteressados em provar se uma série ifiita de termos costates é covergete ou divergete. Também devemos cohecer algumas séries muitos especiais e suas características de covergêcia. Defiição 8: Defiição de série ifiita de termos costates: Se {u } é uma sequêcia e s = u + u + u u uma soma dos primeiros termos de uma sequêcia etão a ova sequêcia {s } é chamada de série ifiita que é mais popularmete represetada pela relação: 6

7 u = u + u + u u +... Os úmeros u,u,u 3,...,u,... são chamados de termos da série ifiita. Os úmeros s,s,s 3,...,s,... são chamados de somas parciais da série ifiita mas também são os termos da ova sequêcia que estamos chamado de série ifiita. Portato, a série ifiita é uma sequêcia de somas parciais. Exemplo : Seja a sequêcia {u } ode u =. A sequêcia origial {u } assume a seguite forma: {u } =,, 4, 8,...,,..., Os elemetos da ova sequêcia {s } a sequêcia de somas parciais tem os seguites termos: s = s = + = 3 s 3 = = = 7 4 s 4 = = = 5 8. s = Portato, a ova sequêcia que passaremos a chamar de série ifiita assume a seguite forma: {s } =, 3, 7 4, , s,..., Essa ova sequêcia de somas parciais {s } chamamos de série ifiita e deotamos essa série da seguite forma: = Um assuto muito importate é ecotrar uma forma matemática para s. Essa forma matemática deve ser de tal forma que permita provar se a ova sequêcia é covergete ou divergete usado os coceitos já apresetados para sequêcias como, por exemplo, usado o Teorema 3. Para o exemplo, vamos tetar ecotrar essa forma matemática para s. s assume a seguite forma: s =

8 Da algebra elemetar temos a seguite propriedade: a b = a ba + a b + a 3 b a b + b. Em. para a = e b = temos seguite: = = Da relação aterior e de. temos seguite: = s = s = Portato, a ova sequêcia de somas parciais {s } assume a seguite forma: Observações: {s } =, 3, 7 4, 5 8,...,,..., Geralmete ão é fácil ecotrar uma forma matemática adequada para s. Se fosse fácil ecotrar uma forma matemática para s de todas as séries ifiitas etão seria possível provar a covergêcia das séries ifiitas apeas usado as propriedades de sequêcias Teoremas, e 3. Assim, apeas em algus casos é possível ecotrar uma forma matemática para s. Por esse motivo, precisamos ecotrar outras formas para provar a covergêcia ou divergêcia de séries ifiitas de termos costates. Em relação a uma sequêcia {s } são válidas as seguites relações: s = u + u u + u s = u + u u = s = s + u Exemplo : Ecotrar a forma matemática de s da série ifiita de termos costates: u = + Seja o elemeto k da série ifiita etão temos seguite: u k = kk + = k k + e, portato, os valores de u k para diferetes valores de k são os seguites: u = u = 3 u 3 = u = + s = u + u + u u =

9 s = = + + = s = + Portato, a ova sequêcia de somas parciais assume a seguite forma: {s } =, 3, 3 4, 4 5,..., +,... em que podemos provar facilmete que essa sequêcia é covergete e coverge para o ite L =, que equivale a afirmar que a série: é covergete. u = + Defiição 9: Covergêcia de séries ifiitas Seja u uma série ifiita e seja {s } a sequêcia das somas parciais que defiem a série. Etão, se s Por outro lado, se existe e é igual a S, dizemos que a série dada é covergete sedo S a soma da série ifiita. s ão existe, a série é divergete e ão tem soma. Em outras palavras, uma série ifiita é covergete a sequêcia das somas parciais correspodete é covergete. Exemplo 3: Provar que a série ifiita do exemplo é covergete. A série ifiita é seguite: No exemplo ecotramos a forma matemática da sequêcia de somas parciais: {s } =, 3, 7 4, 5 8,...,,..., = s = Devemos provar que s existe: s = = Portato, a série ifiita coverge e a soma é igual a S =. Devemos observar, ovamete, que a grade dificuldade de usar essa estratégia para provar a covergêcia de uma série ifiita é ecotrar a forma matemática de s em fução de. 9

10 Exemplo 4: Provar que a série ifiita do exemplo é covergete. A série ifiita é seguite: u = No exemplo ecotramos a forma matemática da sequêcia de somas parciais: {s } =, 3, 3 4, 4 5,..., +,... Devemos provar que s existe: s = + = + = Portato, a série ifiita coverge e a soma é igual a S =. Teorema 4: Usado somete para verificar a divergêcia de uma série cohecedo apeas u. Se a série ifiita u é covergete = u = 0 Prova: Seja {s } uma sequêcia das somas parciais de uma série ifiita covergete cuja soma é S = s. Assim, para todo ɛ > 0 existe um úmero N > 0 tal que se > N = S s < ɛ S s + < ɛ Etão: u + = s + s = S s + s + S S s + s + S < ɛ Assim, se > N = : u + < ɛ = u = 0 Devemos observar que o Teorema 4 é usado apeas para verificar a divergêcia de séries ifiitas. Devemos u prestar ateção ao fato de que se = 0 ão sigifica que a série seja covergete. Por outro u lado, se verificamos de que 0 etão podemos afirmar que a série é divergete. Exemplo 5: Provar que a série ifiita u = 3 + é divergete. 0

11 Tetamos usar o Teorema 4 da seguite forma: u = 3+ = 3+ = 3 0 que os permite cocluir que a série é divergete. Teorema 5: Usado para verificar a divergêcia de uma série ifiita a partir da relação geérica de s. Seja {s } a sequêcia de somas parciais de uma série ifiita covergete u. Etão para todo ɛ > 0 existe um úmero N tal que se R > N e T > N etão s R s T < ɛ Prova: Como a série u é covergete etão tem uma soma S. Etão para todo ɛ > 0 existe um N > 0 tal que se > N = S s < ɛ. Se R > N e T > N = s R s T = s R S + S s T s R S + S s T < ɛ + ɛ = s R s T < ɛ Portato, se R > N e T > N = s R s T < ɛ O Teorema 5 os permite provar, de uma forma atural, que a chamada série harmôica é divergete. Exemplo 6: Provar que a série harmôica defiida da forma u = é divergete. Usamos o Teorema 5 para R = e S = da seguite forma: s = s = Das relações ateriores temos o seguite: s s = Também, para > a seguite relação é verdadeira: > = Das relações ateriores verificamos facilmete: s s >.3 Se a série for covergete etão para R = e T = a seguite relação teria que ser válida: s R s T = s s < ɛ =.4 Assim, a relação.4 cotradiz a relação.3 e, portato, a série harmôica ão pode ser covergete e deve ser divergete.

12 Teorema 6: Caso especial da série geométrica A série geométrica coverge para a soma S = a r Devemos lembrar que a série geométrica assume a seguite forma: se r < e diverge para r. u = a r = a + a r + a r a r +... Nesse cotexto a soma de sequêcias parciais assume a seguite forma: S = a + r + r r Usado a idetidade: r = r + r + r r podemos deduzir facilmete a seguite forma matemática de S : S = a r r se r Prova: Para r < temos o seguite: S = a r r = a r = S = a r e, portato, a série é covergete. Na prova aterior foi assumido que Assim, para r = 0 verificamos facilmete que provar que o ite também é zero. r = 0 para r < que a verdade teria que ser provado. 0 = 0. Por outro lado, para 0 < r < devemos Para todo ɛ > 0 existe um úmero N > 0 tal que para um iteiro e se > N etão temos seguite: r 0 < ɛ = r < ɛ = L r < L ɛ = L r < L ɛ = > L ɛ L r porque L r < 0. Portato, se N = L ɛ L r etão o ite da sequêcia é zero. A prova deve ser termiada provado que para r a série é divergete. Essa prova ão é realizado este trabalho. Exemplo 7: Represetar a dízima periódica 0, como uma fração comum. A seguite relação é válida: 0, = A relação aterior é uma série geométrica com a = 3 0 e r = 0. Como r = 0 série geométrica coverge para S: < pelo Teorema 6 a S = a 3 r = 0 0 = 3/0 9/0 = 3 = S = 3

13 .5. Quatro teoremas sobre séries ifiitas Nesta seção apresetamos quatro teoremas usados para provar a covergêcia de séries ifiitas de termos costates. Teorema 7: A covergêcia de uma série ifiita ão se altera se mudamos um úmero fiito de termos. Se a e b são duas séries ifiitas que diferem somete os m primeiros termos, isto é, se a k = b k para k > m etão ambas séries covergem ou divergem. Prova: Sejam {s } e {t } as sequêcias das somas parciais das séries a e b respectivamete. Etão: s = a + a + a a m + a m+ + a m a t = b + b + b b m + b m+ + b m b Como a k = b k para k > m etão se m temos seguite: s t = a + a + a a m b + b + b b m = s t = s m t m.5 Queremos provar que os ites s e t existem ou ambos ão existem. Supor que t exista e, portato, de.5 temos: s = t + s m t m.6 Assim, s = t + s m t m Etão, da relação aterior cocluimos que se ambos covergem. t existe = s deve existir e Supor que t ão exista mas s exista. De.5 temos: t = s + t m s m.7 Como o ite de s existe etão da relação aterior temos seguite: t e, portato, = s t ão existe e também s + t m s m também deve existir cotradizedo a hipótese iicial. Assim, ão deve existir e ambas séries devem ser divergetes. t 3

14 Exemplo 8: Determie se a seguite série u = 3 é covergete ou divergete: 3 = Por outro lado, a série geométrica com r = e a = 3 assume a seguite forma: a r 3 = = Etretato.8 pode ser represetada da seguite forma: 3 = Assim,.9 e.0 diferem apeas o primeiro termo. Como a série geométrica é covergete etão pelo Teorema 7 a série ifiita.0 que é a mesma série.8 também é covergete. A série geométrica coverge para S = que S = 3 + S = S = 3. a r = 3 = 6. Portato a série em aálise coverge para S em Teorema 8: A covergêcia de uma série ifiita ão muda se for multiplicada por uma costate. Seja c uma costate ão ula. Nesse cotexto:. Se a série ifiita u for covergete com soma S etão a série c u também é covergete com soma S c = c S.. Se a série ifiita u for divergete etão a série c u também é divergete. Teorema 9: Geeralização da propriedade de somas fiitas: Se a e b são séries ifiitas covergetes com somas S e R, respectivamete, etão:.. a + b é uma série covergete e sua soma é S a = S + R. a b é uma série covergete e sua soma é S b = S R. Teorema 0: Pode ser usado para provar a divergêcia de uma série: Se a série ifiita a é covergete e a série ifiita b é divergete etão a série a + b será divergete. 4

15 Observação: Se ambas séries são divergetes etão a série a + b pode ser covergete ou divergete. Exemplo 9: Verificar se a série + é divergete. Usado o Teorema 0 podemos verificar que a série em aálise é divergete porque a série harmôica é divergete e a série geométrica com a = e r = é covergete..6. Séries ifiitas de termos positivos Se todos os termos de uma série ifiita são positivos etão a sequêcia de somas parciais deve ser crescete moótoa. Assim, a série ifiita é covergete se a sequêcia de somas parciais tiver itate superior já que tem itate iferior e é moótoa. Para esse tipo de séries existem algus teoremas específicos para provar a covergêcia dessas séries. Teorema : Covergêcia de séries ifiitas de termos costates e positivos: Uma série ifiita de termos costates é covergete a sequêcia de somas parciais tiver uma itate superior. Teorema : Teorema do teste da comparação: Seja u uma série de termos positivos. Nesse cotexto:. Se v é uma série de termos positivos e covergete e se u v para todo iteiro positivo etão u é covergete.. Se w é uma série de termos positivos e divergete e se u w para todo iteiro positivo etão u é divergete. Prova: Provamos cada item separadamete.. Seja {s } a sequêcia de somas parciais da série u e {t } a sequêcia de somas parciais da série v. Como v é covergete etão {t } tem uma itate superior Teorema que chamaremos B. Como u v para todo iteiro e positivo etão s t B para todo iteiro e positivo. Assim, B é uma itate superior da sequêcia {s }. Como os termos da série u são todos positivos etão u é covergete pelo Teorema. 5

16 . Supor que u seja covergete. Portato, as séries u e w são séries ifiitas de termos positivos e w u para todo iteiro e positivo. Assim, pelo item desta prova cocluimos que a série w é covergete o que cotradiz a hipótese de que essa série é divergete e, portato, é uma série ifiita divergete. u Exemplo 0: Determie se a série é covergete ou divergete. Usaremos o Teorema Teste da comparação para verificar se a série é covergete ou divergete. A série apreseta a seguite forma:. Tetado usar a parte do Teorema : Sabemos que a série harmôica é divergete: = = Se for verdadeiro = a série é divergete. Assim, pretedemos saber se a seguite relação é verdadeira:... =... Se a relação aterior ão é verdadeira e, portato, ehuma coclusão pode ser obtida.. Tetado usar a parte do Teorema : Sabemos que uma série geométrica da forma a r para r < é covergete. Escolhemos a = e r = para ecotrar a seguite série: = = Se for verdadeiro = a série é covergete. Assim, pretedemos saber se a seguite relação é verdadeira: Podemos verificar facilmete que para a relação aterior é verdadeira e, portato, a série em aálise é covergete. 6

17 Exemplo : Determie se a série é covergete ou divergete. Usaremos o Teorema Teste da comparação para verificar se a série é covergete ou divergete. A série apreseta a seguite forma: Sabemos que a série harmôica é divergete: = = Se é verdadeira: for verdadeiro = a série é divergete. Assim, pretedemos saber se a seguite relação A relação aterior é verdadeira porque é divergete. para iteiro e positivo e, portato, a série em aálise Teorema 3: Teorema do teste da comparação com ite: Sejam u e v duas séries ifiitas de termos positivos. Nesse cotexto:. Se u v = c > 0 etão ambas séries covergem ou ambas divergem.. Se u v = 0 e se v coverge etão u coverge. 3. Se u v = e se v diverge etão u diverge. Exemplo : Determie se a série é covergete ou divergete. Usaremos o Teorema 3 Teste da comparação com ite para verificar se a série é covergete ou divergete. Usamos a série harmôica que é divergete para comparação. Assim temos seguite: v = u = u v = = = = 3 > 0 7

18 Portato, como c = 3 > 0 etão a série em aálise é divergete já que a série harmôica é divergete item do Teorema 3. Observação: O Teorema 3 ão tem resposta sobre covergêcia quado v represeta uma série divergete e o ite da relação etre u e v é igual a zero. A mesma coisa acotece quado v represeta uma série covergete e a relação etre u e v é igual a ifiito. Em outras palavras, esse tipo de casos, o teorema 3 ão é aplicável. Exemplo 3: Tetativa fracassada: Sabedo que a série geométrica é covergete. é covergete tete verificar se a série harmôica Usaremos o Teorema 3 Teste da comparação com ite para verificar se a série é covergete ou divergete. Usamos a série geométrica covergete, mecioada ateriormete, para comparação. Assim temos seguite: v = = u = u v = = Usado a Regra de L Hopital temos seguite: u v = = L = Portato, a relação aterior ão temos ada coclusivo e devemos ecotrar outras estratégias para provar que a série harmôica é divergete. Também ao aplicar a Regra de L Hopital usamos a seguite propriedade da derivada: D x [a u ] = a u L a D x u. Teorema 4: Reagrupameto de termos de uma série covergete: Se u é uma série covergete de termos positivos etão seus termos podem ser reagrupados de qualquer maeira e a ova série resultate é covergete e com a mesma soma da série origial. Teorema 5: Rearrajameto de termos de uma série covergete: Se u é uma série covergete de termos positivos etão a ordem dos termos podem ser rearrajados e a ova série resultate também é covergete e com a mesma soma da série origial. Observação: Para usar os teoremas relacioados com o teste de comparação de uma forma eficiete precisamos cohecer as propriedades de covergêcia ou divergêcia de algumas séries que podem ser usadas como séries tipo padrão para essa fialidade. As séries mais usadas esse caso são as seguites:. Série harmôica: que é divergete. 8

19 . Série geométrica: a r que é covergete para r < e coverge para S = série geométrica é divergete. 3. Série hiperharmôica: que é covergete para p > e divergete para p. p a r. Para r a.7. O teste da itegral para uma série ifiita de termos positivos O teste da itegral é um dos teoremas mais importates para verificar a covergêcia ou divergêcia de séries ifiitas de termos positivos. O teorema está baseado a teoria de itegrais impróprias. O teorema geralmete é muito eficiete desde que as hipóteses exigidas pelo teorema sejam cumpridas e, logicamete, é aplicável apeas a séries ifiitas de termos positivos. Teorema 6: O teste da itegral: Seja fx uma fução cotíua, decrescete e com valores positivos para todo x. Nesse cotexto, a série ifiita: é covergete se a itegral imprópria f = f + f f +... fxdx existe e é divergete se Exemplo 4: Aplicação do teste da itegral Teorema 6: Verificar se a série harmôica é covergete ou divergete. b b fx dx Para usar o Teorema 6 teste da itegral temos o seguite: fx = x. Podemos verificar facilmete que fx é cotíua, decrescete e assume valores positivos para todo x e, portato, satisfaz as hipóteses do Teorema 6 além de ser uma série ifiita de termos positivos. Assim, temos seguite: = b L = fx dx b = b b dx x = [L x]b b L = L b b L = L b b = Portato, a série harmôica é divergete. Observação: Deve-se observar que quado pretedemos usar o teste da itegral Teorema 6 iicialmete devemos ter a precaução de verificar as hipóteses fx deve ser cotíua, decrescete e com valores positivos. Também, se a série ifiita começa com = k em vez de = etão mudamos o teste da itegral para fx dx para a série ifiita f. k =k 9

20 .8. Covergêcia de séries alteradas Existe um teorema especializado para provar a covergêcia de séries alteradas. Para apresetar o teorema precisamos defiir uma série alterada. Defiição 0: Se a alteradas ifiitas: > 0 para todo iteiro positivo etão as seguites séries são chamadas de séries + a = a a + a 3 a a a = a + a a 3 + a a Teorema 7: Teste de covergêcia de séries alteradas: Cosidere a série alterada + a ou a série alterada a ode a > 0 e a + < a para todo iteiro positivo etão se a = 0 = a série alterada é covergete. Exemplo 5: Aplicação do Teorema 7 Teorema de séries alteradas. Verificar se a série 3 é covergete ou divergete. + Verificamos iicialmete as hipóteses do Teorema 7. Temos que a = 3 positivo e também: a + = Fialmete, verificamos o ite de a : = = a + < a > 0 para todo iteiro a = 3 + = 0 e, portato, a série alterada é covergete..9. Covergêcia absoluta e codicioal: O teste da razão e o teste da raiz Nesta seção apresetamos dois dos teoremas mais usados para provar a covergêcia de séries ifiitas de termos costates. Assim, iiciamos com a defiição de que se todos os termos de uma série ifiita são substituídos pelos seus valores absolutos e a ova série resultate é covergete etão a série dada é chamada de absolutamete covergete. 0

21 Defiição : A série ifiita u é absolutamete covergete se a série u é covergete. Uma série que é covergete, mas ão absolutamete covergete, é chamada de série codicioalmete covergete. Teorema 8: Sobre séries absolutamete covergetes: Se a série ifiita u é absolutamete covergete etão essa série é covergete e u u Teorema 9: O teste da razão: Seja u uma série ifiita com u ão ulo. Nesse cotexto:. Se. Se 3. Se u + u u + u u + u = L < = a série é absolutamete covergete. = L > ou se u + u = = a série é divergete. = = ehuma coclusão em relação a covergêcia da série pode ser obtida. Exemplo 6: Determiar se a série! é covergete ou divergete. + Tetamos usar o Teorema 9 o teste da razão e assim temos seguite: u =! + +! + u + = + u + u = + +! +! + = + +! +! = + = e, portato, a série é divergete. Teorema 0: O teste da raiz: Seja u uma série ifiita com u ão ulo. Nesse cotexto:. Se. Se u u = L < = a série é absolutamete covergete. = L > ou se u = = a série é divergete.

22 3. Se u = = ehuma coclusão em relação a covergêcia da série pode ser obtida. Observação: O teste da razão é mais fácil de ser aplicado. Se a série tem elemetos tais como fatoriais etão o teste da razão é o mais adequado. Se a série tem elemetos tais como potêcias etão o teste da raiz pode ser o mais adequado. Exemplo 7: Determie se a série é covergete ou divergete. L Tetamos usar o Teorema 0 o teste da raiz e assim temos o seguite: u = L = u = L = L = 0 e, portato, a série é covergete. Exemplo 8: Determiar se a série + 3! é covergete ou divergete. Tetamos usar o Teorema 9 o teste da razão e assim temos seguite: + 3 u =! u + = ! = ! u + u = ! + 3! = 3 + = 0 e, portato, a série é covergete..0. Resumo sobre testes de covergêcia de séries ifiitas A seguir é mostrada a ordem mais adequada dos teoremas para verificar a covergêcia ou divergêcia de séries ifiitas de termos costates. Assim, para um problema dado, devemos tetar usar os teoremas a ordem idicada. Se um teorema ão se aplica ou ão leva a uma coclusão defiitiva etão devemos usar a seguite.. Se a série é moótoa etão veja se é facil ecotrar a forma matemática de s a soma de sequêcias parciais relacioada com a série. Se for possível etão ecotre s e verifique se tem ite. Se s tem ite etão a série é covergete e, em caso cotrário, a série é divergete.. Calcule u. Se ser tirada. u 0 etão a série diverge. Em outro caso ehuma coclusão pode 3. Examie a série para determiar se ela faz parte de algum dos tipos especiais:

23 a Uma série geométrica: a r. Ela coverge para S = a r se r < e diverge para r. b Uma série p ou hiperharmôica: sedo p uma costate. Ela coverge se p > e diverge p i= se p. c Uma série alterada: + a ou a. Aplique o teste de séries alteradas. Se a > 0 a e a + < a para todo iteiro positivo e = 0 etão a série alterada coverge. 4. Tete o teste da razão: Seja u uma série ifiita com u ão ulo. Etão: a Se b Se c Se u + u u + u = L < etão a série é absolutamete covergete. u + u = L > ou se u + u = etão a série é divergete. = ehuma coclusão pode ser obtida. 5. Tete o teste da raiz: Seja u uma série ifiita com u ão ulo. Etão: a Se b Se c Se u = L < etão a série é absolutamete covergete. u = L > ou se u = etão a série é divergete. u = ehuma coclusão pode ser obtida. 6. Tete o teste da itegral: seja f uma fução cotíua decrescete e com valores positivos para todo x. Etão a série ifiita f = f + f + f f +... é covergete se a itegral imprópria fxdx existe e será divergete se b b fxdx = 7. Tete o teste de comparação: seja u uma série de termos positivos: a Se v é uma série covergete de termos positivos já cohecida e u v para todo iteiro positivo etão u é covergete. b Se w é uma série divergete de termos positivos já cohecida e u w para todo iteiro positivo etão u é divergete. 3

24 8. Tete o teste de comparação com ite: sejam u e v duas séries de termos positivos: a Se b Se c Se u v = c > 0 etão ambas séries covergem ou divergem cojutamete. u v = 0 e se u v = e se v coverge etão u coverge. v diverge etão u diverge... Problemas propostos. Nos seguites problemas, escrever os 4 primeiros termos da sequêcia e determiar se ela é covergete ou divergete e, caso seja covergete, ecotre seu ite. { } { } { } { } a + b + c + 3 d 3 { } { e L f + Se } { } π g +. Nos seguites problemas, provar que a sequêcia tem o ite L mostrado. } } a ; L = 0. b ; L = 4. c { 4 3. Mostre que a sequêcia { } { 3 e +4 { 8 +3 } divergem porém a sequêcia { 5 + { } 3 +4 } ; L = 5. é covergete. 4. Nos seguites problemas, determie se a sequêcia é crescete, decrescete ou ão-moótoa: { } { } { } a b Cos 3 π c Nos seguites problemas, ecotre os 4 primeiros elemetos da sequêcia de somas parciais {s } e ecotre uma fórmula para ecotrar s em termos de : 5 a b c L d Nos seguites problemas, determie se a série é covergete ou divergete. Se for covergete, determie a soma: + a b c L d e i Cosπ + f j g 3 h 3 7. Nos seguites problemas, determie se a série é covergete ou divergete. 3 + a b c d + 5 L + e! +! f g h L + 4

25 + i +! j Use o teste da itegral para determiar se a série é covergete ou divergete: + 3 a b c Determie se a série dada é covergete ou divergete: L a b c + d L = e f + L = 3 g! + + h + i j + L = k + 3 l m +! 0. Determie se as seguites séries são covergetes ou divergetes: a b c Cos π 3+Se d ! e! f 3+ g L h + + L i j k L 5 3! l 0 = =0 Cos + m +L o 3 +Se p +3! r 3 s 5+ +! u v =0 =

26 Bibliografía [] Louis Leithold: O cálculo com geometria aalítica: Volume, Editora HARBRA,

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