Teorema do Limite Central, distribuição amostral, estimação por ponto e intervalo de confiança

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1 Teorema do Limite Cetral, distribuição amostral, estimação por poto e itervalo de cofiaça Prof. Marcos Pó Métodos Quatitativos para Ciêcias Sociais

2 Distribuição amostral Duas amostrages iguais oriudas da mesma população quase certamete terão estatísticas diferetes. Diferetes amostrages produzirão amostras com estatísticas distitas. Amostrages são probabilísticas, portato, estatísticas baseadas as amostrages também o são. Se as características da amostragem e a composição da população são cohecidas, a probabilidade de cada resultado pode ser determiada. 2

3 Teorema do Limite Cetral (TLC) Quado o tamaho da amostra () aumeta, idepedete da f.d.p. da população, a distribuição amostral da média da amostra () coverge para uma distribuição ormal. Histogramas de distribuição da média para amostras de algumas populações 3

4 Por que o TLC é importate para ós? Se a média de uma amostra for um estimador razoável ão será ecessário cohecer a f.d.p. da população, pois a distribuição de probabilidades da média das amostras será aproimadamete uma ormal. Dessa forma coseguimos fazer iferêcias a respeito da amostra, tais como estimar se está detro dos ossos critérios de aceitação. A média das distribuições amostrais será igual à da população (μ) e a sua variâcia será dada por σ 2 /: E = μ Var = 2 = 4

5 Distribuição amostral da média Seja X uma variável aleatória (v.a.) com média μ e variâcia σ 2, e seja (X 1, X 2,..., X ) uma Amostra Aleatória Simples (AAS) de X, de tamaho, etão: E( X) = 2 = 2 X X = Ou seja, quato maior a amostra, meor o desvio padrão da distribuição amostral. 5

6 Simulação Utilizado a plailha Alturas, determiar a média e o desviopadrão de cada uma das 100 amostras para as os seguites tamahos amostrais: = 30 e = 150. Depois, utilizado as médias obtidas em cada uma das observações amostrais, determiar média, desvio-padrão e amplitude e compará-los em um quadro Amplitude das amostras Das médias médias desvios-padrão mí má mí má média dpad 6

7 Simulação Parece haver alguma relação etre o desvio-padrão das médias e o tamaho da amostra ()? População = X~N(1,67; 0,15 2 ) Amplitude das amostras médias desvios-padrão Das médias mí má mí má média dpad 15 1,550 1,777 0,085 0,239 1,672 0, ,610 1,738 0,101 0,213 1,672 0, ,624 1,720 0,114 0,182 1,671 0, ,643 1,703 0,132 0,168 1,669 0,012 7

8 Eemplo: uso da curva ormal e do TLC Uma v.a. tem distribuição ormal, com média 100 e desviopadrão 10 X~N(100; 10 2 ). a. Qual a P(90<X<110)? b. Se X for a média de uma amostra de 16 elemetos tirados dessa população, calcule P(90<X<110)? c. Que tamaho deveria ter a amostra para que P(90<X<110) = 0,95? 8

9 Distribuição amostral de uma proporção Cosideramos X uma v.a. ode: 1, se portador da característica X 0, se ão for portador da característica E.: doador de órgãos, profissão, preferêcia futebolística, eleitor do cadidato tal... Uma proporção é a freqüêcia de ocorrêcia da característica, podedo ser descrita como uma porcetagem. 9

10 Proporção Proporção populacioal de uma categoria é a frequêcia relativa com que el se observa a população. p X N X = total de vezes que a categoria ocorre a população N = tamaho da população Proporção amostral é a frequêcia relativa com que a categoria se observa em uma amostra. pˆ = total de vezes que a categoria ocorre a amostra = tamaho da amostra 10

11 Distribuição amostral de uma proporção Podemos aproimar a distribuição biomial para uma ormal, ode a média e a variâcia são defiidos como: μ= E(X) = p σ 2 = Var(X) = p(1-p) Assim, distribuição amostral da proporção é: pˆ ~ p(1 p) N p; 11

12 Eemplo: biomial como ormal 1. Uma pesquisa de boca-de-ura com 400 eleitores aleatoriamete selecioados mostra que o cadidato Walfrido Caavieira tem 51% das preferêcias dos votos válidos. Com base isso, calcule: a. A probabilidade de que Walfrido Caavieira ão veça a eleição. b. A probabilidade aterior, cosiderado que a amostra fosse de 1024 eleitores. 2. Aceita-se que o preechimeto de cadastros de um departameto haja 5% de erros. A cada semaa sorteia-se uma amostra de 25 cadastros e, se houver mais de 8% de erros, o serviço é iterrompido para coferêcia de todos os cadastros feitos o período. Calcule a probabilidade de uma iterrupção desecessária. 12

13 Estimação de parâmetros Problemas: Estimar parâmetros de uma população a partir de amostras Testar hipótese sobre os parâmetros Estimador: estatística usada para aferir parâmetro da população. Geericamete: T estimador de Há vários estimadores possíveis. E. para média populacioal : Erro etre a estimativa e o alvo: erro absoluto: T- erro quadrático: (T-)² erro 13

14 Características de um bom estimador Precisão: proimidade da média de todas as observações. Acurácia: proimidade do valor alvo. Ausêcia de viés: distâcia das observações em relação ao alvo. (a) (b) (c) 14

15 Estimador de poto Forece um úmero úico como estimativa de um parâmetro da população. Nossa preocupação é em miimizar o erro: ˆ ˆ E ˆ Ou seja, que ossa estimativa amostral seja o mais próima possível do parâmetro da população. Pequea questão crucial: como saber se estamos perto se ão temos oção dos parâmetros da população? 15

16 Estimação de itervalos Quado determiamos uma estimativa T de uma amostra, ão temos ehuma idicação de sua proimidade em relação ao parâmetro θ da população. Diferete da estimação potual, a estimação por itervalo os permite julgar a magitude do erro que estamos cometedo. A sua determiação é baseada a distribuição amostral do estimador potual. 16

17 Ilustrativamete Fote: Bussab; Moretti, 2002: 304 P X 1,96 X 1,96 = 0, 95 17

18 Itervalo de cofiaça (IC) IC = Probabilidade de que um itervalo estimado de valores coteha o parâmetro populacioal que queremos determiar. Também defiido como coeficiete (ou ível) de cofiaça (γ), cujos valores mais comus são 95% e 99%. Fote: Bussab; Moretti, 2002:

19 Itervalo de cofiaça para proporção O procedimeto para o caso de proporção é o mesmo que para valores cotíuos, com variâcia p(1-p). pˆ z p(1 p) p pˆ z p(1 p) Se ão tivermos ideia sobre o valor de p, há duas alterativas: Buscar uma estimativa de p por meio de uma pesquisa piloto Usar p(1-p) = 0,25 (valor máimo), de forma a obter uma estimativa coservadora do IC. 19

20 Metaforicamete 1,96 1,96 1,96 1,96 1,96 1,96 Estimador potual Estimador itervalar 20

21 E se a variâcia da população ão for cohecida? Nesse caso temos que usar o s da amostra para determiar o itervalo de cofiaça. Podemos ter duas situações: Amostras grades: esse caso pode-se cosiderar que a amostra aproima-se da ormal. Amostras pequeas: usar a distribuição t de Studet. Costuma-se tomar arbitrariamete 30 (ou 60) como referêcia para defiir se uma amostra é grade ou pequea, mas devese aalisar o problema e a variâcia ates de decidir. 21

22 Distribuição t de Studet Desevolvida por Willia S. Gosset em 1908, que publicou suas descobertas sob o pseudôimo Studet. Ele desevolveu essa distribuição equato trabalhava as cervejarias Guiess, a Irlada, visado resolver problemas relacioados às pequeas amostrages que ão se comportavam como predito pela distribuição ormal. 22

23 Distribuição t de Studet A distribuição t é semelhate à ormal, porém com caudas mais largas. O parâmetro que a defie é o úmero de graus de liberdade (ν). Quato mais graus de liberdade, mais próima da ormal será sua curva. Graus de liberdade são o úmero de escolhas livres depois que uma estatística como a média é calculada. No caso de itervalos de cofiaça e teste de hipótese sobre médias: gl = ν = -1. Fote: 23

24 Itervalo de cofiaça: resumo É o itervalo que cotém o parâmetro da população que queremos estimar com um determiado grau de certeza, idicado pelo coeficiete de cofiaça γ. O uso de itervalo permite estabelecer um julgameto do erro que estamos cometedo, que é determiado com base a distribuição amostral do estimador potual. γ α/2 α/2 = X X z z P IC ; p p z p p p p z p P IC p ) (1 ˆ ˆ ) (1 ˆ ; ˆ 24

25 Itervalo de cofiaça: outro etedimeto É o itervalo que cotém o parâmetro que queremos estimar, com um grau de cofiaça idicado pelo coeficiete γ (gama). Ele permite estabelecer um julgameto do erro que podemos estar cometedo e a probabilidade de que ossa amostra teha, por acidete, ficado além desse erro. α/2 γ α/2 IC ; Z p(1 p) IC p pˆ ˆ; Z Erro que podemos estar cometedo γ (gama) é a cofiaça que temos de estar, o máimo, cometedo esse erro com ossa amostra. 25

26 Eercícios 1. Calcule o itervalo de cofiaça para a média de altura de uma população ormal em cada um dos casos abaio: σ γ 170 cm cm 95% 170 cm cm 95% 170 cm cm 99% 2. Do público que frequeta um posto de saúde é retirada uma amostra de 100 pessoas, obtedo-se uma reda média de R$800 e desvio-padrão de R$250. a. Qual o itervalo de cofiaça de 95% para a reda média da população? b. Com que cofiaça pode-se dizer que a reda média é R$800±R$75? 3. Uma amostra aleatória de 484 doas de casa revela que 60% viram os comuicados de vaciação veiculados o itervalo da programação matial de televisão. Costrua um itervalo de cofiaça de 90% para a proporção das doas de casa que viram os comuicados. 26

27 Eercícios 4. Aluos da UFXYZ, tetado salvar o que resta de humaidade as redes sociais, tiveram a ideia de laçar a campaha abraça-um-reaça, ode dariam demostrações de afeto aos que fazem cometários politicamete retrógrados, desiformados ou precoceituosos. Para testar a adesão à campaha, fazem uma amostra aleatória de 80 estudates, obtedo os seguites resultados: Resposta % Apoio com certeza: meos mimimi, mais amor! 42 52,5% Agora ão dá, meu CR está perigado % Bebeu? Eu abraçar reaça/comua? Nuquiha! 18 22,5% Determie: a. Um itervalo de cofiaça de 95% de aluos que apoiariam a campaha. b. Com base o itervalo de cofiaça determiado o item (a), você acha prudete laçar a campaha? Justifique. c. O tamaho da amostra ecessário para que os propoetes da campaha pudessem cofiar, com 95% de certeza de que a maioria dos aluos a apoia. 27