Lista de Exercícios #6 Assunto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação

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1 Assuto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação. ANPEC 08 - Questão 6 Por regulametação, a cocetração de um produto químico ão pode ultrapassar 0 ppm. Uma fábrica utiliza esse produto e sabe que, um dia qualquer, a cocetração tem distribuição Normal(7,675;,5 ). Qual a probabilidade de que, em um dia qualquer, a cocetração do produto exceda 0 ppm? Multiplique por 00 e marque o iteiro mais próximo. (Pode ser útil a seguite iformação: P(z <,55) = 0,9505). ANPEC 07 Questão 04 Sejam X, X,, X variáveis aleatórias idepedetes com distribuição Normal (μ, σ ), em que μ e σ são descohecidos σ > 0. Podemos defiir também X = S = i= (X i X ). Podemos afirmar: (0) S é um estimador ão tedecioso de σ. () A variâcia de X é igual a σ. () S é um estimador ão tedecioso para a variâcia de X. (3) S é um estimador cosistete de σ. (4) X é um estimador cosistete de μ. i= e 3. ANPEC 06 Questão 4 Julgue as afirmativas abaixo: (0) Sejam X, X,...,X variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas com média μ e variâcia σ. Etão X = i= / é um estimador cosistete para μ; () Sejam X, X,...,X variáveis aleatórias com Distribuição de Poisso com parâmetro λ. Defiido X = i= / podemos dizer, com base a Lei dos Grades Números, que X se aproxima de λ a medida que ; () Sejam X, X,...,X variáveis aleatórias idepedetes e ormalmete distribuídas com média μ e variâcia σ. Sedo X = i= /, podemos dizer que X se tora bem aproximada pela distribuição ormal com média μ e variâcia σ quado ; (3) Sejam X, X,...,X variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas com média μ e variâcia σ. Sedo X = i= /, X se tora bem aproximada pela distribuição ormal quado, mesmo que X, X,...,X ão sejam ormalmete distribuídas; (4) Sedo X uma variável aleatória com média E(X) = e variâcia σ x = 4, o limite de probabilidade para X 4 é igual a 0,50.

2 Assuto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação 4. ANPEC 05 Questão Sejam X ~N (0; + ) e X~N(0; ). Julgue as seguites afirmativas: (0) X coverge em distribuição para X e X coverge em probabilidade para X; () X coverge em distribuição para X; () X coverge em probabilidade para X; (3) lim Pr[ X X < ε] (4) lim N Var[X ] = 4 5. ANPEC 05 Questão Seja X, X,, X N uma amostra aleatória de tamaho N com distribuição expoecial: Seja θ = cx, em que c é um úmero real. Julgue as seguites afirmativas: f(x) = θ exp ( x ), 0 < x <. θ (0) Podemos afirmar que θ é um estimador ão-viesado para θ; () Var[θ ] = c θ ; () O erro quadrado médio do estimador é θ (c² c + ). O erro quadrado médio é miimizado quado c é igual a 0,5; (3) Se c =, θ é um estimador ão-viesado para θ; (4) Se c =, θ é um estimador viesado para θ e o seu erro quadrado médio é igual a θ. 6. ANPEC 05 Questão 5 Sejam X, X, X 3 e X 4 variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas de uma população com média μ e variâcia σ. Cosidere os seguites estimadores para μ: m = (X + X + X 3 + X 4 )/6 m = (X + 4X + 4X 3 + X 4 )/0 m 3 = (X + X + X 3 + X 4 )/4 Com base esses três estimadores, são corretas as afirmativas: (0) Os três estimadores são ão tedeciosos; () m é o estimador com maior variâcia; () Os três estimadores são igualmete eficietes; (3) m 3 é o estimador com meor variâcia;

3 Assuto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação (4) O estimador m é ão tedecioso e tem meor variâcia do que o estimador m. 7. ANPEC 04 Questão 09 Seja X uma variável aleatória com distribuição ormal, com média e variâcia. Cosidere duas amostras aleatórias idepedetes de X. Cada uma das amostras tem tamaho e, e possuem médias X e X. Podemos usar dois estimadores para a média populacioal, ~ X X ( X X ) e ˆ. Julgue as seguites afirmativas a respeito dos estimadores: (0) ~ é um estimador ão-viesado para a média populacioal; () ˆ é um estimador ão-viesado para a média populacioal; () ~ possui meor variâcia que ˆ ; (3) ~ é um estimador mais eficiete, isto é, possui meor erro quadrático médio que ˆ ; (4) ~ é um estimador cosistete para a média populacioal. 8. ANPEC 03 Questão 7 X,, X N é uma amostra aleatória de tamaho N de uma população com E[ ] = θ e Var[ ] = θ. Defiimos quatro estatísticas: T = N i= N i= N/ i= N, T = N 3, T 3 = N, T 4 = N i= N Em relação às quatro estatísticas, podemos afirmar que: 3 (0) T é um estimador viesado para θ e o viés é igual a θ N 3. () Pela lei dos grades úmeros, T coverge em distribuição para uma ormal com média θ e variâcia θ. N () A variâcia de T 3 é meor que a variâcia de T. (3) T 3 é um estimador cosistete para θ. (4) Usado a desigualdade de Tchebycheff, podemos mostrar que Pr [T 4 ξ] Var(T 4), ode ξ ξ > 0 é uma costate qualquer. 3

4 Assuto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação 9. ANPEC 03 Questão São corretas as afirmativas: (0) Supoha que X, X,, X N sejam variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas e que P(X = x) =, x =,,,. Etão pela lei dos grades úmeros, à medida que, X = i= / coverge para. () Supoha que X, X,, X N sejam variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas com distribuição de Beroulli com parâmetro p. Defia X = i= /. Etão, pelo Teorema Cetral do Limite, à medida que, (X p)/ p( p)/ coverge para uma distribuição ormal padrão. () Supoha que X, X,, X N sejam variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas, com distribuição uiforme o itervalo [0, θ]. Defia X = i= /. Etão, X é um estimador ão viesado de θ. (3) Supoha que X teha distribuição t com 4 graus de liberdade. Etão P( X > 4) = 0,3. (4) Supoha que X seja uma variável aleatória com distribuição t de Studet com graus de liberdade. À medida que aumeta, a distribuição de X se aproxima de uma ormal padrão. 0. ANPEC 0 - Questão 9 Julgue as seguites afirmativas: (0) Seja X,...,X variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas tais que E[Xi] = μ <. Se Var[Xi] 0, etão Xi p μ. () Seja X, X,... uma sequêcia de variáveis aleatórias. Esta sequêcia de variáveis aleatórias coverge em probabilidade para uma costate μ se e somete se esta sequêcia de variável aleatória coverge em distribuição para μ. () Seja X, X,..., X uma amostra aleatória com média X e variâcia 0 < S <. Podemos afirmar que W = cx, com c ε R coverge para uma distribuição ormal com média μ e variâcia σ N. (3) Seja X,...,X variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas com média μ e N variâcia 0 < σ <. Seja S = (X N i= i X ) em que X = i=. Neste caso S, é um N estimador cosistete para σ. (4) Se Y é uma variável aleatória tal que E[Y ] <, etão podemos afirmar que P( Y c) E[Y] c para c>0. N 4

5 Assuto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação. ANPEC 0 - Questão 0 São corretas as afirmativas: (0) Supoha que X,X,...,X sejam variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas, com distribuição de Beroulli com parâmetro p. Etão, pela Lei dos Grades Números, à medida que, X = i= coverge para p. () Supoha que X,X,...,X sejam variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas, com distribuição uiforme o itervalo [0,]. Seja X =. Pelo Teorema i= Cetral do Limite, à medida que, [ (X ) ] aproxima-se de uma distribuição ormal padrão. () Supoha que X,X,...,X sejam variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas e que Xi ~ N(0,), i. Etão, se defiirmos Y =, P( Yi - > ) 0,5. (3) Supoha que X,X,...,X sejam variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas, com distribuição log ormal com parâmetros μ e σ. Seja X =. Etão, log X é um estimador cosistete de μ. i= (4) Supoha que X,X,...,X sejam variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas e que Xi ~ N(μ,σ ), i. Etão, se defiirmos X = i= e σ = i= ( X ) /, σ será um estimador eficiete de σ.. ANPEC 0 Questão 3 Sejam W e W variáveis aleatórias discretas idepedetes com a seguite fução de probabilidade: f(0) = ½, f() = /3 e f() = /6. Seja Y = W + W. Julgue as seguites afirmativas: (0) E[Y] = 4/3 () Var[Y] =0/9 () Pela desigualdade de Tchebyshev, P(Y 3) /5 (3) Usado os dados acima, obtemos que P(Y 3) = /36. (4) Y é uma variável aleatória discreta que assume os seguites valores {0,,,3,4,5}. 5

6 Assuto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação 3. ANPEC 0 - Questão 4 São corretas as afirmativas: (0) Supoha que X, X,...,X sejam variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas e que Xi ~, N. Etão X X é um estimador eficiete de. () Supoha que X, X,...,X sejam variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas e que Xi ~ N,. Etão, se defiirmos X X, PX para i i / 0. () Se um estimador de um parâmetro é ão viesado e a variâcia de coverge para 0 à medida que o tamaho da amostra tede a ifiito, etão é cosistete. (3) Supoha que X, X,...,X sejam variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas e que Xi ~ Poisso(λ), i. Seja X X. Pela lei dos grades úmeros, i i / à medida que, X coverge para λ. (4) Supoha que X, X,...,X sejam variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas e que ~ v, i. Seja X X. À medida que, i i / X v/ v / i i / aproxima-se de uma distribuição ormal padrão. 4. ANPEC 00 - Questão 4 Respoda se verdadeiro ou falso: (0) A Difereça etre as mediaas de uma distribuição F (a,b) e de uma distribuição a dimiui à medida que b ; () O Teorema Cetral do Limite justifica a afirmação: Seja T uma variável aleatória,tal que T~t k, em que t represeta uma distribuição t de Studet, com k graus de liberdade, em que k é fixo. Etão T coverge em distribuição para uma Normal Padrão"; () Sejam S = (x i x ) i= e S = (x i ) i=. Ambos estimadores podem ser demostrados cosistetes para σ, supodo uma amostra aleatória de X~N(μ, σ ); (3) Uma moeda justa foi jogada 300 vezes e observou-se cara em 88 destas. A Lei dos Grades Números justifica a afirmação: P(cara a 30ª jogada 88 caras em 300 jogadas) < 0,5. (4) Se um estimador covergir em média quadrática para o parâmetro, ele será cosistete (covergirá em probabilidade para o parâmetro). 6

7 Assuto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação 5. ANPEC 00 - Questão 5 São corretas as afirmativas: (0) Cosidere dois estimadores ão tedeciosos θ e θ, de um parâmetro θ. θ é eficiete relativamete θ se Var(θ ) < Var(θ ); () Um estimador θ de um parâmetro θ é cosistete se θ coverge em probabilidade para θ; () Um estimador θ de um parâmetro θ é cosistete se, e somete se, θ é ão viesado e a variâcia de θ coverge para 0 a medida que o tamaho da amostra tede a ifiito ; (3) Supoha que X, X,, X 0 sejam variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas e que ~, i =,,,0. Defia X = i=. Etão P( < X < 3) = 0,55; (4) Supoha que X, X,, X sejam variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete 0 distribuídas e que ~Poisso(λ), i. Defia X =. À medida que, (X 0 i= λ)/ (λ ) aproxima-se de uma distribuição ormal padrão. 6. ANPEC 00 - Questão 6 Supoha que Y e Y sejam variáveis aleatórias idepedetes, com média μ e variâcias V(Y ) = 75 e V(Y ) = 5. O valor de μ é descohecido e é proposto estimar μ por uma média poderada de Y e Y, isto é, por: ay + ( a)y. Qual valor de a produz o estimador com a meor variâcia possível a classe dos estimadores ão viesados? Multiplique o resultado por ANPEC Questão 6 Seja Yi, i =,...,, uma variável aleatória tal que Yi = com probabilidade p e Yi = 0 com probabilidade -p. Defia ou falsa: X i Y i. Respoda se cada uma das afirmativas abaixo é verdadeira (0) Yi, i =,...,, possui distribuição Poisso com média p. () X possui distribuição Biomial com parâmetros e p. () V(Yi) = V(X) = p. V(X) sigifica variâcia de X. X p (3) Se e p permaecer fixo, etão coverge para distribuição ormal com p( p) média 0 e variâcia. (4) E(Y ) = p. 7

8 Assuto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação 8. ANPEC Questão 3 Sejam X, X,..., X, variáveis aleatórias idepedetes, igualmete distribuídas, com distribuição Poisso dada por Julgue as afirmativas: x e p x (x) x! 0 x 0,,,... caso cotrário (0) Pela Lei dos Grades Números T tede para o ifiito. i aproxima-se da distribuição ormal quado 5 () Supoha que >5. T Xi Xi é um estimador cosistete de E(Xi). 5 5 i () T Xi Xi é um estimador tedecioso de. i i i6 (3) Pelo Teorema Cetral do Limite, T i é um estimador cosistete de V(Xi). (4) T é o estimador de máxima verossimilhaça do parâmetro. i 9. ANPEC Questão Cosidere uma amostra aleatória de variáveis x, x,..., x, ormalmete distribuídas com média μ e variâcia σ. Sejam x e s x x i x i i i. É correto afirmar que: (0) x e s são estimadores de máxima verossimilhaça de μ e σ, respectivamete. () x e s são ão viesados. () x e s são cosistetes. (3) Apeas x é cosistete. (4) Apeas x é ão viesado. 8

9 Assuto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação 0. ANPEC Questão 5 São corretas as afirmativas: (0) O teorema de Tchebychev é útil para se calcular o limite iferior para a probabilidade de uma variável aleatória com distribuição descohecida quado se tem apeas a variâcia da população. () Um estimador ão-tedecioso pode ão ser cosistete. () Um estimador cosistete pode ão ser eficiete. (3) Sejam Y,...,Y variáveis aleatórias idepedetes com média µ e variâcia fiita. Pela Lei dos Grades Números, E(m) = µ, em que m = Y i. i (4) Sejam Y,...,Y variáveis aleatórias idepedetes com média μ e variâcia fiita. Pelo Teorema do Limite Cetral, a distribuição da média amostral m coverge para uma distribuição Normal.. ANPEC Questão 5 São corretas as afirmativas: (0) Uma variável aleatória X tem média zero e variâcia 36. Etão, pela desigualdade de Tchebychev, P ( X 0) 0, 36. () Pela Lei dos Grades Números a distribuição da média amostral de variáveis aleatórias idepedetes, para suficietemete grade, é aproximadamete Normal. () O estimador de um determiado parâmetro é dito cosistete se covergir, em probabilidade, para o valor do parâmetro verdadeiro. (3) A Lei dos Grades Números está relacioada com o coceito de covergêcia em probabilidade, equato que o Teorema Cetral do Limite está relacioado com covergêcia em distribuição. (4) Um estimador é dito ão-tedecioso se a sua variâcia for igual à variâcia do parâmetro estimado. 9

10 Assuto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação. ANPEC Questão 3 Supoha que x,x,..., x sejam variáveis aleatórias idepedetes, ideticamete distribuídas, com média E(xi) = μ (i =,,3,...) e variâcia σ = 0. Utilizado a lei dos grades úmeros respoda à questão. Qual deverá ser o valor de de modo que possamos estar 95% seguros de que a média amostral x difira da média μ por meos de 0,? Divida o resultado fial por ANPEC Questão Sejam: X, X,..., X variáveis aleatórias idepedetes e ormalmete distribuídas com média e variâcia ; X i Y i i ; e Z (0) X é um estimador tedecioso da média ; () Z é uma variável aleatória com distribuição () s X i, em que Y i X com graus de liberdade; é um estimador tedecioso da variâcia ;. É correto afirmar que: (3) X é uma variável aleatória ormalmete distribuída com média e variâcia ; (4) a variável aleatória Wi Yi Z possui distribuição F com e graus de liberdade, em que = e =. 4. ANPEC Questão O úmero de clietes Y que passa diariamete pelo caixa de um supermercado foi observado durate certo período. Costatou-se que o valor médio de Y é de 0 clietes, com desvio padrão igual a. Ecotre o limite míimo para a probabilidade de que o úmero de clietes amahã se situe etre 6 e 4. (Pista: Utilize o teorema de Tchebycheff). Multiplique o resultado por ANPEC 00 - Questão 4 Seja X uma variável aleatória com distribuição de probabilidade que depeda do parâmetro descohecido, tal que E(X) =. Seja também x, x,..., x uma amostra aleatória de X. (0) Para amostras suficietemete grades, o estimador de máxima verossimilhaça de, caso exista, segue uma distribuição Normal. 0

11 Assuto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação () Se ˆ c x i i é um estimador de, este ão será viciado desde que ci. Além do mais, i ˆ terá variâcia míima se ci=/ para todo i. () Se ˆ x i é um estimador ão viciado de, etão i i ˆ também será um estimador ão viciado de. (3) Se a variável aleatória X é uiformemete distribuída o itervalo [0,], com > 0, etão ˆ máximo[x, x,..., x] ão é um estimador cosistete de. (4) Se ˆ e ˆ são dois estimadores do parâmetro em que E ( ˆ ) = θ e E ( ˆ ) θ mas Var ( ˆ ) < Var ( ˆ ), etão o estimador ˆ deve ser preferível a ˆ. 6. ANPEC 00 - Questão 6 Idique se as seguites cosiderações sobre a Lei dos Grades Números, Desigualdade de Tchebycheff e teorema do Limite Cetral são verdadeiras (V) ou falsas (F). (0) De acordo com a desigualdade de Tchebycheff, se a variâcia de uma variável aleatória X for muito próxima de zero, a maior parte da distribuição de X estará cocetrada próxima de sua média. () O teorema do Limite Cetral afirma que, para uma amostra grade o suficiete, a distribuição de uma amostra aleatória de uma população Qui-quadrado se aproxima da Normal. () As codições suficietes para idetificar a cosistêcia de um estimador são baseadas a Lei dos Grades Números. (3) Em repetições idepedetes de um experimeto, se f A é a freqüêcia relativa da P( P) ocorrêcia de A, etão P{f A P }, em que P é a probabilidade costate do eveto A e é qualquer úmero positivo. (4) Se uma variável aleatória X tem distribuição Biomial com parâmetros = 0 e P = 0,5, a 0 etão P { X a} em que ( ) é a fução de distribuição Normal padrão ANPEC 00 - Questão 3 Uma amostra de tamaho foi selecioada de uma população de m elemetos. Pode-se afirmar: (0) A média amostral X é um estimador ão tedecioso e eficiete da média populacioal se todos elemetos de m tiverem a mesma probabilidade de serem selecioados.

12 Assuto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação se a população for ifiita ou se a () A variâcia da distribuição amostral de X é amostragem for com reposição. () Se a população for fiita, a variâcia da distribuição amostral de X é ( ) porque as observações da amostra são idepedetes. (3) Se X for uma variável aleatória qualquer a distribuição de X será ormal com média e variâcia. (4) Se lim EX ( ) 0, etão X é um estimador assitoticamete ão tedecioso. 8. ANPEC 00 - Questão 5 Seja uma variável aleatória X com média E(X) = 0 e variâcia x = 5. Qual o limite de probabilidade para que [X E(X)] > 0? Resposta em percetagem. 9. ANPEC Questão 4 Seja X, X,..., X uma amostra aleatória da desidade Normal(0,) e seja T= / correto afirmar que: (0) T é o estimador de máxima verossimilhaça (EMV) de. () T é um estimador tedecioso de. i () A variável aleatória Z = X / tem distribuição qui-quadrado com graus de liberdade. i 3 (3) E ( X X ) =. (4) T é um estimador eficiete de i. É 30. ANPEC Questão 7 Seja Y uma variável aleatória cotíua com distribuição de probabilidade f(y;), em que = (,,...,p). Cosidere uma amostra aleatória de Y, com tamaho. Com relação à fução de verossimilhaça L(), é correto afirmar que: (0) l()= l L() =log f ( i y i ; ), em que l é o logaritmo atural. () A fução de verossimilhaça é também uma fução de desidade de probabilidade, que possui, assim, todas as propriedades matemáticas associadas à uma fução de desidade de probabilidade.

13 Assuto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação () Uma codição ecessária a que os estimadores de máxima verossimilhaça devem satisfazer é que a matriz { l( ) / } i,j =,,..., p, avaliada o poto de máximo, seja egativa i j defiida. (3) Sedo T o estimador de máxima verossimilhaça do parametro escalar, segue-se que T apreseta a seguite propriedade: lim Pr( T ) 0, > 0. (4) Sedo = g(), em que g(.) é uma fução um a um de, e T é o estimador de máxima verossimilhaça de, segue-se que o estimador de máxima verossimilhaça de será G = g(t )[d/d], em que a derivada é avaliada em = T. 3. ANPEC Questão 8 Sejam pˆ e ~ p dois estimadores do parâmetro p da distribuição Biomial, em que Y é a variável desta distribuição e o tamaho da amostra: Y ~ Y p ˆ p pˆ é o estimador de máxima verossimilhaça do parâmetro p. Sob o critério do erro quadrado médio, para pequeas amostras, ão há supremacia de um estimador sobre o outro. O viés do estimador ~ p é dado por [( p) ( )]. 3. ANPEC Questão Dados os seguites euciados, é correto afirmar que: (0) A Lei Fraca dos Grades Números diz que: dada uma variável aleatória com distribuição arbitrária e média e variâcia fiitas, a média amostral obtida a partir de uma amostra aleatória de tamaho terá distribuição Normal. () Se X, X,..., X são variáveis aleatórias idepedetes, com distribuição Poisso(), > 0, etão, para "grade", é válida a seguite aproximação: ( X - ) / ~ N(0,), em que X é a média amostral. () Se X, X,..., X são variáveis aleatórias idepedetes, com distribuição Normal(, ), > 0, etão, para qualquer tamaho de, ( X - ) / ~ Normal(0,), em que X é a média amostral. 3

14 Assuto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação 33. ANPEC Questão 6 Com base a teoria da estimação, pode-se fazer as seguites afirmações : (0) De acordo com o critério de eficiêcia, medido pela comparação etre as variâcias dos estimadores, a média amostral X é preferível a primeira observação X como estimador da média populacioal, supodo-se que seja a variâcia da população. () Seja ˆ um estimador ão-viciado de. Se g(ˆ ) é uma fução do parâmetro, etão E[g( ˆ )] g[e(ˆ )] com a igualdade ocorredo somete quado g( ) for uma fução liear. () A fução desidade de probabilidade da variável aleatória x é dada por f ( x) para 0 x e 0 para outros valores. Assim sedo, cosiderado-se uma amostra aleatória de tamaho, x x, x, x, o estimador de Máxima Verossimilhaça de será igual ao Míimo de, 3, x, x3 x x,. (x i - x) (3) Dado que as variâcias das estatísticas S i= = e S i= = - (x i - x) são, respectivamete, iguais a 4 e ( ), etão S é mais preciso do que S embora seja uma estatística viciada. å å 34. ANPEC Questão 6 Seja o estimador do parâmetro : (0) O erro quadrático médio é igual a variâcia do estimador se for um estimador ãotedecioso de. () Um estimador é dito eficiete se for ão-tedecioso e Var( ) Var ( ), ode é outro qualquer estimador ão-tedecioso de. () Seja X uma variável aleatória ormalmete distribuída com média e variâcia. Sejam x e x duas observações de uma amostra aleatória de tamaho. Podemos afirmar que 3x x ~ é um estimador tedecioso de. 5 (3) Se é cosistete, etão é ão tedecioso. 4

15 Assuto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação 35. ANPEC Questão 7 Com base a teoria da estimação, pode-se fazer as seguites afirmações : (0) Se é um parâmetro populacioal e seu estimador, a afirmação de que é um estimador cosistete de se lim P{ } para todo 0 quado, é equivalete a afirmação de que se lim E ( ˆ) e lim Var( ) 0 quado, etão será um estimador cosistete de. () Se x é uma variável aleatória com E(X) = e variâcia, etão a média amostral, X, será um estimador cosistete da média populacioal. ( xi x) i () A estatística, S, baseada em uma amostra aleatória x, x,x 3,...,x é um estimador ão tedecioso da variâcia populacioal. ( xi x) i (3) A estatística, S, baseada em uma amostra aleatória x, x,x 3,...,x é um estimador icosistete da variâcia populacioal. 36. ANPEC Questão Com relação a desigualdade de Tchebycheff e ao Teorema Cetral do Limite, pode-se afirmar que: (0) Se uma variável aleatória X tem média, E(X)=, e variâcia igual a zero, Var(X) = 0, etão P{ X } para todo 0, ou seja, toda a probabilidade estará cocetrada a média E(X) =. () Seja X uma variável aleatória com média e variâcia. Quado se cosidera o eveto complemetar, uma das formas da desigualdade de Tchebycheff é igual a P{ X k}, ode k é um úmero real. k () Se a população tem distribuição Normal, etão a distribuição das médias amostrais também será Normal, idepedete do tamaho da amostra. (3) Se X tem distribuição descohecida com média 500 e variâcia.500, para uma amostra aleatória de tamaho 00 podemos afirmar que a média da amostra tem distribuição aproximadamete ormal com média 500 e variâcia 5. 5