5 Teoria dos Valores Extremos

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1 Teoria dos Valores Extremos 57 5 Teoria dos Valores Extremos A Teoria dos Valores Extremos vem sedo bastate utilizada em campos ligados a evetos raros. Sua estatística é aplicada a estimação de evetos climáticos, cálculo de seguros e evetos pouco comus o mercado fiaceiro. A utilização da TVE teve impulso em 953, quado barrages que protegem a Holada do avaço do mar se romperam e causaram a iudação de boa parte do país, provocado a morte de 800 pessoas. Após o desastre, o govero da Holada criou um comitê que utilizava o ferrametal ligado a Teoria dos Valores Extremos para estabelecer a altura das barrages. No caso do VaR, os métodos mais tradicioais de mesuração de valor em risco citados o capítulo aterior, estão muito sujeitos a problemas a estimativa das caudas das distribuições. Além disto, todos se baseiam a distribuição dos retoros como um todo, o que ão é relevate o cálculo do VaR, já que o foco está apeas a cauda. Essa depedêcia que o Value at Ris tem em relação à cauda da distribuição de retoros sugerem ovas metodologias que estejam mais focadas o formato que tais caudas possam assumir. É esse cotexto que surge a possibilidade de se aplicar a Teria dos Valores Extremos o cálculo do VaR, já que a TVE possui boa capacidade de estimar quatis extremos. 5.. Revisão da Teoria dos Valores Extremos Neste capítulo será realizada uma revisão sobre a Teoria dos Valores Extremos a literatura estatística. Assuma que r t é o retoro de um ativo medido em um itervalo de tempo fixo. Cosidere a reuião dos retoros como { r,, } K r. O retoro míimo desse cojuto é r (), ou seja, quado estes

2 Teoria dos Valores Extremos 58 retoros são ordeados levado-se em cota seu valor, r () é o meor deles. Aplicado-se o mesmo coceito, r () é o retoro de maior valor. Essa abordagem efoca as propriedades de r () porque esse valor míimo é de extrema relevâcia para o cálculo do VaR em posições compradas o ativo, que é o objeto do presete estudo. Valores extremos para máximos podem ser facilmete obtidos a partir da teoria desevolvida para os míimos. Assuma aida que os retoros r t são serialmete idepedetes e com uma fução de distribuição acumulada F (x). Os limites do retoro r t são [l, u]. Para retoros logaritmos, tem-se l = e u =. Etão a CDF de r (), chamada de F, ( x), é dada por: F, ( x) = P[ r() x] = P[ r( ) x] F, ( x) = P[ r > x, r2 > x, K, r > x] Usado o pricípio que os retoros dos ativos são idepedetes: F, ( x) = P( r j > x) j= [ P( r ] j x F, ( x) = ) j= Como os retoros seguem uma mesma distribuição de probabilidade: [ F( x ] F, ( x) = ) j= [ F( x ] F, ( x) = ) (30)

3 Teoria dos Valores Extremos 59 Na prática a CDF F (x) de r t é descohecida e, portato, F, ( x) de r () também é descohecida. Etretato, fazedo uma adaptação da demostração para máximos descrita em Embrechts et al (997), se cresce para o ifiito, ) tora-se degeerada, pois teria-se: F, ( x, x) = lim [ F( x ] lim F ( ) Se F e portato lim [ F ( x) ] = lim [ ] = x l, ( x) = 0, o que daria: lim F, ( x) = = 0 Se x > l, F ( x) > 0 e portato ( x) < 0 F, fazedo com que lim [ ( x) ] = 0 F. Teria-se etão: lim F, ( x) = 0 = Essa CDF degeerada ão possui valores práticos. Dada as circustâcias, recorre-se a resultados de covergêcia fraca para míimos cetrados e ormalizados, forecidos pelo teorema de Fisher Tippett (Embretchs et al (997), capítulo 3). Tal teorema argumeta que podem ser obtidas duas seqüêcias { } e { } distribuição de ( r ) ode > 0, de tal forma que a () r( ) coverge para uma distribuição ão degeerada quado vai para ifiito. A seqüêcia { } é uma série local e { } é uma série de fatores escalares. Seguido aida a ótica do teorema de Fisher Tippett sobre o fato de assumirem-se retoros idepedetes, a distribuição limite dos míimos ormalizados r () é dada por:

4 Teoria dos Valores Extremos 60 exp ( + x) se 0 F ( ) = (3) x [ exp( x) ] exp se = 0 para x < se < 0 e para x > se > 0, ode o subscrito sigifica míimo. No caso de = 0 0, aplicou-se lim ( x) = exp( x) +. O parâmetro é chamado de parâmetro de formato que govera o comportameto da cauda da distribuição limite. A distribuição limite a eq.(3) é a distribuição de valor extremo geeralizada de Jeiso para míimo. Ela compreede os três tipos de distribuições limites de Gedeo: Tipo : = 0, a família Gumbel. A CDF é: [ exp( x) ] F ( x) = exp, < x < (32) Tipo 2: < 0, a família Fréchet. A CDF é: exp ( + x) se x < F ( ) = (33) x para outros valores de Tipo 3: > 0, a família Weibull. A CDF agora fica: exp ( + x) se x > F ( ) = (34) x 0 para outros valores de

5 Teoria dos Valores Extremos 6 A figura 4 mostra as CDFs para as três distribuições: Gumbel, Fréchet e Weibull. CDF 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, retoros Gumbel Fréchet Weibull Figura 4 - Fuções de probabilidade acumulada para as três distribuições para míimos: os parâmetros utilizados as fuções Fréchet e Weibull foram 0,5 e 0,5; respectivamete. A fução de desidade de probabilidade (pdf) da distribuição limite geeralizada da eq.(3) pode ser obtida por difereciação e aplicação da regra da cadeia: Se 0 : ( ) ( ) [( ) ] + x ( + ) exp x df ( x) f ( x) = = dx ( ) [( ) ] + x ( + ) exp x f ( x) =

6 Teoria dos Valores Extremos 62 Se = 0 : df ( x) f ( x) = = dx f ( x) = exp [ x exp( x) ] ( exp( x) ) exp[ exp( x) ] = exp( x) exp[ exp( x) ] Resumido: ( ) [( ) ] + x ( + ) exp x se 0 f ( ) = (35) x [ x exp( x) ] exp se = 0 ode < x < para = 0 ; x < para < 0 ; x > para > 0. A figura 5 mostra o formato da fução de desidade de probabilidade para as três distribuições. Resumido, o comportameto da cauda de F (x) determia a distribuição limite de míimos F ( ). Aalisado a cauda esquerda das três x distribuições, ota-se que, para a família Gumbel, ela declia expoecialmete; para a Fréchet, ela declia seguido uma fução potêcia; a família Weibull ela é fiita. Para gereciameto de risco, a maior parte dos casos o iteresse recai sobre a família Fréchet, que iclui distribuições estáveis e t-studet. A família Gumbel cosiste em distribuições com caudas leves que mais se aproximam às distribuições ormal e log-ormal.

7 Teoria dos Valores Extremos 63 0,6 pdf 0,5 0,4 0,3 0,2 0, retoros Gumbel Fréchet Weibull Figura 5 - Fuções desidade de probabilidade para as três distribuições para míimos: os parâmetros utilizados as fuções Fréchet e Weibull foram 0,9 e 0,5; respectivamete. A Teoria dos Valores Extremos possui duas importates implicações. Primeiro, o comportameto da cauda da CDF F (x) de r t, ão a distribuição específica, determia a distribuição limite(ormalizada) de míimos F ( ). Depois, a teoria é geralmete aplicável a um amplo úmero de distribuições de retoros r t. x 5.2. Métodos de Estimação Empírica A distribuição de valores extremos cotém três parâmetros:, e. Esses parâmetros são chamados de parâmetros de forma, de localização e de escala, respectivamete. Eles podem ser estimados usado-se tato métodos paramétricos como ão paramétricos.

8 Teoria dos Valores Extremos 64 Para uma amostra dada, só existem um úico máximo e um úico míimo. E sedo assim, ão se cosegue estimar os três parâmetros com apeas uma observação extrema. Usa-se etão uma idéia alterativa, que cosiste em dividir a amostra em sub-períodos e aplicar a Teoria dos Valores Extremos a esses subperíodos. Assuma que existem T retoros possíveis. Divide-se a amostra em g subperíodos ão repetidos cada qual com observações, de tal forma que T = g. Se for suficietemete grade, supõe-se que a Teoria dos Valores Extremos se aplica para cada sub-amostra. Cosidere r, como o retoro míimo da i-ésima amostra, ode sigifica i tamaho da amostra. Quado é suficietemete grade, x i ( r ), i, = deve seguir uma distribuição de valor extremo, e o cojuto dos míimos das subamostras { i, g} r, i K, = pode etão ser cosiderada como uma amostra de g observações que segue uma distribuição de valores extremos. Especificamete, defie-se: { r } r i = ( i ) + j j, mi, i = K,, g Essa defiição dá a exata localização dos míimos das sub-amostras detro da amostra como um todo. Esse cojuto dos míimos das sub-amostras serão os dados utilizados a estimativa dos parâmetros da distribuição de valores extremos Abordagem Paramétrica Nesta seção serão apresetadas duas abordages paramétricas: o método de máxima verossimilhaça e o da regressão.

9 Teoria dos Valores Extremos Método de Máxima Verossimilhaça Assuma que o cojuto dos míimos das sub-amostras segue uma distribuição de valores extremos de tal modo que a pdf de dada pela eq.(35). Pode-se obter a pdf de substituição: i x ( r ), i, i = é r, realizado uma simples se 0 : + ( ) r ( r ), i, i exp + f ( r,i ) = (36) se = 0 : exp ( r ) ( r ), i, i exp ( ) r, i ode se etede que + > 0 se 0. O subscrito adicioado ao parâmetro sigifica que sua estimativa depede da escolha de. Como se assumiu que os retoros são idepedetes, a fução de verossimilhaça do cojuto dos míimos das sub-amostras é: ( r, K, r, ) = f ( r ),, g, g l (37) i=, i Procedimetos ão lieares podem ser utilizados a obteção da estimativa de máxima verossimilhaça de, e. Essa estimativa é ão viesada, assitoticamete ormal e de míima variâcia sob premissas apropriadas.

10 Teoria dos Valores Extremos Método da Regressão Esse método assume que o cojuto dos míimos das sub-amostras são amostras aleatórias da distribuição de valores extremos geeralizadas e faz uso de propriedades de ordeação estatística. Como resultado, têm-se a regressão: l + ( r ) ( i) + e i se 0 g + i l l = g + (38) r ( i) + e i se = 0 ode: i = K,, g ; e i é o erro associado a regressão. O camiho até esse resultado está explicado o Apêdice C. A estimativa pelo método da regressão é cosistete, mas meos eficiete do que os estimadores de máxima verossimilhaça Abordagem Não Paramétrica O parâmetro de forma pode ser estimado por algus métodos ão paramétricos. Aqui, dois serão mecioados, um proposto por Picads (estimador Picads) e outro por Hill (estimador Hill). Ambos estimadores usam diretamete os retoros, portato ão é preciso cosiderar sub-amostras.

11 Teoria dos Valores Extremos 67 Chamado a ordeação estatística de r( ) r(2) K r( T ) e chamado de q um úmero iteiro positivo, os dois estimadores de são defiidos como: r( q) + r(2q) p ( q) = l (39) l(2) r(2q) + r(4q) q { l[ r( i) ] l[ r( q+ ) ]} h ( q) = (40) q i= Ode o argumeto (q) é usado para efatizar que os estimadores depedem de q. A escolha de q difere etre os estimadores de Picads e Hill. Apesar de ter sido ivestigado por vários pesquisadores, ão chegou-se a ehum coseso sobre a melhor forma de avaliar-se tal argumeto. O estimador de Hill é aplicado apeas para a distribuição Fréchet, porém, quado aplicável, é mais eficiete que o estimador Picads. Segudo Tsay (2002), pode-se mostrar que q[ h q) ] ( é assitoticamete ormal com média zero e variâcia 2. Uma primeira aálise poderia sugerir que quato maior o argumeto q, meor a variâcia 2 e portato melhor seria o estimador. Porém existe a preseça de um viés em amostras fiitas que é diretamete proporcioal a, o que iviabiliza a escolha de q's muito altos. Portato, deve-se chegar a um meio termo o que tage o valor do argumeto q. Na prática, o que se faz é plotar o estimador h (q) versus q e achar um q de tal modo que o estimador pareça estável. Tal método gráfico é chamado de Hillplot. O Hillplot deve ser traçado separadamete ao se parametrizar a cauda superior e a iferior. Não existe motivo para que as caudas apresetem mesmo comportameto, portato elas podem apreseta estimativas diferetes.

12 Teoria dos Valores Extremos Valores Extremos Aplicados ao Value at Ris Nesta seção será discutida uma abordagem para o cálculo do VaR usado a Teoria dos Valores Extremos. Essa discussão será dividida em duas subseções: a primeira será destiada a estimar os parâmetros da distribuição de valor extremo e a seguda efoca o cálculo do VaR usado as probabilidades de iteresse associadas a diferetes itervalos de tempo Estimativa dos Parâmetros Assuma que existem T observações dos retoros de um ativo realizadas o período amostral. Como abordado ateriormete, dividiu-se o período em g subperiodos ão sobrepostos de tamaho tal que T = g. Se T = g + m, com m <, etão descartam-se as m primeiras observações da amostra. Os parâmetros, e podem ser obtidos usado-se a teoria já abordada ateriormete. Substituido x ( r ) a meor probabilidade que idica perdas poteciais e = a CDF da eq.(3) e chamado de p sub-período sob a distribuição limite de valores extremos, tem-se: r o p-ésimo quatil do p = ( ) + r exp ( ) se 0 r exp exp se = 0

13 Teoria dos Valores Extremos 69 ( ) + r exp se 0 = + p ( ) r exp exp se 0 = ( ) + r exp se 0 = p ( ) r exp exp se 0 = ( ) r + se 0 ( ) = l p (4) ( ) r exp se 0 = O quatil r será: Para 0 ( ) r p l + = ( ) [ ] + = r p l

14 Teoria dos Valores Extremos 70 r = [ l( p )] + r = [ l( p )] + ( [ l( p )] ) r = Para = 0 : l l r ( ( ) p = exp ) r [ l( p )] r = + l r = + l = [ l( p )] [ l( p )] Resumido: ( [ l( p )] ) se 0 r = (42) [ l( p )] + l se = 0 Como já havia sido dito ateriormete, em fiaças, a maioria das vezes, estamos iteressados o caso em que 0.

15 Teoria dos Valores Extremos 7 Caso a opção para cálculo do parâmetro de forma da cauda seja o estimador de Hill, algumas mudaças devem ser efetuadas. Segudo Embretchs et al (997), o estimador de Hill é uma particularização do estimador de máxima verossimilhaça 8 e depois de algum algebrismo, pode-se obter a fução de distribuição acumulada abaixo: F( ri ) = q h ( q) r i r ( q+ ) (43) O estimador para o quatil tora-se: ( q) [( p) ](. r ) r = h ( q+ ) (44) q Como dito ateriormete, o estimador de Hill utiliza a amostra de dados como um todo, ão havedo a ecessidade de divisão da base de dados em subamostras para posterior obteção da distribuição de valores extremos Cálculo do VaR Para uma dada probabilidade p(cauda esquerda), o quatil r da eq.(42) é o VaR baseado a Teoria dos Valores Extremos aplicada aos míimos dos subperíodos da amostra. Agora será explicitada a relação etre os míimos dos subperíodos da amostra e as séries de retoros observadas. Como a maioria dos retoros dos ativos são serialmete ão correlacioados ou são fracamete serialmete correlacioados, pode-se usar a relação a eq.(22) e obter-se: 8 Para maiores detalhes, veja Embrechts et al (997).

16 Teoria dos Valores Extremos 72 p = P r ( ) [ ( )], i r = P r, i r = [ P( r )] r p (45), i Essa relação etre probabilidades permite que se obteha o VaR através da série de retoros do ativo origial. Mais precisamete, para uma pequea probabilidade p, o p-ésimo quatil de r t é com base a eq.(45), ode p ( ) r se a probabilidade p for escolhida = P r t r. Coseqüetemete, para uma dada probabilidade pequea p, partido da eq.(42), O VaR será: VaR = ( [ l( p )] ) se 0 [ l( p )] + l se = 0 Substituido a eq.(45) a eq.(42): VaR = [ ( ) ] l p se 0 [ l( p) ] se = 0 + l ( [ l( p) ] ) se 0 VaR = (46) [ l( p) ] + l se = 0

17 Teoria dos Valores Extremos 73 Voltado ao caso particular do estimador de Hill, seguido o resultado da eq. (44), o VaR ficaria: ( q) [( p) ](. r ) VaR = h ( q+ ) q (47) VaR Multiperiódico A regra da raiz quadrada do tempo da metodologia RisMetrics tora-se um caso especial sob a ótica da Teoria dos Valores Extremos. A relação etre os horizotes de l dias e de dia pode ser dada por: VaR( l) = l VaR() = l VaR() (48) ode: é o ídice da cauda; é o parâmetro de forma da distribuição de valor extremo. Essa relação é cohecida como a regra da raiz do tempo. Tem-se que =, ou seja, ão se deve cofudi-lo com o parâmetro.