Aula 5 Teorema central do limite & Aplicações

Transcrição

1 Diâmica Estocástica Aula 5 Teorema cetral do limite & Aplicações

2 Teorema cetral do limite Se x é tal que: x 0 e ( xv é fiita,,..., x x, x,...,, 3 x variáveis aleatórias idepedetes com a mesma distribuição Sea: Z x x v x 3... x Etão para Temos: ( Z exp( Z / Distribuição de probabilidades associada a Z é uma gaussiaa de variâcia.

3 Teorema cetral do limite Demostração do teorema As variáveis x x, x,...,, 3 x possuem a mesma distribuição: g g (... g ( g( ( A fução característica g( g( exp( escrita em termos da expasão em cumulates é dada por: ( i! Expasão g( exp( iv O( 3 3

4 g( Teorema cetral do limite Demostração do teorema exp( i O( 3 x vv x... 0 cumulate de primeira ordem x v x... cumulate de seguda ordem O( 3 termos de ordem superior a em (a expasão é para pequeo v 4

5 Teorema cetral do limite A fução característica Demostração do teorema G( G( associada a Z é dada por: expiz x x x... x Z / 3 G exp i ( x xv... x / ( Sea: v As variáveis x x, x,...,, 3 x são variáveis aleatórias idepedetes e, portato, G( g( g(... v g ( g ( 5

6 6 Teorema cetral do limite ( (... ( ( ( g g g g G Mas: ( exp( ( 3 O i g ( exp( ( ( 3 O g G Portato: 0 Como,, temos: ( exp( ( 3 O g v v Demostração do teorema

7 7 Teorema cetral do limite / Mas,, o que implica que o termo em do lado direito da expressão acima será: ( exp( ( 3 O G ( (

8 Teorema cetral do limite Demostração do teorema G( exp( O( 3 O( 3 c 3... c cost. 3 Portato o termo em vido de O( 3 a expoecial (lado direito da equação para G( pode ser avaliado como: c / 3 pois, / Ou, c 3 3 / v c O( v Portato: O( 3 0 quado (3 8

9 Teorema cetral do limite A partir dos resultados (, ( e (3 temos: Mas, Demostração do teorema G( exp( (* e, portato, (* x 0 x x x G( exp( Fução característica associada a Z Portato Z ( Z exp( A distribuição associada a Z é uma gaussiaa!! Como queríamos demostrar. 9

10 Teorema cetral do limite x x x... x Z / 3 x x, x,...,, 3 x : variáveis aleatórias idepedetes e coma mesma distribuição x x x3... x 0 x x x 3... x = variâcia que é fiita Sea X x x x... 3 x X Z Ecotrar distribuição de probabilidades de X o limite em que >> ( X 0

11 Teorema cetral do limite x x x... x Z / 3 X Z ( Z dz ( X dx ( Z dz v ( X dx X Z dx dz ( X ( Z / Z ( Z exp( X ( X v exp(

12 Teorema cetral do limite ( X ( Z / X Z Mas, acabamos de ecotrar que pelo teorema cetral do limite temos: Z ( Z exp( x x x... x Z / 3 Portato: X ( X exp(

13 Camiho aleatório & Teorema cetral do limite Aplicação

14 Camiho aleatório em uma dimesão Uma pessoa camiha sobre uma reta. Partido da origem a cada istate de tempo ela dá um passo para a direita ou para a esquerda com igual probabilidade. P ( Qual é a probabilidade dela estar a posição depois de passos, partido de 0? 4

15 Camiho aleatório em uma dimesão Variável aleatória,,,...,, que assume o valor com probabilidade ½ e o valor com probabilidade ½. p( p( / passo passo para a esquerda. para a direita. 5

16 Camiho aleatório em uma dimesão Depois de passos a posição será: x (... Como todos os passos são idepedetes x etão a variável é uma soma de variáveis idepedetes 6

17 Camiho aleatório em uma dimesão A média de cada uma das variáveis aleatórias é dada por: ( p( p( p( / { / / } 0 Agora (... x x... Como: 0 x 0 7

18 Camiho aleatório em uma dimesão x ( ( ( p As variáveis são idepedetes ( ( 0 x x Variâcia de x é proporcioal ao úmero de passos. 8

19 P ( Camiho aleatório em uma dimesão Probabilidade de a pessoa estar em x depois de passos. Variável aleatória= pois x... ( Fução característica G ( G( P ( exp( i Como as variáveis são idepedetes G( g( g(... g( Em que, g ( exp( i =,,..., 9

20 Camiho aleatório em uma dimesão G( g( g(... g( g ( exp( i g ( exp( i ( p {exp( i exp( i} G( { exp( i exp( i} Mas, G( P ( exp( i 0

21 Camiho aleatório em uma dimesão G ( { exp( i exp( i} ( x y 0 x y expasão biomial m G e e m0 m i i m x exp(i y exp( i G e e m0 m m0 m m i i ( m

22 Camiho aleatório em uma dimesão G e e m0 m m0 m m i i ( m m m 0 m m G e i Fução característica

23 Camiho aleatório em uma dimesão G e i (! (! (! Mas, G( P ( e ( i Comparado as duas equações acima obtemos a distribuição de probabilidades deseada: P ( (!!(! Probabilidade de a pessoa estar em x depois de passos 3

24 Passeio aleatório & Teorema cetral do limite Limite para Z ( 4

25 Camiho aleatório & Teorema cetral do limite Limite para 0 ( 3... Z Utilizado o teorema cetral do limite ( Z exp( Z / 5

26 Camiho aleatório & Teorema cetral do limite Limite para Utilizado o teorema cetral do limite 3... Z... 3 Z ( Z dz P ( d d dz P ( ( Z / P ( exp( / 6

27 Modelo de Isig & Teorema cetral do limite Aplicação

28 Modelo de Isig & Teorema cetral do limite Aplicação Modelo de Isig Sea uma rede com i Cada sítio. um átomo magético com, mometo em que cost. sítios e de dipolo magético i i i é uma variável que assume dois valores: i, ( i,,...,..., (,..., i,..., especifica uma cofiguração do sistema. Eergia associada a cofiguração : E( J ( i, i (para campo extero ulo em que a soma é sobre pares de primeiros vizihos e J cost. J 0 : iterações ferromagética 8

29 Esboço do diagrama de fase do modelo de Isig bidimesioal a campo ulo 0 F T c P T T F P Temperatura Fase ferromagética. Fase paramagética. Parâmetro ordem m Para temperaturas acima da temperatura crítica o sistema se ecotra o estado paramagético (desordeado: o parâmetro ordem m Tc se aula para Temperatura crítica. Ode se dá uma trasição etre as fases P e F (trasição de fase. T T c Para temperaturas abaixo da temperatura crítica o sistema se ecotra o estado ferromagético (ordeado. (sistema ifiito. m 0 para T T c 9

30 Modelo de Glauber- Isig T T c T T c T T c Tc temperatura crítica estado ordeado T muito próxima da crítica. estado desordeado Simulações de Mote Carlo em redes quadradas regulares. Istatâeos da rede gerados utilizado a prescrição de Metropolis para o modelo de Isig. i i Spi para baixo Spi para cima 30

31 m Modelo de Isig Magetização versus temperatura (T/J, J>0 para o modelo de Isig defiido em uma rede quadrada de tamaho =LxL. Ladau & Bider (000 As curvas correspodem à redes quadradas regulares de diferetes tamahos LxL B T c / J,698 T / J 0, B T / J l( B c c m é o parâmetro de ordem para essa trasição m 0 m 0 Fase ferromagética ordeada Fase paramagética desordeada

32 Modelo de Glauber-Isig Cosideremos um diâmica estocástica associada ao modelo de Isig: modelo de Glauber-Isig. A partir de uma cofiguração iicial aleatória gera-se outras cofigurações por meio da diâmica. Para isto podemos, por exemplo, utilizar a prescrição de Glauber e atualização assícroa. (vamos ver a prescrição de Glauber e atualização, este curso, mais adiate!! i uma variável aleatória i, O modelo de Glauber-Isig possui simetria up-dow (simetria de iversão: i i ( i,,...,..., O hamiltoiao e a diâmica ficam ivariates 3

33 Modelo de Glauber- Isig Cosideremos o regime de altas temperaturas Sistema o estado paramagético Temperatura c T As variáveis aleatórias i se toram c estaticamete idepedetes este caso cada variável i um dos seus dois possíveis valores: i com tem probabilidade ½ de p( i assumir qualquer i com p( i i ( c ( 0 33

34 Modelo de Glauber- Isig Cosideremos o regime de altas temperaturas: T ou T T c Tc Temperatura crítica Pois: e como: ( ( A variâcia de é igual a 0 Todas as variáveis i têm a mesma variâcia:... 34

35 Defiido: Modelo de Glauber- Isig Z... 3 ( Z ( (,,..., são idepedetes. Etão: Obtivemos (slide aterior que:... ( (4 Portato, a partir da Eq. ( e usado (, (3 e (4, obtemos: Z Z c 35

36 Modelo de Glauber- Isig. & Teorema cetral do limite T T c,,...,... variáveis aleatórias idepedetes. 0 ( ( Obtivemos (slide aterior que a variâcia de todas as variáveis é igual e fiita:... (3 Levado em cota as codições (, ( e (3 e defiido Z... 3 O teorema cetral do limite implica que a distribuição de Z para é ( Z exp( Z / Variâcia: Z Distribuição de probabilidades associada a Z é uma gaussiaa. 36

37 Modelo de Glauber- Isig. & Teorema cetral do limite A distribuição de (m Μ m... m Μ... m m... 0 m M = variâcia de m. (m ( exp( m / Forma assitótica para fiito (mas suficietemete grade. 37

38 Modelo de Glauber- Isig. & Teorema cetral do limite (* Observação m M Z M m Z (m dm ( Z dz (m dm ( Z dz (m ( Z m (m exp( m / exp( 38

39 Modelo de Glauber- Isig. & Teorema cetral do limite ( m ( exp( m / m... m... 0 i m = variâcia de m. = desvio quadrático de m. À medida em que cresce a variâcia de m vai a zero. Para tededo a ifiito a distribuição de m tede a uma delta de Dirac (m como devemos esperar. 39

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41 FIM