Capítulo 39: Mais Ondas de Matéria
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- Júlio Paulo Bandeira Penha
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1 Capítulo 39: Mais Odas de Matéria Os elétros da superfície de uma lâmia de Cobre foram cofiados em um curral atômico - uma barreira de 7,3 âgstros de diâmetro, imposta por 48 átomos de Ferro. Os átomos foram colocados um a um, com o auílio da pota de um STM.
2 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Odas em Cordas e Odas de Matéria Cofiar uma oda em uma região fiita leva à quatização do movimeto, ou seja, à eistecia de estados discretos para a oda, cada um com uma frequecia bem defiida, portato uma eergia bem defiida. E hf Essa oservação é aplicavel a todos os tipos de odas icluido as odas de matéria. Para odas em cordas:
3 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Odas em Cordas e Odas de Matéria U()
4 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Calculo das eergias quatizadas de um elétro cofiado De Broglie (oda de matéria) Poço de potecial ifiito com = pm
5 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Calculo das eergias quatizadas de um elétro cofiado Para que um elétro cofiado absorva um fóto, é preciso que a eergia do fóto, hf, seja igual à difereça de eergia, ΔE, etre a eergia do estado iicial do elétro e a eergia do outro estado permitido.
6 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Calculo das eergias quatizadas de um elétro cofiado Eemplo 39 ) Um elétro é cofiado em um poço de potecial uidimesioal ifiitamete profudo de largura = pm. a) Qual a meor eergia do elétro? b) Qual deve ser a eergia forecida ao elétro para que ele eecute um salto quâtico do estado fudametal para o segudo estado ecitado. c) Se o elétro eecutou o salto quâtico do item b), qual foi o comprimeto de oda do fóto icidete? d) Depois que o elétro saltou ao segudo estado ecitado, quais são os possíveis comprimeto de oda de luz que podem ser emitidos ao retorar ao estado fudametal? a) A meor eergia será do estado fudametal m e 9, Kg; h 6,63 Js 8 E 6,3 J 37, 7eV b) Calcular: E E 3 E h E3 (3) 5,43 8m 7 7 E E E 4,83 J 3eV 3 J
7 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Calculo das eergias quatizadas de um elétro cofiado c) Se o elétro eecutou o salto quâtico do item b), qual foi o comprimeto de oda do fóto icidete? d) Depois que o elétro saltou ao segudo estado ecitado, quais são os possíveis comprimeto de oda de luz que podem ser emitidos ao retorar ao estado fudametal? c) Sabedo a variação de eergia, temos: E hf hc / E 3 hc / 9 4, m 3 d) O elétro pode saltar diretamete para o estado iicial emitido um fóto correspodete a trasição de =3 para =, ou, pode saltar de =3 para = e depois para =: De =3 para =, temos: E3 E3 E 4,83 hc / E 4, De =3 para =, temos: J m E3 E3 E 3,6 9 hc / E 6,6 m De = para =, temos: 3 E E E,89 8 hc / E, m 7 7 J J
8 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Fução de oda de um elétro aprisioado Da Equação de Schrödiger para U = (detro do poço ifiito): d d 8 m 8 m E h h p 4 m h h 4 k k Solução: d d ( ) Ase Bcos,,3... Da codição de cotoro: ( ) B ( ) Ase,,3... Oda estacioária Sobreposição de duas odas de mesma frequêcia, mesma velocidade, mas setidos opostos:
9 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Fução de oda de um elétro aprisioado Para ecotrar a probabilidade em um itervalo Δ, de até :,,3... ) ( Ase d p ) ( ) (,,3... ) ( se A )) ( ( ) ( d se A d p Codição de ormalização
10 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Fução de oda de um elétro aprisioado,,3... ) ( Ase se A d se A 4 Para osso caso, o elétro certamete estará etre = e =: A,,3... ) ( se 5 (pm) Para Grades valores de, o resultado previsto pela física quâtica se assimila ao previsto pela física clássica. p()
11 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Eergia do Poto Zero A meor eergia permitida para um elétro aprisioado em um poço de potecial ifiito, a eergia do estado fudametal, é dada pela equação acima apresetada quado =. O elétro sempre estará o estado fudametal a meos que receba uma eergia suficiete para trasferi-lo para um estado ecitado. E h 8m Quato meor a massa maior a eergia do estado fudametal. Em sistemas cofiados ão eistem estados de eergia zero.
12 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Eemplo 39 3) Um elétro se ecotra o estado fudametal de um poço ifiito uidimesioal como o mostrado pela figura abaio, cuja largura = pm. a) Qual a probabilidade de detectar o elétro o terço esquerdo (etre = e =/3)? b) Qual a probabilidade de detectar o elétro etre =/3 e =/3? a) Sabedo que: ) ( se ) ( se d se p )) ( ( ) ( d p, ) ( p % ) ( p
13 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Eemplo 39 3) b) Qual a probabilidade de detectar o elétro etre =/3 e =/3? % 6% % Por simetria da fução de oda, sabemos que a probabilidade de ecotrar o elétro o itervalo etre < < /3 (terço esquerdo) deve ser igual a probabilidade de ecotrar o elétro etre /3 < < (terço direito)., p( ), /3 /3 p( ) p( ),6 6%
14 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Um Elétro em um Poço Fiito Poço ifiito = idealização Poço fiito = mais realista U U() U Equação de Schrödiger:
15 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Um Elétro em um Poço Fiito Se a eergia do elétro for maior que a eergia do poço, qualquer eergia é permitida e o elétro ão estará mais aprisioado. O maior estado quâtico permitido para um elétro cofiado em um poço de largura pm e eergia potecial de 45 ev é o terceiro estado ecitado, = 4. Quato maior a eergia do elétro, maior é a probabilidade de ecotrar o elétro em uma região além das paredes do poço fiito.
16 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Um Elétro em um Poço Fiito Eemplo 39 4) Um elétro está cofiado em um estado fudametal de um poço fiito de U = 45 ev e = pm. a) Qual é o maior comprimeto de oda de luz capaz de libertar o elétro do poço de potecial por absorção de um úico fóto? b) Um elétro iicialmete o estado fudametal pode absorver luz com um comprimeto de oda de m? Em caso afirmativo, qual será a eergia do elétro após a absorção? a) O comprimeto de oda será proporcioal a difereça de eergia etre a altura do poço de potecial e a eergia do estado fudametal. h 8 E 4,3 J 7eV 8m E U E hf hc hc E (45 7),6 b) Caso o comprimeto de oda de m reder uma eergia maior que a do poço de potecial, o elétro será ejetado com eergia ciética ão ula! 9,94m hc 7 E 9,95 J 66eV K E ( U E ) 6 (43) 99eV
17 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Outras Armadilhas para Elétros: Naocristalitos Até agora discutimos tipos de armadilhas para elétros: o poço de potecial fiito e ifiito. Naocristalitos: Quato meor, maior a eergia do fóto absorvido! Fótos com eergias meores que E serão espalhados, portato o maior comprimeto de oda permitido a absorção de um fóto será c : E hc c Fotografia de duas amostras de seleeto de cádmio com diferetes tamahos de grãos. A amostra que espalha luz amarela tem graulometria meor!
18 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Outras Armadilhas para Elétros: Potos Quâticos Arrajo esquemático mostrado um poto quâtico. O semicodutor forma um poço de potecial ode o elétro é aprisioado. A camada iferior de isolate, mais estreita, permite a etrada ou saída de elétros o semicodutor, depededo apeas do ajuste do potecial.
19 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Outras Armadilhas para Elétros: Currais Quâticos Átomos de Fe posicioado por meio da pota de um microscópio de tuelameto sobre a superfície do Cobre.
20 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Outras Armadilhas Eletrôicas: Curral Bidimesioal Solução de um Poço Ifiito Uidimesioal:,,3... ) ( se,,3... ) (, y se se y y y y Solução da fução de oda para um Curral Bidimesioal: Eergia do Elétro:, y y y y y m h m h m h E
21 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Outras Armadilhas Eletrôicas: Caia Tridimesioal Eergia do Elétro:,,3...,, 8,, z y z z y y z y m h E,, z z y y z y m h m h m h E
22 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Outras Armadilhas para Elétros Eemplo 5) pg. 7 Um elétro é cofiado em um curral quadrado, = y = (poço de potecial bidimesioal ifiito). a) Determie as eergias dos cico primeiros íveis de eergias e costrua um diagrama de íveis de eergia. b) Qual a difereça de eergia etre o estado fudametal e o terceiro estado ecitado do elétro, em múltiplos de h /8m. a) Das eergias permitidas para um cofiameto bidimesioal: E E, y, y h y 8m y y h 8m y y E (h /8m )
23 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Outras Armadilhas para Elétros a) Determie as eergias dos cico primeiros íveis de eergias e costrua um diagrama de íveis de eergia. E, y h 8m y y E (h /8m )
24 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Outras Armadilhas para Elétros a) Qual a difereça de eergia etre o estado fudametal e o terceiro estado ecitado do elétro, em múltiplos de h /8m. E h E,3 E, 8m E h 8m 8
25 Cap. 39: Mais Odas de Matéria O Átomo de Hidrogêio: Modelo de Bohr Aalises das forças evolvidas: Fe F c r e 4ε mv e 4ε r mv r Do Mometo Agular, temos: h rmv v mr r e 4ε embrado que: r p rmvse9 rmv p Codição de Quatização das Órbitas: O comprimeto da orbita do elétro deve ser um múltiplo iteiro de. m mr r r 4ε me h εh r me,,3...
26 Cap. 39: Mais Odas de Matéria O Átomo de Hidrogêio: Modelo de Bohr E e 8 r E r,8 ε h me r ε h me Das Eergias: E 8 J Raio de Bohr r a εh a 5,9 me mv e 4 r E E K U mv 4 me 8 h 3,6eV,,3... m e 4ε r
27 Cap. 39: Mais Odas de Matéria O Átomo de Hidrogêio: Modelo de Bohr Mudaças de Níveis de Eergia E alto E baio E hf baio alto h me h me c h alto baio alto baio R c h me 7 3 4,97 8 m c h me R Costate de Rydberg
28 Cap. 39: Mais Odas de Matéria Eergia (ev) O Átomo de Hidrogêio U e 4 r Distâcia radial (Å) E,8 8 J 3,6eV,,3...
29 Cap. 39: Mais Odas de Matéria O Átomo de Hidrogêio E,8 8 J 3,6eV,,3...
30 Cap. 39: Mais Odas de Matéria O Átomo de Hidrogêio E,8 8 J 3,6eV,,3...
31 Cap. 39: Mais Odas de Matéria O Átomo de Hidrogêio Números quâticos do átomo de hidrogêio Módulo do mometo agular orbital Orietação o espaço do mometo agular orbital As restrições dos úmeros quâticos da tabela acima ão são arbitrários, mas surgem aturalmete da solução da equação de Schrödiger.
32 Cap. 39: Mais Odas de Matéria O Átomo de Hidrogêio Eemplo: Um grupo de estados quâticos do átomo de hidrogêio tem = 5. a)quatos valores de l são possíveis para os estados do grupo? Um subgrupo de estados do átomo de hidrogêio detro do grupo = 5 tem l = 3. b) Quatos valores de m l são possíveis para os estados deste subgrupo?
33 Cap. 39: Mais Odas de Matéria O Átomo de Hidrogêio Estado fudametal do átomo de hidrogêio: E r U se se se mr r r r mr ) ( Desidade de probabilidade radial, estado fudametal
34 Cap. 39: Mais Odas de Matéria O Átomo de Hidrogêio Estado fudametal do átomo de hidrogêio: E r U se se se mr r r r mr ) ( Desidade de probabilidade radial, estado fudametal
35 Cap. 39: Mais Odas de Matéria O Átomo de Hidrogêio
36 Cap. 39: Mais Odas de Matéria O Átomo de Hidrogêio
37 Cap. 39: Mais Odas de Matéria O Átomo de Hidrogêio
38 Cap. 39: Mais Odas de Matéria O Átomo de Hidrogêio
39 Cap. 39: Mais Odas de Matéria O Átomo de Hidrogêio
40 Cap. 39: Mais Odas de Matéria O Átomo de Hidrogêio
41 Cap. 39: Mais Odas de Matéria O Átomo de Hidrogêio Eemplo 7) pg. 36 Mostre que a desidade de probabilidade do estado fudametal do átomo de hidrogêio é máima para r = a. dp( r) dr 4 r a re r e a a r a 3 re r a r a r a
42 Cap. 39: Mais Odas de Matéria O Átomo de Hidrogêio Eemplo 6) pg. 35 a) Qual é o comprimeto de oda do fóto de meor eergia emitido pela série de yma do espectro do átomo de hidrogêio? b) Qual é o comprimeto de oda limite da série de yma? a) A meor eergia emitida a série de yma correspode à trasição etre o primeiro estado ecitado e o estado fudametal! = para = E 3,6, ev hc E, 7 m m b) Quato meor, maior a eergia, portato a trasição será etre = e = 4 me 3 8 h c baio alto me h c 9, 8 m 9, m
43 Cap. 39: Mais Odas de Matéria ista de Eercícios: 9,, 3, 5, 9,, 5, 9, 33, 39, 43, 45, 55
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