objetivo Exercícios Meta da aula Pré-requisitos

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1 Exercícios A U L A 6 Meta da aula Aplicar o formalismo quâtico estudado as Aulas a 5 deste módulo à resolução de um cojuto de exercícios. objetivo Esperamos que, após o térmio desta aula, você teha cosolidado os coteúdos das Aulas a 5, do Módulo. Pré-requisitos Os coteúdos das Aulas a 5 desta disciplia.

2 Itrodução à Mecâica Quâtica Exercícios. BARREIRA DE POTENCIAL (AULAS E ).. Um feixe de elétros de ev icide sobre uma barreira de potecial retagular de 4 ev de altura e m de espessura. (a) Qual é a probabilidade de trasmissão T? (b) Qual seria o valor de T para elétros de 6eV? (a) Trata-se do caso em que a eergia é meor que a altura da barreira. Podemos usar a Equação (.8) deduzida a Aula : T = + ( k + K ) seh ( Ka) 4k K ( ) V seh Ka = + 4E( V E), ( ) = em que K = m V E h 7, m. Substituido os valores a fórmula, obtemos T =, 6. (b) Agora temos a eergia maior que a altura da barreira, etão usamos a Equação (.) da Aula : T = + ( ) em que k = m E V h 7, m. Substituido os valores a fórmula, obtemos T =, 83. k k ( k a) se V k se ( a) = + 4k k 4E( E V ) ( ) =,.. Supodo que podemos ajustar a espessura da barreira do exercício..a, qual o valor da mesma para que elétro, de cada icidetes, tuelasse através dela? 74 C E D E R J

3 Podemos usar a Equação (.8) da Aula para obter uma expressão para a espessura a: ( ) E( V E) T 4 a = seh K V AULA 6 MÓDULO Usado T = /, E = ev, V = 4 ev e K = 7, m, obtemos a =.576 m..3. Um próto e um dêutero (que possui duas vezes a massa do próto), ambos com uma eergia ciética de 3MeV, icidem sobre uma barreira de fm de espessura e altura igual a MeV. Calcule a probabilidade de trasmissão para cada uma destas partículas. ( ) V Ka seh Usamos ovamete a expressão T = +. 4E( V E) No caso do próto, usamos m =,67 7 kg e obtemos 4 K = m( V. Substituido a fórmula, E) h = 5, 8 m obtemos T = 3, 5. Já o caso do dêutero, temos K = 8, 4 m e T =,5 7. Veja que, se aumetarmos a massa apeas por um fator, a probabilidade de tuelameto dimiui por duas ordes de magitude! C E D E R J 75

4 Itrodução à Mecâica Quâtica Exercícios O POÇO DE POTENCIAL FINITO (AULA 3).. Um elétro está o iterior de um poço quadrado de ev de profudidade. a. Se a eergia do estado fudametal do eletro o poço é de 8 ev, calcule a largura do poço. b. Repita o item aterior para o caso em que 8 ev seja a eergia do primeiro estado excitado. a. Usado a Equação (3.7), temos kta ka K, que relacioa a eergia e a largura de um poço quadrado o caso de uma solução par (como a do estado fudametal). Usado as defiições de k e K, temos: Deste modo, ( ) = ( ) = me m V E K V E k = K, = = h h k E ka ta ( ka ) = =, 46 + π (em radiaos) ode =,,,.... Assim, há vários valores possíveis da largura a que satisfazem os dados do problema. No etato, ote que aida ão impusemos a codição de que este é o estado fudametal (o estado par com meor eergia). Os diferetes valores possíveis de a correspodem a diferetes estados pares, todos com eergia de 8 ev, mas apeas um deles deve ser o estado fudametal para o poço correspodete. Note que, quato mais largo o poço, maior o úmero de estados ligados. Ou seja, se aumetarmos muito a largura do poço, certamete itroduziremos estados pares com eergia meor que 8 ev. Assim, o valor de para o qual o estado em questão é o estado fudametal deve correspoder à meor largura de poço possível, ou seja, =. Obtemos etão a =, 93. Como k me 9, 8, 6 k = = 34 h, m =,45 m, etão obtemos fialmete a = 6,4 m. b. No caso do primeiro estado excitado, temos de usar a Equação ( ) = (3.5), kcot ka K, que se refere a fuções de oda ímpares. Repetido o procedimeto do item aterior, obtemos: ka cot ( ka ) = =, 3 + π (em radiaos) 76 C E D E R J

5 ode, ovamete, =,,,.... Pela mesma argumetação aterior, escolhemos = (estamos em busca do estado ímpar de meor eergia). 4, 6 Obtemos etão a = =, 8 m. k AULA 6 MÓDULO! A atividade a seguir é opcioal, pois requer do aluo um cohecimeto básico de programação... Crie um pequeo programa de computador que calcule as eergias dos estados ligados de um elétro em um poço quadrado fiito. Seu programa deve ter aproximadamete a seguite estrutura:. Defia a massa do elétro, costate de Plack, a altura e a largura do poço.. Varie a eergia E em passos muito pequeos desde até V, e calcule k e K. 3. Em cada passo, verifique se as Equações (3.5) (para estados ímpares) ou (3.7) (para estados pares) são satisfeitas, detro de uma certa tolerâcia. O POÇO DE POTENCIAL INFINITO (AULA 4) 3.. Faça uma estimativa da eergia de poto zero de um êutro em um úcleo, tratado-o como se estivesse em um poço quadrado ifiito de largura igual a um diâmetro uclear de 4 m (Eisberg-Resick, Problema, Capítulo 6). C E D E R J 77

6 Itrodução à Mecâica Quâtica Exercícios A eergia de poto zero é a eergia do estado fudametal ( = ) do poço ifiito: E. Usado a = -4 m e = h π ma m =,67 7 kg, obtemos E =, MeV. 3.. a. Para uma partícula em uma caixa, mostre que a difereça fracioal de eergia etre autovalores adjacetes é E + =. E b. Use essa fórmula para discutir o limite clássico do sistema (Eisberg-Resick, Problema, Capítulo 6). a. Usado a fórmula (4.) para as auto-eergias do poço ifiito, E π ma = h, temos: E E E = E E + ( + ) + = = b. O limite clássico é obtido para grades úmeros quâticos. Nesse limite, deve haver uma correspodêcia etre os resultados quâticos e os clássicos. Pela fórmula obtida o item aterior, o limite de grades úmeros quâticos ( ), a difereça fracioal tede a zero. Ou seja, tora-se imperceptível a quatização da eergia, o que está de acordo com a Mecâica Clássica, já que, para uma partícula clássica detro de um poço, qualquer valor positivo da eergia é possível. 78 C E D E R J

7 3.3. Calcule os valores esperados x, p, x, p para o estado com = 3 do poço ifiito e comete sobre cada resultado. AULA 6 MÓDULO A fução de oda ormalizada para = 3 é dada pela Equação (4.) da Aula 4: 3π ψ. Calculado os valores esperados: 3( x) = cos a a x 3π x = x x x dx = x. a a x ψ * ψ dx 3( ) 3( ) cos = a Para qualquer autofução do poço ifiito, é sempre uma fução par, de modo que a desidade de probabilidade de ecotrarmos a partícula em x é sempre igual que em x. Sedo assim, o valor mais provável para a posição da partícula tem de ser em x =. a ψ ( ) x ih 3π 3π p = x i x dx = x a a a x 3π ψ * 3( ) h ψ 3( ) cos si x dx = a a A partícula tem probabilidade igual de se mover para a direita ou para a esquerda. Portato, o mometo liear médio deve ser ulo. a 3π x x x x dx x a a x dx a = ψ * 3( ) ψ 3( ) = cos = = 8π Com esse resultado, podemos obter a icerteza a medida da posição: x = x x, 8a, um pouco meor que a largura do poço, como deveria ser. a a 77, a p a 9π h 3π = x x dx x a a a x 9π h 3 3 = ψ * ( ) h ψ ( ) cos dx = a a, O valor esperado de p poderia também ser obtido a partir do autovalor da eergia e usado E = p /m. A partir do valor obtido, podemos calcular a 3π h icerteza o mometo: p = p p =. Podemos, etão, verificar a h o pricípio da icerteza para esse estado quâtico: x p, 6h >. C E D E R J 79

8 Itrodução à Mecâica Quâtica Exercícios O OSCILADOR HARMÔNICO (AULA 5) 4.. A costate de força restauradora (costate de mola) k para vibrações iteratômicas de uma molécula diatômica típica é de aproximadamete 3 J/m. Use esse valor para fazer uma estimativa da eergia de poto zero das vibrações moleculares (Eisberg-Resick, Problema 9, Capítulo 6). A eergia de poto zero de um oscilador harmôico simples é dada por. hω Para obtermos a freqüêcia, precisamos estimar a massa da molécula (de forma mais rigorosa, a massa reduzida para o movimeto relativo de vibração). Obviamete, essa massa varia de acordo com a molécula, mas podemos tomar cerca vezes a massa do próto como uma ordem de gradeza para uma molécula formada por átomos leves. Sedo assim, a freqüêcia é ω =,4 4 rad/s, e a eergia é =,8 ev. hω 4.. a. Faça uma estimativa da difereça em eergia etre o estado fudametal e o primeiro estado excitado de vibração da molécula do exercício aterior. b. A partir dessa estimativa, determie a eergia do fóto emitido quado a molécula faz uma trasição etre o primeiro estado excitado e o estado fudametal. c. Determie também a freqüêcia do fóto e compare-a com a freqüêcia de oscilação clássica do sistema. d. Em qual região do espectro eletromagético está a radiação emitida? 8 C E D E R J

9 a. As auto-eergias do oscilador harmôico quâtico são dadas pela Equação (5.): E = ( + ) hω. Assim, a difereça de eergia etre dois íveis cosecutivos quaisquer, iclusive etre o estado fudametal e o primeiro estado excitado, é igual a hω. Portato, o caso da molécula cosiderada a atividade aterior, temos hω =, 6 ev. b. A eergia do fóto emitido quado a molécula faz a trasição etre dois estados quâticos é precisamete a difereça de eergias etre os dois estados, que calculamos o item aterior. c. Pela relação de Eistei, a frequêcia do fóto é ν = E h, ode E é a sua eergia, calculada o item aterior. Sedo assim, a frequêcia do fóto é idêtica à freqüêcia de vibração da molécula. Podemos eteder este resultado a partir do eletromagetismo clássico. Uma molécula é composta por elétros e úcleos, que cotêm carga elétrica. Quado a molécula oscila, as oscilações de carga dão origem a odas eletromagéticas (fótos) de mesma freqüêcia, de forma semelhate ao que ocorre em uma atea. d. Usado a relação de Eistei com E =,6 ev, temos ν = E h = 3,8 3 Hz ou comprimeto de oda de = c/ = 7,7 µm. Esta radiação está a faixa do ifravermelho. É por este motivo que a espectroscopia a região do ifravermelho é uma das técicas mais poderosas o estudo de moléculas. AULA 6 MÓDULO 4.3. Um pêdulo, costituído por uma massa de kg o extremo de uma barra leve de m, oscila com uma amplitude de, m. Calcule as seguites gradezas: a. freqüêcia de oscilação; b. eergia de oscilação; c. valor aproximado do úmero quâtico para a oscilação; d. separação etre eergias possíveis adjacetes; e. separação em distâcia etre os máximos adjacetes a fução desidade de probabilidade em toro do poto de equilíbrio (Eisberg- Resick, Problema 3, Capítulo 6). C E D E R J 8

10 Itrodução à Mecâica Quâtica Exercícios a. A frequêcia do pêdulo é dada por =, 5Hz. g ν = = π l π 9, 8m/s m b. Pela Mecâica Clássica, a eergia de oscilação é dada por E = mω A, ode A é a amplitude do movimeto. Usado os dados do problema, temos E = ( ) ( ) = 5 π,, 4, 9 J. c. Usado a relação E = + temos h = + E hω ν, = = hν 4, , 34,, Note que um sistema clássico correspode, detro de uma descrição quâtica, a úmeros quâticos absurdamete altos. d. A separação etre íveis adjacetes é hω = 3, 3 34 J =,5 5 ev. Esta difereça de eergias é tão pequea que é impossível de ser medida. Ou seja, é impossível afirmar, para valores tão altos do úmero quâtico, se o oscilador está realmete o ível ou o ível +. e. O úmero de máximos da desidade de probabilidade para um estado do oscilador harmôico com úmero quâtico é igual a +. Assim, o úmero de máximos é também aproximadamete igual a,4 3. Supodo que os os máximos adjacetes estão igualmete espaçados etre si ao logo da trajetória do pêdulo, a distâcia etre dois máximos adjacetes é igual a, 33, 4 m. 3, 4 Esta é também uma distâcia impossível de ser medida. INFORMAÇÃO SOBRE A PRÓXIMA AULA Na próxima aula, iiciaremos o Módulo 3 de ossa disciplia, que trata de sistemas quâticos em três dimesões. 8 C E D E R J