F- MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
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- Anderson Canto Sá
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1 Colégio de S. Goçalo - Amarate - F- MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Este método, sob determiadas codições, apreseta vatages sobre os método ateriores: é de covergêcia mais rápida e, para ecotrar as raízes, ão é obrigatória a codição f ( a f ( b <. Seja a equação f ( =, da qual se cohece a raiz aproimada e seja δ o erro dessa raiz: se f ( + δ = f ( + δ = f ( + f ( δ + R = ode R é um ifiitésimo de ª ordem em δ que pode ser escrito como: R = δ f (! +... e por coseguite será pequeo se δ e se f ( ão for muito elevado. f ( 1 Teoricamete o valor δ 1 = tem tedêcia a ser cada vez mais pequeo, o f ( que justifica o poder ser desprezado. Desprezado R temos que: f ( + f ( δ = ou seja, Assim, um ovo valor pode ser obtido. 1 f ( δ = f ( f ( = mais aproimado da raiz da equação f ( 1 Prosseguido a iteração, obtém-se uma sequêcia de valores sucessivamete mais aproimados da raiz. Pág. 1 Eg. Atóio Jorge Goçalves de Gouveia
2 Colégio de S. Goçalo - Amarate - A fórmula de recorrêcia é dada por: f ( 1 = 1 f ( 1 As codições de covergêcia são agora (por aálise ituitiva: 1. é suficietemete próimo de uma raiz da equação.. f ( ão toma valores ecessivamete grades. f ( ão é muito próima de zero Iterpretação gráfica do Método fução. O gráfico seguite traduz a aplicação do método de Newto-Raphso a uma O gráfico seguite mostra um caso em que o método ão coverge. Note-se que etre e 1 eiste um poto de ifleão da fução f ( e que em 1 a derivada f ( é próima de zero. Pág. Eg. Atóio Jorge Goçalves de Gouveia
3 Colégio de S. Goçalo - Amarate - rigor: As codições suficietes de covergêcia podem ser estabelecidas com mais - Seja ab, um itervalo que cotém uma só raiz da equação f ( =. A sucessão de valores i gerados pelo método de Newto-Raphso é moótoa e limitada pela raiz (e portato covergete se: 1. f (, a, b. f ( é de sial costate em ab,, ou seja, f ( a f ( b >. O valor iicial for o etremo do itervalo ab, em que f ( f ( <, isto é toma-se = a ou = b de modo que f ( e teham o mesmo sial E. - Determiar as raízes reais da equação f ( = 4 = com erro iferior a 1-4. a A separação das raízes pelo método gráfico mostra a eistêcia de uma úica raiz real o itervalo 1,. Podemos verificar que é verdade que eiste uma raiz este itervalo, já que f ( 1 = 4< e f ( = >. b f ( = 1 é diferete de zero aquele itervalo, já que se aula para 1 1 =± =± =± c f ( = 6 > em todo o itervalo d Etão, tomar = pois que f ( f ( >. Com este quarto poto também verificado estão cumpridas as codições de covergêcia, pelo que podemos começar as iterações. e Podemos fazer as iterações utilizado o seguite quadro: Pág. Eg. Atóio Jorge Goçalves de Gouveia
4 Colégio de S. Goçalo - Amarate - f ( = 1 f ( f ( f ( f ( f ( Podemos ver por este eemplo que este método é mais rápido que os estudados até aqui, embora apresete algumas desvatages tais como a ecessidade de verificação de algumas codições de covergêcia e obrigar ao cálculo da primeira e seguda derivada da fução E. - Tedo em ateção a fução f ( = = e sabedo que admite pelo meos uma raiz real o itervalo 1,. Calcule utilizado o método de Newto-Raphso essa raiz. Verificado as codições de covergêcia: 1. f ( a f ( b < f ( = f ( 1 = 1 logo f ( f ( 1 = <, satisfazedo assim esta codição. f (,, f ( = itervalo, logo a codição está satisfeita que é sempre positiva este. f ( sial costate em todo o itervalo 147 f ( = Pág. 4 Eg. Atóio Jorge Goçalves de Gouveia
5 Colégio de S. Goçalo - Amarate - f ( = 9 f ( 1 =6 Estes resultados implicam que f ( ão tem sial costate, logo as codições de covergêcia ão se verificam o seu cojuto e cosequetemete o método de Newto-Raphso ão pode ser utilizado para estes valores. Mesmo sabedo que ão se pode aplicar o método de Newto-Raphso para estes valores vamos iterar e verificar que a fórmula de recorrêcia ão coverge para o resultado. Podemos etão apresetar os resultados das iterações utilizado um quadro semelhate ao do eemplo aterior. f ( = 1 f ( f ( f ( f ( f ( Pág. 5 Eg. Atóio Jorge Goçalves de Gouveia
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