Teoria Elementar da Probabilidade

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1 10 Teoria Elemetar da Probabilidade MODELOS MTEMÁTICOS DETERMINÍSTICOS PROBBILÍSTICOS PROCESSO (FENÓMENO) LETÓRIO - Quado o acaso iterfere a ocorrêcia de um ou mais dos resultados os quais tal processo se pode traduzir. Face à cojugação de um determiado úmero de codições, um resultado aleatório pode ou ão ocorrer. Exemplo 1: Laçameto ao ar de uma moeda equilibrada. Os resultados " SI CR " (F) ou " SI CORO " (C) são aleatórios. Cada resultado aleatório é a cosequêcia de iúmeras causas fortuitas. Exemplo 2 : Laçameto de um dado e observação do resultado apresetado a face superior.

2 11 SPECTOS PERTINENTES À CRCTERIZÇÃO DE UM EXPERIÊNCI LETÓRI a) Cada experiêcia poderá ser repetida idefiidamete sob codições essecialmete ialteradas. b) Muito embora ão sejamos capazes de afirmar que resultado particular ocorrerá, seremos capazes de descrever o cojuto de todos os possíveis resultados da experiêcia. c) Quado a experiêcia for executada repetidamete, os resultados idividuais parecerão ocorrer de uma forma acidetal. Cotudo, quado a experiêcia for repetida um grade úmero de vezes, aparecerá uma regularidade. EXPERIÊNCIS LETÓRIS, ESPÇOS MOSTRIS E CONTECIMENTOS EXPERIÊNCI LETÓRI - Desiga uma situação à qual estejam associados, de forma ão cotrolada, dois ou mais resultados possíveis. Exemplos : Laçameto de uma moeda F-C ao ar uma vez ( resultados possíveis : " SI CR " (F) ou " SI CORO " (C) ).

3 12 Laçameto de uma moeda F-C ao ar tatas vezes quatas as ecessárias até sair F ( cojuto ifiito umerável de resultados possíveis : 1,2,3,...) O atraso de um comboio ( com uma ifiidade de resultados possíveis : [0, + [ ). ESPÇO MOSTRL - Cojuto de todos os resultados possíveis de uma experiêcia aleatória. Exemplos : Cosiderado as experiêcias aleatórias defiidas ateriormete temos: Espaço amostral : S = { F, C } Espaço amostral : S = {1, 2, 3, } Espaço amostral : S = {t : t 0 } Os espaços amostrais podem ser discretos ou cotíuos, cosoate os seus elemetos sejam umeráveis ou ão. Os espaços discretos podem ser fiitos ou ifiitos. O espaço amostral associado a uma experiêcia aleatória depede da forma como a experiêcia é avaliada isto é, depede daquilo que estamos a observar. Exemplo : Cosidere-se a experiêcia costituída pelo laçameto ao ar da moeda F-C três vezes cosecutivas.

4 13 Se o resultado for avaliado pelo úmero de F obtidos (º de vezes em que " SI CR"), o espaço amostral é costituído pelo cojuto {0, 1, 2, 3}. Se o resultado for avaliado pela sequêcia de F e C etão o espaço amostral é costituído por oito resultados possíveis. 1º laça/ 2º laça/ 3º laça/ F S FFF F C FFC C F FCF F C FCC C F CFF F C CFC C F CCF Árvore de resultados (utilizada a represetação de resultados de experiêcias sequeciais) C CCC Diagrama de Ve cotecimeto - Cojuto de elemetos de um espaço amostral, isto é, cojuto de resultados possíveis associados à realização de uma experiêcia aleatória. cotecimeto simples/composto cotecimeto certo/impossível

5 14 CCF FFF 1 FCC FCF 2 CFC FFC CFF CCC 1 - " Saída de duas caras " (acotecimeto composto) 2 - " Saída de três coroas " (acotecimeto simples) Como os acotecimetos são cojutos, podemos aplicarlhes as operações de reuião, itersecção e complemetaridade, defiido ovos acotecimetos. S B B B - acotecimeto que ocorrerá sse ou B (ou ambos) ocorrerem S B B B - acotecimeto que ocorrerá sse e B ocorrerem S - acotecimeto complemetar de em S, ocorrerá sse ão ocorrer Dois acotecimetos dizem-se mutuamete exclusivos se ão puderem ocorrer simultaeamete, isto é se B =

6 15 Coceito de probabilidade Defiição clássica Se uma experiêcia aleatória tiver N resultados mutuamete exclusivos e igualmete prováveis e se um acotecimeto cotiver N desses resultados ( N N), etão a probabilidade do acotecimeto é dada por : N umero de casos favoraveis P ( ) = N umero de casos possiveis Defiição geométrica Permite ultrapassar uma limitação da defiição clássica de probabilidade e que resulta do pressuposto de que o úmero de resultados possíveis associados a cada experiêcia aleatória é fiito. Etão vem que: P ( ) = med med S represetado "med" uma medida de dimesão de uma qualquer região icluída um espaço amostral cotíuo S de uma experiêcia aleatória. Defiição frequecista No decurso de N repetições de uma experiêcia aleatória, um acotecimeto ocorre N vezes (0 N N). frequêcia relativa de ocorrêcia desse acotecimeto é: N f = N

7 16 Defie-se probabilidade de como o limite de f quado o úmero de repetições tede para ifiito: P( ) = lim f = lim N N N N Defiição axiomática Baseia-se em propriedades resultates das defiições ateriores e asseta os três axiomas seguites: 0 P() 1 P(S) = 1 P ( B) = P() + P(B) se e B mutuamete exclusivos Propriedades: P() + P() = 1 P( ) = 0 P ( B) = P() + P(B) P( B) para e B quaisquer B P() P(B) Métodos de eumeração Regra da multiplicação procedimeto 1 procedimeto 2

8 17 Regra da adição procedim. 1 procedim rrajos e Permutações Cosiderem-se elemetos distitos. Pretede-se cotar o úmero de maeiras de escolher k elemetos (0 k ) de etre esses, cosiderado a sua ordem. Existem: Se k = vem: k =! ( k) =! = P! Combiações Cosiderem-se ovamete elemetos distitos.o úmero de maeiras de escolher k elemetos (0 k ) de etre esses, sem cosider a sua ordem é: C k = k =! k! k! ( ) Permutações com algus elemetos repetidos Cosiderem-se ovamete elemetos pertecetes a k espécies distitas.o úmero de permutações possíveis desses elemetos é dado por:! 1! 2! k! em que = 1 2. k

9 18 Probabilidade codicioada e acotecimetos idepedetes Probabilidade codicioada, P( B ) - probabilidade de ocorrêcia de um acotecimeto quado se admite que ocorreu um acotecimeto B : ou P( B) = ( B) P( B) P P( B) = P( B) P( B) (com P(B) > 0) P() - probabilidade a priori P( B) - probabilidade a posteriori Dois acotecimetos dizem-se idepedetes sse: ( ) = ( ) ( ) P B P P B e portato de um modo equivalete: ou ( ) P( ) P B = (com P(B) > 0) ( ) P( B) P B = (com P() > 0) Teorema de Bayes B 1 B 3 B 5 B 2 B 4

10 19 ( ) P( B ) P B P B i = = P( ) i = 1 ( ) P( B ) P( B ) P( B ) i i i em que B 1, B 2,, B costituem uma partição do espaço amostral S, isto é: B B =, i j i j i = 1 Bi = ( ) S P B i > 0, i i i O resultado : ( ) = ( ) ( ) P P B P B i =1 i i é o euciado do teorema da probabilidade total e obtémse a partir da decomposição de em acotecimetos mutuamete exclusivos, isto é: ( ) ( ) ( ) = B1 B2 B Variáveis aleatórias Seja ε uma experiêcia aleatória e S um espaço amostral associado a essa experiêcia. Uma fução X, que associe a cada elemeto s ε S um úmero real X(s), é uma variável aleatória. Sobre um mesmo espaço amostral podem ser defiidas diferetes fuções (variáveis aleatórias). Cotrado mi io da aplicaçao discreto v. a. discreta cotiuo v. a. cotiua

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