Dinâmica Estocástica

Transcrição

1 Diâmica Estocástica Aula matriz Estocástica Balaceameto Detalhado Ifusp setembro de 6

2 Bibliografia: Capítulo 6 Diâmica estocástica e Irreversibilidade Tâia Tomé e Mário J. de Oliveira Edusp 4.

3 Markov Adrei Adreyevich Markov matemático russo. 3

4 Exemplo: passeio aleatório simples como o que já vimos em aulas ateriores rocesso markoviao a tempo discreto e espaço discreto 4

5 Existem muitos exemplos de processos markoviaos a tempo discreto e espaço discreto or exemplo: os famosos autômatos celulares Os processos descritos pela equação mestra são processos markoviaos a tempo cotíuo e espaço discreto Os processos estocásticos a serem estudados esse curso são todos markoviaos 5

6 rocesso estocástico a tempo discreto x t variável estocástica discreta t... x t = robabilidade cojuta O processo estocástico fica defiido até o istate dada a expressão acima por meio da probabilidade cojuta 6

7 rocesso estocástico a tempo discreto robabilidade codicioal... robabilidade codicioal de assumir o valor em dado que assumiu o valor em em... o valor em. xt xt t t t t 7

8 rocesso estocástico a tempo discreto robabilidade cojuta robabilidade codicioal robabilidade cojuta 8

9 ... probabilidade codicioal ropriedade markoviaa * ropriedade markoviaa:... 4 * rocesso markoviao de alcace 9

10 ropriedade markoviaa... 4 Se levarmos em cota a propriedade markoviaa 4 podemos reescrever a probabilidade cojuta...

11 ropriedade markoviaa A partir das expressões 4 e 5 temos:

12 odemos obter a partir da equação 6 se forem dados: e para

13 ortato substituido a equação 6 temos:... Aplicação da propriedade markoviaa 4 para ortato a probabilidade cojuta que aparece do lado direito da Eq. 6 fica:... 7

14 ortato Aplicado ovamete a hipótese 4 temos:

15 A aplicação da propriedade markoviaa 4 vezes a equação 6 leva a seguite expressão para a probabilidade cojuta

16 Retomemos a equação 6 e vamos obter uma relação de recorrêcia

17 Mas a -b -c

18 8 Relação de recorrêcia Substituido as expressões a equação 9 obtemos:

19 probabilidade de trasição de para robabilidade de trasição idepedete do tempo 3 Vamos também mudar a omeclatura: T 4 9

20 T 5 T probabilidade de trasição de para 6

21 rocesso markoviao Geericamete podemos escrever: T m m 7 m T m probabilidade de trasição do estado para o estado m

22 T m m 7 m T m ode ser iterpretado como: elemeto de matriz matriz T T é deomiada matriz estocástica

23 T m m m 7 T m = elemeto da matriz estocástica T ropriedades T m 8 T m 9 3

24 T m m m T m é a probabilidade codicioal de trasição de m para. 7 T m pode ser visto como o elemeto de uma matriz e a equação de evolução temporal acima pode ser escrita a forma matricial como: T é a matriz colua cujos elemetos são m 4

25 T Matriz estocástica Elemetos da matriz T: T m robabilidade codicioal m. Toda matriz quadrada que possui as propriedades e abaixo eumeradas é uma matriz estocástica: T m T m 5

26 rocesso markoviao: T T T T T 3 T T... T T Ou seja: T 3 6

27 T 3 T Dado o estado iicial e calculado elevada a etão obtém-se Ou T m m m 4 T m m probabilidade de trasição de para em passos. 7

28 Solução estacioária T 5 Existêcia e propriedades de ropriedades de T 8

29 Estado estacioário T m m m 6 m T m 7 ou Utilizado a propriedade expressa a equação Eq. 7 podemos escrever: T m T m m m 8 9

30 Estado estacioário T m Ou T m m Mas T m m m ortato a partir das Eqs. 6 e 9 obtemos: m m T m T m m 3 3

31 Estado estacioário m T m m T m 3 Essa codição deve ser satisfeita o estado estacioário Dois tipos de estados estacioários: A codição 3 é satisfeita e também Isto é cada termo da soma se aula. T m m T m reversibilidade microscópica 3 A codição 3 é satisfeita mas a codição 3 ão é satisfeita para todo par m irreversibilidade microscópica 3

32 m Estado estacioário T m m T m 3 Reversibilidade microscópica Codição de balaceameto detalhado T m m T m 3 ou T m m T m 3 ara qualquer par m 3

33 Estado estacioário Reversibilidade microscópica: Codição de balaceameto detalhado T m m T m 3 ara qualquer par m Ou seja: A probabilidade de um estado qualquer m atigir um estado é igual a probabilidade de atigir m. m quaisquer o regime estacioário!. : distribuição e probabilidades estacioária associada a 33

34 Estado estacioário Trajetórias cíclicas o espaço de cofigurações & Balaceameto detalhado ' '' 34

35 Trajetórias cíclicas o espaço de cofigurações trajetória direta ' ' ' T '' T '' ' T ' * ' trajetória iversa '' ' '' T '' T ' '' T ' * Reversibilidade microscópicabalaceameto detalhado T '' T '' ' T ' T '' T ' '' T ' Irreversibilidade: caso cotrário 35

36 FIM 36