Como se decidir entre modelos

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1 Como se decidir etre modelos Juliaa M. Berbert Quado uma curva é lei de potecia? O procedimeto amplamete usado para testar movimetação biológica a fim de ecotrar padrões de busca como Voos de Levy tem sido: 1. plotar potos que represetam o comprimeto de movimetos (saltos) em forma de histograma em escala log-log; 2. ajustar uma liha ao logo de todos os potos ou pelo meos dos potos a cauda fial; 3. defiir µ como o egativo do declive da curva; 4. cocluir que os dados seguem uma lei de potecias com expoete µ; 5. etão, se 1 < µ 3, cocluir que o orgaismo realiza voos de Levy com expoete µ. É sabido que a escala log-log lihas curvas parecem lihas retas, etão é complicado assumir que dados em escala log-log sejam lihas retas. Seria preciso cosiderar pelo meos uma alterativa a distribuição de comprimeto de movimetos, tal como a expoecial que correspode a um simples processo aleatório ão-correlacioado de Poisso. Comparar as distribuições expoecial e lei de potecia apeas pela variação do coeficiete R 2 ão é um método estatístico cofiavel para osso caso. Aqui, seguimos o roteiro descrito por Edwards et.al. (Nature, 449, p ), que usa métodos moderos de estatística para selecioar etre um modelo e outro quado um cojuto de dados x = x 1, x 2, x 3,..., x forece evidecias de que sua cauda segue uma lei de potecia ou uma expoecial. Cosiderado que a cauda começa em a e termia em b, a lei de potecia tem pdf: f 1 (x) = Cx µ, x [a, b], (1) ode a costate de ormalização C = (µ 1)/(a 1 µ b 1 µ ) é obtida resolvedo b a f 1(x)dx = 1. Esta formulação requer especificação explícita da extesão da região que segue lei de potêcia. Frequetemete, afirma-se que a lei de potêcia ocorre sobre a cauda da distribuição, e uma liha esboçada ou ajustada esta região, sem a qualificação de como a forma da cauda [a, b] é determiada. Na mesma extesão da cauda, a expoecial tem pdf: f 2 (x) = Ae λ(x), x [a, b], (2) ode a costate de ormalização A = λ/(e λa e λb ) é obtida resolvedo b a f 2(x)dx = 1. Fução log-verossimilhaça para lei de potêcia Dado um cojuto de valores x i, a probabilidade de que estes valores foram gerados por uma lei de potêcia, com parâmetro µ com x mi = a, é proporcioal à: P (x µ) = f 1 (x i ) = (µ 1)a µ 1 x µ i, x a. (3) 1

2 Esta quatidade é chamada de verossimilhaça do cojuto de dados. No etato, o que realmete queremos saber é a probabilidade de que um valor µ, dado um cojuto de dados x i, seja o parâmetro da distribuição. Seguido a lei de Bayes, escrevemos: P (µ x) = P (x µ) P (µ) P (x). (4) A priori, a probabilidade P (x) é fixa, isto é, vale 1 para o dado cojuto de observações e 0 para outros valores. É comumete assumido, a ausêcia de qualquer outra iformação, que a probabilidade P (µ) é uiforme, ou seja, é costate. Assim, P (µ x) P (x µ). Por coveiêcia, trabalhamos com o logaritmo de P (µ x) (fução log-verossimilhaça), que (com a adição de uma costate) é igual ao logaritmo da Eq. (3): log[p (µ x)] = log[p (x µ)] = [log(µ 1) (µ 1) log a µ log x i ] = log(µ 1) + (µ 1) log a µ log x i, (5) Agora, calculamos o mais provável valor do parâmetro µ que maximiza a verossimilhaça com respeito a µ, que é o mesmo que maximiza a fução log-verossimilhaça, já que o logaritmo é uma fução moótoa crescete. Etão, fazedo (log[p (µ x)])/ µ = 0, ecotramos: µ [ log(µ 1) + (µ 1) log a µ ] log x i = 0 µ 1 + log a log x i = 0 log a Fução log-verossimilhaça para expoecial log x i = µ 1 ˆµ = 1 log a log x i. (6) Para o modelo expoecial, seguimos os mesmos procedimetos usados acima. Neste caso, o parâmetro descohecido é λ, assim escrevemos P (x λ), P (λ x) e a fução log-verossimilhaça: P (x λ) = f 2 (x i ) = λe λ(xi a), x a, (7) P (λ x) P (x λ), (8) log P (λ x) = log P (x λ) = log(λ) + λa λ x i. (9) 2

3 Para ecotrarmos o valor do parâmetro λ que maxima a fução log-verossimilhaça, resolvemos (log[p (λ x)])/ λ = 0, que forece: [ ] log(λ) + λa λ x i = 0 λ λ + a x i = 0 a x i = λ ˆλ = x i a. (10) Fução de verossimilhaça para dados em forma de histograma Agora, cosideramos que a cauda está a região [a, b], podemos usar a mesma pdf defiida pela Eq. (1), com o mesmo coeficiete de ormalização. É feita uma cotagem da frequêcia dos valores de x a distribuição x i, assim, temos uma cotagem d j em barras (bi) idexadas por j = 1, 2,..., J, defiido J como o ídice da última barra. Veja que J d j =, sedo o tamaho da distribuição x i. Seja w a largura de todas as barras, etão a primeira barra está etre a e a + w e a última barra em a + (J 1)w e a + Jw. O máximo valor de x é b, e deve-se satisfazer a codição b a + Jw. Simplesmete tomado b igual a a + Jw assume que o maior valor de x i é alcaçado. É improvável que isto realmete acoteça. De fato, para pequeos cojutos de dados e especialmete para cauda em lei de potêcia, dificilmete o maior valor é alcaçado. Este é um assuto sutil que tem recebido pouco ateção. Vamos defiir b = a + J w, ode J J. Etão, ovas barras J + 1, J + 2,..., J tem cotagem 0, isto é, d J+1 = d J+2 = = d J = 0. Isso permite a possibilidade que medidas possam atigir valores mais elevados que aqueles que acotecem um dado cojuto sedo estudado. A probabilidade de um dado valor da distribuição x i estar a barra j é defiida de acordo com o modelo que se propõem que a distribuição segue, o osso caso, lei de potêcia ou expoecial. Lei de potêcia A probabilidade de um dado valor da distribuição x i estar a barra j é dada pelo parâmetro µ: P (estar a barra j µ) = = = a+jw Cx µ dx C [ ] x 1 µ a+jw 1 µ C [ (a + jw) 1 µ (a + (j 1)w) 1 µ] 1 µ = (a + (j 1)w)1 µ (a + jw) 1 µ a 1 µ b 1 µ (11) ode substituimos o coeficiete de ormalização C. Note que, J deve ser satisfeito. P (estar a barra j µ) = 1 3

4 A fução log-verossimilhaça l(µ x) deve ser, etão [Lawless, J. F. Statistical Models ad Methods for Lifetime Data ]: l(µ x) = d j log P (estar a barra j µ) = log(a 1 µ b 1 µ ) + d j log [ (a + (j 1)w) 1 µ (a + jw) 1 µ]. (12) A soma é feita até J ao ivés de J, porque d J+1 = d J+2 = = d J = 0. Etão, aumetado o valor de b, ão acarreta difereça a soma em l(µ x), apeas o primeiro termo, que é relacioado ao coeficiete de ormalização C. Para uma cauda ideal ifiita, b e o primeiro termo fica (µ 1) log a. Expoecial Seguido o mesmo procedimeto acima, usado a Eq. (2), a probabilidade de um dado valor estar a barra j dado o parâmetro λ: P (estar a barra j λ) = A fução log-verossimilhaça l(λ x): l(λ x) = a+jw Ae λx dx = A [ ] e λx a+jw λ = A [ e λ(a+jw) e λ()] λ = Ae λ(a+jw) [ ] 1 e λw λ [ = e λ(a+jw) e λw 1 ] (13) e λa e λb d j log P (estar a barra j λ) ( ) e λw 1 = log λa λw e λa e λb Para uma cauda ideal ifiita, b e o primeiro termo e λb 0. Critério de iformação de Akaike d j j. (14) Os critérios de iformação de Akaike (AIC) para os modelos de distribuições que seguem lei de potêcia e expoecial são: AIC lp = 2 log[p (µ x)] + 2K lp, (15) AIC ex = 2 log[p (λ x)] + 2K ex, (16) ode K i é o úmero de parâmetros sedo estimados para o modelo i (este caso, K lp = K ex = 1). O melhor modelo é aquele com meor AIC, AIC mi. Etão a difereça etre AICs é defiida 4

5 por i = AIC i AIC mi. Os pesos Akaike são verossimilhaça relativa de cada modelo, dado por: e i/2 ω i = e 1/2 + e, (17) 2/2 ormalizados, assim o peso total é 1. O peso ω i é cosiderado como peso de evidecia em favor do modelo i, sedo o melhor modelo para o cojudo de dados. 5