Estimação da média populacional

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1 Estimação da média populacioal 1

2 MÉTODO ESTATÍSTICO Aálise Descritiva Teoria das Probabilidades Iferêcia Os dados efetivamete observados parecem mostrar que...? Se a distribuição dos dados seguir uma certa Lei, é esperado...? Ajuste de um modelo abstrato aos dados de uma amostra Estimação Testes de hipóteses

3 Estudamos algumas distribuições teóricas de probabilidade: distribuição biomial e ormal. Probabilidade Iferêcia os parâmetros da distribuição são cohecidos calculamos probabilidades os valores desses parâmetros são descohecidos queremos estimá-los. Parâmetro: quatidade(s) descohecida(s) de uma característica da população e sobre as qual(is) temos iteresse. Exemplos: - média da característica da população: : taxa média de glicose de mulheres com idade superior a 60 aos, em certa localidade; p proporção de idivíduos em uma população com determiada característica. p: proporção de pacietes com meos de 40 aos diagosticados com câcer os pulmões. 3

4 População - variável de iteresse : Reda Vamos observar elemetos, extraídos ao acaso da população, de forma idepedete; Amostra Para cada elemeto selecioado, observamos o valor da variável de iteresse. Obtemos, etão, uma amostra aleatória (a.a.) de tamaho de, que represetamos por 1,,...,, sedo i a variável de iteresse para o i-ésimo idividuo da amostra. Uma vez selecioada a amostra saberemos a reda de João (x 1 ) João

5 Estimador: fução dos elemetos da amostra, costruída com a fialidade de represetar, ou estimar, um parâmetro da característica de iteresse a população. Estimador (ou estatística) f ( 1,,..., ). Ex.: : média amostral (estimador da média da característica da população). pˆ : proporção amostral (estimador da proporção p populacioal). Estimativa: valor umérico assumido pelo estimador, para a amostra selecioada. x Ex.: é o valor de para a amostra observada. 5

6 Os estimadores (média amostral) e pˆ (proporção amostral) são ituitivos e têm boas propriedades. Estimadores são fuções de variáveis aleatórias e, portato, eles também são variáveis aleatórias. Cosequetemete, têm uma distribuição de probabilidades, deomiada distribuição amostral do estimador. 6

7 População - variável de iteresse: Reda Por exemplo, obter a distribuição amostral da Média Amostra 1 Amostra x 1 x População das médias de amostras de tamaho Amostra k x k

8 8

9 Objetivo Estimar a média de uma variável aleatória, que represeta uma característica de iteresse de uma população, a partir de uma amostra de valores de. Dois possíveis procedimetos de estimação: Estimação potual Estimação por itervalo (ou itervalar) 9

10 Exemplos: : peso médio de homes a faixa etária de 0 a 30 aos, em uma certa localidade; : salário médio dos empregados da idústria metalúrgica em São Berardo do Campo; : taxa média de glicose em idivíduos do sexo femiio com idade superior a 60 aos, em determiada localidade; : comprimeto médio de tartarugas adultas de uma certa espécie; : potuação média obtida o ENEM em

11 Um estimador potual para, baseado uma amostra aleatória de tamaho, é dado pela média amostral, 1... i1 i. Se observamos os valores x 1, x,...x para as variáveis 1,..., obtemos x x potual para x, que deomiamos estimativa 11

12 Exemplo 1: Cosidere i :a taxa de glicose do idivíduo i do sexo femiio, com idade superior a 60 aos, em certa localidade, i = 1,, e : taxa média de glicose de mulheres, com idade superior a 60 aos, em certa localidade; Supoha que foram selecioadas =10 mulheres, essa faixa etária dessa localidade e suas taxas de glicose, em mg/dl, foram 10; 95; 110; 104; 13; 9; 11; 89; 97;101. A estimativa potual (média amostral) para é dada por: x ,15 mg/dl. Note que outra amostra de mesmo tamaho pode levar a uma outra estimativa potual para 1

13 Estimativa por itervalo ou itervalo de cofiaça Para uma amostra observada, os estimadores potuais forecem como estimativa um úico valor umérico para o parâmetro. Os estimadores potuais são variáveis aleatórias e, portato, possuem uma distribuição de probabilidade, em geral, deomiada distribuição amostral do estimador. Idéia: costruir itervalos de cofiaça, que icorporem à estimativa potual iformações a respeito de sua variabilidade (erro amostral). Itervalos de cofiaça são obtidos por meio da distribuição amostral do estimador potual. 13

14 Um estimador itervalar ou itervalo de cofiaça para tem a forma ε ; ε, sedo o erro amostral (margem de erro), calculado a partir da distribuição de probabilidade de. Como é a distribuição de probabilidade da média amostral? 14

15 Distribuição de probabilidade da média amostral Cosidere uma população em que uma variável assume um dos valores do cojuto {1, 3, 5, 5, 7}. A distribuição de probabilidade de é dada por x /5 ( P(=x 1/5 /5 1/5 É fácil ver que = E() = 4,, = Var() = 4,16. 15

16 Vamos relacioar todas as amostras possíveis de tamaho =, selecioadas ao acaso e com reposição dessa população, e ecotrar a distribuição da média amostral 1, sedo 1 : valor selecioado a primeira extração : valor selecioado a seguda extração 16

17 População : {1, 3, 5, 5, 7}. Amostra ( 1, ) Probabilidade Média Amostral (1,1) 1/5 1 (1,3) 1/5 (1,5) /5 3 (1,7) 1/5 4 (3,1) 1/5 (3,3) 1/5 3 (3,5) /5 4 (3,7) 1/5 5 (5,1) /5 3 (5,3) /5 4 (5,5) 4/5 5 (5,7) /5 6 (7,1) 1/5 4 (7,3) 1/5 5 (7,5) /5 6 (7,7) 1/

18 A distribuição de probabilidade de para = é x P( x) 1/5 /5 5/5 6/5 6/5 4/5 1/5 Neste caso, E( ) = 4, = Var( ) =,08 = 18

19 13/3 Repetido o mesmo procedimeto, para amostras de tamaho = 3, temos a seguite distribuição de probabilidade de, x P( x) 1 1/15 5/3 3/15 7/3 9/ /15 11/3 4/15 13/3 7/15 5 3/15 17/3 15/15 19/3 6/15 7 1/15 1 Neste caso, E( ) = 4, = Var( ) = 1,39 = 3 19

20 Figura 1: Histogramas correspodetes às distribuições de e de, para amostras de {1,3,5,5,7} 0

21 Dos histogramas, observamos que coforme aumeta, os valores de cada vez mais em toro de E( ) = 4, =, tedem a se cocetrar uma vez que a variâcia vai dimiuido; os valores extremos passam a ter pequea probabilidade de ocorrêcia; para suficietemete grade, a forma do histograma aproxima-se de uma distribuição ormal. 1

22 ALGUNS RESULTADOS IMPORTANTES RESULTADO 1: Para qualquer variável aleatória, com média µ e variâcia, temos que, cosiderado uma amostra aleatória de tamaho de, E( ) = µ e Var ( ) = σ Obs.: O desvio padrão erro padrão da média amostral. σ é deomiado

23 RESULTADO : Se a v.a. a população tem distribuição ormal, com média µ e variâcia, etão, para uma amostra aleatória de tamaho de, σ ~ N, Se é cohecido, Z ~ σ N 0,1 3

24 4 σ ε Z σ ε P σ ε σ μ σ ε P ε μ ε μ P ε μ P ε P ) ( ) ( ) ( Desse modo, temos sedo Z ~ N(0,1). Seja P() =, a probabilidade da média amostral estar a uma distâcia de, o máximo, da média populacioal (descohecida), ou seja, A probabilidade P() é também deomiada coeficiete de cofiaça do itervalo, que deotamos por (gama). ). ( ) ( P P

25 Deotado ε σ z, temos que = P(-z Z z). Assim, cohecedo-se o coeficiete de cofiaça obtemos z. 5

26 Erro a estimativa itervalar Da igualdade é dado por z, segue que o erro amostral z, sedo z tal que = P(-z Z z), com Z ~ N(0, 1). O itervalo de cofiaça para a média, com coeficiete de cofiaça fica, etão, z σ ; z σ, sedo o desvio padrão (cohecido) de. 6

27 Ates de selecioarmos uma a.a., a probabilidade de que o itervalo z σ ; coteha a média verdadeira da população é. z σ Para o valor observado de, o itervalo de 95% de cofiaça será [ x 1,96 ; x 1,96 ]; x Não podemos dizer que há uma probabilidade de 95% de que o valor de perteça a esse itervalo de úmeros; é fixo e está ou ão esse itervalo., Iterpretação frequetista: Se extrairmos 100 a.a. de tamaho da população e, para cada uma delas, costruirmos um itervalo de cofiaça de 95%, esperamos que, aproximadamete, 95 dos itervalos coteham a média verdadeira da população e 5 ão. 7

28 Exemplo : Deseja-se estimar o tempo médio de estudo (em aos) da população adulta de um muicípio. Sabe-se que o tempo de estudo tem distribuição ormal com desvio padrão =,6 aos. Foram etrevistados = 5 idivíduos, obtedo-se para essa amostra, um tempo médio de estudo igual a 10,5 aos. Obter um itervalo de 90% de cofiaça para o tempo médio de estudo a população. : tempo de estudo, em aos, etão ~ N(;,6 ) = 5 x = 10,5 aos = 0,90 z = 1,65 8

29 A estimativa itervalar com 90% de cofiaça é dada por: z ; z 10,5 1,65,6 ;10,5 1, ,5 0,86 ; 10,5 0,86,6 5 9,64 ; 11,36 9

30 Dimesioameto da amostra A partir da relação z o tamaho da amostra é determiado por z cohecedo-se o desvio padrão de, com erro da estimativa fixado e coeficiete de cofiaça do itervalo, sedo z tal que = P(-z Z z) e Z ~ N(0,.( 1, 30

31 Exemplo 3: A reda per-capita domiciliar uma certa região tem distribuição ormal com desvio padrão = 50 reais e média µ descohecida. Se desejamos estimar a reda média µ com erro = 50 reais e com uma cofiaça = 95%, quatos domicílios devemos cosultar? : reda per-capita domiciliar a região ~ N(µ; 50 ) = 50 = 0,95 z = 1,96 =?? Etão, z ε σ 1,96 ( 50) 50 96,04 Aproximadamete, 96 domicílios devem ser cosultados. 31