Intervalos de Confiança

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1 Itervalos de Cofiaça Prof. Adriao Medoça Souza, Dr. Departameto de Estatística - PPGEMQ / PPGEP - UFSM - 0/9/008

2 Estimação de Parâmetros O objetivo da Estatística é a realização de iferêcias acerca de uma população, baseadas as iformações amostrais. Como as populações são caracterizadas por medidas uméricas descritivas, deomiadas parâmetros, a iferêcia estatística diz respeito à realização de iferêcias sobre esses parâmetros populacioais.

3 Os métodos de realizar iferêcias a respeito dos parâmetros pertecem a duas categorias. Pode-se tomar decisões relativas ao valor do parâmetro, através de um teste de hipótese; Pode-se estimar ou prever o valor do parâmetro.

4 A estimação é o processo que cosiste em utilizar dados amostrais para estimar os valores de parâmetros populacioais descohecidos. Qualquer característica de uma população pode ser estimada a partir de uma amostra aleatória. Etre as mais comus, estão a média e o desvio padrão de uma população e a proporção populacioal.

5 Estimação Potual As estatísticas amostrais são utilizadas como estimadores de parâmetros populacioais. Assim uma média amostral é usada como estimativa de uma média populacioal. Tais estimativas chamam-se estimativas potuais, porque origiam uma úica estimativa do parâmetro.

6 Média e variâcia de uma população ormal N( ; ) O melhor estimador da média populacioal µ é a média amostral ( X ) : X ( X X... X ) sedo Xi variáveis aleatórias idepedetes tem-se: E( X i ) Var ( X i ), i =,,....

7 Assim, X E X E X E X X X E X E... ) (... ) ( ) ( )... ( ) ( Var X Var X Var X X X Var X X Var... ) (... ) ( ) ( )... ( ) (

8 E( X ) revela que X é um estimador ão tedecioso de. Var X revela que quato maior o valor de, meor a sua variabilidade. Assim, este caso, sedo, adotaremos ˆ X ( ) A variâcia populacioal ( ˆ S ) o estimador S, com, é ão tedecioso, coforme já foi exemplificado. S ( X i X ) i Adotaremos assim, para.

9 Exemplo: Se de uma população ormal extraímos amostras cujos valores são:.; 0.9; 0.3; -0.; -3.;.5; -.7; 0.5; -.5;., obteha estimativas potuais da ; e P(X >.5). Estimativa de µ: X Estimativa de : S 9 (. 0.) (0.9 0.)... (. 0.) 3. 7

10 Estimativa de P(X >.5): Sedo ~ Assim para X 5. z X. 5 ( 0. ) e P( X. 5) P( Z 466. ) P( Z 466. ) %.

11 Média e variâcia de uma proporção (p) Cosideremos agora o caso em que p, de uma população que apreseta certa característica. Extrai-se da população uma amostra de tamaho. X será o úmero de elemetos da amostra que apresetam a característica em estudo. É ituitivo que um estimador da proporção p seja a proporção amostral pˆ : Pˆ X

12 As observações dos elemetos podem ser cosiderados como provas de Beroulli com probabilidade de sucesso p, ou seja, X tem distribuição biomial com média p e variâcia pq, temos: E( pˆ) X E ( p) p Var( pˆ) Var X pq pq Assim pˆ é ão tedecioso.

13 O desvio padrão de é também deomiado de Erro-Padrão de, represetado por pˆ EP pq ( ˆ) sedo p p e q q p. p ˆ ˆ pˆ

14 Para se avaliar a taxa de desemprego em determiado Estado, escolhe-se uma amostra aleatória de 000 habitates em idade de trabalho e cotam-se os desempregados: 87. Estimar a proporção de desempregados em todo o Estado (população). Avaliar o erro padrão de estimativa. X pˆ % p ˆ 8.7% p qˆ pˆ 0.93 pq ˆ ˆ (0.087)(0.93) EP( pˆ) ~

15 Estimação Itervalar Sabemos que a estimação por poto é em geral isuficiete, pois a probabilidade, de que a estimativa adotada veha a coicidir com o verdadeiro valor do parâmetro é praticamete ula. Isso decorre dos estimadores serem muitas vezes VA cotíuas, logo as estimativas serão diferetes do valor do parâmetro, etão temos um erro de estimação.

16 Em virtude da variabilidade amostral, é usual icluir uma estimativa itervalar, com certo ível de cofiaça (-) ou de sigificâcia, para acompahar a estimativa potual. Essa ova estimativa proporcioa um itervalo, de possíveis valores do parâmetro populacioal. Costroe-se um itervalo em toro da estimativa por poto, de modo que este itervalo coteha o verdadeiro parâmetro populacioal.

17 Seja etão X X... X uma amostra aleatória de uma população e o parâmetro de iteresse. Sejam ˆ 0 e ˆ estatísticas tais que: P ˆ ˆ ) ( 0 Etão ˆ ; ˆ 0 é chamado itervalo de cofiaça de ível 00( - )% para o parâmetro. Usualmete tomase - = 0.95 ou 0.99.

18 - é o ível ou grau de cofiaça e forece a probabilidade de coter o verdadeiro parâmetro. é o ível de sigificâcia, represeta o erro que se está cometedo ao afirmar que a probabilidade do itervalo [ i s ] coter o verdadeiro valor do parâmetro populacioal é ( - ).

19 Valores Críticos de Z para e /. 0% 5% % 0,5% 0,% Z,8,64,36,58,88 Z /,64,96,58,8 3,06 Muitos estatísticos cosideram a costrução de itervalos de cofiaça como o pricipal método de estudo de um parâmetro populacioal através de uma amostra.

20 Como o IC é costruído com base a estimativa por poto, é aleatório, ao passo que o parâmetro é suposto uma costate da população. Assim, o IC coterá ou ão o parâmetro, com probabilidades - e. É icorreto dizer " probabilidade do parâmetro CAIR o itervalo".

21 Cosideremos uma população ormal com média e desvio padrão e uma amostra dessa população. Sabemos pelos resultados do Teorema Cetral do Limite que a média X desta amostra tem distribuição ormal com média e desvio padrão, ou seja: X u ~ N : (0,)

22 0. 95 Fixado em 0.05, ou seja,, vemos pela tabela de distribuição ormal padroizada z, que: X z P( 96. Z 96. ) 095.

23 isto é: P X Reescrevedo as desigualdades etre parêteses, temos: P X 96. ( ) X 96. ( ) Neste caso: é o parâmetro ˆ ; ˆ X.96 /, X.96 / 0 É o IC de 95% para, IC( : 95%)

24 É importate observar que o ível de cofiaça ( - ) se aplica ao processo de costrução de itervalos, e ão a um itervalo específico. Para explicitar o coceito de IC, supoha que retiremos um grade úmero de amostras de tamaho, fixo, da população em estudo e, para cada amostra, costruamos um itervalo. Os limites dos itervalos resultates serão diferetes.

25 O verdadeiro valor do parâmetro estará cotido, em média, em 00( - )% desses itervalos. 00( - )% dos itervalos costruídos abragerão o verdadeiro valor do parâmetro. No caso µ, coforme ilustrado a figura, mas cada valor cotém, ou ão cotém, o parâmetro.

26 A expressão P X. 96 X deve ser iterpretada muito cuidadosamete. Ela ão sigifica que a probabilidade do parâmetro detro de um itervalo especificado seja igual a cair sedo o parâmetro, está ou ão está detro do itervalo acima. De preferêcia a expressão acima deve ser iterpretada assim: 0.95 é a probabilidade de que um itervalo aleatório coteha. X 96. ; X 96.

27 Para uma amostra de 50 observações de uma população ormal com média descohecida 6 desvio padrão, seja 0,5 a média amostral. Costruir um itervalo de 95% de cofiaça para a média populacioal. Temos, de imediato que: P X 96. X X e Assim, tal itervalo é [8.84;.6].

28 A figura seguite represeta a curva N(0,) e a otação que iremos utilizar, ode P Z Z - / / -z / 0 +z /

29 N( ; ) Na situação aqui apresetada, com cohecido, sabemos que: X ~ N ( 0; ) logo o itervalo de cofiaça e para será: PZ X Z P X Z X Z : ( ) 0 0 ; IC X Z X Z

30 Itervalo de Cofiaça para a média da população é cohecido = média da população x = média da amostra = desvio-padrão da população S = desvio-padrão da amostra = tamaho da amostra e o = Semi-amplitude do itervalo de cofiaça

31 Seja uma população X ~ N (, ), sabe-se que: Pela figura aterior temos: (0,), ~ N x Z e N x [ ] Z Z Z P ] [ Z x Z P ] [. Z x Z P

32 Multiplicado-se por (-): Ordeado, temos: ].. [ Z x Z x P ].. [ Z x Z x P ].. [ Z x Z x P

33 Como a distribuição ormal é simétrica Z / = Z - / Se for descohecido e 30, pode-se usar S, resultado em um itervalo aproximado. e 0 Z. P, podedo o IC ser escrito como: ( x 0 e0 e x )

34 Exemplo: Feito um esaio de corrosão com 64 peças de um lote de produção, verificou-se que o tempo que a peça suportou esse teste apresetou uma média igual a 00 horas. Calcular o IC de 95% para a verdadeira média, sabedo que = 6 horas. Sabe-se que os comprimetos das barras produzidas por uma siderúrgica tem uma distribuição ormal de variâcia,69 m. Numa amostra de cico barras ecotrou-se: 0,;,0;,4;,; 3,3 m. Determiar o IC para a média, com: a) = 0,0 Z / =,645 b) = 0,06 Z / =, 88

35 é descohecido Em geral os problemas práticos é descohecido e devemos estimá-lo: S i ( xi x) Quato meor a amostra, mais ecessária se tora a itrodução de uma correção, a qual cosiste em a variável t de Studet ao ivés de Z. t x S

36 P [ - t / t t / ] = - x S P [ - t / t / ] = -... P [. t /. t / ] = - x S x S

37 "t" possui - graus de liberdade => t ( - ); / x. x i S xi fi S x. i. fi Covém ressaltar que, quato maior for o ível de cofiaça (isto é, quato meor for o ível de sigificâcia); mais amplo será o itervalo e 0 = t /.

38 Exemplo: A seguite amostra foi extraída de uma população ormal: 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 0,,. Costruir um itervalo para, ao ível de sigificâcia de 0%. Costruir um I.C. de 95%, para a média populacioal, a partir da seguite distribuição amostral: Classe Freqüêcia 3 5

39 Exemplo: Supoha que x teha uma distribuição N (, ). Uma amostra de tamaho 5 forece os seguites valores: x i = 70,8 ; x i = 3546,8. Determie um IC de 95% para.

40 IC para a de uma população ormal Seja X uma população com média e variâcia. Sabese pelo Teorema de Fisher, que: ; X S ( ) P [ ] = - P [ S ( - ) ] = -

41 P [ _ ] = - (-).S (-).S P [ S (-) S (-) ] = - sup if if = x = x - / sup = x = x / ambos com =

42 Quado > 30 graus de liberdade é comum usar a seguite aproximação: = _ ( Z. ) é a abscissa ormal reduzida Como a tabela é uicaudal a direita e o I.C. deve ser cetral, deve-se etrar a tabela com / e ( - /), para ecotrar if e sup.

43 Exemplo: Para 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 0,,, calcular o IC para, ao ível de 90%. De uma população ormal foi retirada uma amostra de 5 elemetos e calculou-se: x i = 8,7 e x i = 7,3. Determiar um IC de 80% para a variâcia dessa população. Calcular um IC de 96% para a variâcia da distribuição mostrada a seguir (suposta como ormal): Classe, 6, 6, 0, 0, 4, 4, 8,3 Freq

44 IC para desvio-padrão de uma população ormal Se S ( xi x) é estimador justo de, mas S ão é estimador de, pois E[S] =, tem-se: V(S ) = E(S ) - E (S ), logo V(S ) = - = 0, o que ão tem setido. O vício de S com estimador de, tede a zero quado. Deveríamos adotar um coeficiete de correção, mas calcularemos um IC aproximado para, bastado extrair a raiz quadrada do IC da.

45 Fazer EX., EX., EX.3 ateriores.

46 I.C. para a proporção populacioal p Sabemos que f N ( p, pq )e que, para > 30, a distribuição biomial tede a uma ormal, etão Z f pq p

47 P [-Z / Z Z / ] = - f p P[ Z Z ] pq P[ f Z pq p f Z ]. pq

48 f x casos deit eresse total da amostra P f f ( f ) f ( f ) Z. p f Z. ] [

49 Exemplo: Retirada uma amostra de.000 peças da produção de uma máquia, verificou-se que 35 eram defeituosas. Costruir um IC, ao ível de 95%, para a proporção real de peças defeituosas forecidas por essa máquia. Uma a.a. de 400 domicílios de uma cidade mostra que 5% são casas de aluguel. Qual o IC que podemos supor que seja o úmero de casas de aluguel dessa cidade, usado = %, supodo que tal cidade tem casas?

50 IC para a soma e para a difereça etre duas médias ( e ) de duas populações ormais, cohecidas suas variâcias e. Se X = N (, ) e X = N (, ), sedo X e X x idepedetes. Como = N(, ) x = N (, ) ( x ) = N [( ); + ] para amostras x a.a. idepedetes, temos: Z x x

51 Uma empresa tem duas filiais ( A e B ), para os quais os desvios-padrões de vedas diárias são de 5 e 3 peças, respectivamete. Uma amostra de 0 dias forecem uma veda média diária de 40 peças para a filial A e 30 peças para a filial B. Supodo que a distribuição diária de vedas seja ormal, costruir um I.C. de 9% para a veda diária das duas filiais. ]. ) (. ) [( Z x x Z x x P

52 I.C. para a Soma e para a Difereça etre duas médias ( e ) de duas populações ormais, de mesma variâcia descohecida. Sedo X = N (, ) e X = N (, ), com X e X x N(, ) x N (, ) idepedetes, logo e, x x tem-se que( ) = N [( );. ( )] e: Z = x x.

53 Como ão se cohece, deve-se estimá-lo por S', ode: S' =. S. S = ( + - ) graus de liberdade t ( + - ), = t, P[( x x ) - t /. S ( x x ) + t /. S' ] = -

54 Duas populações ormais: X e X tem a mesma variâcia. Da população foi extraída uma amostra de tamaho 0, obtedo-se X=5 e S=8. Da população foi extraída uma amostra de elemetos, obtedo-se X= e S=. Costruir o I.C. de 95% para a difereça de médias.

55 I.C. para a Soma e para a Difereça etre duas médias ( e ) de duas populações ormais, de variâcias descohecidas e. Se X = N (, ) e X = (, ), com X e X ( x idepedetes, etão x ) N[( descohecidos, temos que estimá-las. )]. Como e são P[( x x ) - t S / S ( ) + t S /] S = - );( x x

56 = ode V = e V = - t, / ode é o gl. dado pelo método de Aspi- Welch, com arredodameto para meos. V V V V S S

57 Duas máquias de embalar de embalar arroz estão sedo usadas por uma empresa, sedo uma ova e outra velha; pegas duas amostras de sacos embalados, ecotramos os eguites pesos, em Kg. Máquia Nova: 8, 83, 79, 8, 8, 80 Máquia Velha: 79, 8, 78, 74, 80, 77, 75, 84, 78 Costruir o I.C. para a difereça dos pesos médios populacioais, ao ível de sigificâcia de 5%.

58 I.C. para a Soma e para a Difereça de duas proporções populacioais p e p. p Se f = N ( p,. q p ) e f = N ( p,. q ); logo, Z p ( f f ) = N [( p p );. q p. q + ] e, f f p p. p p p será: p, logo o itervalo de cofiaça

59 P [ - Z / Z Z / ] = - f f p p P [- Z / Z / ] = - p. p p p p p p p. P [( f f ) - Z /. p p ( f f ) + Z /. p p p p. ] = -

60 Como p e p são valores populacioais descohecidos, eles podem ser estimados por f e f, desde que os tamahos das amostras sejam maiores do que 30, daí temos: P [( f f ) - Z / p p ( f f ) + Z / f f f f f. f f f. ] = -

61 Exemplo: Um levatameto estatístico mostrou que 80 pessoas, das 00 cosultadas, uma cidade, vão votar o cadidato A a próxima eleição; uma outra amostra de 500 pessoas, dessa mesma cidade, mostrou que 50 delas vão votar o cadidato B. Costruir um IC de 93% para a difereça das proporções de pessoas que vão votar em A e B.

62 IC para o quociete das variâcias populacioais Seja: F(, ) = =. para duas populações ormais de variâcias descotiuas, pelo Teorema de Fischer: - =. S = (- ). S ou

63 Portato logo o itervalo será: P[ F - / F F / ] = -. ), (... ), ( S S F S S F ]. [ F S S F P

64 ou: )], ;(. ),,(. [ F S S F S S P )], ;(. ),,(. [ F S S F S S P

65 Exemplo: Costruir um IC, para = %, para o quociete de variâcias de duas populações ormais, das quais foram extraídas as amostras seguites: 4 elemetos da primeira, obtedo-se S = 43,8 e 3 elemetos da seguda, obtedo-se S = 9,5.

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