CE-003: Estatística II - Turma K/O Avaliações Semanais (2 o semestre 2015)

Transcrição

1 CE-003: Estatística II - Turma K/O Avaliações Semaais (2 o semestre 20) Semaa 5 (av-01) 1. Um idivíduo vai participar de uma competição que cosiste em respoder questões que são lhe são apresetadas sequecialmete. Com o ível de cohecimeto que possui, a chace de acertar uma questão escolhida ao acaso é de 75%. Neste cotexto, para cada diferete situação apresetada a seguir, defia a variável aleatória, sua distribuição de probabilidades e calcule a probabilidade solicitada. Se preciso, faça suposições ecessárias e adequadas em cada caso. (a) Se for respoder até errar uma perguta, qual a probabilidade de coseguir acertar quatro ou mais questões? (b) Se for respoder cico pergutas, qual a probabilidade de acertar quatro ou mais? (c) Se for respoder até acertar a terceira perguta, qual a probabilidade de errar apeas uma? (d) Se o cadidato selecioar aleatoriamete seis questões de um baco de 40 questões das quais o cadidato sabe a resposta de 30 delas (75%), qual a probabilidade de acertar ao meos cico delas. Aida este cotexto cosidere que o cadidato respode, em média, 1,8 questões por miuto. (e) Qual a probabilidade de coseguir respoder ao meos três questões em três miutos? (a) (b) (c) (d) (e) X : Número de acertos até o primeiro erro X G(0, 25) P [X 4] = 1 P [X 3] = 1 1 (1 0, 25) i (0, 25) = i=0 X : Número de acertos em cico pergutas X B( = 5, p = 0, 75) P [X 4] = P [X = 4] + P [X = 5] = 5 i=4 ( ) 5 0, 75 i (1 0, 75) 5 i = i X : Número de erros até o terceito acerto X BN(r = 3, p = 0, 75) ( ) P [X = 1] = 0, 75 3 (1 0, 75) 1 = X : Número de acertos as seis questões selecioadas X HG(30, 10, 6) P [X 5] = P [X = 5] + P [X = 6] = ( 6 30 )( 10 i 6 i ( 40 i=5 6 ) ) = X : Número de questões respodidas em 3 miutos X P(3 1, 8 = 5, 4) P [X 3] = 1 P [X 2] = 1 2 e 5,4 5, 4 i = i! i=0

2 Semaa 7 (av-02) 1. Seja a fução: f(x) = { 3x 2 /8 0 < x 2 0 caso cotrário (a) Mostre que f(x) é uma fução de desidade de probabilidade válida. (b) Obteha P [0, 5 < X < 1, 5]. (c) Obteha P [X > 1, 2]. (d) Obteha P [X > 1, 2 X > 0, 5]. (e) Obteha o valor esperado de X. (a) Mostrar que: f(x) 0 x e 2 0 f(x)dx = = a fução acumulada F (x) é dada por: F (x) = x (b) P [0, 5 < X < 1, 5] = 1,5 f(x)dx = F (1, 5) F (0, 5) = ,5 (c) P [X > 1, 2] = 2 f(x)dx = 1 F (1, 2) = ,2 (d) P [X > 1, 2 X > 0, 5] = (e) 2 1,2 f(x)dx 1 F (1,2) 2 = f(x)dx 1 F (0,5) = ,5 E[X] = f(x)dx = 3 x = x x f(x)dx = [24 ] = = 1, 5 f(x) F(x) x x Figura 1: Fução de desidade de probabilidade (esquerda) e fução de distribuição (direita). Soluções computacioais (liguagem R): > require(mass) > ## a) > fx <- fuctio(x) ifelse(x > 0 & x <= 2, (3*x^2)/8, 0) > itegrate(fx, 0, 2)$value [1] 1

3 > Fx <- fuctio(x) ifelse(x>0, ifelse(x<=2, (x^3)/8,1), 0) > Fx(2) [1] 1 > ## b) > itegrate(fx, 0.5, 1.5)$value [1] > Fx(1.5)-Fx(0.5) [1] > ##c) > itegrate(fx, 1.2, 2)$value [1] > 1-Fx(1.2) [1] > ## d) > itegrate(fx, 1.2, 2)$value/itegrate(fx, 0.5, 2)$value [1] > (1-Fx(1.2))/(1-Fx(0.5)) [1] > ## e) > efx <- fuctio(x) ifelse(x > 0 & x <= 2, x*(3*x^2)/8, 0) > itegrate(efx, 0, 2)$value [1] 1.5 Semaa 8 (av-03) 1. Seja uma v.a. X com distribuição ormal de média µ = 250 e variâcia σ 2 = 225. Obteha: (a) P [X > 270]. (b) P [X < 220]. (c) P [ X µ > 25]. (d) P [ X µ < 30]. (e) P [X < 270 X > 250]. (f) o valor x 1 tal que P [X > x 1 ] = 0, 80. (g) o valor x 2 tal que P [X < x 2 ] = 0, 95. (h) qual deveria ser um ovo valor da média µ para que P [X < 240] 0, 10? (i) com µ = 250 qual deveria ser um ovo valor da variâcia σ 2 para que P [X < 240] 0, 10? (j) qual deveria ser um ovo valor da variâcia σ 2 para que P [ X µ > ] 0, 10? X N(250, 2 ) (a) P [X > 270] = P [Z > ] = P [Z > ] = (b) P [X < 220] = P [Z < ] = P [Z < 2] = (c) P [ X µ > 25] = P [X < 225 X > 275] = P [X < 1.667] + P [X > 1.667] = (d) P [ X µ < 30] = P [220 < X < 280] = P [ 2 < X < 2] = (e) P [X < 270 X > 250] = P [250<X<270] P [X>250] = = (f) z = x1 250 = x 1 = (g) z = x2 250 = x 2 = (h) z = 240 µ = µ = (i) z = σ = σ = 7.8 σ 2 = 60.8 (j) P [ X < µ > ] = P [X < µ X > µ + ] 0, 10 z = σ = σ = 9.1 σ2 = 83.1 Comados em R para soluções: > (qa <- porm(270, mea=250, sd=, lower=false))

4 [1] > (qb <- porm(220, mea=250, sd=)) [1] > (qc <- 2*porm(250-25, mea=250, sd=)) [1] > (qd <- diff(porm(c(250-30,250+30), mea=250, sd=))) [1] > (qe <- diff(porm(c(250,270), mea=250, sd=))/porm(250, mea=250, sd=, lower=false)) [1] > (qf <- qorm(0.80, mea=250, sd=, lower=false)) [1] > (qg <- qorm(0.95, mea=250, sd=)) [1] > (qh < * roud(qorm(0.10), dig=3)) [1] > (qi <- ( )/roud(qorm(0.10), dig=3)) [1] 7.8 > (qj <- /roud(qorm(0.95), dig=3)) [1] Semaa 9 (av-04) 1. Foi feita uma pesquisa sobre as codições salariais de professores de um certo estado. Os dados foram orgaizados em uma tabela. A seguir é mostrada uma pequea fração dos dados. A descrição dos atributos aotados está a Tabela abaixo. Degree Rak Sex Year YSdeg Salary Atributo Degree Rak Sex Year YSdeg Salary Descrição Formação: 1: Doutorado, 0: Mestrado Cargo (1: Prof Assistete, 2: Prof Associado, 3: Prof Pleo) 1: femiio, 0: masculio Aos de trabalho Aos desde a obteção da maior titulação Salário em dolares por ao (a) Classifique cada um dos atributos (variáveis). (b) Esboçe um gráfico adequado para resumir cada um dos atributos idividualmete (c) Como voce ivestigaria (por exemplo, que tipo de gráfico) se existe relação etre: i. Sexo e Formação ii. Sexo e Salário iii. Aos de trabalho e salário (a) Sex: Qualitativa omial Degree, Rak: Qualitativa ordial Aos de trabalho, tempo de titulação : cotíua (mas podedo ser tratada como discreta) salário: cotíua (b) Esboçe um gráfico adequado para resumir cada um dos atributos idividualmete

5 r Perso = B r Spearma = 0.66 A B Figura 2: Box-plot e diagrama de dispersão dos tempos de processameto de dois algorítmos aplicados a um mesmo cojuto de problemas A Semaa 11 (av-05) 1. Um cojuto de images foi submetido a dois algoritmos (A e B) de tratameto (filtragem, correção e classificação) e foram registrados os tempos de processameto. Algus resumos dos dados ecotram-se a seguir. x A = x B = S A = S B = Respoda as questões a seguir baseado-se os resumos dados e justificado as respostas. (a) Compare os desempehos algorítmos. (b) Existem observações discrepates (atípicas)? (c) Como voce descreveria a relação e correlação etre o desempeho dos algorítmos? (d) Os algorítmos possuem variabilidades relativas, medida pelo coeficiete de variação, semelhates? (e) Os algorítmos possuem variabilidades, medida pela amplitude iterquartílica, semelhates? Semaa 13 (av-06) Cosidere um estudo a qual deseja-se estimar a proporção de solicitações atedidas e resolvidas de uma cetral do usuário através de uma amostra aleatória simples. 1. Qual a população, variável aleatória, parâmetro de iteresse e o estimador? 2. Se a amostra for de 4000 solicitações, qual será a margem de erro (com cofiaça de 95%) para a estimação da proporção de resolvidas? 3. Para este mesmo tamaho de amostra, qual seria a cofiaça associada a uma margem de erro de ±0, 01 (1 %)? 4. Qual deveria ser o tamaho da amostra para se obter a estimativa com uma margem de erro de 2,5% com 95% de cofiaça? 5. E para uma margem de erro de 3% com 99% de cofiaça?

6 1. População: solicitações atedidas, represetada pela v.a.: X : resolução de solicitações atedidas que é biária e pode ser codificada assumido valores 0, para ão atedidas e, 1, para atedidas. O parâmetro de iteresse é a proporção de solicitações atedidas a população, que represeta a probabilidade p de uma solicitação ser atedida. O estimador é a proporção de atedidas a amostra. Assume-se etão que: p(1 p) 2. M.E. = z (1 α) = = (1.96)2 (0,025) 2 0, 25 = = (2.576)2 (0,03) 2 0, 25 = 1844 X B(p) e os resultados das aálises se baseiam o Teorema: Teo 2: ˆp = X N(p, ) do qual se extraem os resultados: ˆp ± z (1 α) ˆp ± ME ME = z (1 α) = (z (1 α)) 2 ME 2 é limitado superiormete para p = 0, 5 = (z (1 α)) 2 ME 2 0, 25 0,5(1 0,5) 4000 = 0.05 M.E. = z (1 α) 0, 5(1 0, 5) z (1 α) = 0, 01/ = α = 79.4%