AMOSTRAGEM ALEATÓRIA DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM

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1 6 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM Quado se pretede estudar uma determiada população, aalisam-se certas características ou variáveis dessa população. Essas variáveis poderão ser discretas ou cotíuas e ficam caracterizadas se cohecermos a sua fução de probabilidade ou fução desidade de probabilidade. Assim, idetificada a distribuição e respectivos parâmetros, coheceremos o comportameto da v.a.. Porém, a determiação dos parâmetros de uma população impõe que se estudem todos os elemetos que a costituem, o que só é possível para populações fiitas ão muito umerosas. Efectivamete, o custo associado ao estudo de toda uma população é por vezes tão elevado, que a melhor alterativa cosiste em seleccioar uma amostra dessa população e estimar os parâmetros ecessários a partir dos valores amostrais. Isto é, a partir do estudo da amostra tiram- -se coclusões que se pretedem válidas para a população como um todo. Cotudo, em todas as amostras permitem que, a partir dos seus resultados, se faça uma geeralização a toda a população com uma certa credibilidade. No fudo, pretedese que a amostra seleccioada seja um micro-cosmos da respectiva população e daí que os debrucemos a partir de agora, apeas sobre o método de amostragem aleatória. Este método de selecção de amostras, a que já fizemos referêcia o iício da disciplia, garate que todos os elemetos da população têm as mesmas hipóteses de serem itegrados a amostra, evitado-se assim qualquer

2 eviesameto da selecção, isto é, qualquer tedêcia sistemática para subrepresetar ou sobrerepresetar a amostra algus elemetos da população. Cosideremos etão que se pretede estudar a característica de uma população e que tem uma fdp f ( x ) (se estivessemos a trabalhar com uma fução de probabilidade o processo era aálogo). Se for retirada dessa população uma amostra A de dimesão x,x,x,..., em que o k-ésimo elemeto 3 x obteremos ( ) k da amostra ( k =,,..., ) é um valor do cojuto de todos os valores que pode assumir. Se retirarmos agora sucessivamete amostras de dimesão da ossa população obteremos: Amostra ( Amostra (... Amostra s (... A ) : ( x,x,x,..., ) 3 x A ) : ( x,x,x,..., ) s 3 x s s A ) : ( x,x,x,..., ) s s 3 x Etão podemos cosiderar que temos uma amostra tipo: (,,,..., ) 3 6

3 que por gerar as diferetes amostras ( A,A,...,A,...) 63 s pode ser cosiderada como uma variável aleatória -dimesioal com fução desidade de probabilidade cojuta f x,x,..., x.... ( ) Admitamos agora que, o caso de uma população fiita, cada amostra é obtida executado o seguite procedimeto: ) Numerar de até N todos os elemetos da população. ) Colocar bolas umeradas de até N uma máquia de extracção de úmeros do totoloto. 3) Seleccioar uma bola (a probabilidade de seleccioar uma dada bola é igual à probabilidade de seleccioar outra qualquer) e icluir a amostra o elemeto da população com o úmero correspodete. 4) Repor a bola a máquia. 5) Repetir os passos 3) e 4) tatas vezes quatas as ecessárias para seleccioar a amostra da dimesão pretedida (). Admite-se que as extracções sucessivas são idepedetes. Usado este processo de amostragem, as fuções de probabilidade das variáveis,,3,..., são idêticas às da variável origial, isto é: p ( x ) = p ( x ) =... = p ( x ) = p( x ) x

4 Isto traduz-se dizedo que o processo de amostragem é aleatório e as amostras assim obtidas dizem-se aleatórias. No procedimeto descrito admitiu-se que a amostragem era efectuada com reposição o que resulta o facto das variáveis,,,..., serem idepedetes, isto é: 3 64 p... ( x,x,...,x ) = p ( x ) p ( x )... p ( x ) x,x,...,x Sempre que esta situação se verificar, diz-se que o processo de amostragem e as amostras são aleatórios simples. NOTA: Como resultado da reposição o que está em causa é retirar amostras de dimesão uitária a partir de populações fiitas idêticas, de dimesão N. Isto é equivalete a retirar, sem reposição, uma amostra de dimesão a partir de uma população ifiita costituída por elemetos idêticos aos da população origial fiita, figurado as mesmas proporções. Exemplo: Cosiderar uma população costituída pelas alturas de 5 idivíduos, expressas em metros: {,70 ;,74 ;,75 ;,75 ;,8 } Defiir uma v.a. como a altura de um dos idivíduos seleccioados ao acaso. Etão a fução de probabilidade de é dada por: x,70,74,75,8 p x /5 /5 /5 /5 ( )

5 Cosiderem-se agora amostras de dimesão =, obtidas a partir da população desigado-se por e as réplicas da v.a. relativas ao primeiro e segudo elemetos da amostra. Seleccioado as amostras pelo procedimeto ateriormete apresetado teremos a seguite fução de probabilidade cojuta ( e fuções de probabilidade margiais): 65,70,74,75,8 p ( x ),70 /5 /5 /5 /5 /5,74 /5 /5 /5 /5 /5,75 /5 /5 4/5 /5 /5,8 /5 /5 /5 /5 /5 ( x ) p /5 /5 /5 /5 Da aálise da tabela coclui-se que, efectivamete: e p p ( x ) = p ( x ) = p( x ) x ( x,x ) = p ( x ) p ( x ) Cosideremos agora que as amostras eram recolhidas por um processo idêtico ao aterior com excepção da reposição da bola extraída, isto é, a amostra é recolhida sem reposição. Neste caso e dado que se admitiu que a população é fiita, as variáveis,,,..., deixam de ser idepedetes. 3

6 66 Isto sigifica que, existem valores de os quais: para,,3,..., p... ( x,x,...,x ) p ( x ) p ( x )... p ( x ) ou de outra maeira, valores de quais: para os,,3,..., ( x x ) p ( x ) p 3 ( x x,x ) p ( x ) p... p ( x x,x,...,x ) p ( x ) Neste caso a fução de probabilidade cojuta e as fuções de probabilidade margiais são dadas por:,70,74,75,8 p ( x ),70 0 /0 /0 /0 /5,74 /0 0 /0 /0 /5,75 /0 /0 /0 /0 /5,8 /0 /0 /0 0 /5 ( x ) p /5 /5 /5 /5 E podemos verificar que, apesar de: p ( x ) = p ( x ) = p( x ) x

7 67 temos agora: p ( x,x ) p ( x ) p ( x ) isto é, as variáveis e ão são idepedetes mas, dado que o procedimeto de selecção da amostra, ehum elemeto da população é tratado de modo diferete dos restates, as probabilidades dos diferetes elemetos da população virem a pertecer à amostra são iguais. NOTA: Quado a dimesão da população tede para ifiito e a dimesão da amostra se matém fiita, a depedêcia etre as variáveis,,3,..., tede a desaparecer. Assim, quado a população for ifiita, é idiferete realizar a amostragem com ou sem reposição, isto é, estaremos sempre uma situação de amostragem aleatória simples. A oção de amostragem aleatória pode ser facilmete geeralizado ao caso de variáveis cotíuas, que pressupõem populações ifiitas ou, a prática, populações fiitas de dimesão muito elevada. Seja etão uma população deste tipo e cosideremos uma característica a estudar desta população que represetamos pela v.a. cotíua, com fdp f ( x ). Seleccioemos amostras de dimesão a partir da ossa população: (,,,..., ) 3 em que cada um dos k ( k =,,..., ) represeta uma réplica da v.a. relativa ao k-ésimo elemeto de cada amostra.

8 O processo de amostragem e as amostras obtidas dizem-se aleatórios (simples) se forem satisfeitas as seguites codições: f ( ) ( ) ( ) ( ) x x = f x =... = f x = f f ( x,x,...,x ) = f ( x ) f ( x )... f ( x )... x 68 x,x,...,x PARÂMETROS E ESTATÍSTICAS Um parâmetro é uma característica duma população, isto é, um valor que embora possa ser descohecido é fixo. Uma estatística é uma característica da amostra, isto é, um valor que caracteriza uma dada amostra e que é variável de amostra para amostra, ou seja, uma variável aleatória. Exemplo: Se para cada uma das amostras A,A,...,As,... referidas ateriormete, calcularmos a respectiva média, iremos obter: s x,x,...,x,... Podemos etão cosiderar que a média amostral é uma variável aleatória (amostral), que assume um dado valor i cocreto x para cada amostra A i. Desiga-se por estimativa o valor que uma estatística assume para uma dada amostra cocreta.

9 uma amostra aleatória de uma v.a. e x x os valores cocretos assumidos por essa amostra. Seja H uma fução defiida sobre a -upla ( x,x,..., x ). Defie-se Y = H(,,..., ) como uma estatística, que assume o valor y = H( x,x,..., x ). Isto é, uma estatística é uma fução real da amostra. Etão, uma estatística é uma variável aleatória e fará setido falar da sua distribuição de probabilidade, do seu valor esperado e da variâcia. Seja (,,..., ) sejam (,x,..., ) Sempre que uma v.a. for de facto uma estatística, isto é, uma fução da amostra, desiga-se a sua distribuição de probabilidade por distribuição amostral. 69 uma amostra aleatória de uma v.a.. Algumas estatísticas importates são: Seja (,,..., ) Média amostral : = i i= Variâcia amostral : S = ( ) i= Proporção amostral de uma população de Beroulli: Y P = em que Y represeta o º de elemetos de um dado tipo icluídos a amostra Míimo da amostra : K = mí (,,..., ) i

10 70 Máximo da amostra : M = máx(,,..., ) Amplitude da amostra : R = M K j ésima maior observação a amostra : ( j ) j=,,..., É óbvio que: j = j = ( ) = M ( ) = K DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM Como foi já referido existe uma difereça fudametal etre parâmetros e estatísticas. Efectivamete, para uma determiada população e uma dada variável aleatória sobre ela defiida, os parâmetros da distribuição correspodete (valor esperado, variâcia,...) são valores fixos. Por outro lado, as estatísticas (média amostral, variâcia amostral,...) variam de amostra para amostra. Dada esta variabilidade das estatísticas, que são afial ovas variáveis aleatórias, iteressa defiir a sua distribuição probabilística através das respectivas fuções de probabilidade ou desidade de probabilidade. As distribuições das estatísticas desigam-se por distribuições por amostragem ou distribuições amostrais.

11 Exemplo: Cosideremos uma população com 4 elemetos, que correspodem aos seguites valores da variável aleatória Y: {,4,6,6 }. A fução de probabilidade da variável aleatória Y, bem como o seu valor esperado e variâcia são: Y 4 6 P (Y = y) /4 /4 / E(Y) = µ Y =. (/4) + 4. (/4) + 6. (/) = 4,5 V(Y) = σ Y = ( 4,5). (/4) + (4 4,5). (/4) + + (6 4,5). (/) =,75 Pretede-se agora defiir a distribuição por amostragem de Y, média amostral, calculada com base em amostras de dimesão obtidas por um processo aleatório sem reposição. Cosiderado todas as amostras de dimesão que podem obter-se recorredo ao processo idicado, as respectivas médias amostrais e as correspodetes probabilidades de ocorrêcia, temos: Amostra y Prob. de ocorrêcia,4 3 /4. /3 = /,6 4 /4. /3 = / 4, 3 /4. /3 = / 4,6 5 /4. /3 = / 6, 4 /4. /3 = / 6,4 5 /4. /3 = / 6,6 6 /4. /3 = / A partir desta tabela podemos obter a fução de probabilidade da média amostral, isto é, a distribuição de Y. 7

12 7 Y P (Y = y ) /6 /3 /3 /6 Cocluido-se que: E(Y ) = µ = 3. (/6) + 4. (/3) + 5. (/3) + 6. (/6) = 4,5 Y V(Y ) = σ = (3 4,5). (/6) + (4 4,5). (/3) + Y + (5 4,5). (/3) + (6 4,5). (/6)= 0,97 Neste caso foi possível especificar de um modo simples, a distribuição por amostragem de Y a partir da distribuição da variável origial porque a população é bastate pequea. Se este método ão for aplicável, devido por exemplo à elevada dimesão da população, poderemos aida recorrer a métodos que os permitem obter de uma forma precisa ou aproximada a distribuição por amostragem de uma determiada estatística. Exemplo: ver aplicação de métodos aalíticos e teorema do limite cetral. Quado através de métodos aalíticos ão se cosegue deduzir a distribuição por amostragem de uma estatística, pode obter-se uma ideia aproximada (que pode até ser muito próxima) daquela distribuição recorredo ao método de Mote Carlo, que cosiste o seguite procedimeto:

13 73 i) Geram-se amostras aleatórias, costituídas por observações, de uma população com uma dada distribuição: ( ) x,x,...,x, ( x ',x ' ',...,x ), ( '' '' '' ) x,x,...,x,... ii) Calcula-se para cada amostra o valor particular da estatística: = ( ), t ' T( x ' ' ',x,...,x ) t T x,x,...,x =, t '' T( x '' '' '',x,...,x ) =,... iii) Com o cojuto dos valores particulares da ' '' estatística, t,t,t,..., costrói-se um histograma. iv) Toma-se para represetação (aproximada) da distribuição por amostragem o histograma a que pode ajustar-se uma fução desidade (fução probabilidade) ou a partir do qual se pode obter a média, a variâcia, a moda, os percetis, etc. O último problema a resolver cosiste em saber como gerar amostras aleatórias proveietes de uma população com uma dada distribuição. O problema é resolvido recorredo a úmeros aleatórios: gerados em computador (úmeros pseudo-aleatórios obtidos de um modo geral recorredo a geradores lieares

14 cogrueciais) ou a tabelas de úmeros aleatórios já dispoíveis. A geração de úmeros aleatórios é um assuto complexo e uma discussão detalhada deste tema está fora do âmbito da disciplia, porém, é de salietar a importâcia dos geradores de úmeros aleatórios que costituem o úcleo cetral da simulação computacioal. A geração de úmeros aleatórios com uma distribuição qualquer é coseguida a partir da geração e da trasformação de úmeros aleatórios de uma variável aleatória uiforme o itervalo (0,). 74 Método da Trasformação Iversa MÉTODO DA TRANSFORMAÇÃO INVERSA V.A. Cotíuas Admita-se que a variável aleatória é cotíua e tem uma fução de distribuição acumulada F com iversa F. Etão um algoritmo para gerar uma realização da variável aleatória é o seguite:

15 Dada a fução de distribuição acumulada F ( x) = P( x) ** Gerar uma realização u da v.a. U ~ U( 0, ) ** Obter a realização x = F ( x) da v.a.. 75 A figura abaixo ilustra o método da trasformação iversa para variáveis aleatórias cotíuas. u = F (x) u x EEMPLOS: i) Geração de realizações da distribuição uiforme U(a,b). Pretede-se assim determiar x F ( u) ~ U( a,b). = para o caso de

16 76 Atededo a que a fução de distribuição acumulada de ~ U( a,b) é: Fazedo u F ( x) 0 x < a x a F ( x) = a x b b a x > b = e resolvedo em ordem a x, obtém-se: x = a + u( b a) ii) Geração de realizações da distribuição expoecial E(λ). Pretede-se determiar x F ( u) ~ E( λ ). = para o caso de Atededo a que a fução de distribuição acumulada de ~ E( λ ) é: F ( x) = λx e x 0 0 x < 0 x Fazedo u F ( x) e λ obtém-se: = = e resolvedo em ordem a x,

17 77 x l = λ ( u) iii) Geração de realizações da distribuição ormal N( 0, ) Uma vez que ão é possível obter aaliticamete x = F ( u) recorre-se por exemplo ao método de Box e Muller que, a partir de duas realizações u e v de uma variável aleatória U~(0,) as trasforma em duas N 0, usado as ( ) observações ormais estadardizadas ( ) trasformações: x x ( ) = lu cos π v ( ) = lu se π v Se se preteder que as observações geradas sigam uma Y ~ N µ, σ, apeas distribuição ormal qualquer ( ) haverá que modificar coveietemete a expressão para x obtida ateriormete do seguite modo: y = µ + σ x MÉTODO DA TRANSFORMAÇÃO INVERSA V.A. Discretas Admita-se que a variável aleatória é discreta, que assume os valores x,x,... e que x < x <... Neste caso, a fução de distribuição acumulada F é dada por:

18 78 em que f ( x ) P( x ) ( ) ( ) ( ) F x = P x = f x i i x i < x = = é a fução de probabilidade. Etão um algoritmo para gerar uma realização da variável aleatória é o seguite: Dada a fução de distribuição acumulada F ( x) = P( x) ** Gerar uma realização u da v.a. U ~ U( 0, ) ** Determiar o meor iteiro positivo α tal que ( ) ** Obter a realização x = x α da v.a.. i u F x α A figura abaixo ilustra o método da trasformação iversa para variáveis aleatórias discretas. u = F (x) u x x x 3 x 4 x 5

19 79 EEMPLO: i) Geração de realizações da distribuição de Beroulli de parâmetro p. A fução de probabilidade da v.a. de Beroulli é como já vimos: p x = 0 p( x) = p x = 0 outros valores e a fução de distribuição acumulada é: 0 x < 0 F( x) = p 0 x < x Gerada uma realização u da v.a. U ~ U( 0, ) etão se 0 u p temos x = 0, se pelo cotrário p < u obtemos x =.

20 80 DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA AMOSTRAL ( DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE ) Para uma v.a., represetativa de uma dada população, e para amostras de dimesão, a média amostral é defiida como vimos, por: = i i= Atededo às propriedades do valor esperado temos : E i= ( ) = E = E = E( ) i= i i i= i = i= ( ) ( E( )) = E( ) E = isto é: µ = µ Para defiir a variâcia, é ecessário estabelecer a distição etre amostras aleatórias simples (população fiita com reposição ou população ifiita) e amostras aleatórias que ão sejam simples (população fiita sem reposição). No caso das amostras aleatórias simples, as variáveis i são idepedetes. Etão, atededo às propriedades da variâcia, temos que:

21 8 Var ( ) = Var = i Var i i = i= = ( ) Var( ) ( Var( )) Var = i= i = i= = Var ( ) ou seja: σ = σ Se as amostras aleatórias ão forem simples é possível demostrar que a variâcia da média amostral é dada por: N σ σ (população fiita, amostragem sem = N reposição). Em que N e represetam respectivamete a dimesão da população e da amostra. N O termo ( N ), desiga-se por factor de correcção N (ou de redução) para populações fiitas. De um modo geral este factor é iferior à uidade visto que < < N.

22 8 Nota: N : o factor de correcção tede para a uidade e a amostra, que se admite ter dimesão fiita, é aleatória simples, haja ou ão reposição. = : o factor de redução é igual à uidade. Neste caso, tedo a amostra apeas um elemeto, ão há qualquer difereça etre a amostragem com ou sem reposição. A média amostral coicide com a variável origial ( = ). N = : a amostra coicide com a população e portato a média amostral correspode ao valor esperado da variável origial, sedo portato uma costate. O factor de redução e a variâcia da média amostral são ulos. Calculado o valor esperado e a variâcia da média amostral, falta especificar a forma da distribuição de. Se ~ N( σ ) µ, etão a média amostral é uma combiação liear das variáveis todas elas com distribuição ( σ ) i N µ, e idepedetes etre si ( o facto de ser Normal presume que a população seja ifiita, e que portato, as amostras aleatórias sejam simples). Neste caso, como já vimos, a média amostral segue uma distribuição Normal.

23 Se a distribuição de ão for Normal, podemos recorrer ao teorema do limite cetral, o qual estabelece que a soma de v.a. idepedetes tede para a distribuição Normal quado, isto é: 83 N µ, σ µ σ ou N( 0,) DISTRIBUIÇÃO DA VARIÂNCIA AMOSTRAL ( DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE S ) Se a população em aálise for caracterizada por uma v.a. ( ) cotíua ~ N µ, σ e se desta população forem obtidas amostras aleatórias de dimesão com variâcia amostral S, etão podemos afirmar que: i) e S são idepedetes ii) A v.a.: S ~ χ σ As afirmações ateriores correspodem ao euciado de um teorema cuja demostração itegral está fora do âmbito desta disciplia. Podemos porém salietar algus aspectos dessa demostração.

24 84 Demostração: Comecemos por verificar que: i = ( ) = ( µ ). ( µ ) i i = i (ver) Se agora dividirmos ambos os membros da equação por obtemos: σ i = i µ σ = σ S + µ σ/ atededo a que: S = i = ( ) i Etão, com base os teoremas ateriormete apresetados temos o primeiro membro uma v.a. com distribuição quiquadrado com graus de liberdade e o segudo termo do segudo membro uma v.a. com distribuição qui-quadrado com grau de liberdade. Nota: Quado uma amostra aleatória i.i.d. é obtida de uma N µ, σ, as variáveis aleatórias: distribuição ( ) σ i = ( µ ) i ~ χ σ e ( ) ( ) S i = ~ χ σ i = Isto é, a substituição da média populacioal (µ) pela média amostral, resulta a perda de um grau de liberdade.

25 85 DISTRIBUIÇÃO DA PROPORÇÃO AMOSTRAL Y ( DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE P = ) Cosideremos uma população costituída apeas por elemetos de dois tipos. O valor p, que correspode à proporção de um dos dois tipos a população, desiga-se por proporção biomial (a proporção do outro tipo é q = p ). Se extrairmos uma amostra de dimesão desta população ela irá icluir y elemetos de um dos tipos. Etão y é uma proporção para uma dada amostra. Esta estimativa correspode a um valor particular da estatística (ou Y estimador) proporção amostral, P =. Se o processo de amostragem for aleatório simples (o que pressupõe que a população é ifiita ou caso cotrário, que a amostragem é efectuada com reposição) etão a v.a. Y, que represeta o úmero de elemetos de um dado tipo uma qualquer amostra, pode ser iterpretada como o úmero de sucessos em experiêcias de Beroulli. Como vimos já, esta situação Y apreseta uma distribuição b ~ (,p). O teorema do limite cetral permite-os afirmar que para valores de suficietemete elevados podemos aproximar a distribuição de Y por uma distribuição Normal com µ = p e σ = p ( p ). Etão podemos cocluir que: P = Y ~ N p, p ( p )

26 86 DISTRIBUIÇÃO DO MÁIMO E DO MÍNIMO DA AMOSTRA Seja uma variável aleatória com fução desidade de probabilidade f( x ) e fução de distribuição F ( x ). Dada uma amostra aleatória de tamaho de e sedo: ( ) = K Mí,,..., M ( ) = Máx,,..., Etão: ( ) = [ ] ( ) f m F (m) f m M ( ) = ( ) fk k F (k) f k Nota: Sugere-se a demostração destes resultados.