Probabilidades e Estatística TODOS OS CURSOS

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1 Duração: 90 miutos Grupo I Probabilidades e Estatística TODOS OS CURSOS Justifique coveietemete todas as respostas 1 o semestre 2018/ /01/ :00 2 o Teste C 10 valores 1. Seja X X 1, X 2,..., X uma amostra aleatória proveiete da população X com fução de desidade de probabilidade f X x e x θ exp e x θ], x R, ode θ é um parâmetro real descohecido. a Mostre que o estimador de máxima verosimilhaça de θ é ˆθ l V.a. de iteresse X i1 e X i. 3.0 F.d.p. de X f X x e x θ exp e x θ], x R Parâmetro descohecido θ R Amostra x x 1,..., x amostra de dimesão proveiete da população X Obteção do estimador de MV de θ Passo 1 Fução de verosimilhaça Lθ x f X x X i idep f Xi x i X i X i1 f X x i i1 i1 { e x i θ exp e ]} x i θ e i1 x i θ exp Passo 2 Fução de log-verosimilhaça l Lθ x x i θ i1 x i + θ e θ i1 e x i θ i1 i1 e x i θ i1 e x i, Passo 3 Maximização A estimativa de MV de θ passa a ser represetada por ˆθ e d llθ x dθ 0 poto de estacioaridade θ ˆθ ˆθ : d 2 llθ x θ < 0 poto de máximo dθ 2 ˆθ e ˆθ i1 e x i 0 e ˆθ i1 e x i < 0 ]. Págia 1 de 7

2 ˆθ : ˆθ l < 0 i1 e x i proposição verdadeira. Passo 4 Estimador de MV de θ E MV θ l. i1 e X i b Calcule a estimativa de máxima verosimilhaça de hθ 2θ + 1 com base a amostra x 1.5 x 1,..., x ,2.56, 1.78,4.67,5.78 tal que 5 i1 e x i Estimativa de MV de θ ˆθ l l i1 e x i l Outro parâmetro descohecido hθ 2θ + 1 Estimativa de MV de hθ Ivocado a propriedade de ivariâcia dos estimadores de máxima verosimilhaça, pode cocluir-se que a estimativa de MV de hθ é dada por hθ h ˆθ 2 ˆθ Uma istituição fiaceira admite que o tempo em meses até ao pagameto itegral de crédito atribuído a pequeas e médias empresas é uma variável aleatória X com distribuição expoecial de valor esperado igual a δ. Da sua carteira de créditos a pequeas e médias empresas foi retirada uma amostra casual de dimesão que coduziu a i1 x i a Obteha um itervalo de cofiaça a aproximadamete 96% para δ. Cosidere a variável aleatória 2.5 fulcral Z X δ, 1 cuja distribuição é aproximadamete ormal0,1. V.a. de iteresse X tempo em meses até ao pagameto itegral de crédito... Situação X Expoecial1/δ EX V X δ > 0 > 30 suficietemete grade. DESCONHECIDO Obteção de IC aproximado para EX δ Passo 1 Selecção da v.a. fulcral para δ Z X δ 1 a ormal0, 1 Uma vez que os foi solicitada a determiação de um IC aproximado para o valor de X e a dimesão da amostra é suficietemete grade para ivocar o TLC, faremos uso da seguite v.a. fulcral para δ: Págia 2 de 7

3 Z X E X V X EX X V X X δ δ 2 X δ 1 a ormal0,1.] Passo 2 Obteção dos quatis de probabilidade Os quatis a utilizar são { a α Φ 1 α/2 Φ 1 1 α/2 Φ 1 t abel a/calc b α Φ 1 1 α/2 Φ Estes quatis equadram a v.a. fulcral para δ com probabilidade aproximadamete igual a 1 α 0.96.] Passo 3 Iversão da desigualdade a α Z b α Pa α Z b α 1 α P a α ] X δ 1 b α 1 α P 1 + a α X δ 1 + b α 1 α P X δ 1+ bα X 1+ aα 1 α. Passo 4 Cocretização Ao termos em cota que x 1 i1 x i Φ 1 1 α/ , coclui-se que o itervalo de cofiaça a aproximadamete 96% para δ é dado por x x, Φ 1 1 α/2 1 Φ 1 1 α/ , , ]. b Cofrote as hipóteses H 0 : δ 24 e H 1 : δ < 24, calculado para o efeito o valor-p. 3.0 Hipóteses H 0 : δ δ 0 24 H 1 : δ < δ 0 24 Estatística de teste Pode tirar-se da variável fulcral utilizada em a para obter a seguite estatística de teste:] T X a 1 H0 ormal0,1. δ 0 Região de rejeição de H 0 para valores de T Tratado-se de um teste uilateral iferior H 1 : δ EX < δ 0 e haver tedêcia para os valores tomados por X decrescerem à medida que δ dimiui, a região de rejeição de H 0, escrita para valores da estatística de teste, é do tipo W,c. Decisão com base o valor-p O valor observado da estatística de teste é t x 1 δ Págia 3 de 7

4 Uma vez que a região de rejeição deste teste é um itervalo à esquerda, temos: valor p PT < t H 0 Logo é suposto: Φt Φ Φ3.23 calc/tabel a ão rejeitar H 0 a qualquer.s. α %; rejeitar H 0 a qualquer.s. α 0 > %, omeadamete a qualquer dos.u.s. 1%, 5% e 10%. Grupo II 10 valores 1. Os tempos de espera em segudo para atedimeto de 200 chamadas, escolhidas ao acaso de etre as 4.0 recebidas os Cetros de Orietação de Doetes Urgetes do INEM, estão sumariados a tabela abaixo. Classe 0,5] ]5,15] ]15,+ Frequêcia absoluta observada Teste, ao ível de sigificâcia de 5%, a hipótese de o tempo de espera para atedimeto seguir uma distribuição expoecial de parâmetro igual a 0.1. V.a. de iteresse X tempo de espera para atedimeto Hipóteses H 0 : X Expoecialλ, λ 0.1 H 1 : X Expoecial0.1 Nível de sigificâcia α 0 5% Estatística de Teste k O i E i 2 T E i a H0 χ 2 k β 1, ode: i1 k No. de classes 3 O i Frequêcia absoluta observável da classe i E i Frequêcia absoluta esperada, sob H 0, da classe i β No. de parâmetros a estimar 0 dado que em H 0 se cojectura uma f.d. específica.] Frequêcias absolutas esperadas sob H 0 Atededo à dimesão da amostra 200 e à f.d. cojecturada dada por F X H0 x F E xpoeci al0.1 x 1 e 0.1 x, x 0, segue-se, para i 1, 2, 3: E 1 F X H0 5 F X H0 0] e ] 78.69; Págia 4 de 7

5 E 2 F X H0 15 F X H0 5] e e 0.1 5] 76.68; 2 E 3 E i i Não é ecessário fazer qualquer agrupameto de classes uma vez que em pelo meos 80% das classes se verifica E i 5 e que E i 1 para todo o i. Caso fosse preciso efectuar agrupameto de classes, os valores de k e c F 1 1 α χ 2 0 teriam que ser recalculados...] k β 1 Região de rejeição de H 0 para valores de T Trata-se de um teste de ajustameto, logo a região de rejeição de H 0 escrita para valores de T é o itervalo à direita W c, +, ode Decisão c F 1 1 α χ 2 0 F F 1 t abel a/calc χ 2 k β χ 2 2 Classe i Freq. abs. obs. Freq. abs. esp. sob H 0 Parcelas valor obs. estat. teste i o i E i o i E i 2 E i , 5] ]5, 15] ]15, k i1 o i k i1 E i t k o i E i 2 i1 E i Como t W 5.991,+, devemos rejeitar H 0 ao.s. de α 0 5%. ou a qualquer outro.s. superior a 5%]. 2. Num cojuto de dados ecotra-se registado o úmero de aos de escolaridade x e o valor da remueração mesal em milhares de euros Y para uma amostra casual de 102 trabalhadores. Para aalisar o efeito do úmero de aos de escolaridade a remueração mesal, usou-se um modelo de regressão liear simples de Y em x e foram obtidos os seguites resultados: 102 x i , i1 102 x i , y i 151.4, i1 i1 102 y 2 i , ˆβ , i1 ode mi i1,...,102 x i, max i1,...,102 x i ] 6.4,16.0]. a Cofirme que i1 x i y i e obteha a estimativa de míimos quadrados do valor esperado 2.0 da remueração mesal de um trabalhador com 12 aos de escolaridade. Valor de i1 x i y i e estimativa de MQ de EY x β 0 + β 1 x com x 12 Como 102 i1 x i i1 x i x 1 i1 x2 i i1 x2 i x Págia 5 de 7

6 i1 y i ȳ 1 i1 y i i1 y 2 i i1 y 2 i ȳ ˆβ 1 i1 x i y i xȳ i1 x2 i x temos x i y i ˆβ 1 x 2 i x2 + xȳ i1 i Mais, as estimativas de MQ de β 0 e β β 1 são, para este modelo de RLS, iguais a: ˆβ 0 ȳ ˆβ 1 x ˆβ ˆβ b Após ter euciado as hipóteses de trabalho que eteder coveietes, obteha e iterprete um 3.0 itervalo de cofiaça a 95% para β 1. Hipóteses de trabalho ɛ i i.i.d. Normal0,σ 2, i 1,..., Obteção do IC para β 1 Passo 1 V.a. fulcral para β 1 ˆβ 1 β 1 Z i1 x2 i ˆσ 2 x2 t 2 Passo 2 Quatis de probabilidade Como 102 e 1 α 100% 95%, usaremos os quatis de probabilidade simétricos a α b α dados por: a α F 1 t 2 α/2 F 1 t /2 F 1 b α F 1 t /2 F 1 t t t abel a/calc t abel a/calc Passo 3 Iversão da desigualdade a α Z b α Pa α Z b α 1 α P a α ˆβ 1 β 1 ˆσ 2 i1 x i 2 x2 b α 1 α ] P ˆβ 1 Ft 1 ˆσ 2 1 α/2 2 i1 x2 i β 1 ˆβ 1 + F 1 ˆσ x2 t 2 1 α/2 2 i1 x2 i 1 α x2 Passo 4 Cocretização Uma vez que a estimativa de σ 2 é igual a Págia 6 de 7

7 ˆσ 2 ] 1 y 2 i 2 ȳ 2 ˆβ 1 2 x 2 i x2 i1 i e a expressão geral do IC pretedido é temos IC 1 α 100% β 1 IC 95% β 1 ˆβ 1 ± F 1 t 2 1 α/ ± ± ] , ] ˆσ 2 i1 x2 i x2 ], Cometário Com base os dados recolhidos e cosiderado um ível de cofiaça de 95%, estima-se que a um aumeto de um ao a escolaridade correspoda um aumeto etre e milhares de euros o valor esperado da remueração mesal. ] c Calcule o valor do coeficiete de determiação do modelo ajustado e iterprete o valor obtido. 1.0 Cálculo do coeficiete de determiação O coeficiete de determiação pedido é igual a r 2 i1 x i y i x ȳ 2 i1 x2 i x2 i1 y 2 i ȳ Iterpretação coeficiete de determiação Cerca de 33.2% da variação total da variável resposta Y é explicada pela variável x através do modelo de regressão liear simples ajustado, dode possamos afirmar que a recta estimada parece ão se ajustar bem ao cojuto de dados. Págia 7 de 7