Probabilidades e Estatística 2005/06

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1 Departameto de Matemática Secção de Estatística e Aplicações - IST Probabilidades e Estatística 2005/06 Resolução do 1 o Exame/2 o Teste 10/01/2006 h00 Grupo I val. 1. Um ovo método de detecção de cotamiates a água está a ser testado. Este método pode ser utilizado para detectar poluetes orgâicos. A empresa que o desevolveu afirma que com este método é possível detectar os poluetes orgâicos com.5% de eficácia. Por outro lado, caso ão haja poluetes o método comporta-se com 8% de eficácia (i.e, esta situação ão detecta poluetes orgâicos). Para calibrar o método foram recolhidas várias amostras de água pura; destas amostras 80% foram cotamiadas,de forma idepedete, com poluetes orgâicos. a) Qual é a probabilidade do método detectar poluetes orgâicos uma amostra recolhida ao acaso? b) Qual é a probabilidade do método dar um resultado verdadeiro? (0.5) c) Supodo que o método foi aplicado duas vezes cosecutivas à mesma amostra e que das duas vezes acusou poluição por poluetes orgâicos, calcule a probabilidade da amostra estar efectivamete cotamiada se se admitir que os resultados de aplicação (em qualquer situação) do método em sucessivas aplicações são idepedetes; (2.0) Resolução: seja D o acotecimeto que idica se o teste acusa detecção de poluetes orgâicos e O o acotecimeto correspodete à ocorrêcia de poluição da água por poluetes orgâicos. Decorre do euciado que P(D O) 0.5; P( D Ō) 0.8; P(O) a) P(D) P(D O)P(O) + P(D Ō)P(Ō) (lei das probabilidades totais) (1 0.8) b) Seja V o acotecimeto que idica que o teste acusa resultado verdadeiro. Note-se que pelo que V (D O) ( D Ō) P(V ) P ( (D O) ( D Ō)) P(D O)P(O) + P( D Ō)P(Ō) c) Seja D i o acotecimeto que idica que o método acusou poluição por poluetes orgâicos a i-ésima aplicação. P(O D 1 D 2 ) P(D 1 D 2 O)P(O) P(D 1 D 2 O)P(O) + P(D 1 D 2 Ō)P(Ō) P 2 (D O)P(O) P 2 (D O)P(O) + P 2 (D Ō)P(Ō) (1 0.8) (0.5) 1

2 2. O método atrás descrito vai ser aplicado um rio. Nesse rio existem duas fábricas que são resposáveis pela poluição do rio por poluetes orgâicos; uma situa-se a margem direita do rio e outra a margem esquerda do rio. Supoha que o úmero de descargas de poluetes orgâicos para o rio da fábrica que se situa a margem direita é modelado por um Processo de Poisso de taxa 2.5 por dia, equato que o úmero de descargas de poluetes orgâicos para o rio da fábrica que se situa a margem esquerda é modelado por um Processo de Poisso de taxa 1.0 por dia, idepedetemete do que acotece a fábrica da margem direita. Resolução i. Seja N t a v.a. que cotabiliza o úmero de descargas de materiais poluetes o rio pelo cojuto das duas fábricas em t dias. Idique a distribuição da v.a. N t. (1.0) ii. Qual a probabilidade de em meio dia ão haver ehuma descarga efectuada por essas duas fábricas? (1.0) a) Seja X t o úmero de descargas em t dias de compostos clorídricos para o rio da fábrica que se situa a margem direita e Y t o úmero de descargas em t dias de compostos clorídricos para o rio da fábrica que se situa a margem esquerda, com X t Poi(2.5t) e Y t Poi(t). Dado que X t e Y t são idepedetes (tal como afirmado o euciado), etão N t X t +Y t Pois(3.5t). b) Pretede-se determiar P(N 0.5 0). Como N 0.5 Pois( ) Pois(1.75) etão P(N 0.5 0) e Grupo II val. 1. A percetagem de idivíduos que, quado expostos a uma dada bactéria, cotraiem a doeça é 20%. Admita que 1000 idivíduos (idepedetes etre si) desta população são expostos à batéria. a) Determie um valor aproximado para a probabilidade de que mais de 225 destes idivíduos adoeçam. b) Supoha que se este cojuto de idíviduos mais de 225 adoecerem, etão é laçada uma campaha de vaciação à população, que custará 1 milhão de euros; se o úmero de idivíduos que cotraiem a doeça for iferior ou igual a 225 mas superior a 50, etão só os familiares destes idivíduos serão vaciados. Nesse caso o custo da campaha de vaciação será de 5000 euros. Fialmete, se o máximo 50 idivíduos ficarem ifectados, etão ão é laçada ehuma campaha de vaciação. b.i) Ecotre a fução de probabilidade (aproximada) do custo da campaha de vaciação. b.ii) Qual o custo esperado associado a esta campaha de vaciação? (0.5) Resolução: Seja X a v.a. que cotabiliza o úmero de idivíduos, de etre 1000, que cotraiem a doeça quado expostos à batéria. Como os idivíduos são idepedetes etre si, etão com E[X] 200 e V ar[x] a) X Bi(1000, 0.2) (1.0) (1.0) P(X > 225) 1 P(X 225) 1 P( X Φ(2.02) ) (cosiderado a aproximação Normal da Biomial com correcção de cotiuidade). 2

3 b.i) Seja Y a v.a. que desiga o custo da campaha de vaciação. Etão temos P(X > 225) y 10 5 P(50 < X 225) y 500 P(Y y) P(X 50) y 0 b.ii) 0.07 y 10 5 Φ(2.02) Φ( 11.81) y 500 E[Y ] y yp(y y) 500P(Y 500) P(Y 10 5 ) Seja (X, Y ) um par de v.a. discretas, para o qual a fução de probabilidade cojuta é dada por: P(X x, Y y) c(x + y), x 1, 2, 3; y 1, 2 a) Determie o valor de c para o qual a fução aterior defie realmete uma fução de probabilidade cojuta de X e de Y. (0.5) b) Calcule E[X], E[X Y 1] e V ar[x Y 1]. (1.0) c) Será que X e Y são v.a. idepedetes? Justifique. (1.0) Resolução: a) Como 3 2 x1 y1 P(X x, Y y) 1 etão vem: x1 y1 dode c 1/. 2 P(X x, Y y) c((1 + 1) + (1 + 2) + (2 + 1) + (2 + 2) + (3 + 1) + (3 + 2)) c b) Calcule-se a fução de probabilidade (margial) de X, assim como a codicioada (de X em Y 1): P(X x) 2 P(X x, Y y) y1 5 x 1 7 x 2 x 3 P(X x, Y 1) P(X x Y 1) P(Y 1) 2 x 1 3 x 2 4 x 3 3

4 Cosequetemete: E[X] E[X Y 1] E[X 2 Y 1] x1 x1 x1 xp(x x) xp(x x Y 1) x 2 P(X x Y 1) V ar[x Y 1] E[X 2 Y 1] E 2 [X Y 1] c) As v.a. aõ são idepedetes pois, por exemplo, E[X] E[X Y 1] Grupo III val. Os capacetes usados pelos pilotos e co-pilotos participates o rally Lisboa-Dakar foram previamete testados, de forma a idagar sobre a sua seguraça. Para tal foram seleccioaos ao acaso 50 capacetes, os quais foram sujeitos a testes de impacto. Em cosequêcia destes testes de impacto, 18 capacetes ficaram com algum dao. a) Costrua um itervalo de cofiaça a 5% para a verdadeira proporção de capacetes com algum dao fruto do teste de impacto. (2.0) b) Para um ível de sigificâcia de 5%, será que é de admitir que a verdadeira proporção de capacetes com algum defeito fruto do teste de impacto é igual a 32%? (2.0) Resolução: Seja X i uma v.a. que toma o valor 1 (0) se o i-ésimo capacete sofrer (ão sofrer) algum dao fruto do teste de impacto, com X i Ber(p), com p descohecido. Adicioalmete, se se admitir que os 50 capacetes têm um comportameto idepedete mas que obedecem à mesma lei probabilística, etão segue-se que {X 1, X 2,..., X 50 } X Ber(p). Para a amostra particular, 50 x i 18 dode x a) Nesta alíea pretede-se costruir um I.C. 0.5 (p). Decorre do TLC que uma variável fulcral para este problema é: X p a N(0, 1) X(1 X) Dado que Φ 1 (0.75) 1.6, vem que P( 1.6 < X p X(1 X) < 1.6) 0.5 X(1 P( X X) X(1 1.6 <p < X X) ) 0.5 dode X(1 I.C.A. 0.5 (p) ] X X) X(1 1.6 ; X X) [. Cocretizado: 0.36(1 0.36) 0.36( ) I.C. 0.5 (p) ] ; [ ]0.227; 0.43[. 4

5 b) Pretede-se testar H 0 : p 0.32 vs H 1 : p Uma vez que o teste é bilateral, e que se pretede o mesmo ível de cofiaça da alíea aterior, etão podemos utilizar o resultado da alíea aterior (ote-se porém que a estatística de teste adequada para esta situação ão coicide ecessariamete com a variável fulcral idicada a alíea aterior com p Porém como o valor observado da estimativa de máxima verosimilhaça, x 0.36 é próximo do valor em teste, p 0.32, utilizaremos o resultado aterior, com evidete ecoomia de trabalho!). Como o valor proposto para p, p 0.32 sob H 0, está cotido a aproximação do I.C. 0.5 (p), etão a hipótese H 0 ão deve ser rejeitada para α 5% (a verdade esta hipótese ão é rejeitada para α 5%). Grupo IV val. 1. Uma fábrica produtora de circuito eléctricos tem um departameto de cotrolo de qualidade, ode os circuitos produzidos são submetidos a um rigoroso cotrolo de qualidade. Fruto de resultados ateriores, é covicção do resposável por este departameto que o úmero de defeitos em cada circuito eléctrico (X) tem uma distribuição de Poisso. Para verificar essa hipótese, foi recolhida uma amostra de 60 circuitos idepedetes, tedo-se observado os seguites valores: Número de defeitos Frequêcia observada a) Se se admitir que efectivamete X tem uma distribuição de Poisso, prove que a estimativa de máxima verosimilhaça do valor esperado de X é igual a Qual é a estimativa de máxima verosimilhaça da probabilidade de um circuito eléctrico ão ter defeitos? (1.5) b) Acha que os dados evideciam que X tem distribuição Poisso? (2.0) Resolução a) L(λ; x 1,...,x ) P(X 1 x 1,...,X x ; λ) iid e λ λ xi e λ λ xi x i! x i!, λ > 0 LL(λ; x 1,...,x ) λ + x i Lλ L( x i!) [LL(λ; x 1,...,x )] + x i λ [LL(λ; x 1,..., x )] x i λ 2 < 0, λ P(X x i ; λ) Logo a estimativa de máxima verosimilhaça de λ, ˆλ, é tal que + x i ˆλ 0 ˆλ x. Nesta situação, como x i0 i N i etão vem que efectivamete ˆλ

6 Por outro lado, como P(X 0) e λ decorre da propriedade da ivariâcia dos estimadores de máxima verosimilhaça que P(X 0) e ˆλ e b) Pretede-se testar H 0 : X Poi(λ). Para este teste a estatística de teste é: Q k (O i Êi) 2 (a,h0) χ (2) (k 2) Ê i i0 ode O i desiga a frequêcia observada da classe i e Êi desiga a frequêcia estimada da classe i. Se H 0 for verdadeira, X toma valores em IN 0, pelo que a última classe (para a qual X 3) tem de ser aumetada para X 3. Desta forma temos a seguite tabela: Número de defeitos o i ê i e ˆλ e ˆλˆλ1 1! e ˆλˆλ2 2! Etão o valor observado da estatística de teste é: q obs ( ) (15.26) ( 7.7) (4 2.43) Como F (2) χ (3.46) ]0.80; 0.85[, etão p ]0.20; 0.25[. Desta feita se coclui que H 0 é 2 rejeitada para íveis de sigificâcia α 25%, equato que ão é rejeitada para α 20%. Assim se coclui que para os íveis usuais de sigificâcia a hipótese de que X segue uma distribuição de Poisso ão é rejeitada. 2. Um ivestigador acha que a quatidade de vapores tóxicos produzidos mesalmete por uma fábrica de químicos está relacioada com a temperatura média mesal ( o C). Para idagar essa possibilidade recolheu uma amostra, tedo obtido os seguites resultados: x i y i pelo que 10 x i 20.7, 10 y i , 10 x2 i , 10 y2 i e 10 x iy i Com base estes valores foi ajustado um modelo de regressão liear simples, tedo-se obtido ˆβ e ˆβ a) Com base a recta estimada de regressão dos míimos quadrados, calcule uma estimativa da difereça esperada da quatidade de vapores tóxicos de dois meses cuja temperatura média mesal difere de 3 o C. Como iterpreta este valor? (1.0) b) Será que se pode cocluir, para um ível de sigificâcia de 5%, que a quatidade esperada de vapores tóxicos emitidos pela fábrica aumete com a temperatura média mesal? Idique todas as hipóteses sobre o modelo que achar coveietes. (1.5) Resolução a) A equação da recta estimada é: ŷ x, x [12.5; 2.2] Se se cosiderar dois meses cuja temperatura média mesal difere de 3 o C (e desde que ambas as temperaturas destes dois meses estejam o itervalo cosiderado [12.5; 2.2]), etão uma estimativa da difereça esperada da quatidade de vapores tóxicos destes dois meses é Este valor ão sigifica obrigatoriamete que a difereça seja exactamete este valor: é apeas uma estimativa do que se espera ecotrar! 6

7 b) Assumido que ǫ i N(0, σ 2 ) (ode ǫ i desiga o erro aleatório associado à i-ésima temperatura), para o teste: H 0 : β 1 0 vs H 1 : β 1 > 0 a estatística de teste idicada é: Como T ˆβ 1 ˆσ 2 x 2 i x 2 t 2 [ ˆσ 2 1 ( )] yi 2 2 ȳ2 ˆβ 1 2 x 2 i x etão o valor observado da estatística de teste é: t obs (20.7) 2 Dado que F 1 t 8 (0.5) 1.86 e como t obs > 1.86, etão para 5% há evidêcias para rejeitar H 0, i.e., aceitamos que a quatidades esperada de vapores tóxicos emitidos pela fábrica aumete com a temperatura média aual. 7