Teoria da Estimação 1

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1 Teoria da Estimação 1

2 Um dos pricipais objetivos da estatística iferecial cosiste em estimar os valores de parâmetros populacioais descohecidos (estimação de parâmetros) utilizado dados amostrais. Etão, qualquer característica de uma população pode ser estimada a partir de uma amostra aleatória, desde que esta amostra represete bem a população. Os parâmetros populacioais mais comus a serem estimados são: a média, o desvio-padrão e a proporção.

3 Ates de abordar a teoria da estimação vamos procurar eteder o que vem a ser estimador e estimativa. Um estimador,, do parâmetro é uma fução qualquer dos elemetos da amostra. Estimativa é o valor umérico assumido pelo estimador quado os valores observados são cosiderados. Assim ˆ i1 é um estimador para a média populacioal μ, e por exemplo, x 70 x x i é uma estimativa da média populacioal. 3

4 Tipos de Estimativas Estimativa por poto: este caso obtém-se um úico valor amostral que serve como uma aproximação do parâmetro estimado. o Exemplo: O resultado da média amostral é uma estimativa por poto da média populacioal ; o resultado da variâcia amostral s² é uma estimativa por poto da variâcia populacioal. x 4

5 Estimação por itervalo ou Itervalo de cofiaça: Na distribuição amostral, ao selecioar k amostras de tamaho da população, é possível obter k estimativas potuais de um parâmetro. Estas estimativas seguirão uma determiada distribuição. Cohecida esta distribuição pode-se determiar o limite iferior e o limite superior, detro do qual se espera que o valor real do parâmetro populacioal descohecido (média, variâcia, proporção). Esses limites são chamados limites de cofiaça : determiam um Itervalo de Cofiaça (IC), o qual estará o verdadeiro valor do parâmetro. 5

6 o Assim, a estimação por itervalo cosiste a fixação de dois valores tais que 1 seja a probabilidades de que o itervalo coteha o verdadeiro valor do parâmetro : ível de sigiificâcia ou grau de descofiaça 1 : coeficiete de cofiaça ou ível de cofiabilidade 6

7 x 50 estimar Exemplo: P (40 < < 60) = 0,95 ou seja a verdadeira média populacioal está detro do itervalo de cofiaça de 40 a 60 com cofiabilidade de 95%. 7

8 x e x e x INTERVALO DE CONFIANÇA e: margem de erro

9 Costrução dos Itervalos de Cofiaça (IC) Com uma cofiaça 1 pode-se determiar, com o auxílio das distribuições amostrais, um limite iferior e superior, o qual espera-se que o verdadeiro valor do parâmetro populacioal esteja cotido. Resumidamete tem-se que: Itervalo de cofiaça para médias em grades amostras ( 30): usa-se a distribuição ormal (Z). Itervalo de cofiaça para médias em pequeas amostras ( < 30): usa-se a distribuição t-studet (t). Itervalo de cofiaça para proporções: usa-se a distribuição ormal (Z). Itervalo de cofiaça para uma variâcia: usa-se a distribuição de qui-quadrado. 9

10 o 1ºCaso: Amostras Grades ( 30) (Distribuição Normal) Itervalo de Cofiaça: IC(μ) 1-α : x ± e o Erro da estimativa: P( x e x e) (1 ) e z/. ; e z/. s P( x z x z ) (1 ) / X / X z depede da cofiaça que se queira do itervalo

11 X ~ N(, ) descohecido, mas cohecido X ~ N(, ) X ~? N (0,1) 0,14 (Normal Padrão) Z X P( z/ z/ ) 1 0,1 0,1 0,08 0,06 0,04 0,0 P( z/ X z/ ) 1 0 P( X z/ X z/ ) 1 IC para N(0,1) z / 10 z / 15 P( Z z ) / 1 P( z Z z ) 1 / / ível de sigificâcia ível de cofiaça

12 Exercício 1: De uma população com =5, retiramos uma amostra de 50 elemetos e obtemos IC de 95%, para a média populacioal. x 4. Determiar um Exercício : Pretede-se estimar o gasto/mês (R$) com educação de uma determiada população. Uma amostragem feita com 36 famílias dessa população mostrou média de R$10,00 e desvio padrão de R$ 50,00. Costruir um IC de 95% para a média populacioal 1

13 o o Caso: Amostras pequeas (<30) e variâcia populacioal descohecida (Distribuição t -Studet) Itervalo de Cofiaça: Erro da estimativa: IC(μ) 1-α : x ± e P( x e x e) (1 ) s e t. o GL= v = -1

14 Exercício 3: Pretede-se estimar a idade de aposetadoria (aos) de certa população. Uma amostragem feita com 16 pessoas mostrou média de 57 aos e variâcia de 5 aos².costruir um IC de 95% para a média populacioal. 14

15 Itervalo de Cofiaça: IC(p) 1-α : p ˆ ± e P( pˆ e p pˆ e) (1 ) Erro da Estimativa: e z pq ˆˆ 15

16 Exercício 4: Retiramos de uma população uma amostra de 100 elemetos e ecotramos 0 sucessos. Ao ível de 1%, costruir um IC para a proporção real de sucessos a população. Exercício 5: Supoha que em uma determiada pesquisa sobre a aceitação do produto X de 100 pessoas avaliadas 35 mostram boa aceitação ao produto. Utilize um IC de 90% para estimar, a população, a proporção de aceitação pelo produto. 16

17 ou ( -1).s ( -1).s IC(σ ) 1-α : ; χ χ1- ( -1).s ( -1).s IC(σ ) 1-α : ; χ χ1 v = -1 P ( -1).s ( -1).s (1 ) χ χ1 17

18 Exercício 6: Pretede-se estimar a idade de aposetadoria (aos) de certa população. Uma amostragem feita com 16 pessoas mostrou média de 57 aos e variâcia de 5 aos². Costruir um IC de 95% para a variâcia populacioal. Observação: Caso a média populacioal seja cohecida teremos ( xi ).s.s i1 IC(σ ) 1-α : ; ode s χ χ1 18

19 Se a população for ifiita: z.s α = 0 e Para população fiita: N

20 Exemplo: Pretede-se estimar o tempo (mi) ecessário para se fazer um determiado trabalho escolar. Uma amostragem feita com 36 pessoas mostrou média de 1 mi e variâcia de 16 mi². Qual deve ser o tamaho da amostra para estimar a média com 95% de cofiaça e um erro máximo de 1 miuto a estimativa da média? 0

21 z pˆˆ q 0 α = 0 e 0 1 N 1 Pop. ifiita Pop. fiita Exemplo: Determiada empresa estima que a proporção de pessoas que utiliza seus produtos o Brasil é de 0,0. Uma pesquisa vai ser realizada em Uberlâdia, para verificar a proporção de idivíduos com esta característica a cidade. Qual deve ser o tamaho da amostra para realizar a estimativa com 95% de cofiaça e um erro máximo de 3%?