Exercícios de Intervalos de Confiança para media, variância e proporção

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1 Exercícios de Itervalos de Cofiaça para media, variâcia e proporção 1. Se uma amostra aleatória =5, tem uma média amostral de 51,3 e uma desvio padrão populacioal de σ=. Costrua o itervalo com 95% de cofiaça para a média populacioal µ. O Itervalo de Cofiaça é: [x z α σ ; x + z α σ x = média da amostra = 51,3 Probabilidade do I.C. coter o valor da média populacioal = 1 α = 95% α = 5% z α = z,5% = valor para o qual P(0 Z z,5% ) = 0,5 α P(0 Z z,5% ) = 0,5 0,05 = 0,475 z,5% = 1,96 = tamaho da amostra = 5 σ = desvio padrão da população = I.C.= [51,3 1,96 I.C. = 51,3 ± 0,78 ; 51,3 + 1,96 = [51,3 0,78; 51,3 + 0,78 = [50,5; 5, Sabe-se que a vida em horas de um bulbo de lâmpada de 75W é distribuída de forma aproximadamete ormal com desvio padrão de σ=5. Uma amostra aleatória d bulbos tem uma vida media de horas. Costrua um itervalo de cofiaça de 95% para a vida média. O Itervalo de Cofiaça é: [x z α σ ; x + z α σ x = média da amostra = 1014 Probabilidade do I.C. coter o valor da média populacioal = 1 α = 95% α = 5% z α = z,5% = valor para o qual P(0 Z z,5% ) = 0,5 α P(0 Z z,5% ) = 0,5 0,05 = 0,475 z,5% = 1,96 = tamaho da amostra = 0 σ = desvio padrão da população = 5 I.C.= [1014 1,96 5 I.C. = 1014 ± ; ,96 = [ ; = [1003; Qual deve ser o tamaho da amostra para que o itervalo com 99,5% de cofiaça para a média populacioal teha uma semi amplitude ão superior a 1,5? Sabe-se que a variâcia populacioal é de 3. O Itervalo de Cofiaça é: [x z α σ ; x + z α σ Semi amplitude meor que 1,5 z α σ < 1,5 Probabilidade do I.C. coter o valor da média populacioal = 1 α = 99,5% α = 0,5% z α = z 0,5% = valor para o qual P(0 Z z 0,5% ) = 0,5 α P(0 Z z 0,5% ) = 0,5 0,005 = 0,4975 z 0,5% =,81 σ = variâcia da população = 3 σ = 4,8,81 4,8 < 1,5 = 80,85 81 elemetos

2 Outra maeira de determiar o tamaho da amostra é simplesmete aplicar a fórmula quado σ é cohecido: = ( z α σ ) = semi amplitude do Itervalo de Cofiaça 1,5. Aalisaremos o caso limite em que vale 1,5. = (,81 4,8 1,5 ) = 80,85 81 elemetos. 4. Calcular o itervalo de cofiaça de 95% para a seguite amostra, com variâcia populacioal descohecida: 19,8 18,5 17,6 16,7 15,8 15,4 14,1 13,6 11,9 11,4 11,4 8,8 7,5 15,4 15,4 19,5 14,9 1,7 11,9 11,4 10,1 7,9 Como ão temos a variâcia (e o desvio padrão) populacioal, devemos calcular o Itervalo de Cofiaça com base o desvio padrão amostral. O Itervalo de Cofiaça é: [x t 1,α S ; x + t 1,α S Probabilidade do I.C. coter o valor da média populacioal = 1 α = 95% α = 5% S = desvio padrão da amostra = x = média da amostra = 13,71 S = 3,55 t 1,α = t 1,,5% =,080 I.C.= [13,71,08 3,55 I.C. = [1,14; 15,8 I.C. = 13,71 ± 1,57 i=1 (x i x )² 1 3,55 ; 13,71 +,08 = [13,71 1,57; 13,71 + 1,57 5. Uma marca particular de margaria diet foi aalisada para determiar o ível em porcetagem de ácidos graxos isaturados. Uma amostra de seis pacotes resultou os seguites dados: 16,8; 17,; 17,4; 16,9; 16,5 e 17,1. Ecotre o itervalo de cofiaça de 99% para a amostra. Como ão temos o desvio padrão populacioal, devemos calcular o Itervalo de Cofiaça com base o desvio padrão amostral. O Itervalo de Cofiaça é: [x t 1,α S ; x + t 1,α S Probabilidade do I.C. coter o valor da média da população = 1 α = 99% α = 1% S = desvio padrão da amostra = x = média da amostra = 16,98 S = 0,319 t 1,α = t 5,0,5% = 4,03 I.C. = [16,98 4,03 0,319 I.C. = [16,45; 17,51 I.C. = 16,98 ± 0,53 6 i=1 (x i x )² 1 0,319 ; 16,98 + 4,03 = [16,98 0,53; 16,98 + 0,53 6

3 6. Uma amostra piloto com 1 elemetos tece média de 6,7 e desvio padrão de 1,7. Qual deve ser o tamaho da amostra para que a semi amplitude do itervalo de 99,5% de cofiaça da média populacioal ão seja superior a 0,8 Como ão temos o desvio padrão populacioal, devemos utilizar o desvio padrão amostral. O problema é que ão temos como calcular S para a amostra que desejamos saber o úmero de elemetos. Assim, utilizaremos os valores da amostra piloto, que possui elemetos, para calcular o tamaho da amostra (): = ( t 1,α S ) Probabilidade do I.C. coter o valor da média populacioal = 1 α = 99,5% α = 0,5% t 1,α = t 11,0,5% = 3,497 (valor retirado de tabela existete a iteret) S = desvio padrão da amostra piloto = 1,7 = semi amplitude do Itervalo de Cofiaça 0,8. Aalisaremos o caso limite em que val,8. = ( 3,497 1,7 ) = 55, 56 elemetos. 0,8 7. O coteúdo de açúcar a calda de pêssegos em lata é ormalmete distribuído. É extraída uma amostra de =10 latas que resulta em um desvio padrão amostral de s=4,8. Ecotre o itervalo de cofiaça para de 95% para a variâcia populacioal σ. O Itervalo de Cofiaça é: [ ( 1) S Χ ; ( 1) S 1,α/ Χ 1,1 α/ Probabilidade do I.C. coter o valor da variâcia populacioal = 1 α = 95% α = 5% S = desvio padrão amostral = 4,8 S = 3,04 Χ 1,α/ = Χ 9,,5% = 19,03 Χ 1,1 α/ = Χ 9,97,5% =,700 I.C. = [ 9 3,04 = [10,9; 76,8 ; 9 3,04 19,03,7 8. Se uma amostra de tamaho =0, a media e o desvio padrão são X=1,5 e s=0,5. Costrua um itervalo de cofiaça para de 99% para σ. O Itervalo de Cofiaça é: [ ( 1) S Χ ; ( 1) S 1,α/ Χ 1,1 α/ Probabilidade do I.C. coter o valor da variâcia populacioal = 1 α = 99% α = 1% S = desvio padrão amostral = 0,5 S = 0,065 = Χ 19,0,5% = 38,58 Χ 1,α/ Χ 1,1 α/ I.C. = [ 19 0,065 = Χ 19,99,5% ; 19 0,065 38,58 6,844 = 6,844 = [0,03; 0,17 9. Em uma amostra aleatória de 85 macais de eixos de maivelas de motores de automóveis, 10 têm um acabameto superficial mais rugoso do que as especificações permitidas. Calcule um itervalo de cofiaça para o 95% da proporção. O Itervalo de Cofiaça é: [p z α p (1 p ) ; p + z α p (1 p )

4 p = frequêcia relativa amostral = 10/85 = 0,1 Probabilidade do I.C. coter o valor da frequêcia relativa populacioal = 1 α = 95% α = 5% z α = z,5% = valor para o qual P(0 Z z,5% ) = 0,5 α P(0 Z z,5% ) = 0,5 0,05 = 0,475 z,5% = 1,96 = tamaho da amostra = 85 I.C. = [0,1 1,96 0,1(1 0,1) 85 I.C. = [0,1 0,07; 0,1 + 0,07 = [0,05; 0,19 ; 0,1 + 1,96 0,1(1 0,1) De casos selecioados de aleatoriamete de câcer de pulmão, 83 resultaram em morte. Costrua um itervalo de cofiaça de 95% para a taxa de morte de câcer de pulmão. O Itervalo de Cofiaça é: [p z α p (1 p ) ; p + z α p (1 p ) p = frequêcia relativa amostral = 83/1000 = 0,83 Probabilidade do I.C. coter o valor da frequêcia relativa populacioal = 1 α = 95% α = 5% z α = z,5% = valor para o qual P(0 Z z,5% ) = 0,5 α P(0 Z z,5% ) = 0,5 0,05 = 0,475 z,5% = 1,96 = tamaho da amostra = 1000 I.C. = [0,83 1,96 0,83(1 0,83) 1000 ; 0,83 + 1,96 0,83(1 0,83) 1000 I.C. = [0,83 0,04; 0,83 + 0,04 = [0,799; 0, Sabe-se que a proporção de aimais cotamiados com uma determiada doeça ão é superior a 10%. Qual deve o tamaho da amostra para que a semi amplitude do itervalo com 9% de cofiaça para a fração populacioal ão seja superior a %? Para descobrirmos o tamaho da amostra, devemos usar a seguite fórmula: = ( z α ) p(1 p) O problema é que descohecemos p (proporção populacioal) e p (proporção amostral). Porém podemos aalisar o fator p(1-p):

5 No eixo x temos p e o eixo y temos p(1-p). É uma parábola com valor máximo igual a 0,5. Como sabemos que a proporção p de aimais cotamiados com a doeça ão é superior a 10%, podemos aalisar o caso limite em que p val,1. Este é o caso o qual o fator p(1-p) atige o valor máximo para p etr,1. Desse modo: = ( z α ) 0,1(1 0,1) = ( z α ) 0,09 Probabilidade do I.C. coter o valor da frequêcia relativa populacioal = 1 α = 9% α = 8% z α = z 4% = valor para o qual P(0 Z z 4% ) = 0,5 α P(0 Z z 4% ) = 0,5 0,08 = 0,46 z 4% = 1,75 = semi amplitude do Itervalo de Cofiaça 0,0. Aalisaremos o caso limite em que val,0. = ( 1,75 0,0 ) 0,09 = 689,1 690 elemetos. Respostas 1. IC = 51,3 ± 0, μ N = ,14 μ 15,8 5. 1,14 μ 15,8 6. N = ,9 76,8 8. 0,03 0, ,05 p 0, ,799 p 0, N = 690