ESTIMAÇÃO POR INTERVALO (INTERVALOS DE CONFIANÇA)

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1 06 ETIMÇÃO OR INTERVLO (INTERVLO DE CONINÇ) Cada um dos métodos de estimação potual permite associar a cada parâmetro populacioal um estimador. Ora a cada estimador estão associadas tatas estimativas diferetes quatas as amostras utiliadas para o seu cálculo. De um modo geral ehuma destas estimativas irá coicidir com o valor do parâmetro da população e ão é possível obter qualquer iformação relativa ao seu rigor. Esta impossibilidade de associar a uma dada estimativa o respectivo grau de cofiaça costitui a grade limitação dos métodos de estimação potual. Este problema é ultrapassado recorredo à estimação por itervalo. ( ) dmita-se etão que temos uma população N µ e que é seleccioada uma amostra aleatória de dimesão. ara essa amostra é calculada a respectiva média amostral cujo valor é x. O objectivo é defiir um itervalo que com uma dada probabilidade - (p.ex: 95% 99%) iclua o verdadeiro valor do parâmetro µ da população. abemos que: N µ Z µ N( 0 ) defia-se agora ( ) [ Z > ( )]. Etão [ Z ( )] portato [ ( ) Z ( )]. como o valor da v.a. Z que verifica e

2 07 Etão: µ que se pode escrever como: µ µ ou como: µ De acordo com a expressão aterior o itervalo: icluirá o valor de µ com probabilidade -.

3 Este itervalo desiga-se por itervalo de cofiaça para o valor esperado a ( - ).00%. Os extremos deste itervalo são os limites de cofiaça a ( - ).00%. O valor de ( ) que represeta a semiamplitude do itervalo de cofiaça correspode ao erro máximo que com a cofiaça especificada se pode cometer a estimativa de µ. NOT: 08 O valor de represeta em média a proporção de vees em que o itervalo de cofiaça ão cotém o parâmetro que se pretede estimar. Outro aspecto a salietar prede-se com a simetria do itervalo de cofiaça relativamete ao valor do estimador potual.

4 09 ara quaisquer valores e ão simétricos que satisfaçam: os itervalos ( ) ( ) são todos eles itervalos de cofiaça de µ a (- ).00% porém com amplitudes diferetes. empre que a estatística a partir da qual se defiem os itervalos de cofiaça apresetar uma distribuição uimodal simétrica o itervalo simétrico em relação à estatística ( ) é o de meor amplitude e portato aquele que deve ser calculado. s excepções a esta regra são situações em que o objectivo é defiir itervalos de cofiaça uilaterais (ilimitados superiormete ou ilimitados iferiormete).

5 0 EECIICÇÃO DE INTERVLO DE CONINÇ especificação de um itervalo de cofiaça para um parâmetro implica cohecer: Um estimador do parâmetro em causa distribuição desse estimador Uma estimativa potual do parâmetro INTERVLO DE CONINÇ R O VLOR EERDO (µ) I ) mostra de grade dimesão. opulação qualquer. De acordo com o teorema do limite cetral temos que este caso: N µ Z µ N( 0 ) Em geral o desvio padrão da população é descohecido sedo estimado através do desvio padrão amostral : i ( i ) ( : estimador desvio padrão amostral; s: estimativas)

6 Uma ve que se admitiu que a amostra é de elevada dimesão o erro de estimação é despreável e podemos admitir que: e portato: (costate) Z µ µ N( 0 ) Etão o itervalo de cofiaça para o valor esperado µ a (- ).00% é dado por: ( ) ( ) II ) mostra de pequea dimesão. opulação Normal. Neste caso já ão é válido cosiderar que: (costate) e portato também já ão é válido admitir que: µ µ

7 Etão para defiir o itervalo de cofiaça é ecessário determiar a distribuição da v.a. : Notemos que: µ µ µ N ( 0 ) µ e como e são v.a. idepedetes resulta da defiição da distribuição t de tudet que: µ t sedo portato o itervalo de cofiaça para o valor esperado µ a (-).00% dado por: ( ) t ( ) t

8 3 INTERVLO DE CONINÇ R ROORÇÃO INOMIL ( ) Vimos já ateriormete que era um estimador para a proporção biomial p e que sob determiadas codições a distribuição de é dada por: N p p ( p ) e portato os limites do itervalo de cofiaça para são dados por: ( p ) p ± ( ) ± ( ) Uma ve que o valor de depede do parâmetro descohecido p poderá para amostras de elevada dimesão ser substituído por um qualquer valor do seu estimador resultado em: e portato: ( ) ( ) 3

9 4 p ( ) 3 N( 0 ) sedo o itervalo de cofiaça para a proporção biomial p a (-).00% dado por: ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 INTERVLO DE CONINÇ R VRIÂNCI DE UM OULÇÃO NORML ( ) ( ) Vimos já que se de uma população Normal N µ forem seleccioadas amostras aleatórias de dimesão com variâcia amostral etão a v.a. : ( ) Cosideremos agora dois valores ( que: ) e [ ] tais

10 5 ubstituido a equação aterior por obtém-se: ou: > > a que podemos aida dar outro aspecto: > > ou fialmete:

11 6 O itervalo de cofiaça para a variâcia dado por: a (-).00% é ( ) ( ) ( ) Neste caso a distribuição ão é simétrica existido portato a ( dificuldade de defiir os valores que ) e coduem ao itervalo de cofiaça de meor amplitude. or raões de simplicidade é habitual escolher: ( ) ( ) e assim a expressão fial para o itervalo de cofiaça é: ( ) ( ) ( ) ( )

12 7 INTERVLO DE CONINÇ R RZÃO ENTRE VRIÂNCI DE OULÇÕE NORMI dmita-se que e correspodem às variâcias de duas populações Normais e. Cosidere-se também que com base em amostras idepedetes de dimesão e respectivamete se obtêm os estimadores para aquelas variâcias isto é e. Etão: e resultado que: ( ) ( ) ( ) ( ) tededo à defiição da distribuição temos etão que: uma ve que se admite que as variáveis e são idepedetes (pois são obtidas a partir de amostras idepedetes).

13 8 Cosiderem-se agora dois valores desta distribuição e tais que: [ ] e portato: ou aida: > > ou de outro modo: > > e fialmete:

14 9 O itervalo de cofiaça a (-).00% para a raão etre as variâcias das duas populações ormais é etão: ( ) ( ) INTERVLO DE CONINÇ R DIERENÇ ENTRE O VLORE EERDO DE DU OULÇÕE ( µ ) µ I) mostras idepedetes de grades dimesões populações quaisquer ejam µ e µ os valores esperados das populações e e e as suas variâcias. Cosidere que a partir destas populações se obtêm amostras idepedetes de dimesão N e N com base as quais se determiam os estimadores dos valores esperados e e das variâcias e. Uma ve que estamos a tratar com amostras de elevada dimesão podemos cosiderar que: e

15 0 por outro lado o teorema do limite cetral permite-os afirmar que quaisquer que sejam as formas das distribuições de e teremos: µ µ N N e µ µ N N Uma ve que se admitiu que as amostras são idepedetes a difereça é a também uma v.a. com distribuição Normal e portato: µ µ µ µ N N isto é: 0 N Z µ µ Etão o itervalo de cofiaça a (-).00% para a difereça dos valores esperados µ µ é dado por:

16 e se admitir que as variâcias das duas populações são iguais: etão: µ µ µ µ N N este caso é possível refiar a expressão obtida para o itervalo de cofiaça estimado a variâcia comum das duas populações e a partir de: e substituido essa expressão e por. Etão se as variâcias das populações forem iguais a expressão para o itervalo de cofiaça é:

17 I) mostras idepedetes de pequeas dimesões populações quaisquer Uma ve que agora já ão é válido cosiderar: e também deixa de ser válido admitir que tem distribuição N(0) a v.a.: µ µ eguido um procedimeto aálogo ao já utiliado o caso de se trabalhar apeas com uma amostra temos que: µ µ µ µ gl gl t gl 0 N isto é aquela variável segue uma distribuição t de tudet com gl graus de liberdade.

18 3 ara defiir o valor de gl temos duas situações possíveis que correspodem a podermos ou ão admitir como válido que as variâcias das duas populações são iguais: gl se gl se No primeiro caso o úmero de graus de liberdade correspode ao úmero de graus de liberdade com que a variâcia comum das duas populações é estimada. No segudo caso se o valor de gl ão der um iteiro deve-se utiliar o iteiro imediatamete iferior já que codu à defiição de um itervalo com uma cofiaça maior do que a especificada iicialmete. e as variâcias das populações forem iguais podemos também aqui estimar a variâcia comum pela fórmula usada ateriormete isto é:

19 4 Etão o itervalo de cofiaça a (-).00% para a difereça dos valores esperados das duas populações µ µ é dado por: µ ) ( ) ± t ( ) ( µ µ ) ( ) ± t ( ) ( µ INTERVLO DE CONINÇ R DIERENÇ ENTRE ROORÇÕE INOMII p p (MOTR INDEENDENTE DE GRNDE DIMENÕE) ejam duas populações e costituídas por elemetos de dois tipos. eja p a proporção de elemetos de um dos dois tipos a população e p o valor correspodete para a população. eleccioadas idepedetemete duas

20 5 um estimador de amostras seja amostra de dimesão e uma amostra de dimesão. p baseado uma o estimador de p baseado Estado satisfeitas as codições para aproximarmos as distribuições de e por distribuições Normais (populações ifiitas ou amostragem com reposição verificado-se aida que 0 e.p > 7 ; o caso de amostragem sem reposição é também ecessário garatir que a dimesão da população é grade face à dimesão da amostra) e uma ve que as amostras são idepedetes temos que: N µ µ p ( p ) p ( p ) Etão seguido um procedimeto idêtico ao utiliado ateriormete temos que o itervalo de cofiaça a (- ).00% para a difereça etre as proporções biomiais p é dado por: p p p ) ( ± ( ) ( ) ( ) 3 3

21 6 DIMENIONMENTO DE MOTR té agora admitimos que a dimesão das amostras utiliadas para o cálculo das estimativas potuais estava já especificada previamete. Cotudo o problema de dimesioameto das amostras é muito importate já que: e a amostra for excessivamete grade face aos objectivos que se pretedem atigir estaremos a desperdiçar recursos a recolha e tratameto da iformação. e a dimesão da amostra ão for suficiete para a partir dela se extraírem coclusões válidas estaremos a cometer um erro. dimesão das amostras a cosiderar aumetará à medida que aumetem os seguites parâmetros (isoladamete ou em simultâeo): i) a precisão do itervalo de cofiaça (que varia a raão iversa da respectiva amplitude). ii) o grau de cofiaça do itervalo isto é a probabilidade de este vir a icluir o verdadeiro valor do parâmetro populacioal.